2021-2022学年北师大版必修1 第二章 2

李善兰（1811~1882）
浙江海宁人，是我
示4个不同的未知数或变量。这个定义 国近代著名的数学、
的含义是：“凡是公式中含有变量x， 则该式子叫做x的函数.”所以，“函
天文学、力学和植 物学家。我国近代 数学教育的鼻祖。
数”是指等式里含有？
一次函数 y kx b，二次函数 y ax2 bx c，
1.电视《重案六组》中有这样一个情景：技术人员 根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高。你知道其 中的道理吗？ 2.小学生与职业相扑运动员，谁的饭量大？你能说 明理由吗？
上述两个问题中都涉及两个量的关系，这一节 课我们研究两个量的关系，研究怎样由一个量来确 定另一个量——这就是我们本节课要学习的函数。
例2中，从炮弹发射到落地的时间看成集合A，炮 弹高度看成集合B，在A中任意一时间t在B中是否 有唯一的高度h与它对应？是否有两个或多个高度 与时间对应？
例3中，从时间的集合{8,10,12,14,16,18}到温度 的集合{4.5,10.5，15.3，19.6,20.1,15.9}存在某种 确定的对应关系？某一时刻会对应两个气温吗？
函数是中学数学的主体内容，它与中学 数学很多内容都密切相关，初中的“函数及 其图象”就属于函数的内容；
高中我们将要学习的幂函数、指数函数、 对数函数、三角函数等都是函数内容的主体。 在学习函数及其图象的基础上，还学习函数 的单调性、奇偶性、最值、周期性、有界性 等等逐步来理解函数的概念。可见函数在整 个中学数学中的核心地位。
（3）你知道“函数”一词的来历吗？
我们使用的“函数”一词是转译
词。是我国清代数学家李善兰在翻译
《代数学》（1859年）一书时，把 “function”译成“函数”的。中国
古代“函”字与“含”字通用，都有
着“包含”的意思。李善兰给出的定
义是：“凡式中含天，为天之函数.”
中国古代用天、地、人、物4个字来表
高中数学必修1（北师大版）第二章第二节第一课时
§2 函数概念
“宇宙之大、粒子之 微、火箭之速、化工 之巧、地球之变、生 物之迷、日用之繁,数 学无处不在,凡是出现 ‘量’的地方就少不 了数学。”
——华罗庚
华罗庚（1910.11.12—1985.6.12）
创设情境
• 结合图片请学生思考以下两个问题：
• 集合A叫定义域，函数值的集合叫值域。 • 函数的三要素：定义域，值域，对应关系
问题5：函数概念的本质是什么？应注意什么？
• 函数是两个非空数集之间的对应关系，可 以是一对一或多对一的，但不能一对多的。 注意： A，B都是非空的数集； A中任意，B中唯一； 函数定义域为A，值域为 {y y f (x), x A} B ④f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积。
同一函数：具有相同 定义域和对应法则的 两个函数。
C. y ( x 1)2
D. y 3（x 1）3
深化理解
（1）寄信：一个信封上有两个地址“南郑中 学 王老师收”以及“大河坎中学 张老师收”， 此信发出去能收到吗？
（2）你知道“函”字的古意吗？ “函”字的古意：“盒子”“信封”，即传达 消息或指示的信件(古代寄信用木函) 。 例如：函仪(信件礼物)；函章(信件公文)；函 片(信件)；函札(书信)。
例2.一枚炮弹发射后，经过26秒落地击中目标，跑单 的射高是845米。由此我们可以得到炮弹离地面的高 度h随时间t变化的规律是 h 130t 5t2
例3.已知汉中某天6个整点时的气温绘制成的统计图, 如下图。
从以上3个实例中，请同学们思考：
例1中，时间t与路程S之间是否具有某种依赖关 系？能理解为一种对应吗？
2.函数小史
•
在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概
念日益渗透到科学技术的各个领域。纵览宇宙，
运算天体，探索热的传导，揭示电磁秘密等等，
这些都和函数概念息息相关。正是在这些实践
过程中，人们对函数的概念不断深化。
•
了解一下函数概念的发展史，对于学习了
函数概念的同学们来说，虽然不可能有深刻的
理解，但无疑对加深理解课堂知识，激发学习
抽象概括
问题3：综合上述几个例子，我们能发现他们有什 么共同特征？
从集合的角度看，两个集合存在某种确定的对 应关系。
问题4：函数能否看成两个集合间的对应关系？ 如果能，我们怎样给函数下一个定义呢？
• 函数的概念：设A，B是两个非空的数 集，如果按照某种确定的对应关系f： 使集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素f(x)与之对应， 那么就称对应关系f是定义在集合A上 的函数。
反比例函数 y k 等多项式类的函数都是广义的幂函
数。
x
幂函数 y x ,为常数 ；
指数函数 y ax，（a 0,且a 1）；
对数函数 y loga x，（a 0,且a 1）；
三角函数 y sin x, y cosx, y tanx, y cotx 和反
三角函数。在数学中，以上五类函数统称为基本初 等函数。
兴趣将是有益的。
•
最早提出函数（function）概念的，是17世纪
德国数学家莱布尼茨．最初莱布尼茨用“函数”一
词表示幂，如x,x2,x3都叫函数。以后他又用函数表
示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标。
•
1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利
把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结
应用巩固 练习1.（1）班上每个人的名字和自己的身 高能否看成函数关系？学号与身高呢？
（2）几个不同的平面图形的周长与面积是 一种函数关系吗？
（3）式子y=1是函数吗？为什么？ 是，y=1可化为y=0x+1
练习2. 与函数 y x 1是同一函数的是（ D ）
A. y x2 1
x 1
B. y （x 1）0
• 问题1：我们在初中学过哪些函数？
问题2：同学们还记得初中函数的定义吗？ 说说看！
我们在初中学习的函数的定义：设在一 个变化过程中有两个变量x，y，如果y的取 值随x的变化而变化，我们就说y是x的函数， x叫自变量，y叫函数值。
实例分析
例1. 假设某汽车行驶速度为60 Km/h，时间为t，则 路程表示为S=60t。