福建省厦门市2008年高中毕业班适应性考试(数学理)

福建省厦门市2008年高中毕业班适应性考试
数学（理科）试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
满分为150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1． 考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卡上； 2． 答题要求，见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”. 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C n k P k
(1
－P)n-k
球的表面积公式：S=4πR 2
，球的体积公式：V=
3
4πR 3
，其中R 表示球的半径. 第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在答题卡上的相应题目的答题区域内作答． 1．设复数1223,14z i z i =+=+，则12z z ⋅在复平面内对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2．已知函数)1(log 3)(5.0>+=x x x f ，则)(x f 的反函数是
A ．)3(2)(31
<=--x x f x B ．)3(2)(31
>=--x x f x
C ．)3(2)(31<=--x x f
x
D ．)3(2)(31
>=--x x f
x
3．在6
21⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，3
x 的系数是
A ．20
B ．15
C ．20-
D ．15-
4．用系统抽样法（按等距离的规则）要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1~160编号．按编号顺序平均分成20组（1~8号，9~16号，……，153~160号），若第16组应抽出的号码为125，则第一组中用抽签方法确定的号码是
A ．7
B ．5
C ．4
D ．3 5. 给出下列四个命题：
①直线垂直于一个平面内的无数条直线是这条直线与这个平面垂直的充要条件； ②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；
③不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行是这条直线和这个平面平行的充分条件；
④一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等或互补． 其中真命题的为 A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．③④
6．已知函数⎪
⎩⎪
⎨⎧∈+--∈+=)1,0(2]
0,1()(3x n
x m x x n mx x f ，若0()1lim x f x →=，则)(x f 的图象为下列图象中的
3
y
y
1
A B C D
7．以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，将△ABC
折起（如图），使折起后的△ABC 恰成等边三角形，M 为高AD 的中点， 则直线AB 与CM 所成角的余弦值为
A ．22
B ．66
C ．1010
D ．10
10
-
8．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 的左顶点、右焦点分别为A 、F ，点B ),0(b ，若
-=+，则该双曲线离心率e 的值为
A
．
1
2
+ B
． C
．
1
2 D ．
1
2
9．如图，角α的顶点在原点O ，始边在y 轴的正半轴， 终边经过点(3,4)P --．角β的顶点在原点O ，始边在
x 轴的正半轴，终边OQ 落在第二象限，且2tan -=β，
则cos POQ ∠的值为
A ．55-
B ．25511-
C ．25511
D ．5
5 10．2008年春，我国南方部分地区遭受了罕见的特大雪灾．大雪无情人有情，厦门某中学组织学生在社区
开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且人均捐款数比前一天多5元．则截止第5天（包括第5天）捐款总数将达到 A ．4800元 B ．8000元 C ．9600元 D ．11200元 11．用红、黄两种颜色给如图所示的一列方格染色（可以只染一种颜色），要求相邻的两格不都染上红色，
A ．7
B ．15
C ．28
D ．34
12．定义区间(),c d ，[),c d ，(],c d ，[],c d 的长度均为d c -，其中d c >．已知实数a b >，则满足
112
x a x b
+≥--的x 构成的区间的长度之和为 A ．1 B ．
a b - C ．a b + D ．2
B
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答． 13．圆C ：x 2
+ y 2
+ 6x + 5 = 0被直线l ：05=+-y x 所截得的弦长为 ． 14．设全集U R =，M={}
4|2
>x x ，N={}31|<<x x ，
则图中阴影部分所表示的集合是 ．
15．在边长为1的正三角形ABC 中，设=，=，=，则
⋅+⋅+⋅= ．
16．定义：若平面点集A 中的任一个点00(,)x y ，总存在正实数r ，使得集
合
{}
(,)|
x y r A <⊆，则称A 为一个开集．给出下列集合：
①{
}
22(,)|1x y x y +=； ② {}(,)|20x y x y ++>；
③{}
(,)6x y x y +≤； ④
{
}
22
(,)|0(1x y x y <+<．
其中是开集的是 ．（请写出所有符合条件的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 17．（本小题满分12分） 已知函数()f x =)2
sin(
sin x x -+π
．
（1）若[]πα,0∈，且sin2α=
3
1
，求f(α)的值； （2）若[]π2,0∈x ，求函数()f x 的单调递增区间． 18．（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥S-ABCD 中，SA ⊥平面ABCD,在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC,
60=∠ABC ，SA=AD=
21
AB=1，
M 为BC 的中点。

（1） 求证：SM ⊥ AD ；
D
S
A
（2） 求二面角A-SB-C 的大小。

（3） 求点M 到平面SDC 的距离。

19．（本小题满分12分）
在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点，5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次．设z y x 、、分别表示甲、乙、丙3个盒中的球数．
（1）求z y x 、、依次成公差大于0的等差数列的概率． （2）记y x +=ξ，求随机变量ξ的概率分布和数学期望． 20．（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3242S a S =+，等比数列{}n b 满足21a b =，42a b =． （1）求证：{}n b 中的每一项均为{}n a 中的项； （2）若2
11=
a ，数列{}n c 满足：)log 21()1(21n n
n n b c b +-=⋅+，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 21．（本小题满分12分）
已知椭圆E ：22
21x y a
+=（其中1a >），直线L 与椭圆只有一个公共点T ；两条平行于y 轴的直线12l l 、分
别过椭圆的左、右焦点F 1、F 2，且直线L 分别相交于A 、B 两点．
（Ⅰ）若直线L 在y 轴上的截距为a ，求证：直线L 斜率的绝对值与椭圆E 的离心率相等；
（Ⅱ）若1212F AF F BF ∠+∠的最大值为1200
，求椭圆E 的方程．
22．（本小题满分14分） 已知函数f(x)=lnx ．
（1） 求证：f(x)≤x-1(x>0)； （2） 若关于x 的方程f(x)=
1212
-x k
在()+∞,0上有解，求实数k 的取值范围； 求证：)(66
533
3ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++ ．
2008年厦门市高中毕业班适应性考试 数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答 某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答
有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算．
1．B 2．A 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C 8．D 9．A 10．D 11．B 12．A 二、本大题:共4个小题；每小题4分，共16分.本题主要考查基础知识和基本运算． 13
． 14．{}21|≤<x x 15．3
2
-
16．② 、④ 三、解答题:本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：．本小题主要考查三角函数的符号，诱导公式，两角和差公式，二倍角公式，三角函数的图象及单调性等基本知识以及推理和运算能力．满分12分． （1）∵[]πα,0∈且sin2α=
31∴2sin αcos α=3
1
,sin α≥0得cos α＞0,从而sin α+cos α＞0 …3分
∴ ()f α=sin α+cos α=
2)cos (sin αα+=ααcos sin 21+=
3
3
2 …………………………6分 （2）∵[]π2,0∈x ∴()f x =⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≤<≤≤π
ππππ2x ) 43+sin(x 2=cosx +sinx -x 0 )4
+sin(x 2=cosx +sinx ……………………………8分
∴[]π2,0∈x 时()f x 的单调递增区间为[0，
4
π]和 [π，47π
].………………………………………12分
18．本小题主要考查直线和平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离。

考查空间想象能力、逻辑
推理能力和运算能力．满分12分．
解法一：（1）在直角梯形ABCD 中，过点A 作AN 垂直BC ，
垂足为N ，易得BN=1
，AN =，同时四边形ANCD 是矩形，
则CN=1，点N 为BC 的中点，所以点N 与点M 重合,BC AM ⊥
连结AM ，
因为⊥SA 平面ABCD ，所以BC SM ⊥,又AD ∥BC ，
所以SM ⊥ AD ．…………………………………4分
（2）过点A 作AG 垂直SM 于点G ， 易证平面SAM SBC 平面⊥,
则SBC AG 平面⊥，在RT SAM ∆中， 2
3
=⋅=
SM AM
SA AG ，………………………………………7分
又AD ∥平面SBC,所以点D 到平面SBC 的距离为点A 到平面SBC 的距离AG,大小值为
2
3
；……………8分 （3）取AB 中点E ，因为ABC ∆是等边三角形，所以AB CE ⊥,又SA CE ⊥,得SAB CE 平面⊥，过点E
作EF 垂直SB 于点F ，连结CF ，则SB CF ⊥，所以CFE ∠是二面角A-SB-C 的平面角．………10分
在RT SAB ∆中，55=⋅=
SB BE SA EF .在RT CEF ∆中，15tan ==∠EF
CE
CFE ，所以二面角A-SB-C 的大小为15arctan ．………………………………………………………………………………………12分 解法二：（1）同解法一．
（2）根据（1），如图所示，分别以AM,AD,AC 所在射线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系． 有A(0,0,0)，M （3，0，0），B （3，-1，0），C （3,1 ,0），D （0,1 ,0）,S （0,0 ,1） 所以()1,0,0=AS ，()
1,1,3-=BS ,()0,2,0=BC ．
设平面SBC 的法向量()),,c b a =，则00
m BS m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即
(
)(
)
()(),,0,,0,2,020a b c b c a b c b ⋅=++=⋅==⎧⎪⎨
⎪⎩
，
解得0b c =⎧⎪⎨=⎪⎩
，取(m =．……………………………………………………………………………6分 又DC =
(
)
0,0,3，则点D 到平面SBC 的距离
(3,0,02
DC m
d m
⋅=
=
=
．………………………………………………………………8分 （3）设平面ASB 的法向量(,,)
n x y z =，则
n AS n BS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即
()()()()
,,0,0,1
0,,0x y z z x y z y z ⎧⋅==⎪
⎨
⋅=++=⎪⎩
， 解得0
y z ⎧=⎪⎨
=⎪⎩，取()
0,3,
1=n ．……………………………………………………………………………10分
所以1cos ,4m n m n m n
⋅=
=
，则二面角A-SB-C 的大小为4
1
arccos ．………………………………12分 19．本小题主要考查排列组合与概率的基础知识，考查推理、运算能力与分类讨论思想，以及运用数学知
识解决实际问题的能力．满分12分． 解：（1）z y x 、、依次成公差大于0的等差数列， 即为甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0、1、2，此
时的概率4
121312
13=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=C p ；…………………………………………………………………………3分
(2)解法一:依题意知，ξ的取值为0、1、2、3．∴()812103
=⎪⎭
⎫
⎝⎛==ξP ， (4)
分
()8341812131216112
1
32
13=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==C C P ξ， ………………………………………………6分
()8
3
24161612161213121316122
232
2333
=++=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯⨯==C C A P ξ，……………………8分
()81181361271216131613
1
61316132
2322333=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==C C P ξ，…………10分
所以，随机变量ξ的概率分布列为：
数学期望为2
3
813832831810=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE ………………………………………………………12分 解法二:把甲、乙两盒的球数合并成一盒，则每次掷骰子后球放入该盒中的概率2
1
3161=+=P ……6分
且⎪⎭
⎫ ⎝⎛21,3~B ξ,分布列详见解法一，…………………………………………………………………… 10分
2
3
213=⨯
=ξE ……………………………………………………………………………………………12分 解法三:令z =η,则⎪⎭
⎫ ⎝⎛21,3~B η； 2
3
213=⨯
=ηE ……………………………………………………6分
3=++z y x ，z y x -=+=∴3ξ，分布列详见解法一，…………………………………………10分
2
3
2333=-
=-=ηξE E ………………………………………………………………………………12分 20．本小题主要考查等比数列和等差数列的概念和性质，以及数列求和的基本运算，考查学生解决数列问题的基本技能，要求学生具备较强的解决数列问题的能力．满分12分． 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由3242S a S =+ 得
d a d a d a 6664111+=+++，d a =∴1，………………………………………………………………2分 则 11)1(na d n a a n =-+= ，……………………………………………………………………………3分
112a b =∴， 124a b =，等比数列{}n b 的公比21
2
==
b b q ，……………………………………………4分 则111222a a b n
n n =⋅=- ， ………………………………………………………………………………5分
*
2N n
∈ ，∴{}n b 中的每一项均为{}n a 中的项；……………………………………………………6分
（2）211=
a 1
22
12-=⨯=∴n n n b ，……………………………………………………………7分 由)log 21()1(21n n
n n b c b +-=⋅+得： )12()1()]1(21[)1(2--=-+-=⋅n n c n
n n n
n
n
n n n n c )21)(12(2
)12()1(--=--=∴ ，………………………………………………………………8分 n
n n T )2
1)(12()2
1(5)2
1(3)21
(3
2
--++-+-+-= ，
1
2
)
2
1)(12()2
1(5)21(312---++-+-+=-n n n T ，……………………………………………9分 相减得：n
n n n T )2
1)(12()21(2)21(2)21(21312----++-+-+=--
n
n n )21)(12(])21()21()21(1[22112----++-+-+⋅+-=-
n n
n )21)(12()
2
1(1)21(121-------⨯
+-= n n n )21)(12()21(34341-----+-=
n n )21(31631-+-= ，……………………………………………………………………11分 9
1
)21(916--+=∴n n n T .……………………………………………………………………12分
21．本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系；考查三角函数、方程、不等式的内容；考查解析几何思想、分析问题、解决问题的能力．满分12分．
解法一：（1）设T （x 0，y 0），由对称性，不妨设00y >，∴22
0021x y a
+=，
∴2222
00x a a y =-且001y <≤；………………………………………………………………………………1分
∵直线L 椭圆E 只有一个公共点T ，
由椭圆E ：22
21x y a +=(0)y >
得y =
2
x x y a y ='==-
，……………2分 ∴直线L ：0002
()x y x x y a y =-
-+，得22
00x x a y y a +=；………………………………………………3分 ∵直线L 在y 轴上的截距为a ，令0,x y a ==，得01y a
=，∴222222
001x a a y a c =-=-=； ∴直线L 斜率的绝对值02
0||x c
k e a y a
=
==；……………………………………………………………5分 （2）直线L ：22
00x x a y y a +=与12:l l ：x=-c、x=c 的交点
2200
2200
(,),(,)a cx a cx A c B c a y a y +--，……………………………………………………………………………6分
设1212F AF F BF αβ=∠∠，=，在RT ∆F 1AF 2和RT ∆F 1BF 2中，
2200
22
00
22tan ,tan ca y ca y a cx a cx αβ==+-，………………………………………………………………………7分 当0
90αβ+≠时，
∴04042242
04tan tan tan()1tan tan 4ca y a c x ca y αβαβαβ++==
---……………………………………………………8分 022
0222220
4411(14)(41)
ca y ca c y a y c a y ==
+---；…………………………………………………………………9分 ∵001y <≤且1a >，∴
222222200
1
(41)1(41)4y c a c a a a c y --≥--=-，…………………………10分 ∵1212F AF F BF ∠+∠最大值为1200
，只需令2
02
22
4tan1204ca a a c
==-
∴2
40c -=，……………………………………………………………………………………11分
∴c =
22
714
a c =+= ∴椭圆E 的方程为
2
2417
x y +=．…………………………………………………………………………12分
解法二：（1）依题意设直线L ：y kx n =+，代入椭圆E ：2
221x y a
+=整理得： 22221()210k x knx n a
+++-=（*），……………………………………………………………………2分 ∵直线L 椭圆E 只有一个公共点T ， ∴方程（*）的22222144(
)(1)0k n k n a
∆=-+-=，………………………………………………………3分 整理得：2221n a k =+，① ∵直线L 在y 轴上的截距为a ，∴n a =代入①得22
221a k e a -==，∴||k e =；………………………5分 （2）考虑对称性，不妨设0n >，由①得1n ≥，
直线L ：y kx n =+与12:l l ：x=-c、x=c 的交点(,),(,)A c n kc B c n kc --+，…………………………6分 设1212F AF F BF αβ=∠∠，=，在RT ∆F 1AF 2和RT ∆F 1BF 2中，
22tan ,tan c c n kc n kc
αβ==-+，由①得2221n k a -=，……………………………………………………7分 当090αβ+≠时， ∴2222
tan tan 4tan()1tan tan 4nc n k c c αβαβαβ++==---…………………………………………………………8分 2222222444(1)(4)(1)nc c c e n e c e n e n
==------，…………………………………………………………9分 ∵1n ≥且1a >，∴22
222224(1)1(4)14c e n e e c e c n
---≥---=-，………………………………10分 ∵1212F AF F BF ∠+∠最大值为1200
，只需令024tan12014c c
==-，………………………………11分
∴c =22714
a c =+= ∴椭圆E 的方程为22417
x y +=．…………………………………………………………………………12分 22．本小题主要考查函数、数列、不等式、导数等基础知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力，考查数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法．满分12分．
解：（1）令/11()1ln (0),()1x g x x x x g x x x
-=-+>=-+
=则． ………………………………………1分 令/()0,1g x x ==得
故当x>0时，都有g(x)≤0,即lnx ≤x-1. ………………………………………………………3分
(2) 解法一：.11)(),0(ln 121)(2/2kx
k x x x k x h x x x k x h -=-=>--=则……………………………4分 ① 当k<0时, 0)(/<x h ,∴h(x)在(0,+)∞上是减函数；
又2
11()0,2h e ke =<当x>0且x 趋近于零时,h(x)>0. ∴此时h(x)=0在()+∞,0上有解． …………………………………………………………………5分
②当k>0时, 令,0)(/=x h 得 x=k (∵x>0)
根据此表,当x=k ,h(x)的最小值为k ln 2
2--
，………6分 依题意，当k ln 2121--≤0，即e k 10≤<时，关于x 的方程f(x)=1212-x k
在()+∞,0上有解，……7分 综上：k<0或e
k 10≤<. ……………………………………………………………………………………8分 解法二：当x>0时，lnx=1212-x k 等价于,ln 1212
x x k +=…………………………………………………4分 令F(x)= ),0(ln 12>+x x x 则3/ln 21)(x x x F --=，…………………………………………………………5分
令,0)(/=x F 得e x 1=
.
根据此表可知, 当x=e 1
时,F(x)的最大为2
e .………………………………………………………………6分
又当x>0且x 趋近于零时,F(x)趋向于负无穷大． 依题意，当
221e k ≤，即k<0或e k 10≤<,时，关于x 的方程f(x)=1212-x k
在()+∞,0上有解， 因此, 实数k 的取值范围为k<0或e
k 10≤<.………………………………………………………………8分 (3)由(1)可知,当x>1时,x
x x 11ln -<. 令x=k(k )2,*≥∈k N ,则k k k 11ln -<. ……………………………………………………………………9分 于是)3
11()411()311()211(33ln 44ln 33ln 22ln n n n -++-+-+-<++++ =)3
141312
1(13n n ++++-- …………………………………10分 又当m N ∈时,1
311321*********++++⋅+⋅+++++m m m m m 3
1213133213313131321321321111+=⋅+⋅⋅=++++⋅++⋅+⋅≥+++m m m m m m m m m m . 于是65)3121(3
1413121n n n =+≥++++ . 故)31413121(13n n ++++-- ≤66536513+-=--n n n n . 所以原不等式成立． …………………………………………………………………………………………14分。