2020中考数学学习方法

2020中考数学学习方法
【数学】
初三数学分为代数、几何两个部分。

代数内容有一元二次方程、函数及其图象，统计初步三章;几何内容有解直角三角形和圆两章。

初三数学的学习，是以前两年数学学习为基础的，是对已学知识的加深、拓宽、综合与延续，是初中数学学习的重点，也是中考考查的重点。

为了学好初三数学，不妨从以下几个方面给予重视：
(一)狠抓“双基”训练。

“双基”即基础知识与基本技能。

基础知识是指数学概念、定理、法则、公式以及各种知识之间的内在联系;基本技能是一种较稳定的心理因素，是一种已经程式化了的动作，初中数学基本技能包括运算技能、画图技能、运用数字语言的技能、推理论证的技能等。

只有扎实地掌握“双基”，才能灵活应用、深入探索，不断创新。

(二)注意前后联系。

初三数学是以前两年的学习内容为基础的，可以用来复习、巩固相关的内容，同时新知识的学习常常由旧知识引入或要用到前面所学过的内容，甚至是已有知识的综合、提高与延续。

因此在学习中，要注意前后知识的联系，以便达到巩固与提高的目的。

(三)重视归纳梳理。

初三数学各章内容丰富、综合性强，学习过程中要及时进行归纳梳理，以便于对知识深入理解，系统掌握，灵活运用。

要学会从横向、纵向两方面归纳梳理知识。

纵向主要是按照知识的来龙去脉进行总结归纳，如学完函数，可按正比例函数，一次函数、二次函数、反比例函数来归纳知识。

横向是平行的、相关的知识的整合，通过对比指出其区别与联系，如学完二次函数之后，可把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)之间的联系进行归纳，这样既可以巩固新、旧知识，更可以提高综合运用知识的能力，收到事半功倍的效果。

(四)掌握基本模型，找出本质属性。

中学的“数学模型”常常是指反映数学知识规律的结论和基本几何图形。

初中代数中，运算法则、性质、公式、方程、函数解析式等均是代数的模型;平面几何中，各类知识中的基本图形均是几何模型。

通过对这些基本模型的研究，能够更好地掌握知识的本质属性，沟通知识间的联系。

重要的公式、定理是知识系统的主干，我们不仅要知其内容，还应该搞清其来龙去脉，理解其本质。

如一元二次方程的求根公式的推导，不仅体现方法，而且由此公式可得出两根与系数的关系，还可类似地推出二次函数的顶点坐标公式，所以一定要掌握推导过程。

再如，相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理尽管形式上不尽相同，但是它们之间都有着某种内在联系。

联系1：由两条弦的交点运动及割线的运动将四条定理结论统一到PA·PB=PC·PD上来;
联系2：结论形式上的统一：PA·PB=22OPR-(O为圆心，P为两弦交点)。

所以也把相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为“圆幂定理”，这也是几何的一个基本模型。

(五)掌握数学思想方法。

数学思想方法是解决数学问题的灵魂，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能的关键。

在解数学综合题时，尤其需要用数学思想方法来统帅，去探求解题思路，优化解题过程，验证所得结论。

在初三这一年的数学学习中，常用的数学方法有：消元法、换元法、配方法、待定系数法、反证法、作图法等;常用的数学思想有：转化思想，函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想。

转化思想就是把待解决或难解决的问题，通过某种转化手段，使它转化成已经解决或比较容易解决的问题，从而求得原问题的解答。

转化思想是一种最基本的数学思想，如在运用换元法解方程时，就是通过“换元”这个手段，把分式方程转化为整式方程，把高次方程转化为低次方程，总之把结构复杂的方程化为结构简单的方程。

学习和掌握转化思想有利于我们从更高的层次去揭示、把握数学知识、方法之间的内在联系，树立辩证的观点，提高分析问题和解决问题的能力。

函数思想就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，用函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题得到解决。

方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方
程组，然后利用方程的理论和方法，使问题得到解决。

方程思想在解题中有着广泛的应用，解题时要善于从题目中挖掘等量关系，能够根据题目的特点选择恰当的未知数，正确列出方程或方程组。

数形结合思想就是把问题中的数量关系和几何图形结合起来，使“数”与“形”相互转化，达到抽象思维与形象思维的结合，从而使问题得以化难为易。

具体来说，就是把数量关系的问题，转化为图形问题，利用图形的性质得出结论，再回到数量关系上对问题做出回答;反过来，把图形问题转化成一个数量关系问题，经过计算或推论得出结论再回到图形上对问题做出回答，这是解决数学问题常用的一种方法。

分类讨论思想是根据所研究对象的差异，将其划分成不同的种类，分别加以研究，从而分解矛盾，化整为零，化一般为特殊，变抽象为具体，然后再一一加以解决。

分类依赖于标准的确定，不同的标准会有不同的分类方式。

总之，数学思想方法是分析解决数学问题的灵魂，也是训练提高数学能力的关键，更是由知识型学习转向能力型学习的标志。

(六)提高数学能力。

数学能力的提高，是我们数学学习的主要目的，能力培养是目前中学数学教育中倍受关注的问题，因此能力评价也就成为数学考查中的热点。

(1)熟练准确的计算能力
数式运算、方程的解法、几何量的计算，这些都是初中数学重点解决的问题，应该做到准确迅速。

(2)严密有序的分析、推理能力
推理、论证体现的是逻辑思维能力，几何问题较多。

提高这一能力，应从以下几个方面着手：
(ⅰ)认清问题中的条件、结论，特别要注意隐含条件;
(ⅱ)能正确地画出图形;
(ⅲ)论证要做到步步有依据;
(ⅳ)学会执果索因的分析方法。

(3)直观形象的数形结合能力
“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，研究数学问题时，一定要学会利用数形结合的数学思想方法。

(4)快速高效的阅读能力
初三数学中可阅读的内容很多，平时学习中要尽可能多地去读书，通过课内、外的阅读，既可以提高兴趣、帮助理解，同时也培养了阅读能力。

如果不注意提高阅读能力，那么应对阅读量较大的考题或热点阅读理解型题目就会有些力不从心了。

(5)观察、发现、创新的探索能力
数学教育和素质教育所提倡的“过程教学”中的“过程”指的是数学概念、公式、定理、法则的提出过程、知识的形成发展过程、解题思路的探索过程、解题方法和规律的概括过程。

只有在平时的学习中注意了这些“过程”才能提高自己独立解决问题、自主获取知识，不断探索创新的能力。

(七)注重实际应用。

利用所学数学知识去探求新知识领域，去研究解决实际问题是数学学习的归宿。

加强数学与实际的联系是素质教育的要求。

解应用问题的关键是转化，即将实际应用问题转化成数学模型，再利用数学知识去解决问题，从而不断提高自己用数学的意识解决实际问题的能力。

最后要强调的是：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。

我们应该在这样的学习过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．化简(﹣a2)•a5所得的结果是( )
A.a7
B.﹣a7
C.a10
D.﹣a10
2．下列说法正确的是
A．一组数据1，2，5，5，5，3，3，这组数据的中位数和众数都是5
B．了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查（普查）方式
C．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，6 点朝上是必然事件
D．一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大
3．已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（）
A. B.
C. D.
4．一元二次方程21
40
4
x+=的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．有两个实数根
5．下列形状的地砖中，不能把地面作既无缝隙又不重叠覆盖的地砖是（）
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．长方形
6．一组数据：201、200、199、202、200，分别减去200，得到另一组数据：1、0、﹣1、2、0，其中判断错误的是（）
A．前一组数据的中位数是200
B．前一组数据的众数是200
C．后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去200
D．后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去200
7．已知一多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形是（）
A．十二边形B．十边形C．八边形D．六边形
8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上一点，以AB为边作等腰直
角三角形ABC，使∠BAC＝90°，点C在第一象限，若点C在函数y=3
x
（x＞0）的图象上，则△ABC的面
积为（）
A ．1
B ．2
C ．52
D ．3．
9．tan60︒的值为( )
A ．33
B ．23
C ．3
D ．2
10．如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 均在⊙O 上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC 的大小是（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.70°
11．不等式2x+3＞3x+2的解集在数轴上表示正确的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，则（ ）
A ．AP 2+BP 2＝A
B 2
B ．BP 2＝AP•AB
C ．AP 2＝AB•BP
D ．AB 2
＝AP•PB 二、填空题
13．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于_____度．
14．36的算术平方根是 ．
15．如图，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，AB=6，BC=8．若S △ABC =28，则DE= ．
16．若把代数式245x x --化为()2
x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则m k +=______．
17．分解因式4ab ﹣2a 2﹣2b 2＝_____．
18．如图放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为1的等边三角形，点A 在x 轴上，点O ，B 1，B 2，B 3，…都在直线1上，则点A 2019的坐标是____．
三、解答题
19．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，其中AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线PA．
（1）求证：∠PAC＝∠ABC；
（2）若∠PAC＝30°，AC＝3，求劣弧AC的长．
20．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为37°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走8米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为45°，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）求古树BH的高；
（2）计算教学楼CG的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
21．先化简，再求值：
2
2
11
1
21
x x
x x x
--
--÷
++
，其中x＝sin60°﹣1
22．已知锐角△ABC，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于F．（1）求证：△BDF≌△ADC；
（2）若BD＝4，DC＝3，求线段BE的长度．
23．已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°．
（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．
（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A(1,-4) ，B(3，-3) ，C(1，-1).（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）
（1）将△ABC向左平移3个单位，再向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所经过的路径长.
25．已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一直线上，AB＝EF ＝6cm，BC＝FP＝8cm，∠EFP＝90°，如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，EP与AB交于点G，与BD交于点K；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q 作QM⊥BD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，PQ，当点Q停止运动时，△EFP也停止运动设运动事件为（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当为何值时，PQ∥BD？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使S五边形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在运动过程中，当t为秒时，PQ⊥PE．
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A C C D A C C C D C 二、填空题
13．1440
14．
15．4
16．-7
17．﹣2（a﹣b）2．
18．（2021
2
，
20193
2
）.
三、解答题
19．（1）详见解析；（2）π.
【解析】
【分析】
(1)根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，根据切线的性质可得∠BAP＝90°，由此即可求得答案；
(2)连接OC，证明△AOC是等边三角形，继而根据弧长公式进行求解即可.
【详解】
(1)∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵PA是⊙O切线，
∴OA⊥PA，
∴∠BAP＝90°，
∴∠PAC+∠BAC＝90°，∠BAC+∠B＝90°，
∴∠PAC＝∠B．
(2)连接OC，
∵∠PAC＝30°，
∴∠B ＝∠PAC ＝30°，
∴∠AOC ＝2∠B ＝60°，
∵OA ＝OC ，
∴△AOC 是等边三角形，
∴OA ＝AC ＝3，
∴AC 的长＝603180π＝π.
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理的推论，弧长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.
20．（1）7.5；（2）25.5.
【解析】
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质即可解决问题；
（2）解直角三角形即可得到结论．．
【详解】
（1）由题意：四边形ABED 是矩形，可得DE ＝AB ＝8米，AD ＝BE ＝1.5米，
在Rt △DEH 中，∵∠EDH ＝37°，
∴HE ＝DE•tan37°≈8×0.75＝6米．
∴BH ＝EH+BE ＝7.5米；
（2）设GF ＝x 米，在Rt △GEF 中，∠GEF ＝45°，
∴EF ＝GF ＝x ，
在Rt △DFG 中，tan37°＝
8GF x DF x =+≈0.75， ∴x≈24，
∴CG ＝CF+FG ＝25.5米，
答：教学楼CG 的高度为25.5米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
21．﹣11x +；﹣233
. 【解析】
【分析】
根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
2211121x x x x x
----÷++， ＝﹣1﹣2(1)(1)(1)1x x x x x
+-⋅+- ＝﹣1+
1
x x + ＝11x x x --++ ＝﹣11
x +， 当x ＝sin60°﹣1＝32﹣1时，原式＝﹣1
3112-+＝﹣233． 【点睛】
本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
22．（1）见解析；（2）BE ＝
285. 【解析】
【分析】
（1）由题意可得AD=BD ，由余角的性质可得∠CBE=∠DAC ，由“ASA”可证△BDF ≌△ADC ；（2）由全等三角形的性质可得AD=BD=4，CD=DF=3，BF=AC ，由三角形的面积公式可求BE 的长度.
【详解】
解：（1）∵AD ⊥BC ，∠ABC ＝45°
∴∠ABC ＝∠BAD ＝45°，
∴AD ＝BD ，
∵DA ⊥BC ，BE ⊥AC
∴∠C+∠DAC ＝90°，∠C+∠CBE ＝90°
∴∠CBE ＝∠DAC ，且AD ＝BD ，∠ADC ＝∠ADB ＝90°
∴△BDF ≌△ADC （ASA ）
（2）∵△BDF ≌△ADC
∴AD ＝BD ＝4，CD ＝DF ＝3，BF ＝AC
∴BF ＝22BD DF + ＝5
∴AC ＝5，
∵S △ABC ＝12×BC×AD＝12
×AC×BE ∴7×4＝5×BE
∴BE ＝285
. 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用三角形面积公式可求BE的长度. 23．（1）20，10；（2）α＝2β；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）先利用等腰三角形的性质求出∠DAE，进而求出∠BAD，即可得出结论；
（2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；
（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，同（1）的方法即可得出结论；
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，同（1）的方法即可得出结论．
【详解】
（1）∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴∠BAC=60°，
∵AD=AE，∠ADE=70°，
∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=40°，
∴α=∠BAD=60°﹣40°=20°，
∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°，
∴β=∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=10°，
故答案为：20，10；
（2）设∠ABC=x，∠AED=y，
∴∠ACB=x，∠AED=y，
在△DEC中，y=β+x，
在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β，
∴α=2β；
（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，
如图1
设∠ABC=x，∠ADE=y，
∴∠ACB=x，∠ACE=y，
在△ABD中，x+α=β﹣y，
在△DEC中，x+y+β=180°，
∴α=2β﹣180°，
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，
如图2，同①的方法可得α=180°﹣2β．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解本题的关键是利用三角形的内角和定理得出等式．
24．(1)见解析；（2）3 2π
【解析】
【分析】
（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C，△ABC绕点C顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再先求得AC的长，再根据弧长公式列式计算即可．
【详解】
(1)如图所示：A(1,-4) ，B(3，-3) ，C(1，-1) 向左平移3个单位，再向上平移5个单位的坐标分别为A1(-2,1)、B1（0，2）、C1（－2，4）.
(2)如图所示：AC＝4－1＝3，
2903
23 3602
AAππ
=⨯⨯=.
【点睛】
考查作图-旋转变换，轨迹，作图-平移变换，解题的关键是：平移，旋转后对应点的坐标表示出来，及弧
长公式的正确运用．
25．（1）247（2）t ＝2s 时，S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD ＝9：8（3）327
【解析】
【分析】
（1）利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题．
（2）假设存在，由S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD ＝9：8构建方程即可解决问题．
（3）利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵PQ ∥BD ， ∴
PC CQ CB CD
=， ∴886t t -=， 解得t ＝
247， ∴当t ＝247
时，PQ ∥BD ． （2）假设存在．
∵S 五边形AFPQM ＝S △ABF +S 矩形ABCD ﹣S △PQC ﹣S △MQD ＝12×（8﹣t ）×6+6×8﹣12（8﹣t ）×t﹣12×（6﹣t ）×34
（6﹣t ） ＝21
5117822
t t -+． 又∵S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD ＝9：8， ∴215117822t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
：48＝9：8， 整理得：t 2﹣20t+36＝0，
解得t ＝2或18（舍弃），
∴t ＝2s 时，S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD ＝9：8．
（3）∵PQ ⊥PE ，
∴∠QPE ＝90°，
∵∠EFP ＝∠C ＝90°，
∴∠EPF+∠QPC ＝90°，∠QPC+∠PQC ＝90°，
∴∠EPF ＝∠PQC ，
∴△EPF ∽△PQC ， ∴EF PF PC CQ
=， ∴688t t
=-，
解得t＝32
7
，
∴当t＝32
7
时，PQ⊥PE．
故答案为32
7
．
【点睛】
本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，多边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，在5×5的方格纸中将图①中的图形N平移到如图②所示的位置，那么下列平移正确的是
A．先向下移动1格，再向左移动1格B．先向下移动1格，再向左移动2格
C．先向下移动2格，再向左移动1格D．先向下移动2格，再向左移动2格
2．利用计算器求值时，小明将按键顺序为的显示结果为a，
的显示结果为b，则a与b的乘积为（）
A.﹣16
B.16
C.﹣9
D.9
3．若一组数据为：2，3，1，3，3．则下列说法错误的是（）
A.这组数据的众数是3
B.事件“在这组数据中随机抽取1个数，抽到的数是0.“是不可能事件
C.这组数据的中位数是3
D.这组数据的平均数是3
4．下列命题是真命题的是（）
A．一元二次方程一定有两个实数根
B．对于反比例函数y＝2
x
，y随x的增大而减小
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E均在边AB上，且∠DCE=45°，若AD=1，BE=3，则DE的长为( )
A.3
B.4
C.
D.
6．今年3月12日，学校开展植树活动，植树小组16名同学的树苗种植情况如下表：
那么这16名同学植树棵树的众数和中位数分别是（）
A．5和6B．5和6.5C．7和6D．7和6.5
7．如图，嘉淇同学在6×6的网络纸上将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形顶点在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有（）
A．3个B．4个C．5个D．无数个
8．⊙O半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外D．点P在⊙O上或外
9．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠ADC的度数为（）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
10．规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作，若，则该等腰三角形的顶角为( )
A. B. C. D.
11．从五个数
5
1015
2
,,,.
π
--中任意抽取一个作为x，则x满足不等式2x﹣1≥3的概率是（）
A．1
5
B．
2
5
C．
3
5
D．
4
5
12．在整数范围内，有被除数＝除数×商+余数，即a＝bq+r(a≥b，且b≠0，0≤r＜b)，若被除数a和除数b确定，则商q和余数r也唯一确定，如：a＝11，b＝2，则11＝2×5+1此时q＝5，r＝1．在实数范围中，也有a＝bq+r(a≥b且b≠0，商q为整数，余数r满足：0≤r＜b)，若被除数是72，除数是2，则q与r的和( )
A．72﹣4 B．22﹣6 C．62-4 D．42-2
二、填空题
13．一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是_____________．
14．十九大报告指出：十八大以来，我国就业状况持续改善，城镇新增就业年均一千三百万人以上，一千三百万人用科学计数法表示为__________人.
15．若方程244
x a x x =+--有增根，则a=________． 16．已知a ＋b ＝3，a －b ＝5，则代数式a 2－b 2的值是________.
17．如图，已知90ACB ∠=︒，直线//MN AB ，若133∠=︒，则2∠=___________.
18．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠AOB ＝76°，则∠ACB 的度数是_____．
三、解答题
19．已知：如图，九年一班在进行方向角模拟测量时，A 同学发现B 同学在他的北偏东75°方向，C 同学在他的正南方向，这时，D 同学与BC 在一条直线上，老师觉得他们的站位很有典型性，就组织同学又测出A 、B 距离为80米，B 、D 两同学恰好在C 同学的东北方向且AD ＝BD ．求C 、D 两名同学与A 同学的距离分别是多少米(结果保留根号)．
20．包头市第二届互联网大会于2017年12月26日在石拐区召开,大会以“智慧包头 共享未来”为主题,为反映我市作为全国首批信息化建设的试点城市的成果,我市某调查公司按大会主办方要求对我市青山区居民使用互联网时间情况进行统计,现将调查结果分成五类:A.平均一天使用时间不超过1小时;B.平均一天使用1~4小时;C.平均一天使用4~6小时;D.平均一天使用6~10小时(每个时间段不包括前一个数值,包括后一个数值);E.平均一天使用超过10小时.并将得到的数据绘制成了如图所示两幅不完整的统计图,请根据相关信息,解答下列问题:
(1)将扇形统计图和条形统计图补充完整;
(2)若一天中互联网使用时间超过6小时,则称为“网络达人”.包头市青山区共有居民55万人,试估计青山区可称为“网络达人”的人数;
(3)在被调查的平均一天使用时间不超过1小时的4位我市青山区居民中有2男2女,现要从中随机选出两位居民去参加此次大会的座谈,请你用列表法或树状图法求出所选两位居民中至少有一位女士的概率.
21．如图，在平面直角坐标系中，过点A 2081,
4,33B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的直线l 分别与x 轴、y 轴交于点C ，D ． （1）求直线l 的函数表达式． （2）P 为x 轴上一点，若△PCD 为等腰三角形直接写出点P 的坐标．
（3）将线段AB 绕B 点旋转90°，直接写出点A 对应的点A 的坐标．
22．如图在由边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，已知点A ，B ，C ，D 均为网格线的交点
（1）在网格中将△ABC 绕点D 顺时针旋转90°画出旋转后的图形△A 1B 1C 1；
（2）在网格中将△ABC 放大2倍得到△DEF ，使A 与D 为对应点．
23．如图，⊙O 为Rt △ABC 的外接圆，弦AC 的弦心距为5.
（1）尺规作图：作出∠BOC 的平分线，并标出它与劣弧BC 的交点E.（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中的点E 到弦BC 的距离为3，求弦AC 的长.
24．先化简，再求值：22122121
x x x x x x x x ⎛⎫÷ ⎪+⎝⎭----++ 其中 x 满足x 2－x －1=0．
25．在如图所示的5×5的方格中，我们把各顶点都在方格格点上的三角形称为格点三角形．如图1是内部只含有1个格点的格点三角形．设每个小正方形的边长为1，完成下列问题：
（1）在图甲中画一个格点三角形，使它内部只含有2个格点，并写出它的面积．
（2）在图乙中画一个面积最大的格点三角形，使它的内部只含有A，B，C这3个格点（图乙中已标出），并写出它的面积．
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B D D C D C B C B A A
二、填空题
13．28
14．3×107
15．4
16．15
17．57°.
18．38°
三、解答题
19．C、D两名同学与A同学的距离分别是402米和803
3
米.
【解析】
【分析】
作AE⊥BC，利用直角三角形的三角函数解得即可．【详解】
解：作AE⊥BC交BC于点E，则∠AEB＝∠AEC＝90°，
由已知，得∠NAB ＝75°，∠C ＝45°，
∴∠B ＝30°，
∵BD ＝AD ，
∴∠BAD ＝∠B ＝30°，
∴∠ADE ＝60°，
∵AB ＝80，
∴AE ＝12
AB ＝40， ∴4040803AD sin sin 6033
2
====∠︒AE ADE ，4040 AC 4024522AE sin C sin ====∠︒， 答：C 、D 两名同学与A 同学的距离分别是402米和
8033米． 【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用−−方向角问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
20．(1)补全统计图,如图所示.见解析；(2)青山区可称为“网络达人”的人数为15.4万人；(3) 所选两位居民中至少有一位女士的概率为
56
. 【解析】
【分析】
（1）先根据C 类求出总人数，再由条形统计图计算出B 类人数， 然后计算B 所占百分比，根据数据补全扇形统计图和条形统计图即可;．
（2）先计算超过6小时的比例，再乘以求出55万即可；
（3）用列表法或树状图法列出所有可能的情况，按概率公式计算即可．
【详解】
(1)根据题意得:20÷40%=50(人),
则B 类的人数为50-(4+20+9+5)=12(人),
B 类的人数所占百分比:12÷50×100%=24%,
补全统计图,如图所示
.
(2)根据题意得:5950
+×55=15.4(万人),
答:青山区可称为“网络达人”的人数为15.4万人.
(3)树状图如下
:
或列表如下:
男1 男2 女1 女2 男
1
—— (男2,男1) (女1,男1) (女2,男1) 男
2
(男1,男2) —— (女1,男2) (女2,男2) 女
1
(男1,女1) (男2,女1) —— (女2,女1) 女
2 (男1,女2) (男2,女2) (女1,女2) ——
所有等可能的情况有12种,其中所选两位居民中至少有一位女士共有10种,
则P(至少有一位女士)=1012=56
. 答:所选两位居民中至少有一位女士的概率为
56. 【点睛】
本题考查了条形统计图、扇形统计图，两图结合是解题的关键．
21．（1）483y x =-
+；（2）（﹣6，0），（﹣4，0），（16，0）或（﹣73
，0）；（3）点A′的坐标为（0，﹣13）或（8，173）． 【解析】
【分析】
（1）由点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出直线l 的函数表达式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C ，D 的坐标，进而可得出CD 的长，分DC ＝DP ，CD ＝CP ，PC ＝PD 三种情况考虑：①当DC ＝DP 时，利用等腰三角形的性质可得出OC ＝OP 1，进而可得出点P 1的坐标；②当CD ＝CP 时，由CP 的长度结合点C 的坐标可得出点P 2，P 3的坐标；③当PC ＝PD 时，设OP 4＝m ，利用勾股定理可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值，进而可得出点P 4的坐标．综上，此问得解；
（3）过点B 作直线l 的垂线，交y 轴于点E ，则△DOC ∽△DBE ，利用相似三角形的性质可求出点E 的坐标，由点B ，E 的坐标，利用待定系数法可求出直线BE 的函数表达式，设点A′的坐标为（n ，
34n ﹣13），由A′B＝AB 可得出关于n 的一元二次方程，解之即可得出点A′的坐标，此题得解．。