河北省邯郸市大名县第一中学2024_2025学年高二数学上学期10月月考试题实验班

河北省邯郸市大名县第一中学2024-2025学年高二数学上学期10月月考试
题（试验班）
考试范围：必修三其次章、第三章（3.1-3.2）占30%；选修2-1第一章、其次章（2.2椭圆）占70%.
考试时间120分钟，满分150分。

一、单选题（每题5分） 1、下列四个命题中，
①若2a b +≥，则a ，b 中至少有一个不小于1的逆命题； ②存在正实数a ，b ，使得lg()lg lg a b a b +=+；
③“全部奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”； ④在ABC ∆中，A B <是sin sin A B <的充分不必要条件. 真命题的个数是（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
2、“2<m<6”是“方程x 2
m －2＋y 2
6－m
＝1表示椭圆”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3、直线042=+-y x 经过()0122
22>>=+b a b
y a x 的一个焦点和一个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
552 B ．2
1
C ．
5
5
D ．
3
2 4、2024年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也接连增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中．为分担“逆行者”的后顾之忧，某校老师志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机支配甲、乙两位志愿者为1位小学生辅导功课共4次，每位志愿者至少辅导1次，每次由1位志愿者辅导，则甲至少辅导2次的概率为（ ） A ．
5
7
B ．
47
C ．
37
D ．27
5、已知F 1，F 2是椭圆
18
102
2=+y x 的两个焦点，P 为椭圆上一点，且△F 1PF 2是直角三角形，则△F 1PF 2的面积为（ ） A ．
5
5
16 B ．
558 C ．5
5
16或8 D ．
5
5
8或8 6、在某次中学学科竞赛中，4000名考生的参赛成果统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是
A ．成果在[70,80]分的考生人数最多
B ．不及格的考生人数为1000人
C ．考生竞赛成果的平均分约70.5分
D ．考生竞赛成果的中位数为75分
7、与椭圆22
132x y +=
有相同离心率，且过点的椭圆的标准方程是（ ）
A ．22532x y +=
B ．2220323y x +=
C ．221168x y +=
D ．2211510x y +=或22
312040y x +=
8、已知椭圆C ：()012222>>=+b a b
y a x 和圆O ：x 2＋y 2＝b 2
，若C 上存在点M ，过点M 引圆O 的两条
切线，切点分别为E ，F ，使得△MEF 为正三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )
A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡121，
B.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡122，
C.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡123，
D.⎥⎦
⎤ ⎝⎛220， 二、多选题（每题5分）
9、在统计中，由一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，
(),n n x y 利用最小二乘法得到两个变量的回来直线方程为ˆˆˆy
bx a =+，那么下面说法正确的是（） A ．直线ˆˆˆy
bx a =+至少经过点()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y 中的一个点
B ．直线ˆˆˆy
bx a =+必经过点(),x y C ．直线ˆˆˆy
bx a =+表示最接近y 与x 之间真实关系的一条直线 D ．||1r ≤，且||r 越接近于1，相关程度越大；||r 越接近于0，相关程度越小 10、下列叙述中不正确的是（ ）
A ．“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
B ．若,,a b c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”
C ．“1a >”是“
1
1a
<”的充分不必要条件 D ．若,,a b c ∈R ,则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“240b ac -≤”
11、椭圆2
2:14
x C y +=的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，以下说法正确的是（ ）
A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，
B 两点，则1ABF ∆的周长为8. B ．椭圆
C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=.
C ．椭圆C 的离心率为
1
2
D ．P 为椭圆2
214
x y +=一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为3.
12、2024年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式起先实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球旁边一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点其次次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子，其中正确式子是
A 、a 1＋c 1＝a 2＋c 2
B 、a 1－c 1＝a 2－c 2
C 、c 1a 1<c 2
a 2
D 、c 1a 2>a 1c 2.
三、填空题（每题5分）
13、某公司当月购进A 、B 、C 三种产品，数量分别为2000、3000、5000，现用分层抽样的方法从A 、B 、C 三种产品中抽出样本容量为n 的样本，若样本
中
A 型产品有20件，则n 的值为_______．
14、已知命题“x R ∃∈，使2
1
2(1)02
x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值
范围是
15、已知椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x ，点P 是椭圆上在第一象限上的点，F 1，F 2分别为椭圆的左、
右焦点，O 是坐标原点，过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为A ，若|OA |＝2b ，则椭圆的离心率为 ．
16、若两函数y x a =+与212y x =-的图象有两个交点A 、B ，O 是坐标原点，当OAB 是直角三角形时，则满意条件的全部实数a 的值的乘积为________. 四、解答题（第17题10分，第18-22题每题12分） 17、已知集合A 是函数(
)2
820lg x x y -+=的定义域，集合B 是不等式()001222
>≥-+-a a x x
的
解集，命题p ：x∈A，命题q ：x∈B.
(1)若A∩B＝Φ，求实数a 的取值范围；(2)若p ⌝是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
18、（本题满分12分）为了探讨的须要，某科研团队进行了如下动物性试验：将试验核酸疫苗注射到小白鼠身体中，通过正常的生理活动产生抗原蛋白，诱导机体持续作出免疫产生抗体，经过一段时间后用某种科学方法测算出动物体内抗体浓度，得到如图所示的统计频率分布直方图. （Ⅰ）求抗体浓度百分比的中位数；
（Ⅱ）为了探讨“小白鼠注射疫苗后出现副作用R 症状”，从试验中分层抽取了抗体浓度在
[2.5,3.5]，[5.5,6.5]中的6只小白鼠进行探讨，并且从这6只小白鼠中选取了2只进行医学视察，
求这2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在[5.5,6.5]中的概率.
19、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ()012222>>=+b a b
y a x 的离心率为3
2，以原点为圆心，椭圆
C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T.求证：点T 在椭圆C 上．
20、已知椭圆C ：()0122
22>>=+b a b
y a x 的一个顶点为A （2，0），离心率为22．直线()
1-=x k y 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ．
（1）求椭圆C 的方程；（2）当△AMN 的面积为
4
14
时，求k 的值． 21、西尼罗河病毒(WNV)是一种脑炎病毒，通常是由鸟类携带，经蚊子传播给人类。

1999年8－10月，美国纽约首次爆发了WNV 脑炎流行。

在治疗上目前尚未有什么特效药可用，感染者须要实行输液及呼吸系统支持性疗法，有探讨表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制WNV 的复制，抑制其对细胞的致病作用。

现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了使生产效率提高，该药企负责人收集了5组试验数据，得到利巴韦林的投入量x(千克)和利巴韦林含片产量y(百盒)的统计数据如下：
由相关系数r 可以反映两个变量相关性的强弱，|r|∈[0.75，1]，认为两个变量相关性很强；|r|∈[0.3，0.75)，认为两个变量相关性一般；|r|∈[0，0.3)，认为两个变量相关性较弱。

(1)计算相关系数r ，并推断变量x 、y 相关性强弱；
(2)依据上表中的数据，建立y 关于x 的线性回来方程y bx a =+。

为了使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入多少利巴韦林? 参考数据：660≈25.69。

参考公式：相关系数r ＝
1
2
2
1
1
()()
()()
n
i
i
i n n
i
i
i i x x y y x x y y ===----∑∑∑，线性回来方程y bx a =+中，
5
1
2
1
1
()()
ˆˆˆ,,()()25()
n
i
i
i i i
n
i i
i x x y y b
a y bx x x y y x x ===--==---=-∑∑∑。

22、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x 的右顶点为（2，0），离心率为
，
P 是直线x ＝4上任一点，过点M （1，0）且与PM 垂直的直线交椭圆于A ，B 两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P 点的坐标为（4，3），求弦AB 的长度；
（3）设直线PA ，PM ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，问：是否存在常数λ，使得231k k k λ=+？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
清北班2024年10月月考试卷
考试范围：必修三其次章、第三章（3.1-3.2）占30%；选修2-1第一章、其次章（2.2椭圆）占70%.
考试时间120分钟，满分150分。

命题人：赵瑞杰
三、单选题（每题5分） 1、下列四个命题中，
①若2a b +≥，则a ，b 中至少有一个不小于1的逆命题； ②存在正实数a ，b ，使得lg()lg lg a b a b +=+；
③“全部奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”； ④在ABC ∆中，A B <是sin sin A B <的充分不必要条件. 真命题的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1
D ．0
【答案】B
【解析】①若a ，b 中至少有一个不小于1,如2,2a b ==- ，则2a b +≥不成立，①错； ②2a b == 时()lg lg lg a b a b +=+；②对；
③“全部奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”； ③对； ④在ABC ∆中，A B <是sin sin A B <的充分必要条件. ④错； 因此选B.
2、“2<m<6”是“方程x 2
m －2＋y
2
6－m
＝1表示椭圆”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] 若x 2m －2＋y
26－m ＝1表示椭圆．
则有⎩⎪⎨⎪
⎧m －2>0，
6－m>0，m －2≠6－m ，
∴2<m<6且m≠4.
故“2<m<6”是“x 2
m －2＋y 2
6－m
＝1表示椭圆”的必要不充分条件．
[答案] B
3、直线x ﹣2y +4＝0经过椭圆
的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为
（）
A．B．C．D．
【解析】解：直线x﹣2y+4＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，
可得c＝4，b＝2，则a＝2，
所以椭圆的离心率为：e．
故选：A．
【点睛】本题考查椭圆的简洁性质的应用，是基本学问的考查．
4、2024年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也接连增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中．为分担“逆行者”的后顾之忧，某校老师志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机支配甲、乙两位志愿者为1位小学生辅导功课共4次，每位志愿者至少辅导1次，每次由1位志愿者辅导，则甲至少辅导2次的概率为（）
A．5
7
B．
4
7
C．
3
7
D．
2
7
【答案】A
【解析】甲、乙2位志愿者为1位小学生辅导功课共4次，每位志愿者至少辅导1次，每次由1位志愿者辅导，相当于每天从2人中选一人，且每人至少被选一次的选法有42214
-=种选法，
则甲只辅导1次的事务有甲乙乙乙、乙甲乙乙、乙乙甲乙、乙乙乙甲共4种支配法；
所以甲至少辅导2次的概率为
4
1
1
5
7
4
P=-=．
故选：A．
5、已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且△F1PF2是直角三角形，则△F1PF2
的面积为（）
A．B．C．或8 D．或8
【解析】解：依据题意，椭圆，
则a，b；则c，则|F1F2|＝2c＝2，
△F1PF2是直角三角形，由题意可知直角顶点不行能是P，
不妨直角顶点设为F2，设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，t2，
则△F1PF2的面积S2ct2；
故选：B．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的简洁性质．解答的关键是通过勾股定理解三角形，属于基础题．
6、在某次中学学科竞赛中，4000名考生的参赛成果统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是
A．成果在[70,80]分的考生人数最多B．不及格的考生人数为1000人
C．考生竞赛成果的平均分约70.5分D．考生竞赛成果的中位数为75分
【答案】D
【解析】由频率分布直方图可得，成果在[70,80]的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成果在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为40000.251000
⨯=，故B正确；由频率分布直方图可得：平均分等于
450.1550.15650.2750.3850.15
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+950.170.5
⨯=，故C正确；因为成果在
[40,70)的频率为0.45，由[70,80]的频率为0.3，所以中位数为
0.05
701071.67
0.3
+⨯≈，故D错
误．故选D．
7、与椭圆
22
1
32
x y
+=
有相同离心率，且过点的椭圆的标准方程是（）
A．
22
5
32
x y
+=B．
2220
323
y x
+=
C．
22
1
168
x y
+=D．
22
1
1510
x y
+=或
22
3
1
2040
y x
+=
【答案】D 【解析】
22
1
32
x y
+=,
求得其离心率为
3
c
e
a
===.
设所求椭圆方程为:
22
1
x y
m n
+=
依据题意可知离心率为
3
e=
⒈当焦点在x轴上时:此时m n
>
椭圆的离心率为
c
e
a
===,得:
1
1
3
n
m
-=即:32
n m
=┄①
将点代入
22
1
x y
m n
+=得:
122
1
m n
+=┄②
联立①②得
32
122
1
n m
m n
=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
解得
15
10
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
所以椭圆方程为:
22
1
1510
x y
+=.
⒉当焦点在y轴上时: m n
<
椭圆的离心率为
c
e
a
===,得:
1
1
3
m
n
-=即:23
n m
=┄①
将点代入
22
1
x y
m n
+=得:
122
1
m n
+=┄②
联立①②得
23
122
1
n m
m n
=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
解得
40
3
20
m
n
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
所以椭圆方程为: 22
312040
y x +=
故选:D.
8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)和圆O ：x 2＋y 2＝b 2
，若C 上存在点M ，过点M 引圆O 的两条切线，
切点分别为E ，F ，使得△MEF 为正三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1
B.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫22，1
C.⎝
⎛⎭⎪⎫32，1 D.⎝
⎛
⎦⎥⎤0，32
解析：选C 由于点O ，M ，E ，F 四点共圆，当△MEF 为正三角形时，∠EOF ＝120°，O 到EF 的距离为12b ，且|EF |＝3b ，此时正△MEF 的高为32×3b ＝3
2
b ，可得点M 到点O 的距离为2b .问题等
价于椭圆上存在点M 到坐标原点的距离为2b .设M (x 0，y 0)，则x 20
＋y 20
＝x 20
＋b 2
⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2＝c 2
a
2x 20＋b 2
，由
于0<x 2
<a 2
，所以b 2
<c 2a 2x 20＋b 2<c 2＋b 2＝a 2，所以b 2<4b 2<a 2，所以4(a 2－c 2)<a 2
，所以c 2a 2>34，所以e ＝c a >32
，
又e <1，所以e 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，1.
四、多选题（每题5分）
9、在统计中，由一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y 利用最小二乘法得到两个变量的回来
直线方程为ˆˆˆy
bx a =+，那么下面说法正确的是（） A ．直线ˆˆˆy
bx a =+至少经过点()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y 中的一个点
B ．直线ˆˆˆy
bx a =+必经过点(),x y C ．直线ˆˆˆy
bx a =+表示最接近y 与x 之间真实关系的一条直线 D ．||1r ≤，且||r 越接近于1，相关程度越大；||r 越接近于0，相关程度越小 【答案】BCD
【解析】理解回来直线的含义，逐项分析.
A ．直线ˆˆˆy
bx a =+由点拟合而成，可以不经过任何样本点，故A 错；
B ．直线ˆˆˆy
bx a =+必过样本点中心即点(),x y ，故B 正确； C ．直线ˆˆˆy
bx a =+是采纳最小二乘法求解出的直线方程，接近真实关系，故C 正确； D ．相关系数r 的肯定值越接近于1，表示相关程度越大，越接近于0，相关程度越小，故D 正确. 故选：BCD.
10、下列叙述中不正确的是（ ）
A ．“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
B ．若,,a b c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”
C ．“1a >”是“
1
1a
<”的充分不必要条件 D ．若,,a b c ∈R ,则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“240b ac -≤” 【答案】AB 【解析】 【分析】
对A ，B ，C ，D 四个选项条件和结论进行推导，推断是否正确. 【详解】
A .令2()f x x x a =++，方程20x x a ++=有一个正根和一个
负根，则(0)0f <，则有0a <，∴“1a <”是“方程20x x a ++= 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，错误.
B .当0b =时，若“a c >”成立，而220ab cb ==，充分性不成立
,错误.
C .1111,11a a a a
>⇒
<<⇒>,∴“1a >”是“1
1a <”的充分不必要条
件，正确
D .20ax bx c ++≥可以推出240b ac -≤，而240b ac -≤也可以推
出20ax bx c ++≥，正确. 故选：AB. 【点睛】
考查命题的充要条件，充分不必要条件，必要不充分条件.运用了二次函数的性质，基本不等式的性质.
11、椭圆2
2:14
x C y +=的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，以下说法正确的是（ ）
A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，
B 两点，则1ABF ∆的周长为8. B ．椭圆
C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=.
C ．椭圆C 的离心率为
1
2
D ．P 为椭圆2
214
x y +=一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为3.
【答案】ABD 【解析】 【分析】
依据椭圆的定义，可推断A ；依据数量积运算，以及椭圆的性质，可推断B ；依据离心率的定义，可推断出C ；依据点与圆位置关系，以及椭圆的性质，可推断D. 【详解】
对于选项A ，因为12,F F 分别为椭圆2
2:14
x C y +=的左右焦点，
过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，由椭圆定义可得：121224+=+==AF AF BF BF a ，
因此1ABF ∆的周长为11112248++=+++==AF BF AB AF BF AF BF a ，故A 正确；
对于选项B ，设点(),P x y 为椭圆22:14
x C y +=上随意一点，
则点P 坐标满意2
214
x y +=，且22x -≤≤
又()
1F ，)2
F ，所以()1,=--PF x y ，(
)
23,=
-PF x y ，
因此()
22
22
12313244
⋅=-+=+--=-x x PF PF x
x y x ，
由2123204⋅=-=x PF PF ，可得：[]2,23
=∈-x ，故B 正确；
对于选项C ，因为24a =，21b =，所以2413=-=c ，即c =
所以离心率为3
2
c e a =
=
，故C 错； 对于选项D ，设点(),P x y 为椭圆2
2:14
x C y +=上随意一点，
由题意可得：点(),P x y 到圆2
2
1x y +=的圆心的距离为：
222224443=+=-+=-PO x y y y y ，
因为11y -≤≤，所以max max 14013=+=-+=PQ PO .故D 正确；故选：ABD
【点睛】本题主要考查椭圆相关命题真假的判定，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简洁性质即可，属于常考题型.
2024年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议12、通过，正式起先实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球旁边一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点其次次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：
①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 1<c 2
a 2
；④c 1a 2>a 1c 2.
其中正确式子的序号是________．
[解析] 视察图形可知a 1＋c 1>a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝|PF|，即②式正确；由a 1
－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0知，a 1－c 1c 1<a 2－c 2c 2，即a 1c 1<a 2c 2，从而c 1a 2>a 1c 2，c 1a 1>c 2
a 2
，即④式正确，③式不正
确．
[答案] ②④
五、填空题（每题5分）
13、某公司当月购进A 、B 、C 三种产品，数量分别为2000、3000、5000，现用分层抽样的方法从A 、B 、C 三种产品中抽出样本容量为n 的样本，若样本中A 型产品有20件，则n 的值为_______．
【答案】100.
【解析】在分层抽样中，每层抽样比和总体的抽样比相等，则有202000200030005000
n
=++， 解得100n =，故答案为：100.
14、已知命题“x R ∃∈，使2
1
2(1)02
x a x +-+
≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 【解析】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以2
12(1)02
x a x +-+>恒
成立，所以2
()114202
a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．
【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分别，参变分别，转化为函数最值问题；或者干脆求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分别成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以实行以上方法，当二次不等式在R 上大于或者小于0恒成立时，可以干脆采纳判别式法. 15、已知椭圆
，点P 是椭圆上在第一象限上的点，F 1，F 2分别为椭圆的左、
右焦点，O 是坐标原点，过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为A ，若|OA |＝2b ，则椭圆的离心率为
．
【解析】解：如图，由题意可得，A 为F 2B 的中点， 由|OA |＝2b ，得|F 1B |＝4b ， 又|PF 2|＝|PB |，
∴|F 1B |＝|PF 1|+|PB |＝|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4b ， ∴a ＝2b ，则c ＝
＝
，得e ＝
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查椭圆的简洁性质，考查椭圆的定义及三角形中位线定理的应用，是中档题． 16、若两函数y x a =+
与y =A 、B ，O 是坐标原点，当OAB 是直角三角形时，则满意条件的全部实数a 的值的乘积为________.
【答案】
3
【解析】
()2221,0y x y y =+=≥，设()()1122,,,A y a y B y a y --
联立方程得到22
21
y x a x y =+⎧⎨+=⎩ 故22
34210y ay a -+-= (
)2221643218120a a a a ∆=-⨯-=-+><<
122
12
4032103a y y a y y ⎧
+=≥⎪⎪⎨-⎪=≥⎪⎩
故2a ≥
a ≤<
当OAB ∠为直角时，OA AB ⊥，故1:OA OA
k l y x =-∴=-，,22a a A ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
代入方程解得3
a =
，满意条件； 同理可得：当OBA ∠
为直角时，得到3
a =
当AOB ∠为直角时，1212x x y y +=()()()2
1212121220y a y a y y y y a y y a --+=-++=
代入化简得到2221420333a a a a a --+=∴=
或3
a =-（舍去）
故满意条件的有两个a =
a =
，乘积为3
故答案为：22
3
六、解答题（第17题10分，第18-22题每题12分）
17、已知集合A 是函数y ＝lg (20＋8x －x 2)的定义域，集合B 是不等式x 2－2x ＋1－a 2
≥0(a>0)的解集，p ：x∈A，q ：x∈B.
(1)若A∩B＝∅，求实数a 的取值范围；
(2)若綈p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． [解析] (1)由题意得A ＝{x|－2＜x ＜10}， B ＝{x|x≥1＋a 或x≤1－a}．
若A∩B＝∅，则必需满意⎩⎪⎨⎪
⎧1＋a≥10，
1－a≤－2，a ＞0，
解得a≥9.
∴实数a 的取值范围是[9，＋∞)．
(2)易得綈p ：x≥10或x≤－2. ∵綈p 是q 的充分不必要条件，
∴{x|x≥10或x≤－2}是B ＝{x|x≥1＋a 或x≤1－a}的真子集，则⎩⎪⎨⎪
⎧10≥1＋a ，－2≤1－a ，a ＞0，
解得0＜a≤3，
∴实数a 的取值范围是(0，3].
18、（本题满分12分）为了探讨的须要，某科研团队进行了如下动物性试验：将试验核酸疫苗注射到小白鼠身体中，通过正常的生理活动产生抗原蛋白，诱导机体持续作出免疫产生抗体，经过一段时间后用某种科学方法测算出动物体内抗体浓度，得到如图所示的统计频率分布直方图.
（Ⅰ）求抗体浓度百分比的中位数；
（Ⅱ）为了探讨“小白鼠注射疫苗后出现副作用R 症状”，从试验中分层抽取了抗体浓度在
[2.5,3.5]，[5.5,6.5]中的6只小白鼠进行探讨，并且从这6只小白鼠中选取了2只进行医学视察，
求这2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在[5.5,6.5]中的概率. 【答案】（1）4；（2）
8
15
. 【解析】（1）设抗体浓度百分比的中位数为x ，
由题意：0.15(2.5 1.5)0.2(3.5 2.5)0.3( 3.5)0.5x ⨯-+⨯-+⨯-=， 解得：4x =
所以抗体浓度百分比的中位数为4.
（2）依据频率分布直方图：抗体浓度在[2.5,3.5]，[5.5,6.5]中的比例为2:1，
则抽取的6只小白鼠中抗体浓度在[2.5,3.5]中的有2
6421⨯
=+只，分别是1A 、2A 、3A 、4A ；则抽取的6只小白鼠中抗体浓度在[5.5,6.5]中的有1
6221
⨯=+只，分别是1B 、2B ,从这6只小白鼠中选取了2只进行医学视察的样本有：12A A 、13A A 、41A A 、11A B 、12A B 、23A A 、24A A 、21A B 、
22A B 、34A A 、31A B 、32A B 、41A B 、42A B 、12B B ,共15个，其中2只小白鼠中恰有1只抗体浓
度在[5.5,6.5]中的样本有：11A B 、12A B 、21A B 、22A B 、31A B 、32A B 、41A B 、42A B ,共8个，所以2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在[5.5,6.5]中的概率为：815
P =
， 19、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的离心率为3
2
，以原点为圆心，椭圆C
的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T.求证：点T 在椭圆C 上．
[解析] (1)由题意知，b ＝22＝ 2.
因为离心率e ＝c a ＝3
2，
所以b a
＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2
＝12
. 所以a ＝2 2.
所以椭圆C 的方程为x 2
8＋y
2
2
＝1.
(2)由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，
则直线PM 的方程为y ＝y 0－1
x 0
x ＋1， ①
直线QN 的方程为y ＝y 0－2
－x 0
x ＋2. ②
法一：联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－4
2y 0－3
，
即T ⎝ ⎛⎭⎪
⎫x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3.由x 208＋y 2
02
＝1，可得x 20＝8－4y 2
0. 因为18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 0－42y 0－32＝x 20＋4（3y 0－4）2
8（2y 0
－3）2
＝8－4y 20＋4（3y 0－4）28（2y 0－3）2＝32y 20－96y 0＋728（2y 0－3）2＝8（2y 0－3）2
8（2y 0－3）2＝1，
所以点T 的坐标满意椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．
法二：设T(x ，y)，联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －4
2y －3
.
因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1.
整理得x 28＋（3y －4）22＝(2y －3)2
，
所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2
－12y ＋9，即x 28＋y 22
＝1.
所以点T 坐标满意椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．
20、已知椭圆C ：
的一个顶点为A （2，0），离心率为．直线y ＝k （x ﹣1）与
椭圆C 交于不同的两点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程； （2）当△AMN 的面积为
时，求k 的值．
【解析】解：（1）由题意得，解得a ＝2，，
∴椭圆C 的方程为；
（2）由，得（1+2k 2）x 2﹣4k 2x +2k 2
﹣4＝0．
设点M ，N 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）， 则y 1＝k （x 1﹣1），y 2＝k （x 2﹣1），
，
，
∴．
又∵点A （2，0）到直线y ＝k （x ﹣1）的距离，
∴△AMN 的面积为：
．
由，整理得：20k 4+4k 2
﹣7＝0，
解得（舍），故．
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算实力，是中档题． 21、西尼罗河病毒(WNV)是一种脑炎病毒，通常是由鸟类携带，经蚊子传播给人类。

1999年8－10月，美国纽约首次爆发了WNV 脑炎流行。

在治疗上目前尚未有什么特效药可用，感染者须要实行输液及呼吸系统支持性疗法，有探讨表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制WNV 的复制，抑制其对细胞的致病作用。

现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了使生产效率提高，该药企负责人收集了5组试验数据，得到利巴韦林的投入量x(千克)和利巴韦林含片产量y(百盒)的统计数据如下：
由相关系数r 可以反映两个变量相关性的强弱，|r|∈[0.75，1]，认为两个变量相关性很强；|r|∈[0.3，0.75)，认为两个变量相关性一般；|r|∈[0，0.3)，认为两个变量相关性较弱。

(1)计算相关系数r ，并推断变量x 、y 相关性强弱；
(2)依据上表中的数据，建立y 关于x 的线性回来方程y bx a =+。

为了使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入多少利巴韦林? 66025.69。

参考公式：相关系数r ＝
1
2
2
1
1
()()
()()
n
i
i
i n n
i
i
i i x x y y x x y y ===----∑∑∑，线性回来方程y bx a =+中，
5
1
2
1
1
()()
ˆˆˆ,,()()25()
n
i
i
i i i
n
i i
i x x y y b
a y bx x x y y x x ===--==---=-∑∑∑。

22、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的右顶点为（2，0），离心率为，
P是直线x＝4上任一点，过点M（1，0）且与PM垂直的直线交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P点的坐标为（4，3），求弦AB的长度；
（3）设直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，问：是否存在常数λ，使得k1+k3＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
【解析】解：（1）由题知a＝2，e＝＝，
∴c＝，b2＝a2﹣c2＝1，
∴椭圆方程为．
（2）∵M（1，0），P（4，3）
∴k MP＝1，
∵直线AB与直线PM垂直，
∴k AB＝﹣1，
∴直线AB方程y﹣0＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x+1，
联立，得5x2﹣8x＝0
∴x＝0或
∴A（0，1），B（），
∴|AB|＝．
（3）假设存在常数λ，使得k1+k2＝λk3．
当直线AB的斜率不存在时，其方程为x＝1，代入椭圆方程得A（1，），B（1，），此时P（4，0），易得k1+k3＝0＝k2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）
代入椭圆方程得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0，
∴x1+x2＝，，
直线PM方程为y＝﹣（x﹣1），则P（4，）
k2＝﹣
k1＝，k3＝．
k1+k3＝λk2，
，
即，
化简得：，
将x1+x2＝，，y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），代入并化简得：∴λ＝2．
综上：λ＝2．
【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，计算量较大，属于难题．。