安徽蚌埠2021高三第三次质量监测数学(理)(三模)

ｉ＝１
（２）小明和小红在数独 ＡＰＰ上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的
人获胜，两人约定先胜 ４局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为 ２３．已知在前 ３局中
小明胜 ２局，小红胜 １局 若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．
２０（１２分） 已知双曲线 Ｃ∶ａｘ２２ －ｙ ｂ２ ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的虚轴长为 ４，直线 ２ｘ－ｙ＝０为双曲线 Ｃ的 一条渐近线 （１）求双曲线 Ｃ的标准方程； （２）记双曲线 Ｃ的左、右顶点分别为 Ａ，Ｂ，斜率为正的直线 ｌ过点 Ｔ（２，０），交双曲线 Ｃ于点 Ｍ，Ｎ（点 Ｍ在第一象限），直线 ＭＡ交 ｙ轴于点 Ｐ，直线 ＮＢ交 ｙ轴于点 Ｑ，记 △ＰＡＴ面 积为 Ｓ１，△ＱＢＴ面积为 Ｓ２，求证：Ｓ Ｓ１ ２ 为定值．
进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点）２月 １５日
１７时，天 问 一 号 探 测 器 成 功 实 施 捕 获 轨 道 “远 火 点 （椭 圆 轨 迹 上 距 离 火 星 表 面 最 远 的 一
点）平面机动”，同时将近火点高度调整至约 ２６５公里 若此时远火点距离约为 １１９４５公
２３［选修 ４—５：不等式选讲］（１０分）
已知函数 ｆ（ｘ） ＝ｍ －｜ｘ｜－｜ｘ－１｜，ｍ∈ Ｒ，且 ｆ（ｘ）的最大值为 １，
（１）求实数 ｍ的值；
（２）若
ａ＞０，ｂ＞０，ａ＋ｂ＝ｍ，求证：１ａ
＋
１ ｂ
＋ａ２ｂ≥
４
蚌埠市高三年级数学（理）试卷第４页（共４页）
蚌埠市 ２０２１届高三年级第三次教学质量检查考试
（一）必考题：共 ６０分
１７（１２分）
已知
△ＡＢＣ中，角
Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为
ａ，ｂ，ｃ，ａ２
＋ｃ２
＝
４ａ２ｓｉｎ２Ｂ＋２ａｃｃｏｓＢ ３
（１）求 ｓｉｎＡ；
（２）若角 Ａ为锐角，且 △ＡＢＣ的面积为槡３，求 ａ的最小值
１８（１２分） 已知平面四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ⊥ ＡＣ，ＡＢ ＝ＡＣ ＝ＡＤ ＝ＣＤ，现将 △ＡＢＣ沿 ＡＣ折起，使得 点 Ｂ移至点 Ｐ的位置（如图），且 ＰＣ ＝ＰＤ （１）求证：ＣＤ⊥ ＰＡ； （２）若 Ｍ满足Ｄ→Ｍ ＝λＤ→Ｐ，λ∈ ［０，１］，且二面角 Ｃ－ＡＭ －Ｄ的余弦值为 １４，求 λ．
蚌埠市 ２０２１届高三年级第三次教学质量检查考试
数 学 （理工类）
本试卷满分 １５０分，考试时间 １２０分钟
注意事项：
１答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
８已知平面 α，β，γ仅有一个公共点，直线 ａ，ｂ，ｃ满足：ａ α，ｂ β，ｃ γ，则直线 ａ，ｂ，ｃ的位
置关系不可能是 Ａ两两獉垂獉直獉
Ｂ两两平行
Ｃ两两相交
Ｄ两两异面
９．某社区计划在管辖的东海大道路段内，安排志愿者在 ６个路口劝导市民文明出行，不闯红
灯，不乱穿马路，每个路口至多设置 １个志愿者服务站点，任意相邻的两个路口至少有一个
７
∑ ｔｉｙｉ
ｉ＝１
７
—ｔ
∑ ｔ２ｉ －７×—ｔ２
ｉ＝１
１８４５
０３７
０５５
参考公式：对于一组数据（ｕ１，ｖ１），（ｕ２，ｖ２），…，（ｕｎ，ｖｎ），其回归直线 ∧ｖ＝∧α＋∧βｕ的斜
ｎ
∑ ｕｉｖｉ－ｎ—ｕ—ｖ
率和截距的最小二乘估计公式分别为：∧β＝
ｉ＝１ ｎ
，∧α ＝—ｖ－∧β—ｕ
∑ ｕｉ２ －ｎ—ｕ２
本试卷上无效。
一、选择题：本题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
１复数 ｚ满足（１＋ｉ）·ｚ＝１－ｉ２０２１，则 —ｚ的虚部为
Ａ１
Ｂ－１
Ｃｉ
Ｄ－ｉ
２已知集合 Ｐ ＝｛ｘ｜ｘ２ －２ｘ－３≤ ０｝，Ｑ ＝｛ｍ｝．若 Ｐ∩ Ｑ ＝Ｑ，则实数 ｍ的取值范围是
路口设置 １个志愿者服务站点，则不同的设置方案种数是
Ａ１９
Ｂ２０
第 ９题图 Ｃ２１
Ｄ２４
１０．关于函数 ｆ（ｘ） ＝ ２ ３ｓｉｎ３ｘ－ｃｏｓｘ，下列命题正确的是
Ａｆ（ｘ）不是周期函数
Ｂｆ（ｘ）在区间［０，π］上单调递减
Ｃｆ（ｘ）的值域为［－１，１］
Ｄｘ＝π是曲线 ｙ＝ｆ（ｘ）的一条对称轴
１１．已知椭圆 Ｃ：ａｘ２２ ＋ｙｂ２ ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２，以 Ｆ２为焦点的抛物线 Ｅ：
{Ａ→Ｍ·ｎ＝０
设平面 ＡＣＭ的法向量ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则由 Ａ→Ｃ·ｎ＝０
蚌埠市高三年级数学（理工类）参考答案第１页（共４页）
{得
（２－２λ）ｙ＋２λｚ＝０ ，取
槡３ｘ＋ｙ＝０
ｘ＝１，得ｎ＝（１，－槡３，槡３（１λ－λ）），………
１０分
易知平面 ＰＡＤ的一个法向量为ｍ ＝（１，０，０）
槡 ｃｏｓ＜ｍ，ｎ＞
第 １８题图
１９（１２分） 数独是源自 １８世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据 ９×９盘面上的已知数字，推理出 所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（３×３）内的数字均含 １－９， 不重复 数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛 （１）赛前小明在某数独 ＡＰＰ上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度 ｙ（秒）与训练 天数 ｘ（天）有关，经统计得到如下的数据：
８分
∵ 角 Ａ为锐角，ｓｉｎＡ＝槡２３，∴ｃｏｓＡ＝ １ ２ …………………………………… １０分 由余弦定理得 ａ２ ＝ｂ２ ＋ｃ２ －２ｂｃｃｏｓＡ＝ｂ２ ＋ｃ２ －ｂｃ≥ ２ｂｃ－ｂｃ＝４ 当且仅当 ｂ＝ｃ＝２时，ａ取最小值 ２ ……………………………………… １２分 １８（１２分） 解：（１）由题意 ＰＡ⊥ ＡＣ，即 ∠ＰＡＣ ＝９０° ∵ＡＣ ＝ＡＤ，ＰＣ ＝ＰＤ，ＰＡ＝ＰＡ， ∴△ＰＡＣ≌ △ＰＡＤ，∠ＰＡＤ ＝∠ＰＡＣ ＝９０°，从而 ＰＡ⊥ ＡＤ， ……………… ３分 又 ＰＡ⊥ ＡＣ，ＡＣ∩ ＡＤ ＝Ａ，∴ＰＡ⊥ 平面 ＡＣＤ， ∵ＣＤ 平面 ＡＣＤ，∴ＰＡ⊥ ＣＤ ……………………………………………… ６分
即 ｓｉｎ２Ｂ ＝ ４ ３ｓｉｎ２Ａｓｉｎ２Ｂ………………………………………………………… ４分
∵Ａ，Ｂ为 △ＡＢＣ的内角 ∴ｓｉｎＢ≠ ０
则 ｓｉｎＡ＝槡２３…………………………………………………………………… ６分
（２）若
△ＡＢＣ的面积为槡３，则
１ｂｃｓｉｎＡ ２
＝槡３，解得
ｂｃ＝４，………………………
逐年递增；④ 从 ２０１６年至 ２０２０年第二产业增加值占国内生产总值比重逐年递减
其中正确的的是
Ａ①④
Ｂ②③
Ｃ②④
Ｄ①③
第 ４题图
５已知向量ａ，ｂ满足 ｜ａ｜＝２，（ａ＋ｂ）·ａ＝２，｜ａ－ｂ｜＝２槡３，向量ａ－ｂ与ｂ的夹角为
Ａπ６
Ｂπ３
第１页（共４页）
二、填空题：本题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０分
{２ｘ－ｙ－２≤ ０，
１３已知实数 ｘ，ｙ满足 ｘ＋ｙ－２≥ ０，则 ｚ＝ｘ＋ｙ的最小值为
ｘ－ｙ＋１≥ ０，
１４“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕、着陆、巡视，是
世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测 ２０２１年 ２月 １０日，天问一号探测器顺利
＋ｂ２ ａ２
＋…
＋ｂｎ ａｎ
＝ｂｎ＋１ ａｎ－１
＋６（ｎ≥
２且
ｎ∈
Ｎ＋），等
{ 比数列｛ｂｎ｝公比 ｑ＝２，令 ｃｎ ＝ ａ１ｎ，ｎ为奇数，则数列｛ｃｎ｝的前 ｎ项和 Ｓ２ｎ ＝
ｂｎ，ｎ为偶数，
三、解答题：共 ７０分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 １７～２１题为必考题，每个试
题考生都必须作答 第 ２２、２３题为选考题，考生根据要求作答
ｙ２ ＝１２ｘ与椭圆 Ｃ在第一象限的交点记为 Ｐ，直线 ＰＦ２与抛物线 Ｅ的准线 ｌ交于点 Ｑ，若
｜Ｐ→Ｑ｜＝２｜Ｆ→２Ｐ｜，则椭圆 Ｃ的实轴长为
Ａ４槡７＋８
Ｂ２槡７＋４
Ｃ槡７＋２
１２．若 ｌｏｇ２ａ－ａ＋ａ２ ＝ｌｏｇ２ｂ－ｂ＋４ｂ２ ＋１，则
Ａａ＞２ｂ
Ｂａ＜２ｂ
Ｃａ＞２ｂ＋１
Ｄ槡２７＋１ Ｄｂ＞２ａ＋１
ｘ（天）
１
２
３
４
５
６
７
ｙ（秒） ９９０ ９９０ ４５０ ３２０ ３００ ２４０ ２１０
现用 ｙ＝ａ＋ ｂ ｘ作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经
过 １００天训练后，每天解题的平均速度 ｙ约为多少秒？
参考数据（其中
ｔｉ
＝
１）： ｘｉ
蚌埠市高三年级数学（理）试卷第３页（共４页）
Ａ（－１，３）
Ｂ（－∞，３］
Ｃ（－∞，－１］∪ ［３，＋∞）
Ｄ［－１，３］
３已知等差数列｛ａｎ｝的前
ｎ项和为
Ｓｎ，Ｓ１
＝１，Ｓ５
＝２５，则
Ｓ３ ３
＝
Ａ３
Ｂ６
Ｃ９
Ｄ１２
４国家统计局官方网站 ２０２１年 ２月 ２８日发布了《中华人民共和国 ２０２０年国民经济和社会发
展统计公报》，全面展示了一年来全国人民顽强奋斗取得的令世界瞩目、可载入史册的伟大
（２）过点 Ａ作 ＡＦ⊥ ＡＤ交 ＢＣ于 Ｆ，以 Ａ为原点，Ａ→Ｆ，Ａ→Ｄ，Ａ→Ｐ的方向为 ｘ，ｙ，ｚ轴的正方 向，建立空间直角坐标系（图形略），
不妨设 ＡＣ ＝２，则 Ａ（０，０，０），Ｃ（槡３，１，０），Ｄ（０，２，０），Ｐ（０，０，２）， ∵ Ｄ→Ｍ ＝λＤ→Ｐ∴ Ａ→Ｍ ＝Ａ→Ｄ＋Ｄ→Ｍ ＝Ａ→Ｄ＋λＤ→Ｐ ＝（０，２－２λ，２λ） ……… ８分
数学（理工类）参考答案及评分标准
一、选择题：
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
答 案 Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ｄ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ
二、填空题：
１３２ １４０６ １５８槡２π １６２ｎ２ －ｎ＋４ｎ＋１ －４
３
３
三、解答题：
１７（１２分）
解：（１）由 ａ２ ＋ｃ２ ＝ ４ ３ｓｉｎ２Ｂ＋２ａｃｃｏｓＢ得，ｂ２ ＝ ４３ａ２ｓｉｎ２Ｂ，………………………… ２分
里，火星半径约为 ３４００公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹（环火轨道曲线）的离心率
约为
（精确到 ０１）
１５正方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１棱长为 ２，Ｍ为 ＣＤ１中点，则四面体 ＡＢＤＭ外接球的体积为
．
蚌埠市高三年级数学（理）试卷第２页（共４页）
１６已知数列｛ａｎ｝满足：ａ１
＝１，ａ２
＝
１，ｂ１ ３ ａ１
＝
ｍ·ｎ ＝ ｜ｍ｜·｜ｎ｜
１
＝ １，
１＋３＋３（１λ－２λ）２·１ ４
因为 λ ＞０，解得 λ ＝ １ ３． …………………………………………………… １２分
１９（１２分）
解：（１）由题意 —ｙ＝ １ ７（９９０＋９９０＋４５０＋３２０＋３００＋２４０＋２１０） ＝５００，
令 ｔ＝ １ｘ，设 ｙ关于 ｔ的线性回归方程为 ｙ＝ｂｔ＋ａ，则
２１（１２分） 已知函数 ｆ（ｘ） ＝ｘｅａ－ｘ －ｌｎｘ＋ｘ－２ａ，其中 ａ∈ Ｒ （１）若 ａ＝１，求函数 ｆ（ｘ）在 ｘ＝１处的切线方程； （２）若 ｆ（ｘ）≥ ０恒成立，求 ａ的范围．
（二）选考题：共 １０分 请考生在第 ２２、２３题中任选一题作答 如果多做，则按所做的第一题计分 ２２．［选修 ４—４：坐标系与参数方程］（１０分）
成就 如图是 ２０１６－２０２０年国内生产总值及其增长速度统计图和三次产业增加值占国内
生产总值比重统计图
给出下列说法：① 从 ２０１６年至 ２０２０年国内生产总值逐年递增；② 从 ２０１６年至 ２０２０年国内
生产总值增长速度逐年递减；③ 从 ２０１６年至 ２０２０年第三产业增加值占国内生产总值比重
７
∑∑ ｂ＝ ｉ＝１７ｔｉ·ｔ２ｉｙ－ｉ７－７×—ｔ—ｔ·２—ｙ＝１８４５－７０×．５０５．３７×５００＝１０００， ………………… ２分 ｉ＝１
６．已知随机变量 Ｘ服从正态分布 Ｎ（２，σ２），且 Ｐ（Ｘ ＜１）·Ｐ（Ｘ ＞３）＝ １９，则 Ｐ（１＜Ｘ ＜２）＝
Ａ１ ６
Ｂ１ ４
Ｃ１ ３
Ｄ１２
{ ７．已知函数 ｆ（ｘ） ＝ ｅ２－ｘ，ｘ≤ １，
则不等式 ｆ（ｘ＋１） ＜１的解集为
ｌｇ（ｘ＋２），ｘ＞１，
Ａ（１，７）
Ｂ（０，７）
Ｃ（１，８）
Ｄ（－∞，７）
{ 在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，直线 ｌ的参数方程为 ｘｙ＝＝３ｔｃｏ＋ｓｔ２ｓ３πｉｎ２３π，（ｔ为参数），以坐标原点
Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 Ｃ的极坐标方程为 ρ＝２ａｓｉｎθ（ａ＞０），曲 线 Ｃ与 ｌ有且只有一个公共点 （１）求实数 ａ的值； （２）若 Ａ，Ｂ为曲线 Ｃ上的两点，且 ∠ＡＯＢ ＝ π３，求 ｜ＯＡ｜·｜ＯＢ｜的最大值．