2017届高考数学大一轮复习第七章立体几何7.1空间几何体的结构及其三视图和直观图课时规范训

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 第七章 立体几何7.1空 间几何体的结构及其三视图和直观图课时规范训练
理北师大版
[A 级基础演练]
1 •以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆 柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角 形•其中，真命题的个数为 （
）
A. 4 B . 3 C. 2
D. 1
解析：由正棱锥的定义可知所有侧棱相等，
故①正确；由于直棱柱的底面不一定是正多
边形，故侧面矩形不一定全等， 因此②不正确；由圆柱母线的定义可知③正确；结合圆锥轴 截面的作法可知④正确.综上，正确的命题有
3个.
答案：B
2. （2014 •高考福建卷）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是
（ ）
A.圆柱
B .圆锥
D.三棱柱
解析：由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱 （放倒看）都能使其正视图为三
角形，而圆 柱的正视图不可能为三角形，故选 A.
答案：A
3. （2016 •开封摸底）一个正四棱锥的所有棱长均为 2，其俯视图如图所示，则该正四 棱锥的正视图的面积为（
）
B. ,3 D. 4
解析：由题知，所求正视图是底边长为
2，腰长为.3的等腰三角形，其面积为
扌
X 2X （3）2- 1 = 2.
答案：A 4.
下面关于四棱柱的四个命题：
C.四面体
A. 2 C. 2
俯视图
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱;
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱.
其中，真命题的编号是 ________ （写出所有真命题的编号）.
解析：①错，必须是两个相邻的侧面；②正确；③错，反例，可以是斜四棱柱；④正确,
对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形.
答案：②④
5. （2016 •西城区检测）已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，
那么此三棱柱正（主）视图的面积为________ .
解析：由正三棱柱三视图还原直观图可得正（主）视图是一个矩形，其中一边的长是侧（左）视图中三角形的高，另一边是棱长.因为侧（左）视图中三角形的边长为2,所以高为，3,所以正视图的面积为 2 3.
答案：2 3
6. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所
示），/ ABC= 45°, AB= AD= 1, DCL BC,则这块菜地的面积为_________ .
解析：过A 作AEL BC于E,在Rt△ ABE中，AB= 1，/ ABE= 45
而四边形AECD^矩形，AD= 1,
••• EC= AD= 1.
由此可还原原图形如图.
在原图形中，A D'= 1, A B'= 2,
B' C' =-^ +1,且A' D // B' C , A' B丄B' C
1
•••这块菜地的面积为S= 2(A' D + B C ) • A B
=2 1+ 1 + 孑X 2= 2 + #
答案：2 +#
7. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392，母线与轴
的夹角为45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径.
解：作出圆台的轴截面如图.设O A = r,则SO = r,
•••一底面周长是另一底面周长的3倍，• OA= 3r,贝U SO= 3r, SA= 3，,2r,
• OO = 2r.
1
由轴截面的面积为2（2 r + 6r）・2 r = 392，得r = 7.
故上底面半径为7,下底面半径为21，高为14,母线长为14 2.
&如图，在四棱锥P— ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCDt直，图为该四棱锥的正视
图和侧视图，它们是腰长为 6 cm的全等的等腰直角三角形.
（1）根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；
⑵求PA
解：（1）该四棱锥的俯视图为（内含对角线），边长为6 cm的正方形，如图，其面积为2
n
36 cm .
⑵由侧视图可求得PD= .P C+C D
=,62+ 62= 6 .2.
由正视图可知AD= 6且ADL PD 所以在Rt △ APD中,
P "PD + AD =< 讨2 2 + 62 = 6书(cm).
[B 级能力突破]
1. (2015 •高考课标卷n ) 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如
1 A.8 i C.
6
解析：由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分， 如
图所示，截去部分是一个三棱锥.设正方体的棱长为
1，则三棱锥的体积为
A. 6 2
B . 4 2
B.—
1 1 V =3X 2X 1X 1X 1= 剩余部分的体积“13-1=|
1
1，故选D. 5
答案：D
2. (2014 •高考新课标全国卷I )如图，网格纸上小正方形的边长为 是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为
(
1,粗实线画出的 )
F 图,
1
1
C. 6
D. 4
解析：将三视图还原为几何体再计算，几何体为三棱锥.
如图，侧面SBC_底面ABC
点S在底面ABC的射影点0是BC的中点，△ ABC为直角三角形.
••• AB= 4, B0= 2,
••• A0= 20, SOL底面ABC
••• SOL AO SO= 4,
•••最长的棱AS=甘20+ 16= 6.
答案：C
3. （2014 •高考北京卷）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2,0,0）,B
（2,2,0） ,q0,2,0）, D（1,1，型）.若S, S, S3分别是三棱锥D-ABC在xOy, yOz zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）
A. S = S2= S3
B. S2= S 且S e M S3
C. S3= S 且S B M S
D. S= S且S3M S I
解析：作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影，计算三角形的面积.
1
如图所示，△ ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影，所以S =㊁x 2X 2= 2.三棱锥
1
在坐标平面yOz上的正投影与△ DEFE F分别为OA BC的中点）全等，所以S=?x 2x^2
=■.2.三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△ DGHG H分别为AB OC的中点）全等，所以1
S = ^x 2x 9=72.所以S2= S3 且S M S.故选D.
答案：D
4. 给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
③若有两个侧
面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱.其中正确命题的序号是
___________ .
解析：①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体 ABCDABGD
中的四面体 A-CBD ;②错误，反例如图所示，底面△
ABC 为等边三角形，可令 AB= VB= VC
=BC = AC 则A VBC 为等边三角形，△ VAB 和△ VCA 均为等腰三角形，但不能判定其为正三 棱锥；
③错误，必须是相邻的两个侧面.
答案：①
5. 已知一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该
几何体上任意选择 4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的
4个顶点，这些几何形体是（写
出所有正确结论的编号） _________
① 矩形；
② 不是矩形的平行四边形；
③ 有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体； ④ 每个面都是等腰三角形的四面体； ⑤ 每个面都是直角三角形的四面体. 解析：由三视图可知该几何体为底面是边长为
a 的正方形，高为
b 的长方体.若以四个
顶点为顶点的图形为平行四边形，则一定是矩形，故②不正确.
答案：①③④⑤
6. （2016 •武邑一模）某几何体的一条棱长为 ，7,在该几何体的正视图中，这条棱的投 影是长为.6的线段，在该几何体
的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为
a 和
b 的线段，则a +b 的最大值为
1E 规图
侧视图
俯视图
解析：本题构造长方体，体对角线长为，7,其在侧视图中为侧面对角线a,在俯视图中
为底面对角线b,设长方体底面宽为1,则b — 1 + a — 1 = 6,即a + b = 8,利用不等式
2 2
2＜字=4,则a+ b w4.
答案：4
7•如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6
米铁丝•再用
S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）•
（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；
（2）若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出灯笼的三视图（作图时，
不需考虑骨架等因素）•
解：（1）设圆柱的高为h,由题意可知，
4（4 r + 2h）= 9.6，即2r + h= 1.2.
2
S= 2 n rh + n r = n r （2.4 —3r）
=3n [ —（r —0.4）2+ 0.16]，其中0v r < 0.6.
当半径r = 0.4 米时，Snax= 0.48 n~ 1.51（平方米）.
⑵由r = 0.3及2r + h= 1.2，得圆柱的高h= 0.6（米）.
则灯笼的三视图为:
■'-（）,6 笨
十。