高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：16 Word版含解析

跟踪强化训练(十六)
1．(2017·西安二模)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x . (1)当x ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π3时，求f (x )的值域； (2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
A 2＝
3
2，a ＝4，b ＋c ＝5，求△ABC 的面积．
[解](1)由题意知，f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x ＝12sin2x －32cos2x ＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3
2，
∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π3，π3，
∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32， 可得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3
2∈[0，3]．
(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3＋32＝3
2，
∴sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫A －π3＝0，
∵A ∈(0，π)，A －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3，
∴A －π3＝0，解得A ＝π
3. ∵a ＝4，b ＋c ＝5，
∴由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
可得16＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝25－3bc ，解得bc ＝3， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×32＝33
4.
2．(2017·武汉重点学校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋3π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；
(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，且F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的最小值是－3
2，求实数λ的值．
[解](1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π4
＝12cos2x ＋3
2sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋3
2sin2x －cos2x ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6，
∴T ＝2π2＝π.
由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π
3(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (2)F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4x －π3 ＝－4λsin ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x －π6－⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤1－2sin 2⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －π6
＝2sin 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6－4λsin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π6－1
＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6－λ2－1－2λ2. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π12，π3，∴0≤2x －π6≤π2，
∴0≤sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π6≤1. ①当λ<0时，当且仅当sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知不相符；
②当0≤λ≤1时，当且仅当sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6＝λ时，f (x )取最小值－1－2λ2
，由已知得－1－2λ2
＝－3
2，
解得λ＝1
2；
③当λ>1时，当且仅当sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x －π6＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，
由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝5
8，这与λ>1相矛盾．
综上所述，λ＝1
2.
3．(2017·石家庄一模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin C sin A －sin B ＝a ＋b a －c
.
(1)求角B 的大小；
(2)点D 满足BD →＝2BC →
，且AD ＝3，求2a ＋c 的最大值． [解](1)sin C sin A －sin B ＝a ＋b a －c ，由正弦定理可得c
a －
b ＝a ＋b a －
c ，
∴c (a －c )＝(a －b )(a ＋b )， 即a 2＋c 2－b 2＝ac . 又a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， ∴cos B ＝12，
∵B ∈(0，π)，∴B ＝π
3.
(2)解法一：在△ABD 中，由余弦定理得c 2
＋(2a )2
－2×2ac ×cos π
3
＝32，
∴(2a ＋c )2－9＝3×2ac .
∵2ac ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＋c 22
， ∴(2a ＋c )2
－9≤3
4(2a ＋c )2，
即(2a ＋c )2≤36,2a ＋c ≤6，当且仅当2a ＝c ，即a ＝3
2，c ＝3时，2a ＋c 取得最大值，最大值为6.
解法二：在△ABD 中，由正弦定理知
2a sin ∠BAD ＝c sin ∠ADB
＝3
sin π
3
＝23，
∴2a ＝23sin ∠BAD ，c ＝23sin ∠ADB ， ∴2a ＋c ＝23sin ∠BAD ＋23sin ∠ADB ＝23(sin ∠BAD ＋sin ∠ADB )
＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤
sin ∠BAD ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－∠BAD
＝6⎝ ⎛⎭
⎪⎫32sin ∠BAD ＋1
2cos ∠BAD
＝6sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫∠BAD ＋π6. ∵∠BAD ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫0，2π3，∴∠BAD ＋π6∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
π6，5π6，
∴当∠BAD ＋π6＝π2，即∠BAD ＝π
3时，2a ＋c 取得最大值，最大值
为6.
4．(2017·贵州二模)如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝π
2，B ＝2π
3，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝2π
3，EC ＝
7.
(1)求sin ∠BCE 的值； (2)求CD 的长．
[解](1)在△BEC 中，由正弦定理，知BE sin ∠BCE
＝CE
sin B .
∵B ＝2π
3，BE ＝1，CE ＝7， ∴sin ∠BCE ＝BE ·sin B CE ＝3
27
＝21
14.
(2)∵∠CED ＝B ＝2π
3，∴∠DEA ＝∠BCE ，∴cos ∠DEA ＝1－sin 2∠DEA ＝1－sin 2∠BCE ＝
1－328＝5714. ∵A ＝π
2，∴△AED 为直角三角形，又AE ＝5， ∴ED ＝AE cos ∠DEA ＝5
57
14
＝27.
在△CED 中，CD 2＝CE 2＋DE 2－2CE ·DE ·cos ∠CED ＝7＋28－
2×7×27×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝49.
∴CD ＝7.。