条据书信 放缩法证明不等式题库

放缩法证明不等式题库
用放缩法证明不等式
所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。

下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。

一.“添舍”放缩
通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。

例1.设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证1＜a ＋b＜。

证明：由题设得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜1（a＋b）2，而（a＋b）2＝a＋b＋ab＜a＋b＋1（a＋b）2，即3（a＋b）2＜a＋b，所以
a＋b＜4，故有1＜a＋b＜4。

例2.已知a、b、c不全为零，求证：
a a
b b b2b
c c2c2ac a2＞3（a b c）
2
b2＞（a b）a≥a，同理证明：因为a ab b（a b）22 2
2
bc c2＞b c，c ac a2＞c a。

2
所以a ab b b bc c c2ac a＞3（a b c）
二.分式放缩
一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。

＋b＋c＜2。

例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证：1＜a
a c
a b
bac证明：由于a、b、c为正数，所以a＞，b＞，c＞，所以
1/4
aa＋b＋c＞abc＋＋＝1，又a，b，c为三角形的边，故b+c＞a，则为真分数，则a＜
b c2a
，同理b＜2b，c＜2c，
a b ca ca b ca ba b c
2b2c＋b＋c＜2a＋＋ 2.故a综合得1＜a＋b＋c＜2。

a c
a b
三.裂项放缩
若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。

例4.已知n∈Nx，求1
121…
＜2n。

1n
1
12
13
…
＜12（1）2（32）…2（n n1）2n1＜2n，证毕。

n(n1)(n1)2
例5.已知n N且an223n(n1)，求证：对所有正整数n an
22
x
都成立。

证明：因为n(n1)n2n，所以an12n又n(n1)
n(n1)
，2
n(n1)
，2
n(n1)3512232n1(n1)2
所以an，综合知结论成立。

2222222
四.公式放缩
利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

n2x 1
例6.已知函数f(x)x，证明：对于n Nx且n3都有f(n)。

n12 1
2/4
证明：由题意知
n2n1n21122n(2n1)x
n N又因为且f(n)n(1n)(1)n n
n121n1n1n121(n1)(21)，21n3，所以只须证2n2n1，又因为
2(11)
n
n0
Cn
1Cn
2Cn
n 1
Cn
n Cn
nn(n1)
f(n)所以。

1n n12n 1
n12
例7.已知f(x)x2，求证：当a b时f（a）f（b）a b。

证明：f（a）f（b）a2b2
a ba ba b
(a b)a b
a b
a2b2a2
b2
a ba
b a2
b2
a b证毕。

五.换元放缩
对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。

例8.已知a b c，求证
111
0。

a bb cc a
证明：因为a b c，所以可设a c t，b c u(t u0)，所以t u0则
11111111t u111
0，即0。

a b
b c
c at uututtua bb cc a
例9.已知a，b，c为△ABC的三条边，且有a2b2c2，当n Nx 且n3时，求证：an bn cn。

证明：由于a2b2c2，可设a=csina，b=ccosa（a为锐角），因为0sina1，0cosa1，则当n3时，sinna sin2a，cosna cos2a，
所以an bn cn(sinna cosna)cn(sin2a cos2a)cn。

六.单调函数放缩
根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。

例10.已知a，b∈R，求证
a b1a b
a1 a
b1 b。

证明：构造函数f(x)
x
(x0)，首先判断其单调性，设0x1x2，因为1x
3/4
f(x1)f(x2)
x1x2x1x2
0，所以f x1f x2，所以f(x)在[0,]上是增函数，取1x11x2(1x1)(1x2)
x1a b，x2a b，显然满足0x1x2，
所以f(a b)f(|a||b|)，即
|a b||a||b||a||b||a||b|。

证毕。

1|a b|1|a||b|1|a||b|1|a||b|1|a|1|b|
4/4篇二:《放缩法证明不等式例题》
放缩法证明不等式
一、放缩法原理
为了证明不等式A B，我们可以找一个或多个中间变量C作比较，即若能判定
A C,C B同时成立，那么A B显然正确。

所谓“放”即把A放大到C,再把C放大到
B；反之，由B缩小经过C而变到A,则称为“缩”，统称为放缩法。

放缩是一种技巧性较强的不等变形，必须时刻注意放缩的跨度，做到“放不能过头，缩不能不及”。

二、常见的放缩法技巧
１、基本不等式、柯西不等式、排序不等式放缩2、糖水不等式放缩：bb m(m0,a b).aa m
3、添（减）项放缩
4、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）
5、逐项放大或缩小：
2n n(n1)
n(n1)nn(n1)2
1111
22
(2n3)(2n1)(2n1)(2n1)(2n1)(2n1)11
(2n1)22n(2n2)
三、例题讲解
例1：设a、b、c是三角形的边长，求证
39
例2：设a、b、c≥0，且a b c3，求证a2b2c2abc≥22
abc
≥3
b c ac a ba b c
例3：已知an21(n N).求证：
4x14x
nx
an1a1a2
...n(n Nx).23a2a3an 1
例４：函数f（x）=
，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>;n+
1
(n Nx).2
例5：已知an=n，求证：∑
n
k=1ak
k
＜3．
例6：已知数列an，，a1
3nan13
，an（1）求数列an的通(n2,n Nx)．
2an1n12
项公式；（2）对一切正整数n，不等式a1a2a3an值。

例7：已知数列an，a11,an n1
2
n!恒成立，试求正整数的最小
111，(n2,n Nx)2232(n1)2
an1n2111
(n Nx)(1)(1)(1)4(n N)求证：(1)．(2)2
an1(n1)a1a2an
例8：（1）已知an5n
41对任何正整数m，n都成立.（2）证明：对于任意正整数R，有(1
)(1).nn 1
例9：在xoy平面上有一系列点P对每个自然数n，1(x1,y1),P2(x2,y2),,Pn(xn,yn),，点Pn位于函数y x(x0)的图象上.以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴都相切，且⊙Pn与⊙
2
Pn1又彼此外切，若x11，且xn1xn(n Nx).
(1)求证：数列
1
是等差数列；x n
S1S2Sn，求证：Tn
(2)设⊙Pn的面积为Sn，Tn
例10：已知数列an、bn、xn
3.2
满a1b12,an1bn14bn,bn1an bn,xn
an
,(n N).bn
（1）填空当n≥2时，xn1（填“＞、；＝、＜”不必说明理由）（2）试用xn表示xn1(n Nx)；
（3）求证：xn1与x
n
.并说明xn1与x
n中哪一个更接近于
（4
）求证：
x
k 1
n
k
1.
针对性练习
1、求证：
11117122232n24
n(n1)(n1)2
an2、设an22334n(n1)求证：22 3、已知函数f(x)
(1)设an xn
x 2
数列{xn}满足xn1f(xn)(n1,2,)，且x1 1.,x(0,)，x 1
2，证明：an1an；
(2)设(1)中的数列{an}的前n项和为Sn，证明Sn
2.2篇三:《高考数学练习用放缩法证明不等式的方法与技巧1》用放缩法证明不等式的方法与技巧
放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。

常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。

一．常用公式
1．111212．2k(k1)kk(k1)k k1k2k k 1
k2k3．2k(k4)4．123k2(k2)
5．1111（待学）6．a b a b（待学）k！2（！k！k1)
二．放缩技巧
所谓放缩的技巧：即欲证A B，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使A C B，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”.
常用的放缩技巧
（1）若t0,a t a,a t a
1
1n11111112(n1)（3）nn1n(n1)nn(n1)n1n （4
）aaaa m,（5）若a,b,m R，则bb mbb
111111（6）112n12!3!n!222 1111111111)（因为2（7）
12221(1)()(）23n223n1nn(n1)n
1111111n1（7）n1n2n32nn1n1n1n 1
1111111n1或n1n2n32n2n2n2n2n2
（8
）1（2）
三．常见题型
（一）．先求和再放缩:
1．设Sn
1111，求证：Sn12612n(n1)
2．设bn13（n N），数列{bnbn2}的前n项和为Tn，求证：Tn n4 （二）．先放缩再求和:
3．证明不等式：
11112112123123n
1112232n2
n Sn2；（1）求证：当n2时，n 1
6n5Sn？说明理由.（2）试探究：当n2时，是否有(n1)(2n1)34．设Sn1
1352n1，求证：2462n
（2
）b1b2b3bn1（1
）bn5．设bn{放缩法证明不等式题库}.
6．设an n，bn(2)2an an 1
求证（1
）2an an1n(n Nx)n1（2）b1b2b3bn
7．设bn(n1)2，an n(n1)，求证:1115…
a1b1a2b2an bn12
8．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个
蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数.
（1）试给出f(4),f(5)的值，并求f(n)的表达式（不要求证明）；
（2）证明：
9．（10广州）设Sn为数列an的前n项和，对任意的n N，都有Sn m1man(m
x11114.f(1)f(2)f(3)f(n)3
为常数，且m0)．
（1）求证：数列an是等比数列；
（2）设数列an的公比q f m，数列bn满足b12a1,bn f bn1(n2，
n Nx)，求数列bn的通项公式；
2（3）在满足（2）的条件下，求证：数列bn的前n项和Tn89．18 10．（010深圳）在单调递增数列{an}中，a11，a22，且
a2n1,a2n,a2n1成等差数列，a2n,a2n1,a2n2成等比数列，n1,2,3,．
（1）分别计算a3，a5和a4，a6的值；
（2）求数列{an}的通项公式（将an用n表示）；
14n（3）设数列{的前n项和为Sn，证明：Sn，n Nx．n2an 2．证：bn1n
bnbb21111()n(n2)2nn 2
Tn b1b3b2b4b3b5bnbn211111111111[()()() ()()]213243546nn 2
11113(1).22n1n24
3．证明：1111112123123n
1111＜12n12n1＜22222
4．解：（1）∵当n2时，11112n(n1)nn1n
∴111111111121[(1)()()]2＝22223n223n1n1n1又∵1111n2n(n1)nn 1
1
211n)1n1n1n111123n
n Sn 2.∴当n2时，n 1
（2）∵∴Sn(1)()(144112()n24n2(2n1)(2n1)2n 12n 1
∴
111111111112[()()()]2232n235572n 12n 1
525＝32n13
当n2时,要Sn6nn6n只需(n1)(2n1)n1(n1)(2n1)
即需2n16，显然这在n3时成立
而S2115546n624,当n2时显然4445(n1)(2n1)(21)(41)5
即当n2时Sn6n也成立(n1)(2n1)
6n5Sn.(n1)(2n1)3
综上所述：当n2时，有篇四:《利用放缩法证明数列型不等式压轴题》
利用放缩法证明数列型不等式压轴题
纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。

处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。

放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。

对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的娃带来一盏明灯。

一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用
1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。

裂项放缩法
主要有两种类型：
（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。

2n41n12
例1设数列an的前n项的和Sn an2，n1,2,3,。

设Tn，n1,2,3,，证明：
Sn333
Ti
i 1
n
3。

2
32n3112n1n
()，证明：易得Sn(21)(21),Tn n1nnn 1
2(21)(21)2212133n113111111
T()()iii11223nn 1 221212212121212121i1i 1
=
n
3113(1n1)221212
2n11
点评：此题的关键是将n1裂项成，然后再求和，即可达到目标。

nnn 1
(21)(21)212 1
（2）先放缩通项，然后将其裂成n(n3)项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。

例2已知数列{an}和{bn}满足a12,an1an(an11)，bn an1，数列{bn}的前n和为Sn，
Tn S2n Sn；（I）求证：Tn1Tn；（II）求证：当n2时，S2n
7n11。

12
111111
证明：（I）Tn1Tn()
n2n32n2n1n22n
11110∴Tn1Tn．
2n12n2n1(2n1)(2n2)
（II）n2,S2n S2n S2n1S2n1S2n2S2S1S1T 2n1T2n2T2T1S1
17,S11,T2，212717n11
S2n T2n1T2n2T2T1S1(n1)T2T1S1(n 1)1
12212
7n11
即当n2时，S2n。

12
由（I）可知Tn递增，从而T2n1T2n2T2，又T1
点评：此题（II）充分利用（I）的结论，Tn递增，将S2n裂成S2n S2n1S2n1S2n2S2S1S1的和，从而找到了解题的突破口。

2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。

用于解决积式
问题。

例3已知数列an的首项为a13,点an,an1在直线3x y0(n N)上。

x
x
若cn log3an2(n N),证明对任意的n N
，不等式(1
111
)(1+)(1+)c1c2cn
133n133n13n3n13n 1
)证明：cn3n2，(1+)(
cn3n23n23n13n3n 2
3
x
所以[(1
111473n 1
)(1+)(1+)]33n 1
c1c2cn143n 2
即(1
111
)(1+)(1+)c1c2cn
点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。

(1+
内容仅供参考。