四川省宜宾市第四中学2019届高三12月月考数学(理)试题(解析版)

2018年秋四川省宜宾市四中高三12月考试数学（理科）试题
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填在机读卡上 第Ⅱ卷可在各题后直接作答。

全卷共150分，考试时间120分钟.
第I 卷(选择题共60分)
一．选择题(本大题共12题，每小题5分，共60分)
1.设全集为R ，函数()22f x x -M ，则R C M 为 （ ） A. (－∞，1) B. (1，＋∞) C. (－∞，1] D. [1，＋∞) 【答案】A 【解析】 【分析】
求出函数f （x ）的定义域M ，再写出它的补集即可． 【详解】全集为R ，函数()
22f x x - M ＝{x |22x -?0}＝{x |x ³1}， 则∁R M ＝{x |x<1}＝(－∞，1)． 故选：A ．
【点睛】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题目． 2.已知复数2z i =+ ，则zz 的值为 （ ） A. 3355【答案】C 【解析】 【分析】
由z 求出z ，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解． 【详解】由z ＝2i +，得z •z =（2﹣i ）（2+i ）＝4﹣i 2＝5． 故选：C ．
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．
3.已知1
(2)n x x 展开式的各个二项式系数的和为128，则1(2)n x x
的展开式中2x 的系数（ ） A. 448 B. 560 C. 7 D. 35 【答案】A
【解析】
∵1n
x 展开式的各个二项式系数的和为128
∴2128n =，则7n =，即71
1(2)(2)n x x x x
=.
设71)x 的通项公式为737721771(2)()2r r r r r r
r T C x C x x
---+==.
令
7322
r
-=，则1r =.
∴1
n
x 的展开式中2x 的系数为61
72647
448C =?.
故选A.
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可；
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 4.已知1sin 64x p 骣琪+=琪桫,则2cos 3x p 骣琪-琪桫
值为（ ）
A.
14 B. 34 C. 1516 D.
1
16
【答案】D 【解析】
分析：由题意结合诱导公式求得cos 3x p
骣琪-琪桫
的值，然后求解其平方即可.
详解：由诱导公式可得：1
cos cos sin 3266
4x x x p p
p
p 轾骣骣骣犏琪琪琪-=-+=+=琪琪琪
犏桫桫桫臌， 则2
211cos 3416
x p 骣骣琪琪-==
琪琪
桫桫
.
本题选择D 选项.
点睛：本题主要考查诱导公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5.函数()
sin ln f x x x =?的图象大致是（ ）
【答案】A 【解析】
试题分析：因为()()()sin ln sin ln f x x x x x
f x -=-?=-?-,所以函数()sin ln f x x x =?为奇函数，
图像关于原点对称,故排除BC,当(),2x p p Î时，()
0f x <,故排除D ．故A 正确． 考点：函数图像．
6.已知,a b 为两个平面，l 为直线，若,l a b a b
^?，则下面结论正确的是（ ）
A. 垂直于平面b 的平面一定平行于平面a
B. 垂直于平面l 的平面一定平行于平面a
C. 垂直于平面b 的平面一定平行于直线l
D. 垂直于直线l 的平面一定与平面,a b 都垂直 【答案】D 【解析】
因为,a b 相交不一定垂直，所以垂直于b 的平面可能与平面a 相交，A 不正确； 垂直于直线l 的直线可能在平面a 内，B 不正确；
如图可知，垂直于b 的平面g 与l 垂直，C 不正确； 设l g ^，而,l l
a b 烫，由面面垂直判定可得,a g b g ^^，D 正确，故选D
7.设不等式组0101x y ì＃ïí
＃ïî
表示的平面区域为D ，在区域D
内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1
的概率是（ ） A.
4p B. 22p - C. 6p D. 44
p
-
【答案】A 【解析】
试题分析：由表示的平面区域为D ，为一个边长为1的正方形，而在D 内随机取一个点，则此点
到点(1,1)的距离大于1，可转而找出到点(1,1)的距离小于等于1的点为；以(1,1)为圆心，半径为1的圆，落在D 内的面积为
14p ，而距离大于1的面积为：114p -，
由几何概型，化为面积比得：14144
P p
p -=-=． 考点：几何概型的算法．
8.已知11a =，1()n n n a n a a +=-（*n N Î），则数列{}n a 的通项公式是 （ ） A. 21n - B. 1
1()n n n
-+ C. n D. 2n 【答案】C 【解析】
由()1n n n a n a a +=-，得：()
11n n n n a a ++=，11n n
a a n n
+=+ ∴n a n
禳镲睚镲铪为常数列，即1
11
n a a n ==，故n a n = 故选：C
9.若函数2()2f x x ax =-+与()1
a
g x x =
+在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围 （ ） A. (1,0)(0,1)-? B. (1,0)(0,1]-? C. (0,1) D. (0,1] 【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数()22f x x ax =-+在[,)a +?上是减函数可知1a £，()
1
a
g x x =+在[]
1,2上是减函数可知0a >，即可求出a 的取值范围.
【详解】由二次函数()22f x x ax =-+的对称轴为x a =，且在区间[]
1,2上是减函数，则
1a £，又()1
a
g x x =
+在区间[]
1,2上是减函数，所以0a >， 综上01a <?，故选D.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性，属于中档题.
10.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，2AB =，23AC =60ABC
?，且棱锥O ABC -的体积
O 的表面积为 ( ) A. 10p B. 24p C. 36p D. 48p 【答案】A 【解析】
2,23,60AB AC ABC ==? 223160,302
c a b C sinC C sinC sinA sinB sinC \
==<==，，， 290,2124A BC \?+=
∵A ，B ，C 是球O 的球面上三点 ∴截面圆的圆心为AC 中点，半径为2 ∵棱锥O−ABC 46 ， 222114622322(22)21232d d R \
创创=\==+=， ， ∴球O 的表面积为：2448R p p = ， 本题选择D 选项.
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
11.已知函数2()22x x f x xe kx e kx =--+只有一个零点，则实数k 的取值范围为 ( )
A. (,]e -?
B. [0,]e
C. (,)e -?
D. [0,)e
【答案】D 【解析】
∵函数()
222x x f x xe kx e kx =--+ ∴()()(2)x f x e kx x =--
若函数()
f x 只有一个零点，则2x =是唯一的零点，故x y e kx =-无零点，等价于x y e =与y kx =无交点. 画出函数的图象，如图所示：
由图象可得0k ³.
设x y e =与y kx =的切点坐标为00(,)x A x e .
∴00
00
x x e e x -=-，则01x =，即k e =.
∴[0,)k e Î时，图象无交点，即函数()
f x 只有一个零点. 故选D.
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
12.已知直线l 的倾斜角为45，直线l 与双曲线22
2
2x y :-=1a>0,b>0)a b
C （ 的左、右两支分别交于M 、N 两点，且12
,MF NF 都垂直于x 轴（其中12,F F 分别为双曲线C 的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )
55-15+1
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意设点(,)M c y -，(,)N c y -，则12MF NF y
==，又由直线l 的倾斜角为45°，得12=MF NF y c ==，结合点在双曲线上，即可求出离心率.
【详解】
直线l 与双曲线的左、右两支分别交于M 、N 两点，且1 M F 、2NF 都垂直于x 轴，
\根据双曲线的对称性，设点(,)M c y -，(,)N c y -，
则22221c y a b -=，即22
=c a y a
-，且12MF NF y ==， 又
直线l 的倾斜角为45°，
\直线l 过坐标原点，=y c ，
\
22=c a c a -，整理得22=0c ac a --，即21=0e e --，解方程得5+1
e 5-1e 故选D.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.
圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法： 1、通过已知条件构建关于a c 、的齐次方程，解出e .
根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助a b c 、、之间的关系，得到关于e 的一元方程，从而解得离心率.
2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出e .
根据题设条件，借助a b c 、、表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于e 的一元方程，从而解得离心率.
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数f （x ）=3x +ax+1的图象在点（1，f （1））处的切线过点（-1,1），则a=_______． 【答案】-5 【解析】 【分析】
求出函数的导数f′（x ）=3x 2+a ，f′（1）=3+a ，而f （1）=a+2,根据点斜式得到程，利用切线的方程经过的点求解即可．
【详解】函数f （x ）=x 3+ax+1的导数为：f′（x ）=3x 2+a ，f′（1）=3+a ，而f （1）=a+2， 切线方程为：y ﹣a ﹣2=（3+a ）（x ﹣1），因为切线方程经过（-1，1）， 所以1﹣a ﹣2=（3+a ）（-1﹣1）， 解得a=-5． 故答案为：-5.
【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.
14.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为1，1，2，3，5，8¼，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{}n a 为“斐波那契”数列，n S 为数列{}n a 的前项和，若2020a =M 则2018=S __________．(用M 表示) 【答案】1M - 【解析】
分析：由“斐波那契”数列定义找n S 与2n a +的关系。

由定义可得21n n n a a a ++=+，依次迭代可得211121n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++----=+=++=+++ 1211n n n a a a a --=
=+++++。

进而可得
11
21
n n n n S a a a
a -+
=++
+
=-。

可求得2018202011S a M =-=-。

详解：由“斐波那契”数列可知
21112n n n
n n n n n n n a a a a a a a a a a ++----=+=++=+++
1211
n n n a a a a --=
=+++++ 。

所以1121n n n n S a a a a -+=+++=- ，
所以2018202011S a M =-=-
点睛：有关数列求和问题，若是等差、等比数列，应根据等差、等比数列的前n 项和公式求解；若不是等差、等比数列，看能否构造等差、等比数列，再用等差、等比数列的前n 项和公式求解；其它特殊数列，应根据特殊数列的定义求解，如“斐波那契”数列，应根据其定义21n n n a a a ++=+，依次迭代寻找前n 项和与2n a +的关系，进而求解。

15.学校艺术节对同一类的,,,A B C D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位
同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说：“A 作品获得一等奖”；乙说：“C 作品获得一等奖”
丙说：“,B D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是A 或D 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是__________． 【答案】C. 【解析】
若A 获得一等奖,则甲、丙、丁的话是对的,与已知矛盾;若B 获得一等奖,则四人的话是错误的,与已知矛盾;若C 获得一等奖,则乙、丙的话是对的,满足题意;所以获得一等奖的作品是C .
16.已知直线1(0)y kx k =+?交抛物线24x y =于E 和F 两点，以EF 为直径的圆被x 轴截得的弦长为则k =__________ . 【答案】1± 【解析】 由2
14y kx x y ì=+ïí
=ïî
消去y 整理得2
440x kx --=， 设1122(,),(,)E x y F x y ， 则12124,4x x k x x +==-，
∴21212()242y y k x x k +=++=+．
由抛物线的定义可得212244EF y y k =++=+， ∴以EF 为直径的圆的半径为
21222EF k =+，圆心到x 轴的距离为2121
()212
y y k +=+． 由题意得22222(22)(7)(21)k k +=++， 解得1k =?． 答案：1±
三．解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知1
()3
x f x =
，()g x 为()f x 的反函数，不等式1()3f x <?的解集为M (I)求集合M ； (II)当x M Î时，求函数1
()g x
-
的值域. 【答案】（1）[)1,0-；（2）(]
,0-?
【解析】 试题分析：
（1）由题意得不等式133x -<?，解不等式即可得到集合M ；（2）先求反函数，进而得到1g x
骣琪-琪桫的解析式，
再求函数的值域。

试题解析：
（1）∵ ()
13f x <?，即133x -<?， ∴01x <-? 解得10x
-?。

故[)
1,0M =-。

（2）∵()
1
33
x x y f x -==
=， ∴3log x y =-，即3()log g x x =-。

∴3311
()log ()log ()g x x x
-
=--=-， ∵10x -?，
∴01x <-?， ∴31
()log ()0g x x
-
=-?， ∴函数1g x
骣琪-琪
桫的值域为(]
-0¥，。

18.ABC D 中，角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=3，6
2p ，
(I)求b 的值； (II)求ABC D 的面积. 【答案】（1）3223
22
【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用正弦定理及同角三角函数之间的关系求解；（2）借助题设运用诱导公式及三角变换公式求解. 试题解析：
骣6 （1）因 0 < A < p ，故 sin A = 1 - cos A = 1 - 琪 琪3 桫
2
2
=
3 ……1 分 3
因B = A+
骣 p p 6 .……3 ，故 sin B = sin 琪 分 A+ = cos A = 琪 2 3 桫 2
3´ 6 3 = 3 2 .……6 分 3 3
a sin B a b 由正弦定理 ，得 b = = = sin A sin B sin A
（2） cos B = cos 琪 A+ 琪
骣 p 3 ……8 分 = - sin A = 3 桫 2
sin C = sin 轾 p - ( A + B) = sin ( A + B) 臌
= sin A cos B + cos A sin B
= 3 骣 3 6 6 ?琪 + ? 琪 3 桫 3 3 3 1 ……10 分 3
1 1 1 D ABC 的面积为 ab sin C = 创 3 3 2? 2 2 3
3 2 .……12 分 2
考点：诱导公式、三角变换公式及正弦定理等有关知识的综合运用.
19.如图， 在四棱锥 P - ABCD 中， 底面 ABCD 为边长为 2 的菱形，? DAB 面 ABCD ，点 F 为棱 PD 的中点.
面A D P ^ 60 ，? ADP 90 ，
（Ⅰ）在棱 AB 上是否存在一点 E ，使得 AF / / 面 PCE ，并说明理由； （Ⅱ）当二面角 D - FC - B 的余弦值为 【答案】 （1）见解析； （2） 45 . 【解析】 试题分析： （1）取 PC 的中点 Q ，连结 EQ 、 FQ ，可证，四边形 AEQF 为平行四边形.
11
1 时，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角. 4


则 AF / / EQ ，又 EQ Ì 平面 PEC ， AF Ë 平面 PEC ，所以， AF / / 平面 PEC .故在棱 AB 上存在点 E ， 使得 AF / / 面 PCE ，点 E 为棱 AB 的中点. （2）可证 PD ^ 面 ABCD ，故以 D 为坐标原点建立如图空间坐标系，求出相应点及相应向量的坐标可求直 线 PB 与平面 ABCD 所成的角. （1）在棱 AB 上存在点 E ，使得 AF / / 面 PCE ，点 E 为棱 AB 的中点. 理由如下： 取 PC 的中点 Q ，连结 EQ 、 FQ ， 由题意， FQ / / DC 且 FQ = 故 AE / / FQ 且 AE = FQ . 所以，四边形 AEQF 为平行四边形. 所以， AF / / EQ ，又 EQ Ì 平面 PEC ， AF Ë 平面 PEC ， 所以， AF / / 平面 PEC . （2）由题意知 D ABD 为正三角形，所以 ED ^ AB ，亦即 ED ^ CD ， 又 ? ADP
1 1 CD ， AE / / CD 且 AE = CD ， 2 2
90 ，
所以 PD ^ AD ，且面 ADP ^ 面 ABCD ，面 ADP Ç 面 ABCD = AD ， 所以 PD ^ 面 ABCD ，故以 D 为坐标原点建立如图空间坐标系， 设 FD = a ，则由题意知 D 0,0,0 ， F 0,0, a ， C 0, 2,0 ， B
(
)
(
)
(
)
(
3,1, 0 ，
)
FC = ( 0, 2, - a) ， CB =
(
3, - 1, 0 ，
)
设平面 FBC 的法向量为 m = x, y, z ， 则由 í
(
)
ì ï m ? FC 0 得 ì ï 2 y - az = 0 ， í ï m ? CB 0 ï î 3x - y = 0 î
2 3 ， a
令 x = 1 ，则 y = 3 ， z =
所以取 m = 琪 1, 3,
骣 琪 桫
2 3 ， a
显然可取平面 DFC 的法向量 n = 1,0,0 ，
(
)
12


由题意：
1 = cos m, n 4
=
1 12 1+3 + 2 a
，所以 a = 1 .
由于 PD ^ 面 ABCD ，所以 PB 在平面 ABCD 内的射影为 BD ， 所以 ÐPBD 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角， 易知在 Rt D PBD 中 tan? PBD
PD = 1，从而 ? PBD 45 ， BD
所以直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45 .
20.已知数列 {an } 前 n 项和为 Sn ，满足 Sn = 2an - n ， (I)求证：存在实数 l 数使得列 {an + l } 是等比数列； (II)设 bn = (2n +1)(an +1) ，求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 【答案】 （1）见解析； （2） 2 + 2n - 1 2n+1 【解析】 试题分析：(1)由 Sn = 2an - n 得到数列 {an } 的递推关系，利用等比数列的定义加以证明；(2)由（1）问明 确数列 {bn } 的通项，进而利用错位相减法求和. 试题解析： (1） （1）当 时， ， 设 ，则 ， （2）当 时，
(
)
是以 2 为首项，2 为公比的等比数列. (2)由(1）得 ， ，
13


点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在 写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达 式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解. 21.已知函数 f ( x) = ax -
a - 4 ln x 的两个极值点 x1 , x2 满足 x1 < x2 ，且 e < x2 < 3 ，其中 e 为自然对数的底数. x
（Ⅰ）求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）求 f ( x2 ) - f ( x1 ) 的取值范围. 【答案】 （Ⅰ） a Î（ , 【解析】 分析： （Ⅰ）由题设有 f¢ ( x) =
6 4e （Ⅱ） f ( x2 ) - f ( x1 ) ? )； 5 e 2 +1
骣 32 16 . 琪 8ln3, - 2 琪 e +1 桫5
ax 2 - 4 x + a ， 因 为 f ( x) 有 两 个 极 值 点 x1 , x2 且 x1 < x2 ， 所 以 x2
ì ï S ( 3) > 0 ï î S ( e) < 0
S ( x) = ax2 - 4x + a 有两个不同解为 x1 , x2 ，故 x1 x2 = 1，结合题设有 0 < x1 <1 < e < x2 < 3 ，从而 í
得到
6 4e <a < 2 . 5 e +1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 x1 x2 = 1，所以 f x2 - f x1 = f x2 - f 琪 琪 x
( )
( )
( )
骣 1 桫2
，又 a =
4 x2 ，从而 2 x2 +1
f ( x2 ) - f ( x1 ) =
2 8( x2 - 1) - 8ln x2 ，其中 x2 Î ( e,3) ，利用导数可以求出该函数的值域. 2 x2 +1
2
a 4 ax - 4 x + a 详解： （Ⅰ） f ¢ ， ( x) = a + 2 - = 2 x x x
由题意知 x1，x2 即为方程 ax 2 - 4 x + a = 0 的两个根.
ì 4 ï x1 + x2 = 由韦达定理： í a ，所以 a > 0 且 0 < x1 < 1. ï î x1 ? x2 1
14


令 S x = ax2 - 4x + a ， 则由 e < x2 < 3 可得 í
()
ì 4e ï S ( 3) > 0 ，解得 6 <a < 2 . 5 e +1 ï î S ( e) < 0
（Ⅱ） f ( x2 ) - f ( x1 ) = ax2 -
a a - 4ln x2 - ax2 + + 4ln x1 ， x2 x1
∵ x1 =
a 1 1 a 1 ，∴ f ( x2 ) - f ( x1 ) = ax2 - 4ln x2 + ax2 + 4ln = 2a( x2 - ) - 8ln x2 ， x2 x2 x2 x2 x2
2 8( x2 - 1) 4 x2 8x2 1 ，代入得 f ( x ) f ( x ) = ( x ) 8ln x = - 8ln x2 ， 2 1 2 2 2 2 2 x2 +1 x2 x2 +1 x2 +1
由（Ⅰ）知 a =
2 令 t = x2 ? (e2 ,9) ，于是可得 h(t ) =
8t - 8 - 4 ln t ， t +1
故 h¢ (t ) =
16 4 - 4(t 2 - 2t +1) - 4(t - 1)2 = = <0 (t +1) 2 t t (t +1)2 t (t +1)2
∴ h(t ) 在 (e2 ,9) 上单调递减， ∴ f ( x2 ) - f ( x1 ) ? (
32 16 8ln 3, - 2 ) . 5 e +1
点睛： （1）因为函数在 0, +?
(
) 上导数是存在的，所以函数的极值点即为导数的零点，也是对应的一元二次
方程的根，利用根分布就可以求出参数的取值范围. （2）复杂的多元函数的最值问题可以先消元处理，再利用导数分析函数的单调性从而求出函数的值域.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 已知某圆的极坐标方程为： r 2 -4 2 r cos 琪 q琪
骣 p +6=0 ． 桫 4
(I)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (II)若点 P（x，y）在该圆上，求 x+y 的最大值和最小值． 【答案】 （1） x2 + y 2 - 4x - 4 y + 6 = 0 ； （2）最大值为 6，最小值为 2． 【解析】 试题分析： （1）极坐标与直角坐标之间的关系是 {
x = r cosq y = r sin q
，以及 r
2
= x2 + y 2 ，应用此公式可相互转化；
（ 2 ） 圆 的 标 准 方 程 为 ( x - 2)2 + ( y - 2)2 = 2 ， 因 此 可 设 P 的 坐 标 为 (2 + 2 cos a , 2 + 2 sin a ) ， 即
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{
x = 2 + 2 cos a
p , 则有 x + y = 4 + 2(cos a + sin a ) = 4 + 2sin(a + ) ，最大（小）值即得.这实质是圆的参 4 y = 2 + 2 sin a
数方程的应用. 试题解析： （1） x2 + y 2 - 4x - 4 y + 6 = 0 ； （2）圆的参数方程为 {
x = 2 + 2 cos a , y = 2 + 2 sin a ,
所以 x + y = 4 + 2sin 琪 a+ 琪
骣 p ， 桫 4
那么 x＋y 最大值为 6，最小值为 2． 考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，圆的参数方程，三角函数的最值. 23.【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 f(x)= x-1 + x+1 ，P 为不等式 f（x）>4 的解集． (I)求 P； (II)证明：当 m， n Î P 时， mn+4 > 2 m + n ．
（Ⅰ） x x 2或x < - 2 ;（Ⅱ）见解析; 【答案】
【解析】 试题分析： （Ⅰ）利用绝对值的代数意义和零点分段讨论法去掉绝对值符号，得到分段函数，再利用函数的单 调性得到不等式的解集； （Ⅱ）通过平方、作差、分解因式进行证明即可．
{
}
2 x, x ³ 1, 试题解析： （Ⅰ） f ( x) = x - 1 + x +1 = {2, - 1 < x < 1, - 2 x, x ? 1.
由 f x 的单调性及 f x = 4 得， x > 2 或 x < - 2 ． 所以不等式 f x > 4 的解集为 P = {x x 2或x < - 2} . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 m > 2 ， n > 2 ，所以 m2 > 4 ， n2 > 4 ，
()
()
()
( mn + 4)
(
2
- 4 ( m + n) = m 2 - 4 n 2 - 4 > 0 ，
2
(
)(
)
所以 mn + 4
)
2
> 4 ( m + n) ，
2
从而有 mn + 4 > 2 m + n ．
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。