2014年高考复习文科数学试题(80)

2014年高考复习文科数学试题(80)
D
14．已知
)
(x f 是定义在
R
上的偶函数，且1(2)()
f x f x +=-
，若当
1
0≤≤x 时，
x
x f =)(，则
=
)5.5(f .
三.解答题：（共80分）
15. （本题满分12分）已知全体实数集R ，集合{(2)(3)0}.A x x x =+-< {0}B x x a =->集合 （1）若1a =时，求()R
C A B
；（2）设A B ⊆，求实数a 的
取值范围.
16. （本题满分12分）已知12sin 13α=-，且0tan <α[来源:]
(1)求αtan ； (2)求)
2
3sin()2cos()2cos()sin(2απ
πααπαπ+---++
17． (本题满分14分) 已知0,1a a >≠，设p ：函数log (1)(0,)a
y x x =+∈+∞在内单调递减；q ：二次函数
2(23)1
y x a x =+-+ 的图象与x 轴交于不同的两点.如
果p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求a 的取值范围.
18.（本题满分14分） 已知函数
x x x x f 2
2
cos 2)cos (sin )(-+=．
（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）求函数()f x 的
最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （3）如何由函数
y x
=的图像通过适当的变换
得到函数()f x 的图像，写出变换过程.
19．（本题满分14分）
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层. 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：
()
C x =(010),35k x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费
用为8万元。

设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
（1）求k 的值及()f x 的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，
并求最小值.
20.（本题满分14分）
已知函数,
1()ln 1
()
a
f x x ax a R x
-=-+-∈ ,(0)x >
（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；
（2）当102
a ≤≤时，讨论()f x 的单调性. 参考答案
一.选择题：（每小题5分，10个小题共50分）
二. 填空题（每小题5分，4个小题共20分）
11.725-; 12. 12; 13./(0)
f ＞
/(1)
f -＞
/3()
2
f - ; 14. 2-
三.解答题：（本大题共80分） 15. （本小题满分12分） 解
：
（
1
）
当
1
a =时，
{}
1>=x x B …………………………2分
{}
32<<-=x x A ,则
{}
32≥-≤=x x x A C R 或……………………5分
故
()
R C A B {}
12>-≤=x x x 或 …………………………
8分
（2） {}
32<<-=x x A ，{}
a x x
B >= 若
A B
⊆，
则
2
-≤a …………………………12分
16. （本小题满分12分） 解：（1） 12sin 13
α=-，且0tan <α 5
12
tan -
=∴α …………………………5分
（2）
7175
1215121tan 1tan 1cos sin cos sin 2)
23sin()2cos()
2cos()sin(2-=-+
=
+-=
++-=
+---++αααααααπ
πααπαπ ………………………
…12分
17. （本小题满分14分）
解: 若函数log (1)a y x =+在(0,)+∞内单调递减，
则01a << ∴p
：01a << ………………2分
若曲线2
(23)1y x a x =+-+与x 轴交于两点 则2
(23)40a -->，
即
12
a <或52a >.
∴
q
：
1
2
a <或
52
a > ………………6分 若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题
则情形(1)P 正确，且q 不正确，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≠>≤≤<<1
0252
11
0a a a a 且 因
此
，
1[,1)2
a ∈. ………………8分
情形(2) P 不正确，且q 正确， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≠>><≥≤1
0252110a a a a a a 且或或.
因
此
,
5(,).
2
a ∈+∞ ………………12分
综上，a 取值范围为15[,1)(,)
2
2
+∞ (14)
分
18. （本小题满分14分） 解：（1）x x x x f 2
2
cos 2)cos (sin )(-+= x x x 2
cos 2cos sin 21-+=
x x 2cos 2sin -= ………………………………………………3分
)2cos 2
22sin 22(
2x x -=
)
4
2sin(2π
-=x ．………………………………………
……5分
∴函数
)
(x f 的最小正周期
ππ
==
2
2T ． …………………………6分
（2）当时即)(,8
3),(,2242Z k k x Z k k x ∈+=∈+=-π
ππππ， 有2
)(=x f
大
，此时的x 集合为
⎭⎬⎫
∈⎩
⎨
⎧+=Z k k x x ,83ππ………………10分
(3)
y x =
−−−−−−−−−−→−倍
小为原来的纵坐标不变，横坐标缩2
1
x
y 2sin 2=
−−−−−−−−→−个单位
图像上所有点向右移动8
π
)
4
2sin(2π
-=x y ……………
………14分
或
y x =
−−−−−−−−→−个单位
图像上所有点向右移动4
π
)
4
sin(2π
-
=x y
−−−−−−−−−−→−倍
小为原来的纵坐标不变，横坐标缩2
1
)
4
2sin(2π
-=x y ……………
………14分
19．（本小题满分14分）
解：（1）设隔热层厚度为()x cm ，由题设，每年能源消耗费用为()35k C x x =+．
再由(0)8C =，得40k =，……………………… 2分
因此40()35
C x x =+，而建造费用为1
()6C x x = 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
140800
()20()()2066(010)3535
f x C x C x x x x x x =+=⨯
+=+≤≤++………
… 6分
（2）2
2400'()6(35)
f x x =-+，……………………… 8分
令'()0f x =，即2
24006
(35)
x =+．
解得5x =，25
3
x =-（舍去）．……………………… 10分
当 05x <<时，'()0f x <， 当510x <<时， '()0f x >，
故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为
800
(5)6570155f =⨯+=+ 即当隔热层修建5cm 厚时， 总费用达到最小值70万元.……………………14分
20. （本小题满分14分） 解：（1）当1a =-时，2()ln 1
(0)
f x x x x x =++->，
则
(2)ln 22
f =+，即切点
为
)
22ln ,2(+……………………2分
又
222
122
'()1x x f x x x x +-=+-=
，……………………4分
则曲线
()
y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为
'(2)1
f =，
因此，切线方程为
(ln 22)2
y x -+=-，即ln 2
y x =+……………………6分
（
2
）
222
111
'()(0)a ax x a f x a x x x x
--++-=--=>，………………
……7分
设2
()1
g x ax
x a =-++-，
(0)x >,则'()()f x g x 与符号相同。

①若0a =，()1,0g x x x =->，
当1x >时，()0'()0()(1,)g x f x f x >⇒>⇒+∞在上单调递增；
当1x ≤时，()0'()0()(0,1]g x f x f x ≤⇒≤⇒在上单调递减。

②若0a ≠，则'()0()0f x g x =⇒=， 即2
10
ax
x a -++-=，解得1
2
11,1x x
a
==
-。

（ⅰ）当12a =时，1
21
x
x ==，()0g x ≤恒成立，
即'()0f x ≤恒成立，因此()f x 在(0,)+∞上单
调递减；
（ⅱ）当102a <<时，1
11a
->。

可列表如下：
综上所述：当0a =时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞单调递增；
当12
a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当102
a <<时， ()
f x 在(0,1)和1(1,)a -+∞上单调递减，在1
(1,1)a
-上单调递
增。

…………14分。