最新高中数学不等式选讲练习题

数学·不等式选讲·练习题1
一．解答题（共29小题）
1．（2003•广东）已知c＞0，设P：函数y=c x在R上单调递减，Q：不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．
2．（2009•丹东二模）已知函数f（x）=2x+1．
（I）解不等式；
（II）若x≠0，求证：．
3．（2011•禹王台区校级模拟）（1）若|a|＜1，|b|＜1，比较|a+b|+|a﹣b|与2的大小，并说明理由；
（2）设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当
4．（2012•公安县校级模拟）设函数f（x）=|x﹣m|﹣mx，其中m为常数且m＜0．
（1）解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）试探求f（x）存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值．
5．（2012•浉河区校级模拟）已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．
（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；
（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．
6．（2014秋•临川区校级期中）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞3x+2的解集；
（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．
7．（2014春•乳山市期末）已知x，y∈R+，且x+y＞2，求证：与中至少有一个小2．
8．（2004•江苏）已知函数f（x）（x∈R）满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有λ（x1﹣x2）2≤（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]和|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|，其中λ是大于0的常数，设实数a0，a，b满足f（a0）=0和b=a﹣λf（a）（Ⅰ）证明λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f（b0）=0；
（Ⅱ）证明（b﹣a0）2≤（1﹣λ2）（a﹣a0）2；
（Ⅲ）证明[f（b）]2≤（1﹣λ2）[f（a）]2．
9．（2009•惠州模拟）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m﹣x），m为正的常数．
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）求g（x）的单调区间，并指明单调性；
（3）若a＞0，b＞0，证明：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）﹣f（b）．
10．（2010•上海）若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．
（1）若x2﹣1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近；
（3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1﹣sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．
11．（2010•宁德校级模拟）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）求函数f（x）的最小值．
12．（2011•黑龙江）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．
13．（2011•辽宁）已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|
（Ⅰ）证明：﹣3≤f（x）≤3；
（Ⅱ）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．
14．（2011•安徽）（Ⅰ）设x≥1，y≥1，证明x+y+≤++xy；
（Ⅱ）1≤a≤b≤c，证明log a b+log b c+log c a≤log b a+log c b+log a c．
15．（2013•昭通模拟）已知函数．
（1）当时，如果函数g（x）=f（x）﹣k仅有一个零点，求实数k的取值范围；
（2）当a=2时，试比较f（x）与1的大小；
（3）求证：（n∈N*）．
16．（2013•西湖区校级模拟）用适当方法证明：已知：a＞0，b＞0，求证：．
17．（2014•太原一模）选修4﹣5：不等式选讲
已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣3|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若存在x使得f（x）+a≤0成立，求实数a的取值范围．
18．（2014•兴安盟三模）设函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若的定义域为R，求实数m的取值范围．
19．（2014秋•桦南县校级期末）已知函数F（x）=|3x﹣1|+ax
（Ⅰ）当a=3时，解关于x的不等式f（x）≥|x﹣3|；
（Ⅱ）若f（x）≥x﹣在R上恒成立，求实数a的取值范围．
20．（2014•红河州模拟）函数f（x）=．
（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；
（Ⅱ）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩（∁R A）时，求证：＜|1+|．
21．（2015•乌鲁木齐模拟）设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．
（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．
22．（2015•江西二模）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．
23．（2015•南昌校级二模）已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．
（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣；
（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．
24．（2015•秦安县一模）已知函数f（x）=|x﹣a|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
25．（2015•沈阳一模）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．
26．（2015•淮安模拟）已知x，y，z均为正数．求证：．
27．（2008•嘉定区校级模拟）己知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
28．（2011•乐山二模）设，其中f（x）=lnx，且g（e）=．（e为自然对数的底数）
（Ⅰ）求p与q的关系；
（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（Ⅲ）证明：
①f（x）≤x﹣1（x＞﹣1）；
②（n∈N，n≥2）．
29．（2015•苍梧县校级一模）选修4﹣5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x﹣2a|，不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣2≤x≤6}．
（1）求实数a的值；（2）若存在x∈R，使不等式f（x）+f（x+2）＜m成立，求实数m的取值范围．
第二折
桃杌背手上。

祗候紧随其后。

桃杌我做官人胜别人，告状的来要金银；若是上司当刷卷，在家推病不出门。

我乃楚州太守，江湖人称索马里的海贼王。

（坐下）今日照常升厅办公，想必又是悠闲的一天。

张驴儿拖窦娥、蔡婆婆上。

张驴儿告状！告状！（桃杌立即坐正）
祗候（傲气凌人）拿过来！
张驴儿递过状纸，跪地。

桃杌慌忙起身在张驴儿面前跪下搀扶。

祗候（疑惑状）相公，他是来告状的，你怎么倒给他跪下了？
桃杌（一脸笑意）你不知道么？但凡来告状的，便是我的衣食父母。

见到父母，自然要跪！
张驴儿（慌忙起身，同时扶起桃杌）县令大人，草民不敢当，不敢当。

桃杌（起身归位，拍惊堂木）升——堂！
衙役众威——武——！
桃杌你们三个，哪个是原告？哪个是被告？从实说来！
张驴儿回大人。

草民是原告张驴儿，（指窦娥）告这个叫窦娥的女子。

她在羊肚汤里下毒，毒死了我爹。

（指蔡婆婆）这个是蔡婆婆，就是俺的后母。

望大人给小人做主啊！
桃杌是谁下的毒药？
窦娥（抢道）不干小妇人事。

蔡婆婆（接道）也不干老妇人事。

张驴儿（左右环顾）也不干我事。

桃杌岂有此理！你们都不是，难道还是我下的毒？
窦娥大人。

小女子的婆婆根本不是他后母。

他家姓张，我家姓蔡。

只因有一次婆婆找赛卢医要钱，却不料被他骗到了郊外，差点用绳子勒死。

他们父子二人及时出现救了婆婆性命。

因
此婆婆便要收留他们两个在家，报答他们的恩德。

谁知道他们父子竟心生歹念，逼着小女
子与这张驴儿成亲。

小女子有个丈夫，却不料早早地去了。

因服孝未满，所以……所以小
女子坚决不从……
桃杌（拍惊堂木）张驴儿，这件事可是真的？
张驴儿回大人，别听这小妇人胡言乱语，她可狡猾得很。

窦娥大人，请听小女子讲完。

前几天婆婆刚好患病，小女子便给婆婆煮了锅羊肚汤。

却不知张驴儿从哪里弄来的毒药，从小女子手里抢过汤去，说少放了些盐，便把小女子支开，偷偷
将毒药混在了里面。

小女子并不知情，而幸亏婆婆突然呕吐，不想喝汤，才让小女子把汤
给了他爹喝，才喝了几口人就死了。

这件事与小女子并无干系，望大人明鉴啊！
张驴儿大人！根本就没有的事！大人明鉴啊！
桃杌这小妇人，难不成不打不招？来人啊！给我上大棍子，狠狠地打！
两衙役取棍，将窦娥推在椅子上，打。

桃杌怎么样？招还是不招？
窦娥（跪坐在地，形容憔悴）真……真的不是小女子……下的毒……。