北师大版数学高一 1.6正切函数的诱导公式及例题讲评 (必修4)

1.7.2 正切函数的诱导公式及例题讲评
一、教学目标
1、知识与技能：（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量
取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图
像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函
数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

2、过程与方法：类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，
比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过
单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函
数的诱导公式和正切函数的性质。

3、情感态度与价值观：使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观
点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解
决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生
形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点
重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质
难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题
三、学法与教法
我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。

教法：自主合作探究式
四、教学过程
（一）、创设情境，揭示课题
同学们已经知道，在正、余弦函数中，我们是先学诱导公式，再学图像与性质的。

在学正切函数时，我们为什么要先学图像与性质，再学诱导公式呢？
（二）、探究新知
观察下图，角α与角2π＋α，2π－α，π＋α，π－α，－α的正切函数值有何关系？
我们可以归纳出以下公式：π－α，
tan(2π＋α)＝tan α tan(－α)＝－tan α tan(2π－α)＝－tan α
tan(π－α)＝－tan α tan(π＋α)＝tan α
（三）、巩固深化，发展思维
1． 例题探析
例1．若tan α＝
32，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。

解：∵tan α＝3
2＞0，∴α是第一象限或第三象限的角 （1）如果α是第一象限的角，则由tan α＝3
2可知，角α终边上必有一点P （3，2）. 所以x ＝3，y ＝2. ∵r＝|OP|＝13 ∴sinα＝r
y ＝13132， cos α＝r x ＝13133. (2) 如果α是第三象限角，同理可得：sin α＝
r y ＝－13132， cos α＝r x ＝－13133. 例2．化简：()()()()()
πααπαπαπαπ---+-+-tan 3tan tan 3tan 2tan 解：原式＝()()[]()()[]απαπαπαπα+----+-tan tan tan tan tan ＝()()()αααααtan tan tan tan tan ---＝－α
tan 1. 2．学生课堂练习
教材P45的练习1、2、3、4
（四）、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
象向左、右扩展得到。

再利用周期性把该段图的图象，移正切线得、正切曲线是先利用平)2
,2(x ,x tan y 1ππ-
∈=
⑴ 定义域}Z k ,k 2x |x {∈π+π≠；⑵ 值域：R ；⑶ 周期性：π；⑷ 奇偶性：
奇函数，图象关于原点对称。

(5) 对称性：对称中心： 无对称轴；(6)单调性：在每一个开区间 内都是增函数。

(7)渐近线方程： （五）、布置作业：P45习题A 组6、7、8、9、10、11 B 组4
五、教后反思：
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
2、
性质: x y tan =(,0)2k πππ(-+kπ,+kπ)22
∈k Z Z ∈k ,2k x π+
π=
1．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2的最小值为( ) A ．－2
B ．－ 3
C ．－ 2
D ．－1
解析： f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2. ∵－π4≤x －π4≤π4
. ∴f (x )min ＝2sin(－π4
)＝－1. 答案： D
2．当tan α2≠0时，tan α2
的值与sin α( ) A ．同号 B ．异号
C ．有时同号有时异号
D ．sin α可能为零
解析： ∵sin α＝2sin α2cos α2，tan α2＝sin α2cos α2
， ∴sin α与tan α2
同号． 答案： A
3．已知tan(α＋π4)＝2，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α
的值为( ) A ．－16 B.16
C.52 D ．－56
解析： 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝2得tan α＝13
. 原式＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12
＝13－12＝－16
. 答案： A 4.1＋cos 100°－1－cos 100°等于( )
A ．－2cos 5°
B ．2cos 5°
C ．－2sin 5°
D ．2sin 5°
解析： 原式＝2cos 250°－2sin 250° ＝2(cos 50°－sin 50°)＝2⎝⎛
⎭
⎫22cos 50°－22sin 50° ＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°. 答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数f (x )＝2cos 2x 2
＋sin x 的最小正周期是________． 解析： 化简得f (x )＝1＋2sin(x ＋π4
)，
∴T ＝2π1＝2π. 答案： 2π 6．等腰三角形顶角的余弦为23，那么这个三角形一底角的余弦值为________． 解析： 设底角为α，顶角为β则α＝π2－β2，cos β＝23
. cos α＝cos(π2－β2)＝sin β2＝1－cos β2＝66
. 答案： 66
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知5π2<α<11π4，sin 2α＝－45
，求tan α. 解析： ∵5π2<α<11π4
，即α为第二象限角， ∴5π<2α<11π2
，即2α为第三象限角， ∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－35
， ∴cos α＝－1＋cos 2α2＝－1－352＝－55
， sin α＝1－cos 2α2＝1＋352＝255
， ∴tan α＝sin αcos α
＝－2. 8．若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝2cos 2x ＋1
＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值． 解析： y ＝2cos 2x ＋1
＋2tan x ＋1 ＝2(sin 2x ＋cos 2x )2cos 2x
＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.
∵x ∈[－π3，π4
]，∴tan x ∈[－3，1]， 令tan x ＝t ，则有y ＝g (t )＝(t ＋1)2＋1.
∴当t ＝tan x ＝－1，即x ＝－π4
时， y min ＝1；当t ＝tan x ＝1，即x ＝π4
时，y max ＝5. 尖子生题库☆☆☆
9．(10分)已知f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ，a ∈R .
(1)若f (x )有最大值为2，求实数a 的值；
(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．
解析： (1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2(
32sin 2x ＋12
cos 2x )＋1＋a ＝2sin(2x ＋π6
)＋1＋a .
∵当2x ＋π6＝π2
＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取最大值， 解得x ＝π6
＋k π(k ∈Z )时，f (x )取最大值3＋a . 由3＋a ＝2，解得a ＝－1.
(2)令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2
＋2k π，k ∈Z ， 解得k π－π3≤x ≤k π＋π6
， 即单调递增区间是⎣
⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 同理，可求得单调减区间是⎣
⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．。