四川眉山市数学高二下期末经典测试题(答案解析)

一、选择题
1．如图，,,,A B C D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（ ）
A ．A
B CD B
C DA +=+
B ．A
C B
D BC AD +=+ C ．AC DB DC BA +=+ D ．AB DA AC DB +=+
2．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ．菱形 B ．矩形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形
3．已知,a b 是单位向量，且,a b 的夹角为
3π，若向量c 满足22c a b -+=，则||c 的最大值为（ ） A ．23 B ．23+ C ．72+ D ．72-
4．已知关于x 的方程20ax bx c ++=，其中,,a b c 都是非零向量，且,a b 不共线，则该方程的解的情况是（ ）
A ．至少有一个解
B ．至多有一个解
C ．至多有两个解
D ．可能有无数个解
5．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足BM 2MA =，则CM CA ⋅=( ) A 3B ．3C ．6 D ．152
6．将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=+
+的图象沿x 轴向右平移8
π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（ ） A ．54π- B ．4π- C ．4π D ．34
π 7．在三角形ABC 中,,CA a CB b ==，点P 在直线AB 上,且2AP PB =，则CP 可用,a b 表示为（ ） A ．2CP a b =+ B ．CP a b =- C ．12CP a b =- D ．1233
CP a b =+ 8．在ABC ∆中,已知sin 2sin()cos C B C B =+,那么ABC ∆一定是( )
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形 9．已知2sin()3,且(,0)2απ∈-，则tan(2)πα-= （ ） A ．255 B ．255- C ．52 D ．52
- 10．在中，,,A B C ∠∠∠所对的边长分别是,,a b c ，若
sin sin()sin 2C B A A +-=，则
的形状为 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
11．若平面四边形ABCD 满足0,()0AB CD AB AD AC +=-⋅=，则该四边形一定是( ) A ．正方形
B ．矩形
C ．菱形
D ．直角梯形 12．若()
2sin
sin sin 777n n S n N πππ︒=+++∈，则在中，正数的 个数是（ ）
A ．16
B ．72
C ．86
D ．100
13．已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωφπ=+>><的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )
A ．2sin 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
B ．2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭或32sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
C ．32sin 24y x π
⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．32sin 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
14．若向量a ，b 满足2a b ==，a 与b 的夹角为60，则a b +等于（ ） A ．223+B ．3C ．4 D ．12
15．设00
0020132tan151cos50cos 22,,21tan 152
a b c -===+，则有（ ） A ．c a b << B ．a b c << C ．b c a << D ．a c b <<
二、填空题
16．已知θ为钝角，1sin()43
πθ+=，则cos2θ=______. 17．已知函数229sin cos ()sin x x f x x
+-=，2,63x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域为____． 18．空间四点,,,A B C D 满足3AB =，=7BC ，||=11CD ，||=9DA ，则
·AC BD =_______．
19．已知向量(1,2)a =，(2,)b λ=，(2,1)c =．若//(2)c a b +，则λ=________．
20．已知函数()cos()5f x x π
=-的对称轴方程为__________．
21．已知函数()2cos sin 2=-f x x x ，则()f x 的最大值是__________．
22．已知平面向量a 、b 满足||3a =，||2b =，a 与b 的夹角为60，若（a mb -）a ⊥，则实数m 的值是___________ .
23．已知0>ω，在函数sin y x ω=与cos y x ω=的图象的交点中，距离最短的两个交点
，则ω值为__________．
24．已知向量a b ，均为单位向量，a 与b 夹角为3
π，则|2|a b -=__________． 25．已知平面向量(,)a m n =，平面向量(,)b p q =，（其中,,,Z m n p q ∈）． 定义：(,)a b mp nq mq np ⊗=-+．若(1,2)a =，(2,1)=b ，则a b ⊗=_____________； 若(5,0)a b =⊗，且5a <，5b <，则a =_________，b =__________（写出一组满足此条件的a 和b 即可）．
三、解答题
26．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，222sin
2cos 22
B A a b b c +=+． （1）求B ；
（2）若6c =，[2,6]a ∈，求sin C 的取值范围． 27．在ABC △中，内角A B C ，，
所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.
（Ⅰ）求cos B 的值；
（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值. 28．如图，已知单位圆上有四点(1,0)E ，(cos ,sin )A θθ，(cos 2,sin 2)B θθ，(cos3,sin 3)C θθ，其中03π
θ<≤，分别设OAC ABC ∆∆、的面积为1S 和2S .
（1）用sin cos θθ，表示1S 和2S ；
（2）求12cos sin S S θθ
+的最大值及取最大值时θ的值． 29．某房地产开发商为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园．如图，已知扇形AOB 的圆心角4AOB π
∠=，半径为200米，现欲修建的花园为平行
四边形OMNH ，其中M ，H 分别在OA ，OB 上，N 在AB 上．设MON θ∠=，平行四边形OMNH 的面积为S .
（1）将S 表示为关于θ的函数；
（2）求S 的最大值及相应的θ值．
30．已知函数()3cos 22f x x x ππ⎛
⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）求函数()f x 的单调区间.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
2．A
3．B
4．B
5．D
6．C
7．D
8．C
9．A
10．D
11．C
12．C
13．C
14．B
15．A
二、填空题
16．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；
17．【解析】【分析】先将函数化简整理则根据函数性质即可求得值域【详解】由题得令构造函数求导得则有当时单调递减当时单调递增t=1时为的极小值故由可得又则的值域为【点睛】本题考查求三角函数的值域运用了求导和
18．0【解析】【分析】由代入再由代入进一步化简整理即可【详解】因为故答案为0【点睛】本题主要考查向量的数量积运算灵活运用数量积的运算公式即可属于常考题型
19．【解析】【分析】首先由的坐标利用向量的坐标运算可得接下来由向量平行的坐标运算可得求解即可得结果【详解】因为所以因为所以解得即答案为【点睛】该题是一道关于向量平行的题目关键是掌握向量平行的条件
20．【解析】分析：令解出即可详解：函数对称轴方程为故答案为：点睛：考查了余弦函数的图像的性质》
21．【解析】分析：对函数求导研究函数的单调性得到函数的单调区间进而得到函数的最值详解：函数设函数在故当t=时函数取得最大值此时故答案为：点睛：这个题目考查了函数最值的求法较为简单求函数的值域或者最值常用
22．3【解析】∵∴∴∴∴故答案为3
23．【解析】由题意令则所以即当；当如图所示由勾股定理得解得
24．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为
25．（05）【解析】【分析】【详解】本题自定义：（其中）已知若则=又且则不妨在内任取两组数和为了满足即取和此时恰好满足则
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证．
【详解】
DC BC BD =-，DC AC AD =-，
∴AC AD BC BD -=-，
∴AC BD BC AD +=+．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的加减法及其几何意义，属于容易题．
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
由AB DC =可得四边形为平行四边形，由AC ·BD ＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．
【详解】
∵AB DC =，
∴AB 与DC 平行且相等，
∴四边形ABCD 为平行四边形．
又0AC BD ⋅=，
∴AC BD ⊥，
即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直，
∴平行四边形ABCD 为菱形．
故选A ．
【点睛】
本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题．
3．B
解析：B
【解析】
不妨设(1,0)a =，13(,22
b =，(,)
c x y =，则2(,c a b x y -+=+，所以
22(3)2c a b x -+=+=，即22(4x y +=，点(,)x y 在以(0,为圆
心，2为半径的圆上，所以2c x =+2+．故选B ．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据平面向量基本定理可知(),c a b R λμλμ=+∈，从而将方程整理为
()()20x a x b λμ+++=，由,a b 不共线可得200x x λμ⎧+=⎨+=⎩，从而可知方程组至多有一个
解，从而得到结果. 【详解】
由平面向量基本定理可得：(),c a b R λμλμ=+∈
则方程20ax bx c ++=可变为：20ax bx a b λμ+++=
即：()()20x a x b λμ+++= ,a b 不共线 200x x λμ⎧+=∴⎨+=⎩
可知方程组可能无解，也可能有一个解
∴方程20ax bx c ++=至多有一个解
本题正确选项：B
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用定理将方程进行转化，利用向量和为零和向量不共线可得方程组，从而确定方程解的个数.
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
结合题意线性表示向量CM ，然后计算出结果
【详解】
依题意得：
121211215)333333333232
CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ． 【点睛】
本题考查了向量之间的线性表示，然后求向量点乘的结果，较为简单
6．C
解析：C
【解析】 试题分析：()1sin()cos()sin 2222y x x x ϕϕϕ=++=+将其向右平移8
π个单位后得到：11sin 2sin 22824y x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭，若为偶函数必有：()42k k Z π
π
ϕπ-=+∈，解得：()34
k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，D 正确，1k =-时，B 正确，当2k =-时，A 正确，综上，C 错误.
考点：1.函数的图像变换；2.函数的奇偶性.
7．D
解析：D
【解析】
【分析】 利用向量三角形法则得到：1212++3333
CP CA CB a b ==得到答案. 【详解】
利用向量三角形法则得到： 221212++()++333333
CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB a b =+==-== 故选：D
【点睛】
本题考查了向量的表示，也可以利用平行四边形法则得到答案.
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据三角形内角和及两角和的正弦公式化简，利用三角函数性质求解.
【详解】
在ABC ∆中,由()sin 2sin cos C B C B =+可得sin()2sin cos A B A B +=,化简sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=,即in 0()s A B -=，由0,0A B ππ<<<<知A B ππ-<-<，所以0A B -=,故选C.
【点睛】
本题考查了三角形中内角和定理及两角和差的正弦公式的应用，属于中档题.解题的关键是对三角恒等式的变形.
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
由三角函数的诱导公式，求得2sin 3，再由三角函数的基本关系式，求得5cos α3
， 最后利用三角函数的基本关系式，即可求解tan(2)πα-的值，得到答案.
【详解】
由三角函数的诱导公式，可得2sin()sin 3παα-==-， 因为(,0)2απ∈-，所以25cos 1sin 3
αα=-=， 又由sin 25tan(2)tan cos 5απααα-=-=-
=，故选A. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简、求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．D
解析：D
【解析】
试题分析：由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A
再注意到：
，所以有，故知△ABC 是等腰
三角形或直角三角形，故选D.
考点：三角恒等变形公式. 11．C
解析：C
【解析】
试题分析：因为0,AB CD AB DC +=∴=,所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为()0,0AB AD AC DB AC -⋅=∴⋅=,所以BD 垂直AC ，所以四边形ABCD 为菱形. 考点：向量在证明菱形当中的应用.
点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
令
7
π
α=，则
7
n n π
α=，当1≤n≤14时，画出角序列n α终边如图，
其终边两两关于x 轴对称，故有均为正数，
而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k 时，Sn>0， 而
，其中k=1,2,…,7，所以在
中有14个为0，其余
都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C.
13．C
解析：C 【解析】 【分析】
由图观察出A 和T 后代入最高点，利用φπ<可得ϕ，进而得到解析式． 【详解】
由图象可知2A =，因为884
π
ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 所以T π=，2ω=. 当8
x π
=-
时，2sin 228πφ⎛⎫
-
⋅+= ⎪⎝⎭
， 即sin 14πφ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，又φπ<， 解得34πφ=.故函数的解析式为32sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭. 故选C. 【点睛】
本题考查由()y sin A x ωϕ=+的部分图象确定函数表达式，属基础题．
14．B
解析：B 【解析】 【分析】
将a b +平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式.
因为2
2
2
2cos 6044412a b a a b b +=+︒+=++=，所以23a b +=， 故选：B. 【点睛】
本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算xa yb +这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去计算模长.
15．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用两角差的正弦公式化简a ，分子分母同乘以2cos 15结合二倍角的正弦公式化简b ，利用降幂公式化简c ，从而可得结果. 【详解】
()sin 302sin28a =︒-︒=︒ ，
222sin15cos15
sin 30cos 15cos 15
b =
=+sin28a >=
sin25sin28,c a b a c ==︒<︒=∴>>，故选A.
【点睛】
本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，两角差的正弦公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
二、填空题
16．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；
解析：9
-
【解析】 【分析】
将2θ改写成2()4
2
π
π
θ+-
的形式，利用二倍角公式计算cos2θ的值，代入相关数值.
【详解】
因为cos2cos[2()]sin[2()]424
π
ππθθθ=+-=+，所以cos 22sin()cos()44ππ
θθθ=++；
因为1
sin()04
3π
θ+
=
>且θ为钝角，所以()4
πθ+是第二象限角，则
cos()43πθ+==-
，故cos 22sin()cos()449
ππθθθ=++=-. 【点睛】
（1）常见的二倍角公式：
sin 22sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ；
（2）常用的角的配凑：()ααββ=-+，()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++- ，
2()()βαβαβ=+--.
17．【解析】【分析】先将函数化简整理则根据函数性质即可求得值域【详解】由题得令构造函数求导得则有当时单调递减当时单调递增t=1时为的极小值故由可得又则的值域为【点睛】本题考查求三角函数的值域运用了求导和
解析：2311,2⎡⎫
⎪⎢⎣
⎭
【解析】 【分析】
先将函数化简整理1()9sin sin f x x x =++，2,63
x ππ
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，则1sin (,1]2x ∈，根据函数性质即可求得值域。

【详解】
由题得1()9sin sin f x x x =++
，1sin (,1]2x ∈，令sin t x =，1
(,1]2
t ∈，构造函数1()g t t t =+，求导得21
'()1g t t
=-，则有当(,1)t ∈-∞时，'()0g t <，()g t 单调递减，当
(1,)t ∈+∞时，'()0g t >，()g t 单调递增，t=1时，'()0g t =，为()g t 的极小值，故由1(,1]2t ∈可得5()[2,)2g t ∈，又()9()f x g x =+，则()f x 的值域为23[11,)2.
【点睛】
本题考查求三角函数的值域，运用了求导和换原的方法。

18．0【解析】【分析】由代入再由代入进一步化简整理即可【详解】因为故答案为0【点睛】本题主要考查向量的数量积运算灵活运用数量积的运算公式即可属于常考题型
解析：0 【解析】 【分析】
由BD AD AB =-代入·AC BD ，再由AC AD DC AC AB BC ，=+=+代入进一步化简整理即可. 【详解】
因为()()()
······AC BD AC AD AB AC AD AC AB AD DC AD AB BC =-=-=+-+
()
()
22
2
2
22211
··22
AB AD DC AD AB BC AB AD DC AD DC AD AB =+--=++-+--
()
()()
22222222211111
22222
BC AB BC AB AD AC DC AD AB AC +++=+-+--+ ()()
()222222111
811219490222BC AB AD DC AB BC +
+=--+=--+=. 故答案为0 【点睛】
本题主要考查向量的数量积运算，灵活运用数量积的运算公式即可，属于常考题型.
19．【解析】【分析】首先由的坐标利用向量的坐标运算可得接下来由向量平行的坐标运算可得求解即可得结果【详解】因为所以因为所以解得即答案为【点睛】该题是一道关于向量平行的题目关键是掌握向量平行的条件 解析：2-
【解析】 【分析】
首先由,a b 的坐标，利用向量的坐标运算可得2(4,4)a b λ+=+，接下来由向量平行的坐标运算可得412(4)λ⨯=+，求解即可得结果. 【详解】
因为(1,2),(2,)a b λ==，所以2(4,4)a b λ+=+， 因为(2)c a b +，(2,1)c =， 所以412(4)λ⨯=+，解得2λ=-， 即答案为2-. 【点睛】
该题是一道关于向量平行的题目，关键是掌握向量平行的条件.
20．【解析】分析：令解出即可详解：函数对称轴方程为故答案为：点睛：考查了余弦函数的图像的性质》 解析：ππ,5
x k k z =+∈
【解析】 分析：令=,5
x k k z π
π-
∈，解出即可.
详解：函数()cos 5f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，对称轴方程为=,5
x k k z π
π-
∈，,5
x k k z π
π=
+∈
故答案为：π
π,5
x k k z =+
∈. 点睛：考查了余弦函数的图像的性质》
21．【解析】分析：对函数求导研究函数的单调性得到函数的单调区间进而得
到函数的最值详解：函数设函数在故当t=时函数取得最大值此时故答案为：点睛：这个题目考查了函数最值的求法较为简单求函数的值域或者最值常用
【解析】
分析：对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的单调区间，进而得到函数的最值. 详解：函数()2cos sin2f x x x =-，()2
2sin 2cos24sin 2sin 2,f x x x x x =----'=
设()()[]
2
sin ,422,1,1t x f x g t t t t ===--∈-'，函数在11-1-122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
，
故当t=12-
时函数取得最大值，此时,6
62x f π
π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭
. 点睛：这个题目考查了函数最值的求法，较为简单，求函数的值域或者最值常用的方法有：求导研究单调性，或者直接研究函数的单调性，或者应用均值不等式求最值.
22．3【解析】∵∴∴∴∴故答案为3
解析：3 【解析】
∵()
a m
b a -⊥
∴()0a mb a -⋅=
∴2
cos ,0a m a b a b -⋅⋅〈〉= ∴932cos600m -⨯⨯⨯︒= ∴3m = 故答案为3
23．【解析】由题意令则所以即当；当如图所示由勾股定理得解得 解析：π
【解析】
由题意，令sin cos x x ωω=， sin cos 0x x ωω-=，则sin 04x πω⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，所以
4
x k π
ωπ-
=， k Z ∈，即14x k ππω⎛⎫=
⋅+ ⎪⎝⎭，当10,4k x πω==， 1y =
251,4k x πω==
， 2y =()()
2
2
2
2121y y x x -+-=
，解得ωπ=.
24．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数
量积为所以所以故答案为 3
【解析】 【分析】 【详解】
由已知得到向量a ，b 的数量积为1
cos 3
2
a b π
⋅==
，所以22
2|2|444213a b a a b b -=-⋅+=-+=，所以23a b -=，故答案为3.
25．（05）【解析】【分析】【详解】本题自定义：（其中）已知若则=又且则不妨在内任取两组数和为了满足即取和此时恰好满足则
解析：（0,5） (2,1) (2,1)- 【解析】 【分析】 【详解】
本题自定义：(),a m n =，(),b p q =，（其中,,,Z m n p q ∈）
(,)a b mp nq mq np ⊗=-+ ，
已知若()1,2a =，()2,1b =，则a b ⊗=(1221,1122)(0,5)⨯-⨯⨯+⨯=.
又()5,0a b ⊗=，且5a <，5b <，则22
5,0,25mp nq mq np m n -=+=+<，
2225p q +< ，不妨在[5,5]-内任取两组数(,)m n 和(,)p q ，为了满足0mq np +=，即
m p
n q
=-，取(1,2)和(2,1)-，此时恰好满足5mp nq -=，则(1,2),(2,1)a b ==-.
三、解答题 26．
（1）3B π
=；（2）3⎤
⎥⎣⎦
. 【解析】 【分析】
（1）利用二倍角公式和正弦定理以及两角和与差的正弦公式进行化简，求解出cos B 的值
后即可求出B 的值；
（2）根据余弦定理先求解出b 的取值范围，然后根据sin sin c B
C b
=求解sin C 的取值范围. 【详解】
（1）已知得2
(1cos )12cos
2A a B c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝
⎭
， 由正弦定理得sin sin cos sin sin cos A A B C B A -=-，
即sin sin sin()sin()A C A B A B =+-=++sin()2sin cos A B A B -=， ∴1
cos 2
B =
，解得3B π=．
（2）由余弦定理得22222
2cos 636(3)27b a c ac B a a a =+-=-+=-+，
∵[2,6]a ∈，∴b ∈，sin sin 2c B C b ⎤
=∈⎥⎣⎦
． 【点睛】
本题考查解三角形的综合应用，难度一般.
（1）解三角形的边角化简过程中要注意隐含条件A B C π++=的使用；
（2）求解正弦值的范围时，如果余弦值的范围容易确定也可以从余弦值方面入手，若余弦值不容易考虑则可以通过正弦定理将问题转化为求解边与角的正弦的比值范围.
27．
(Ⅰ) 14
-；
(Ⅱ) 【解析】 【分析】
(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到,,a b c 的比例关系，然后利用余弦定理可得cos B 的值 (Ⅱ)利用二倍角公式首先求得sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的正弦公式可得
sin 26B π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值.
【详解】
(Ⅰ)在ABC △中，由正弦定理
sin sin b c
B C
=得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =. 又因为2b c a +=，得到43b a =
，23
c a =.
由余弦定理可得222cos 2a c b B ac +-=
2
224161992423
a a a
a a +-==-⋅⋅. (Ⅱ)由(Ⅰ)
可得sin 4
B ==，
从而sin 22sin cos B B B ==22
7cos 2cos sin 8B B B =-=-.
故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛
⎫
+=+=⨯= ⎪
⎝
⎭. 【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
28．
(1) 11
sin 22
S θ=，()2sin 1cos S θθ=-； (2)
12cos sin S S θθ+
的最大值为1
2
，此时θ的值为3π.
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：解(1)根据三角函数的定义, 知,2,3,xOA xOB xOC θθθ∠=∠=∠= 所以xOA AOB BOC θ∠=∠=∠=, 所
()111
11sin 3sin 222
S θθθ=
⋅⋅⋅-=. 又因为12S S +=四边形OABC 的面积＝11
11sin 11sin sin 22
θθθ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=, 所以()21
sin sin 2sin 1cos 2
S θθθθ=-=-. (2)由(1)知
(
)12sin 1cos sin cos sin cos 11cos sin cos sin 4S S θθθθπθθθθθθθ-⎛
⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝
⎭. 因为03
π
θ<≤, 所以4
4
12
π
π
π
θ-
<-
≤
,
所以sin()sin 412ππ
θ<-≤= 所以
12cos sin S S θθ+
, 此时θ的值为3π.
考点：三角函数的性质
点评：主要是考查了三角函数的性质以及二倍角公式的运用，属于基础题．
29．
（1）()40000cos sin sin S θθθ=-，0,4πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
（2）当8
θπ
=时，S 取得最大值(
)
2000021-平方
【解析】 【分析】
（1）分别过N 作NP OA ⊥于P ，过H 作HE OA ⊥于E ，利用三角函数，求出HN 和
NP 长度，即可求出S 关于θ的函数.
（2）利用二倍角和辅助角公式化简函数解析式，通过θ的范围求出S 的最大值及相应的θ值. 【详解】 （1）如图，
过N 作NP OA ⊥于P ，过H 作HE OA ⊥于E ， ∵4
AOB π
∠=
，
∴200sin OE EH NP θ===，200cos OP θ=， ∴()200cos sin HN EP OP OE θθ==-=-， ∴()40000cos sin sin S HN NP θθθ=⋅=-，0,
4πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
. （2）(
)
2
11cos 240000cos sin sin 40000sin 222S θθθθθ-⎛⎫
=-=-
⎪⎝⎭
()20000sin 2cos 21200002214πθθθ⎡⎤⎛
⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎦，
∵0,4πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，∴
32,444θπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴当242θππ+=，即8
θπ
=时，S 取得最大值，且最大值为(
)
2000021平方米.
【点睛】
本题第一问考查三角函数在解决实际问题的应用.第二问考查三角函数的化简，最值问题，
考查学生的计算能力和转化思想的应用，属于中档题.
30．
(1) ()f x 的最小正周期为2π (2) ()f x 的单调增区间为()72,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：（1）化简函数的解析式得()2sin 3f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，根据周期公式求得函数的周期；（2）由()222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+
≤
+∈，求得x 的取值范围即为函数的单调增
区间，由
()3222
3
2
k x k k Z ，π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈求得x 取值范围即为函数的单调减区间。

试题解析：
（Ⅰ）()cos 22f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=
+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
sin x x =+
2sin 3x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
∴()f x 的最小正周期为2π. （Ⅱ）由()222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+
≤
+∈，，
得()52266
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈ ∴()f x 的单调增区间为()52,266k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢
⎥⎣⎦
由()3222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈，， 得
()7226
6
k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈ ∴()f x 的单调减区间为()72,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦。