福建省莆田第八中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题

莆田八中高二上数学(文)期末考试
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0 ，则┐p 为( )
A ．∃x 0∈R ，x 20＋1>0
B ．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0
C ．∃x 0∈R ，x 20＋1<0
D ．∀x ∈R ， x 2＋1≤0 2．对∀k ∈R ，则方程x 2＋ky 2＝1所表示的曲线不可能是( )
A ．两条直线
B ．圆
C ．椭圆或双曲线
D ．抛物线
3．设双曲线x 2a 2－y 29
＝1(a>0)的渐近线方程为3x±4y＝0，则a 的值为( ) A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 4．以双曲线x 24－y 212
＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216
＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216
＝1 5．设点P(x ，y)，则“x＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．函数f(x)＝x 2＋2x f'(1)，则f(－1)与f(1)的大小关系为( )
A ．f(－1)＝f(1)
B ．f(－1)＜f(1)
C ．f(－1)＞f(1)
D ．无法确定
7．已知命题p ：∀x∈R, 2x ＜3x ；命题q ：∃x∈R，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )
A ．p∧q B． p∧q
C ．p∧q D． p∧q
8．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为3，则线段AB 的长度为( )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
9.已知函数y ＝f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
10．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( ) A ．(1， 5 ] B ．[5，＋∞)
C ．(1，5)
D ．(5，＋∞)
11．若函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2
＋1在区间(0,4)上是减函数，则k 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13
B.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 D.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，13 12．对二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a 为非零整数．．
)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )
A ．－1是f(x)的零点
B ．1是f(x)的极值点
C ．3是f(x)的极值
D ．点(2,8)在曲线y ＝f(x)上
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．命题“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是____________________
14．已知p(x)：x 2＋2x －m ＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．
15．曲线f(x)＝x ＋1x (x ＞0)在点(1,f(1))处的切线方程为________________．
16．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满
足PF 1⊥PF 2，则 e 21＋e 22e 21e 22 的值为________．
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2
－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若┐p 是┐q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
18．(本小题满分12分)斜率为2的直线l 在双曲线x 23－y 22
＝1上截得的弦长为6，求l 的方程．
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R.
(1)若f(x)在x ＝3处取得极值，求常数a 的值；
(2)在(1)的条件下求函数f(x)的极值．
20．(本小题满分12分)已知抛物线E ：x 2＝2py(p>0)，直线y ＝kx ＋2与E 交于A ，B 两点，且OA →·OB
→＝2，其中O 为原点．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)点C 坐标为(0，－2)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 21＋k 22－2k 2
为定值．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝13x 3－12
x 2＋cx ＋d 有极值． (1)求实数c 的取值范围；
(2)若f(x)在x ＝2处取得极值，且当x ＜0时，f(x)＜16
d 2＋2d 恒成立，求实数d 的取值范围．
22.(本小题满分12分)如图，已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为
32，点A ，B 分别是椭圆C 的长轴、短轴的端点，点O 到直线AB 的距离为655
. (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知点E(3,0)，设点P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，满足EP ⊥EQ ，求EP →·QP →的取值范围．
参考答案
BDADA CBBBD DA
若x ≤－1或x ≥1，则x 2≥1 [3,8) 3x ＋y －5＝0 2
17解 命题p ：A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x≤1，命题q ：B ＝{x|a≤x≤a＋1}． ∵┐p 是┐q 的必要不充分条件，
∴q 是p 的必要不充分条件，即A ⫋B.
∴a ＋1≥1且a≤12，∴0≤a ≤12
. 18解：设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋m ，x 23－y 22
＝1， 得10x 2＋12mx ＋3(m 2
＋2)＝0.(*) 设直线l 与双曲线交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，由根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2)． ∴|AB|2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝5(x 1－x 2)2
＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]
＝5⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3625m 2－4×3102＋. ∵|AB|＝6，∴365
m 2－6(m 2＋2)＝6. ∴m 2
＝15，m ＝±15.
由(*)式得Δ＝24m 2－240，
把m ＝±15代入上式，得Δ>0，
∴m 的值为±15，
∴所求l 的方程为y ＝2x±15.
19解：(1)f′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ．
因为f(x)在x ＝3处取得极值，
所以f′(3)＝0，解得a ＝3.
经检验知，当a ＝3时，x ＝3为f(x)的极值点．
(2)x=1时，有极大值16，x ＝3时，有极小值8
20解：(1)将y ＝kx ＋2代入x 2＝2py ，
得x 2－2pkx －4p ＝0，
其中Δ＝4p 2k 2
＋16p>0.
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－4p.
OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2
＝x 1x 2＋x 212p ·x 222p
＝－4p ＋4. 由已知，－4p ＋4＝2，p ＝12
， 所以抛物线E 的方程为x 2＝y.
(2)证明：由(1)知，x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2.
k 1＝y 1＋2x 1＝x 21＋2x 1＝x 21－x 1x 2x 1
＝x 1－x 2， 同理k 2＝x 2－x 1，
所以k 21＋k 22－2k 2＝2(x 1－x 2)2－2(x 1＋x 2)2
＝－8x 1x 2＝16.
21解：(1)∵f(x)＝13x 3－12
x 2＋cx ＋d ， ∴f′(x)＝x 2－x ＋c ，
要使f(x)有极值，则方程f′(x)＝x 2－x ＋c ＝0有两个不相等的实数解，
从而Δ＝1－4c ＞0，∴c ＜14
. 即实数c 的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，14. (2)∵f(x)在x ＝2处取得极值，
∴f′(2)＝4－2＋c ＝0，∴c ＝－2.
∴f(x)＝13x 3－12
x 2－2x ＋d. ∵f′(x)＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)，
∴当x ∈(－∞，－1]时，f′(x)＞0，函数单调递增；
当x ∈(－1,2]时，f′(x)＜0，函数单调递减．
∴x ＜0时，f(x)在x ＝－1处取得最大值76
＋d ， ∵x ＜0时，f(x)＜16
d 2＋2d 恒成立， ∴76＋d ＜16
d 2＋2d ， 即(d ＋7)(d －1)＞0，
∴d ＜－7或d ＞1，
即实数d 的取值范围是(－∞，－7)∪(1，＋∞).
22解：(1)由离心率e ＝c a ＝32
， 得b a ＝ 1－e 2＝12
. ∴a ＝2b.①
∵原点O 到直线AB 的距离为655
， 直线AB 的方程为bx －ay ＋ab ＝0， ∴ab a 2＋b
2＝655.② 将①代入②，得b 2＝9，∴a 2＝36.
则椭圆C 的标准方程为x 236＋y 2
9
＝1. (2)∵EP ⊥EQ ，
∴EP ―→·QP ―→＝0，
∴EP ―→·QP ―→＝EP ―→·(EP ―→－EQ ―→)＝EP ―→2.
设P(x ，y)，则y 2＝9－x 24， ∴EP ―→·QP ―→＝EP ―→2
＝(x －3)2＋y 2
＝x 2－6x ＋9＋9－x 24 ＝34
(x －4)2＋6. ∵－6≤x≤6，
∴6≤34
(x －4)2＋6≤81. 故EP ―→·QP ―→的取值范围为[6,81]．。