浙江省绍兴市第一中学高二数学上学期期末考试试题 理

浙江省绍兴市第一中学2014-2015学年高二数学上学期期末考试试
题 理
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．设集合1122M x x ⎧⎫
=-
<<⎨⎬⎩⎭
，{}
2N x x x =≤，则M N = （ ）
（A ）1
[0,)2
（B ）1
(,1]2- （C ）1[1,)2-
（D ）1(,0]2
-
2. 命题“若00,022===+b a b a 且则”的逆否命题是
（ ）
A ．若00,022≠≠≠+b a b a 且则
B ．若00,022≠≠≠+b a b a 或则
C ．若则0,002
2
≠+==b a b a 则且
D ．若0,002
2
≠+≠≠b a b a 则或
3.若“01x <<”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的充分而不必要条件,则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．[1,0]-
B ．(1,0)-
C ．(,0]
[1,)-∞+∞ D ．(,1)(0,)-∞-+∞
4．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是 ( )
5. (3,2,3)a =--，(1,1,1)b x =--且与的夹角为钝角，则x 的取值范围是 （ ） A ．（－2，+∞） B ．（－2，
53）∪（53，+∞） C ．（－∞，-2） D ．（5
3
，+∞） 6.已知直线420mx y +-=与250x y n -+=互相垂直，垂足为(1,)P p ，则m n p -+的
值是（ ）
A ．24
B ．20
C ． 0
D ．－4
7.过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点F 作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两
条渐近线的交点分别为C B ,.若2=，则双曲线的离心率是（ ） A ．5 B.6 C.26 D.5
8．棱长为2的正四面体ABCD 在空间直角坐标系中移动，且保持点A 、B 分别在x 轴、y
A
B
C
D
E
G
H
F
轴上移动，则棱CD 的中点E 到坐标原点O 的最远距离为 （ ）
A ．
．
1
D 1
二、填空题（本大题共5小题，第9﹑10题每空格2分，第11-13每小题4分，共22分） 9. 已知直线01:1=-+y ax l ，直线03:2=--y x l ，若直线1l 的倾斜角为
4
π
，则a = ；若21l l ⊥，则a = ；若21//l l ，则两平行直线间的距离为 。

10.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为_______,该几何体的表面积为_________.
11．已知直线10x y --=及直线50x y --=截圆C 所得的弦长均为10，则圆C 的面积是 ．
12.设抛物线x y C 4:2
=的焦点为F,过点F 的直线与抛物线C 交于
B A ,两点,过AB 的中点M 作准线的垂线与抛物线交于点P,若
3
2
PF =
,
则弦长AB 等于__ ．
三、解答题：本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. （本小题满分8分）
已知|32|0 p x x q x x m x m -≤≤：{}， ：{(-+1)(--1)}，若p ⌝是q ⌝充分而不必要条
件，求实数m 的取值范围.
15. （本小题满分10分）
如图，四边形ABCD 为菱形，AC FE 为平行四边形，且面ACFE ⊥面ABCD ，
3,2===AE BD AB ,设BD 与AC 相交于点G ,H 为FG 的中点. （Ⅰ）证明:⊥CH 面BFD ;
（Ⅱ）若23
=CH ,求EF 与面EDB 所成角的大小.
16. （本小题满分12分）
如图，ABC ∆中，O 是BC 的中点，AB AC =，22AO OC ==．将BAO ∆沿AO 折起，使B 点与图中B '点重合．
（Ⅰ）求证：OC B AO '⊥平面；
（Ⅱ）当三棱锥AOC B -'的体积取最大时，求二面角O C B A -'-的余弦值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段A B '上是否存在一点P ，
使CP 与平面B OA '所成的角的正弦值为3
2
？证明你的结论．
17. （本小题满分12分）
（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C
截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线
2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足
条件的点P 的坐标。

18. （本小题满分12分）
已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆
外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF
（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；
（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2
b 若存在，求∠
F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由．
附加题：已知数集12{,,A a a =…,}n a 12(1a a =<<…,2)n a n <≥具有性质P:对任意的
(2)k k n ≤≤,,(1)i j i j n ∃≤≤≤,使得k i j a a a =+成立.
(Ⅰ)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由; (Ⅱ)求证:122n a a a ≤++…1(2)n a n -+≥;
(Ⅲ)若72n a =,求数集A 中所有元素的和的最小值.
高二数学期末考试试卷（理科）
3.若“01x <<”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的充分而不必要条件,则实数a 的取值范围是
（ A ）
A ．[1,0]-
B ．(1,0)-
C ．(,0]
[1,)-∞+∞ D ．(,1)(0,)-∞-+∞
5. (3,2,3)a =--，(1,1,1)b x =--且与的夹角为钝角，则x 的取值范围是 （ B ） A ．（－2，+∞） B ．（－2，
53）∪（53，+∞） C ．（－∞，-2） D ．（5
3
，+∞）
7.过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点F 作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两
条渐近线的交点分别为C B ,.若2=，则双曲线的离心率是（ C ） A ．5 B.6 C. 26 D. 5
8．棱长为2的正四面体ABCD 在空间直角坐标系中移动，但保持点A 、B 分别在x 轴、y
轴上移动，则棱CD 的中点E 到坐标原点O 的最远距离为 （ D ）
A ．．1 D 1
二、填空题（本大题共5小题，第9﹑10题每空格2分，第11-13每小题4分，共22分） 9. 已知直线01:1=-+y ax l ，直线03:2=--y x l ，若直线1l 的倾斜角为
4
π
，则a = -1 ；若21l l ⊥，则a = 1 ；若21//l l ，则两平行直线间的距离为
10.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
__3
_____,该几何体的表面积为___12
A B
C
D
E G
H
第15题图
F
11．已知直线10x y --=及直线50x y --=截圆C 所得的弦长均为10，则圆C
的面积是 ．27π
13．三棱锥的三组相对的棱（相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱）分别相等，且长分别为2，m ，n ，其中2
2
=12m
n +，则该三棱锥体积的最大值为_________
43
已知|32|0 p x x q x x m x m -≤≤：{}， ：{(-+1)(--1)}，若p ⌝是q ⌝充分而不必要条
件，求实数m 的取值范围. 解:由题意 p: 232≤-≤-x
∴ 51≤≤x
∴p ⌝：51><x x 或 （3分）
q ：11+≤≤-m x m ∴q ⌝：11+>-<m x m x 或 （2分）
又∵p ⌝是q ⌝充分而不必要条件 ∴⎩⎨
⎧≤+≥-5
11
1m m ∴42≤≤m （8分）
15. （本小题满分10分）
如图，四边形ABCD 为菱形，AC FE 为平行四边形，且面ACFE ⊥面ABCD ，
3,2===AE BD AB ,设BD 与AC 相交于点G ,H 为FG 的中点. （Ⅰ）证明:⊥CH 面BFD ;
（Ⅱ）若2
3
=CH ,求EF 与面EDB 所成角的大小.
（Ⅱ）连接EG
由（Ⅰ）知ACFE BD 面⊥ ∴面⊥EFG 面BED
∴EF 与面EDB 所成角即为FEG ∠.——————8分 在FCG ∆中，GF CH CH CF CG ⊥=
=
=,2
3
,3 所以︒=∠120GCF ,3=GF
所以3=EG ，又因为32=EF
所以在EFG ∆中，可求得︒=∠60FEG .——————————10分
16. （本小题满分12分）如图，ABC ∆中，O 是BC 的中点，AB AC =，22AO OC ==．将
BAO ∆沿AO 折起，使B 点与图中B '点重合．
（Ⅰ）求证：OC B AO '⊥平面；
（Ⅱ）当三棱锥AOC B -'的体积取最大时，求二面角O C B A -'-的余弦值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段A B '上是否存在一点P ，
使CP 与平面B OA '所成的角的正弦值为3
2
？证明你的结论．
17（Ⅰ）AB AC O BC =且是中点，
AO BC ∴⊥即AO OB AO OC '⊥⊥，，
又∵OB OC O AO B OC ''=∴⊥，
平面………3分 （Ⅱ）在平面B OC '内，作B D OC '⊥于点D ，则由（Ⅰ）可知B D OA '⊥
又OC OA O =，B D OAC '∴⊥平面，即B D '是三棱锥B AOC '-的高，
又B D B O ''≤，所以当D 与O 重合时，三棱锥B AOC '-的体积最大， ………5分
解法一：过O 点作OH B C '⊥于点H ，连AH ，由（Ⅰ）知 AO B OC '⊥平面，B C B OC B C AO '''⊆∴⊥又平面， AO OH O B C AOH B C AH ''=∴⊥∴⊥，平面，
AHO ∴∠即为.A B C O '--二面角的平面角………7分
A
P
O
B
C
B
′
2AOH Rt AO OH AH ∆==
∴=中，，，1
cos 3
OH AHO AH ∴∠==
1A B C O --故二面角的余弦值为1
3
……………9分
解法二：依题意得OA 、OC 、OB '两两垂直，分别以射线OA 、OC 、OB ' 为x 、y 、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系O xyz -， 设平面B OC '的法向量为n ，可得(1,0,0)n = 设平面AB C '的法向量为m ，由0(1,2,2)0
m AB m m AC ⎧'⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩ …………………7分
1cos ,3
1m n m n m n
=
=
=⨯
1
3
A B C O '--故二面角
的余弦值为。

…………………9分
故2
sin 3OPC ∠=，1cos
tan OC OPC OPC OP OP ∠=∠===， OP ∴=
1分 又直角OB A '中，21OA OB '==，，AB '∴=即P 为AB '的中点…………12分 17. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆
222:(4)(5)4C
x y -+-=.
（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。

解：
(1)设直线l 的方程为：(4)y k x =-，即40kx y k --=
由垂径定理，得：圆心1C 到直线l
的距离1d ==，
1,
=
化简得：2
7
2470,0,,24k k k or k +===-
…………….4分
求直线l 的方程为：0y =或7
(4)24y x =-
-，即0y =或724280x y +-= (6)
分
化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n --=---+=+-或 关于k 的方程有无穷多解，有：20,30m n m n --=⎧⎧⎨
⎨
--=⎩⎩m-n+8=0
或m+n-5=0
解之得：点P 坐标为313(,)22-或51(,)22
-。

12分
18. （本小题满分12分）已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，
0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明1||c
F P a x a
=+； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；
（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2
b 若存在，求∠
F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由．
解 （Ⅰ）设点P 的坐标为（x,y ）,由P （x,y ）在椭圆上，得
1||(F
P x ==
又由,x a ≥-知0c
a x c a a
+≥-+
>， 所以1||.c
F P a x a
=+
………..4分
（Ⅲ） C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是222002
0,
12||.2
x y a c y b ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩③④
由③得a y ≤||0，由④得.||2
0c b y ≤ 所以，当c
b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当c
b a 2
<时，不存在满足条件的点M ． 当c
b a 2≥时，100200(,),(,)MF
c x y MF c x y =---=--， 由222
2221200MF MF x c y a c b ⋅=-+=-=，
121212||||cos MF MF MF MF F MF ⋅=⋅∠，
212121
||||sin 2
S MF MF F MF b =
⋅∠=，得.2tan 21=∠MF F ………………..12分。