数学一模重难点板块--一元二次方程

1
-b ± b 2
- 4ac 数学一模重难点板块-----一元二次方程
本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主,既有单独考查,也有和二次函数结合考察最值问题,年年考查,分值为 20 分左右,预计 2021 年各地中考还将继续考查上述的几个题型,为避免丢分,学生应扎实掌握.
一、一元二次方程的概念
1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程．
2．一般形式： ax 2 + bx + c = 0（其中 a , b , c 为常数， a ≠ 0 ），其中ax 2 , bx , c 分别
叫做二次项、一次项和常数项， a , b 分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意 a ≠ 0 ，因为当a = 0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是 2． 二、一元二次方程的解法
1．直接开平方法：适合于(x ± a )2 = b (b ≥ 0) 或(ax ± b )2 = (cx ± d )2 形式的方程． 2．配方法：（1）化二次项系数为 1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成 (x ± a )2 = b (b ≥ 0) 的形式； （5）运用直接开平方法解方程．
3．公式法：（1）把方程化为一般形式，即ax 2 + bx + c = 0；（2）确定 a , b , c 的
值；（3）求出b 2
- 4ac 的值；（4）将
a ,
b ,
c 的值代入 x = 即可． 2a
4．因式分解法：基本思想是把方程化成(ax + b )(cx + d ) = 0 的形式，可得ax + b = 0
或cx +d = 0．
三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系
1．根的判别式：一元二次方程ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0) 是否有实数根，由b2 - 4ac 的符号来确定，我们把b2 - 4ac 叫做一元二次方程根的判别式．
2．一元二次方程根的情况与判别式的关系
1
a
2
3
（1）类型1：如图1 所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，则阴影部分的面积为(a - 2x)(b - 2x) ．
（2）类型2：如图2 所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的面积为(a -x)(b -x) ．
（3）类型3：如图3 所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则
4 块空白部分的面积之和可转化为(a -x)(b -x) ．
图1 图2 图3
4. 碰面问题（循环问题）
（1）重叠类型（双循环）：n 支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次
为m。

∵1 支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1 支球队需要比（n－1）场
∵存在n 支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A 与 B 比赛和 B 与 A 比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分.
∴m=1 n（n − 1）
2
（2）不重叠类型（单循环）：n 支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。

∵1 支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1 支球队需要比（n－1）场
∵存在n 支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场.
∵A 与B 比赛在A 的主场，B 与A 比赛在B 的主场，不是同一场比赛，∴上述
求法无重叠.
∴m=n（n − 1）
考点一一元二次方程的解
紧扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。

1，则a = ．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1 代入方程得到关于a 的一次方程，
然后解此一次方程即可．
【解析】解：把x=1 代入方程x2 +ax - 2 = 0 得1+a-2=0，解得a=1．故答案是：1．【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的
值是一元二次方程的解．
考点二解一元二次方程
一元二次方程的常见解法及适用情形：
一般形式： ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0)
直接开平方法形如(x +m)2 =n(n ≥ 0) 的方程，可直接开方求解，则x =-m +n ，
1
x
1
=-m -n
因式分解
法可化为a(x +m)(x +n) = 0的方程，用因式分解法求解，则x1 =-m ，
x
1
=-n
配方法
若不易于使用分解因式法求解，可考虑配方为a(x +
接开方求解
h)2= k，再直
公式法利用求根公式： x =-b ±
b2 - 4ac ∆=
(
2a
b 2 - 4a
c ≥ 0)
【答案】D
【分析】利用因式分解法解方程．
【解析】解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，x﹣2＝0 或x﹣3＝0，∴x1＝2，x2＝3．故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
A．
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【答案】A
【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
【解析】解：2x2-3x-1=0移项得2x2 - 3x = 1，二次项系数化1 的x2 -3
x =
1
，
2 2
3 ⎛3 ⎫2 1 ⎛3 ⎫2 ⎛ 3 ⎫2 17
配方得x2 - x + ⎪ =+ ⎪即 x -⎪= 故选：A
2 ⎝4 ⎭ 2 ⎝4 ⎭⎝ 4 ⎭16
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
【答案】x
1=
1+
2
5
, x =
1- 5
．
2
【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．
【解析】x2﹣x﹣1＝0 ，a=1，b=－1，c=－1，∆＝（﹣1）2﹣4⨯（﹣1）＝5 > 0 ，
x =1± 5 ，所以x
=
1+ 5 , x
=
1- 5 ，故答案为：x
=
1+ 5 , x
=
1- 5
．
2⨯1 1 2 2 2 1 2 2 2
2
⎛ 3 ⎫217 ⎛ 3 ⎫21⎛ 3 ⎫213⎛ 3 ⎫211 x -4 ⎪= 16 B． x -4 ⎪= 2C． x -2 ⎪= 4D． x -2 ⎪= 4
1 考点三 一元二次方程根的判别式
对于方程ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) ，∆= b 2 - 4ac ，①若∆> 0，方程有两个不相等的实数根；②若∆= 0，方程有两个相等的实数根；③若∆< 0，方程没有实数根．
1 2 2 2A
∆
x
A 4
【答案】B
4
4
【分析】根据一元二次方程的根的判别式列不等式，再解不等式即可． 【解析】解： 关于 x 的一元二次方程 x 2 - (2k +1)x + k 2 + 2k = 0 有两个实数根 x ，
x 2 ，∴ = b 2 - 4ac ≥ 0,
a=1, b=-(2k +1), c =k 2 + 2k,
∴k ≤1 . 4
故选B．
∴⎡⎣-(2k+1)⎤⎦2-4⨯1⨯(k2+2k)≥0,∴-4k ≥-1, 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程的根的判
A
x
A．两个正根B．两个负根C．一个正根，一个负根D．无实数根【答案】C
【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可．
【解析】解：(x-1)(x+2)=ρ2，整理得：x2+x-3-ρ2=0，
∴∆=12 - 4 (-3 -ρ2)= 4ρ2+13 > 0，∴方程有两个不等的实数根，设方程两个根为x
、x2 ，
1
∵ x +x =-1，x x =-3 -p2 ∴两个异号，而且负根的绝对值大．故选：C．
1 2 1 2
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△Array x
A
(
化简，得：k 2 = 4 ，解得：k＝±2，
因为关于x 的一元二次方程x2 - (k -1)x -k + 2 = 0 有两个实数根，
所以，△＝(k-1)2-4(-k+2)＝k2+2k-7〉0，k＝－2 不符合，所以，k＝2 故选D.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题
的关键.
则x
2 + 2x x +
x
1 = x 1 2
1 2
【答案】-
37
2
根据2019 年底到2021 年底这三年的5G 用户数量之和=8.72 万户即得关于x 的方程，解方程即得答案．
【解析】解：设全市5G 用户数年平均增长率为x ，根据题意，得：
2+2(1+x)+2(1+x)2=8.72，
解这个方程，得：x1 = 0.4 = 40% ，x2 =-3.4 （不合题意，舍去）．∴x 的值为40%．故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理
解题意、找准相等关系是解题的关键．
问题．用点A1、A2、A3 ⋯A48 分表示第 1 名同学、第 2 名同学、第 3 名同学…第48 名同学，把该班级人数x 与通电话次数y 之间的关系用如图模型表示：
（1）填写上图中第四个图中y 的值为，第五个图中y 的值为．（2）通过探索发现，通电话次数y 与该班级人数x 之间的关系式为，当
x = 48 时，对应的y = ．
【答案】（1）10，15；（2）y =x(x -1)
，1128；（3）20 2
【分析】（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y 值；
（2）根据y 值随x 值的变化，可找出y =x(x -1)
，再代入x = 48 可求出当x = 48 2
时对应的y 值；
（3）根据（2）的结论结合九年级1 班全体女生相互之间共通话190 次，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】解：（1）观察图形，可知：第四个图中y 的值为10，第五个图中y 的值为15．故答案为：10；15．
（2）∵1 =2 ⨯1
, 3 =
3⨯ 2
, 6 =
4 ⨯ 3
,10 =
5 ⨯ 4
,15 =
6 ⨯ 5
，∴y =
x(x -1)
，2 2 2 2 2 2
500 -10⨯(55 - 50)= 500 - 50 = 450千克.
(2)设每千克水果售价为x 元，由题意，得(x-40)⎡⎣500-10(x-50)⎤⎦=8750,
即-10x2 +1400x - 40000 = 8750, 整理，得x2 -140x =-4875,
配方，得(x-70)2=4900-4875,解得x= 65, x = 75.
1 2
∴当月销售利润为元8750时，每千克水果售价为65元或75元
(3)设月销售利润为y 元，每千克水果售价为x 元，由题意，得
y
（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A 公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B 公司的1.5 倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．
⎭ 【答案】（1）见解析；（2）55:72
【分析】(1)根据题意任意写出问题解答即可.
(2)根据题意列出等式，解出增长率再代入 A ，B 的收益中计算即可.
【解析】解（1）问题 1：求去年下半年公共营销区域面积与 B 公司营销区域面积的比
解答： 3n ⨯ 2 = 2 n 2 n : n = 2 ⎫⎤ ⎪⎥ ⎭⎦
⎫ + x %
⎪
100( x %)2 + 45x % -13 = 0 解得 x % = 20% ， x % = 65% （舍去）
设 B 公司每半年每平方千米产生的经济收益为 a ，则 A 公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5a
今年上半年 A ，B 公司产生的总经济收益为
1.5a ⨯ 3n ⨯ (1 + 20%) + an ⨯ (1 + 4 ⨯ 20%) = 7.2na
去年下半年A，B 公司产生的总经济收益为1.5a ⨯ 3n +a ⨯n = 5.5na
去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为(5.5na) : (7.2na) = 55 : 72【点睛】本题考查一元二次方程增长率的问题,关键在于理解题意列出等式方程.。