高三理科数学培养讲义：第2部分 专题6 第14讲 函数与方程及函数的应用

第14讲函数与方程及函数的应用高考统计·定方向
题型1 函数的零点
■核心知识储备·
1．零点存在性定理
如果函数y＝f在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有fa·fb<0，那么，函数y＝f在区间a，b内有零点，即存在c∈a，b使得fc＝0，这个c也就是方程f＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系
函数f＝f－g的零点就是方程f＝g的根，即函数y＝f的图象与函数y＝g的图象交点的横坐标．
■高考考法示例·
【例1】1已知函数f＝a＝f＝－ln2a－a·＞0，解得0＜a＜，故a的取值范围为，故选C．]【教师备选】
1已知偶函数f满足f－1＝，且当∈[－1,0]时，f＝2，若在区间[－1,3]内，函数g＝f－log a＋2有3个零点，则实数a
的取值范围是________．
2已知实数f＝若关于的方程f2＋f＋t＝0有三个不同的实根，则t的取值范围为________．
13,52－∞，－2] [1∵偶函数f满足f－1＝，
且当∈[－1,0]时，f＝2，
∴f－2＝f－1－1＝＝f，
∴函数f的周期为2，在区间[－1,3]内函数g＝f－log a＋2有3个零点等价于函数f的图象与y＝log a＋2的图象在区间[－1,3]内有3个交点．
当0<a<1时，函数图象无交点，数形结合可得a>1且解得3<a<5
2法一：原问题等价于f2＋f＝－t有三个不同的实根，即y ＝－t与y＝f2＋f的图象有三个不同的交点．当≥0时，y＝f2＋f＝e2＋e为增函数，在＝0处取得最小值2，与y＝－t只有一个交点．当<0时，y＝f2＋f＝lg2－＋lg－，根据复合函数的单
调性，其在－∞，0上先减后增．所以，要有三个不同交点，则需－t≥2，解得t≤－2
法二：设m＝f，作出函数f的图象，如图所示，则当m≥1时，m＝f有两个根，当m<1时，m＝f有一个根，若关于的方程f2＋f＋t＝0有三个不同的实根，则等价为m2＋m＋t＝0有两个不同的实数根，且m≥1或m<1，当m＝1时，t＝－2，此时由m2＋m－2＝0，解得m＝1或m＝－2，满足f＝1有两个根，f＝－2有一个根，满足条件；当m≠1时，设hm＝m2＋m＋t，则h1<0即可，即1＋1＋t<0，解得t<－2，综上，实数t的取值范围为t≤－2]
[方法归纳]
已知函数有零点方程有根或图象有交点求参数的值或取值范围常用的方法：
1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式，再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围
2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决
3数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解
■对点即时训练·
1．2022·保定市一模定义在R上的偶函数f满足f＋1＝－f，当∈[0,1]时，f＝－2＋1，设函数g＝
■高考考法示例·
►角度一恒成立问题
【例2－1】1已知在－∞，1]上递减的函数f＝2－2t＋1，且对任意的1，2∈[0，t＋1]，总有|f1－f2|≤2，则实数t的取
值范围为
A．[－，] B．[1，]
C．[2,3] D．[1,2]
2若不等式2ln≥－2＋a－3恒成立，则实数a的取值范围为________．
1B2－∞，4][1由题意f在－∞，1]上递减得t≥1，由对任意的1，2∈[0，t＋1]，总有|f1－f2|≤2，
得f ma－f min≤2，即f0－ft≤2，t2≤2，因此1≤t≤，选B 2原不等式等价于a≤2ln＋＋恒成立，
设f＝2ln＋＋，则f′＝＞0，
当∈0,1时，f′＜0，函数f单调递减；
当∈1，＋∞时，f′＞0，函数f单调递增，所以f min＝f1＝4，
∴a≤4]
►角度二存在性问题
【例2－2】12022·全国卷Ⅰ设函数f＝e2－1－a＋a，其中a＜1，若存在唯一的整数0使得f0＜0，则a的取值范围是
A．B．
C．D．
22022·佛山模拟已知函数f＝2＋2－＜0与g＝2＋log2＋a 的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是A．－∞，－B．－∞，
C．－∞，2 D．
1D2B[1法一：设g＝e2－1，y＝a－a，由题知存在唯一的整数0，使得g0在直线y＝a－a的下方．因为g′＝e2＋1，所以当＜－时，g′＜0，当＞－时，g′＞0，所以当＝－时，[g]min
＝－2e in>A；
2∀∈D，均有f＜A恒成立，则f ma<A；
3∀∈D，均有f>g恒成立，则f＝f－g>0，∴f min>0；
4∀∈D，均有f＜g恒成立，则f＝f－g<0，∴f ma<0；
5∀1∈D,∀2∈E，均有f1>g2恒成立，则f min>g ma；
6∀1∈D,∀2∈E，均有f1<g2恒成立，则f ma<g min
12022·贵州模拟已知函数f＝e2＋1＋1a＋3a－1，若存在∈0，＋∞，使得不等式f＜1成立，则实数a的取值范围为A．B．
C．D．
2设0≤α≤π，不等式82－8sinα＋cos2α≥0对∈R恒成立，则α的取值范围为________．
1C2∪[1因为存在∈0，＋∞，使得不等式f＜1成立，故a＜，显然当a≤0时满足题意，排除A、B选项；又当a>0时，由∈0，＋∞，得＜＋1＝，且＜，故0＜a＜
综上可知，实数a的取值范围为，故选C．
2根据题意有64sin2α－32cos2α≤0，即sin2α≤，又
0≤α≤π，故α的取值范围是∪]
■对点即时训练·
1．2022·乌鲁木齐模拟设函数f＝e3－3＋3－a e－，若不等式f≤0有解，则实数a的最小值为
A．－1 B．2－
C．1＋2e2D．1－
D[∵f＝e3－3＋3－a e－≤0，
∴a≥3－3＋3－令g＝3－3＋3－，则g′＝32－3＋＝－1，
所以，当∈－∞，1时，g′＜0，
当∈1，＋∞时，g′＞0，
故g在－∞，1上是减函数，在1，＋∞上是增函数，故g min ＝g1＝1－3＋3－＝1－，故选D]
2．2022·高台模拟已知函数f＝＋，若对任意∈R，f＞a恒成立，则实数a的取值范围是
A．－∞，1－e B．1－e,1]
C．[1，e－1 D．1－e，＋∞
B[函数f＝＋对任意∈R，f＞a恒成立，∴＋＞a恒成立，即＞a－1恒成立．
设g＝，h＝a－1，∈R，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示．
则满足不等式恒成立时，h的图象在g图象下方，
又g′＝－e－，故过原点0,0的函数g的切线方程为y＝－设切点0，y0，则y0＝－e，若对∀1∈[－1,2]，∃2∈[0,2]，使得f1＞g2，则实数m的取值范围是________．[由题意只要f在[－1,2]上的最小值大于g在[0,2]上的最小值即可，显然当∈[－1,2]时，f的最小值为0，当∈[0,2]时，g的最小值为－m，所以0＞－m，
所以m＞]
题型3 函数的实际应用
■核心知识储备·
函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序
1常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．
2应用函数模型解决实际问题的一般程序
⇒⇒⇒
3解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．
■高考考法示例·
【例3】12022·宝鸡市高三质量检测三“酒驾猛于虎”．所以交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过mL假设某人喝了少量酒，血液中酒精含量也会迅速上升到mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度
减少，则他至少要经过小时候才可以驾驶机动车．A．1 B．2
C．3 D．4
2某工艺品厂要设计一个如图2­6­21所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2­6­22所示，其周长为4m．这种材料沿其对角线折叠后就出现图2­6­21的情况．如图，ABCDAB＞AD为长方形材料，沿AC折叠后AB′交DC于点，用表示图中DP的长度，并写出的取值范围；
②求面积S2最大时，应怎样设计材料的长和宽
③求面积S1＋2S2最大时，应怎样设计材料的长和宽？
1
2
图2­6­2
1B[设n个小时后才可以驾驶机动车，根据题意可得×1－50%n＝，即＝，解得n＝2
即至少要经过2个小时后才可以驾驶机动车．故选B]
2[解]①由题意，AB＝，BC＝2－
因为＞2－，所以1＜＜2
设D，
宽为2－m时，S2最大．
③S1＋2S2＝2－＋2－
＝3－，1＜＜2
于是S1＋2S2′＝－＝＝0，
所以＝
关于的函数S1＋2S2在1，上递增，在，2上递减．所以当＝时，S1＋2S2取得最大值．
故当材料长为m，
宽为2－m时，S1＋2S2最大．
■对点即时训练·
如图2­6­3，某小区有一边长为2的正方形地块OABC，其中阴影部分是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE 相切的直路l宽度不计，切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若池边AE为函数y＝－2＋20≤≤的图象，且点M到边OA的距离为t，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积的最大值为________．
图2­6­3
2 [Mt，－t2＋2，过切点M的切线l：y－－t2＋2＝－2t－t，即y＝－2t＋t2＋2，令y＝2得＝，故切线l与AB交于点；令y＝0，得＝＋，故切线l与OC交于点，又＝＋在上单调递减，所以＝＋∈，所以地块OABC在切线l右上部分区域为直角梯形，面积S＝×2＝4－t－＝4－≤2，当且仅当t＝1时等号成立，故地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积的最大值为2]
[高考真题]
12022·全国卷Ⅲ已知函数f＝2－2＋a e－1＋e－＋1有唯一零点，则a＝
A．－B．
C．D．1
C[法一：换元法f＝2－2＋a e－1＋e－＋1＝－12＋a[e－1＋e－－1]－1，
令t＝－1，则gt＝ft＋1＝t2＋a e t＋e－t－1
∵g－t＝－t2＋a e－t＋e t－1＝gt，
∴函数gt为偶函数．
∵f有唯一零点，∴gt也有唯一零点．
又gt为偶函数，由偶函数的性质知g0＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝
故选C．
法二：等价转化法f＝0⇔a e－1＋e－＋1＝－2＋2
e－1＋e－＋1≥2＝2，
当且仅当＝1时取“＝”．
－2＋2＝－－12＋1≤1，当且仅当＝1时取“＝”．
若a＞0，
则a e－1＋e－＋1≥2a，
要使f有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝
若a≤0，则f的零点不唯一．
故选C．]
[最新模拟]
2．2022·浦东新区一模某食品的保鲜时间y单位：小时与储存温度单位：℃满足函数关系y＝e＋b e＝…为自然对数的底数，、b为常数，若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是小时．A．22 B．23
C．24 D．33
C[由题意可得，
解得，∴e33＋b＝3×e b＝×192＝24，
∴该食品在33℃的保鲜时间是24小时，故选C．]
3．2022·雅安市三诊已知函数f＝e－2－2e＋2只有一个零
点，则实数的取值范围为
A．－∞，e] B．[0，e]
C．－∞，e D．[0，e
D[∵函数f＝e－2－2e＋2，
∴f＝e－－2，若函数f只有一个零点，则＝2是唯一的零点，故y＝e－无零点，等价于y＝e与y＝无交点．
画出函数的图象，如图所示：
由图象可得≥0
设y＝e与y＝的切点坐标为A0，e．
∴e＝，则0＝1，即＝e
∴∈[0，e时，图象无交点，即函数f只有一个零点．故选D]
4．2022·红桥区一模已知函数f＝，函数g＝a sin－2a＋2a ＞0，若存在1，2∈[0,1]，使得f1＝g2成立，则实数a的取值范围是
A．B．
C．D．
C[当∈[0,1]时，f＝，值域是[0,1]，g＝a sin－2a＋2a ＞0值域是，
∵存在1，2∈[0,1]使得f1＝g2成立，
∴[0,1]∩≠∅，
若[0,1]∩＝∅，则2－2a＞1或2－＜0，即a＜或a＞，∴a的取值范围是故选C．]。