高中数学3.1空间向量及其运算(第2课时)课件新人教A版选修2-1

共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.
b
d
c
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向
量既可能共面，也可能不共面.
那么什么情况下三个向量共面呢？
e
a
2
e1
由平面向量基本定理知，如果 e1 ，e2
是平面内的两个不共线的向量，那么
对于这一平面内的任意向量 a ，有且
只有一对实数1 ，2 使 a 1e1 2e2
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、 减法实质是一样的.
b b
a
a
结论：（1）空间中任意两个向量都是共面向量； （2）涉及空间中任意两个向量问题，平面向量中的有关
结论仍适用它们。
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量 完全相同呢?
上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运
算扩展到了空间.
平面向量 加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 运算 减法:三角形法则
空间向量
加法:三角形法则或 平行四边形法则
运 加法交换律
算 abba
律
加法结合律:
减法:三角形法则 加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) (a b) c a (b c)
对空间任意一点O,AP = OP - OA,
所以OP - OA = ta，
即OP = OA + ta， ① 若在l上取AB = a,则有
A l
Pa
B
OP = OA + tAB.
②
O
①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由
空间一点及直线的方向向量惟一决定.
由此可判断空间任意三点是否共线.
共面向量
∵ OP xOA yOB zOC .
又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA 、OB 、OC 不共面, ∴ x 1 m n, y m, z n , ∴ x y z 1
得证.
为什么?
※判定空间中三点A、B、C共线的常用方法：
（1）只需得到存在实数 ，使
空间向量的数乘运算
与平面向量一样，实数 与 空间向量 a的乘积a
仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.
（1）当 0 时，a 与 a 的方向相同. （2）当 0时，a与 a 的方向相同. （3）当 0时，a是零向量. a 的长度是a的长度的 倍.
例如:
3a
a 3a
a定/理/ b(a 0)
推论
OP OA t AB OP xOA yOB(x y 1)
运用
判断三点共线，或两直线平行
共面向量
平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
abp

a b
p x yb共面
OP OA xAB y AC
OP xOA yOB zOC 0 (x y z 1)
AB BC 或 AB k AC
（2）对空间任意点O，存在实数t,使
OC (1 t)OA tOB
特别地，当t=1/2时，
OC 1 (OA OB) 2
此时，点C恰为线段AB的 中点
典例展示
例1.若对任一点O和不共线的三点A，B，C，有 OP xOA yOB zOC( x, y, z R), 则
A.O→M＝3O→A－2O→B－O→C
B．O→M＋O→A＋O→B＋O→C＝ 0 C． M→A＋M→B＋M→C＝0
D．O→M＝14O→B－O→A＋12O→C
3.下列说法正确的是（ D ） A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线
b
a
如图，l 为经过已知点A且平行与已知非零向量 a 的直线，对空间任意一点O，点P在直线 l 上的充 要条件是存在实数t，使得OP OA ta ，其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量.
若P为A,B中点, 则
OP 1 OA OB 2
P
a
B A
l
O
由l∥a知存在惟一的t,满足AP = ta,
求证： E，F，G，H四点共面. A
DC
B
H
G
E
F
证明：因 OE OF OG OH k,
OA OB OC OD 所以 OE kOA, OF kOB, OG kOC, OH kOD. 由于四形ABCD是平行四形，所以 AC AB AD . 因此 EG OG OE kOC kOA=k AC k( AB AD) k(OB OA OD OA) OF OE OH OE EF EH 由向量共面的充要件知E ,F,G ,H 四共面.
∴点 P 与 A 、B 、C 共面.
∴存在有序实数对 (m, n) 使 AP m AB n AC
⑵必要性
∵点 P 在平面 ABC 内, 不共线的三点 A、B 、C
∴OP OA m(OB OA) n(OC OA)∴OP (1 m n)OA mOB nOC
x+y+z=1是四点P，A，B，C共面的 （ C ）
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
例2. 如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外
一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上
分别取点E，F，G，H，并且使
O
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
1．下列命题中正确的个数是( D )
①若 a与 b 共线， b 与 c共线，则 a 与 c共线；
②向量 a , b , c共面即它们所在的直线共面；
③若 a ∥ b ，则存在惟一的实数λ ，使 a＝λ b .
A．1
B．2
C．3
D．0
2．在下列条件中，使 M 与 A，B，C 一定共面的
是( C )
试证明:对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的 一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC 可变形为OP (1 y z)OA yOB zOC , ∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
即：(a b) a b (a) ()a
如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.
对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那么 a 与 b 有什么关系?反过来呢?
类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ), a // b R, a b.
判断四点共线，或直线平行于平面
1.空间向量的数乘运算. 3.直线l的方向向量.
2.共线向量的概念. 4.共面向量的概念.
第三章 空间向量与立 体几何
3.1.2 空间向量的数乘运算
本节课主要学习空间向量的数乘运算；共线向量定理及推 论；共面向量定理及推论.本课以复习空间向量加法、减法的 运算法则、几何意义、运算率及平面向量的数乘运算进行新 课导入，学习空间向量的数乘运算.
运用类比的思想，类比平面向量的数乘运算学习空间向量 的数乘运算．培养类比联想的探究意识和能力，二维到三维 ，平面到空间，思维拓展.例1和例2都是关于共面向量定理的 应用。例1是寻找四点共面的条件，例2是证明四点共面。
4.下列说法正确的是（ C ） A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面
5．已知 A，B，P 三点共线，O 为空间任意一点，
O→P＝31
O→A＋βO→B，则
2 β＝___3_____.
共线向量
定义
向量所在直线互相平行或重合