高考数学压轴专题2020-2021备战高考《函数与导数》知识点总复习含答案解析

【最新】数学《函数与导数》专题解析
一、选择题
1．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且当2x >时，
()()2()x f x f x f x ''⋅+>，若(1)1f =.则不等式1
()2
f x x <
-的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(,1)-∞
C ．()(1,2)2,3⋃
D ．()(,1)3,-∞⋃+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
令()|2|()F x x f x =-，当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，利用导数可得当2x >时，
()F x 单调递增，根据题意可得()F x 的图象关于2x =对称，不等式1
()|2|
f x x <
-等价
于|2|()1(2)x f x x -<≠，从而()(1)F x F <，利用对称性可得|2||12|x -<-，解不等式即可. 【详解】
当2x >时，()()2()x f x f x f x ''⋅+>，∴(2)()()0x f x f x '-+>， 令()|2|()F x x f x =-.
当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，()(2)()()0F x x f x f x ''=-+>， 即当2x >时，()F x 单调递增. 函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，
所以(2)(2)F x F x +=-，即()F x 的图象关于2x =对称， 不等式1
()|2|
f x x <
-等价于|2|()1(2)x f x x -<≠， (1)|12|(1)(1)1F f f =-==，即()(1)F x F <，
所以|2||12|x -<-，解得13x <<且2x ≠，解集为(1,2)(2,3)U . 故选：C 【点睛】
本题考查了导数在解不等式中的应用、函数的对称性的应用以及绝对值不等式的解法，属于中档题.
2．函数()2
sin f x x x x =-的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
分析函数()y f x =的奇偶性，并利用导数分析该函数在区间()0,+∞上的单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】
因为()()()()()2
2sin sin f x x x x x x x f x -=----=-=，且定义域R 关于原点对称，所以函数()y f x =为偶函数，故排除B 项；
()()2sin sin f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x ='-≥恒成
立，所以函数()y g x =单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=， 任取120x x >>，则()()120g x g x >>，所以，()()1122x g x x g x >，
()()12f x f x ∴>，
所以，函数()y f x =在()0,+∞上为增函数，故排除C 、D 选项. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用函数解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、函数零点以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
3
．3
6ax ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ） A ．2ln 2 B ．ln 2 C ．2 D ．1
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入1
1
a
dx x
⎰
即可求出结果. 【详解】
解题分析
根据二项式3
ax ⎛- ⎝⎭
的展开式的通项公式得2
21
213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44
a
a ∴=∴=，
则4
4
111
11d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰.
故选：A 【点睛】
本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k k
k n T a b -+=.属于中等
题.
4．设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=L ( ) A ．222e e + B ．25050e e + C ．2100100e e + D ．222e e --
【答案】A 【解析】 【分析】
由()()22f x f x -=+可得对称轴，结合奇偶性可知()f x 周期为8；可将所求式子通过周期化为()()()()1234f f f f +++，结合解析式可求得函数值. 【详解】
由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称
又()f x Q 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数
()()()()()()()()()1281241240
f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-=Q 且()()()()2
123422f f f f e e +++=+
()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222e e =+
故选：A 【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值.
5．已知()ln x
f x x
=
，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 在()0,e 上单调递增 B ．()()24f f = C ．当01a b <<<时，b a a b < D ．20192020
log 20202019
>
【答案】D 【解析】 【分析】
根据2
1ln (),(0,)x
f x x x -'=
∈+∞，可得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，进而判断得出结论. 【详解】
2
1ln (),(0,)x
f x x x
-'=
∈+∞Q ∴对于选项A ，可得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，故A 正确；
对于选项B ，()2ln 4ln 2ln 2
4(2)442
f f ====，故B 正确；
对于选项C ，由选项A 知()f x 在()0,1上也是单调递增的，01a b <<<Q ，
ln ln a b
a b
∴
<，可得b a a b <，故选项C 正确； 对于选项D ，由选项A 知()f x 在(),e +∞上单调递减，
(2019)(2020)f f ∴>，即
ln 2019ln 202022019020>⇒20192020ln 2020
log 2020ln 02019
219>=， 故选项D 不正确. 故选：D 【点睛】
本题考查导数与函数单调性、极值与最值的应用及方程与不等式的解法，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.
6．在二项式2
6
()2a x x
+
的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）
A ．
146π
+
B ．
146
π
- C ．
4
π D ．
16
【答案】B 【解析】 【分析】
用二项式定理得到中间项系数，解得a ，然后利用定积分求阴影部分的面积． 【详解】
（x 2+a 2x ）6展开式中，由通项公式可得122r 162r
r r r a T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭
, 令12﹣3r ＝0，可得r ＝4,即常数项为446
2a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得4
46
2a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝15，解得a ＝2．
曲线y ＝x 2和圆x 2+y 2＝2的在第一象限的交点为（1，1）
所以阴影部分的面积为()1
223100
1
11
-x-x |4
42346
dx x x π
ππ⎛⎫=
--=- ⎪⎝⎭⎰． 故选：B 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
7．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋2
4x x
－，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两
点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为
A ．（
8
5，＋∞） B ．（
16
5
，＋∞） C ．[
8
5
，＋∞） D ．[
16
5
，＋∞） 【答案】B
【解析】 【分析】
利用过M 、N 点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x 1+x 2 的取值范围． 【详解】 由题得f′（x ）=4k k x +
﹣24x ﹣1=﹣2244x k x k x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=﹣()2
4x k x k x ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，（x ＞0，k ＞0）
由题意，可得f′（x 1）=f′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2），
即2
1144k k x x +
-﹣1=2
4
k k x +
﹣224x ﹣1，
化简得4（x 1+x 2）=（k+4
k
）x 1x 2， 而x 1x 2＜2
12(
)2
x x +， 4（x 1+x 2）＜（k+
4
k ）21
2()2
x x +， 即x 1+x 2＞
16
4k k
+
对k ∈[4，+∞）恒成立， 令g （k ）=k+
4k
， 则g′（k ）=1﹣
24k =()()2
22k k k +-＞0对k ∈[4，+∞）恒成立， ∴g （k ）≥g （4）=5， ∴
16
4k k
+≤16
5
， ∴x 1+x 2＞
165
， 故x 1+x 2的取值范围为（16
5
，+∞）. 故答案为B 【点睛】
本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题
的关键，属于中档题.
8．函数22cos x x
y x x
--=-的图像大致为（ ）.
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】 本题采用排除法: 由5522
f f ππ
⎛⎫⎛⎫
-
=- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
排除选项D ； 根据特殊值502
f π
⎛⎫
>
⎪⎝⎭
排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【详解】
对于选项D:由题意可得, 令函数()
f x = 22cos x x
y x x
--=-,
则5522
52252
2
f ππππ-
-⎛⎫-= ⎪⎝⎭
,552
2
52252
2
f ππππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭
;
即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫
-
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.故选项D 排除;
对于选项C ：因为552
2
522052
2
f ππππ-
-⎛⎫=>
⎪⎝⎭
,故选项C 排除;
对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时
()0f x <.故选项B 排除;
故选项:A 【点睛】
本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
9．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22
a b a b
+-的最小值等于（ ）．
A
B
．C
．2
D
．【答案】D 【解析】
试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b = 所以lg lg a b =- 所以1
a b
=
，即1ab =，0a b >> 22a b a b
+-22()2()2
2()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+
--
-≥= 当且仅当2
a b a b
-=
-
，即a b -=时等号成立 所以22
a b a b +-
的最下值为故答案选D
考点：基本不等式．
10．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2−x ），若函数 y=|x 2−2x−3|与y=f （x ）图像的交点为（x 1,y 1），（x 2,y 2），…，（x m ,y m ），则1
=m
i i x =∑
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m
【答案】B 【解析】
试题分析：因为2
(),23y f x y x x ==--的图像都关于1x =对称，所以它们图像的交点
也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22
m
m ⨯
=；当m 为奇数时，其和为1
212
m m -⨯
+=，因此选B. 【考点】 函数图像的对称性 【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2
a b
x +=
；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(
,0)2
a b
+.
11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()01f =，且()f x 的导函数'()f x 满足'()1f x >，
则不等式()()ln ln f x ex <的解集为（ ） A ．()0,1 B ．()1,e
C ．()0,e
D ．(),e +∞
【答案】A 【解析】 【分析】
设()()g x f x x =-，由题得()g x 在R 上递增，求不等式()()ln ln f x ex <的解集，即求不等式(ln )(0)g x g <的解集，由此即可得到本题答案. 【详解】
设()()g x f x x =-，则(0)(0)01g f =-=，()()1g x f x '='-， 因为()1f x '>，所以()0g x '>，则()g x 在R 上递增，
又(ln )ln()1ln f x ex x <=+，所以(ln )ln 1f x x -<，即(ln )(0)g x g <， 所以ln 0x <，得01x <<. 故选：A 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，其中涉及到构造函数.
12．设奇函数()f x 在[]11-，上为增函数，且()11f =，若[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，，
不等式()2
21f x t at ≤--成立，则t 的取值范围是（ ）
A ．22t -≤≤
B ．11
22
t -
≤≤ C ．2t ≥或2t ≤-或0t =
D ．1
2
t ≥
或12t ≤-或0t =
【答案】C 【解析】 【分析】
()f x 在[]11x ∈-，上为增函数,[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，,不等式()221f x t at ≤--成
立,只需对于[]11a ∀∈-，,()2
121f t at -≤--即可.
【详解】
∵奇函数()f x 在[]11x ∈-，上为增函数，且()11f =， ∴函数在[]11x ∈-，上的最小值为()()111f f -=-=-，
又∵[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，，不等式()2
21f x t at ≤--成立，
∴()2
2111t at f --≥-=-，
即220t at -≥， ①0t =时，不等式成立；
②0t >时，()2
220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≥，解得2t ≥；
③0t <时，()2
220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≤，解得2t ≤-
故选：C. 【点睛】
本题考查了含参数不等式恒成立问题，需要将不等式问题转化为函数最值问题，考查了理解辨析能力、运算求解能力和分类讨论思想，是中档题.
13．若点1414(log 7,log 56)在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为（ ） A ．1 B ．
3
2
C ．2
D ．
34
【答案】B 【解析】 【分析】
将点的坐标代入函数()y f x =的解析式，利用对数的运算性质得出k 的值，再解方程
()0f x =可得出函数()y f x =的零点．
【详解】
141414141414log 56log 4log 1412log 212(1log 7)32log 7=+=+=+-=-Q ，
2k ∴=-，()2 3.f x x =-+故()f x 的零点为3
2
，故选B.
【点睛】
本题考查对数的运算性质以及函数零点的概念，解题的关键在于利用对数的运算性质求出参数的值，解题时要正确把握零点的概念，考查运算求解能力，属于中等题．
14．已知函数()ln x f x x =，则使ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点的a 的取值范围（ ） A ．(0,1)
B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【答案】B
【解析】
【分析】 令()ln x t f x x ==
，利用导数研究其图象和值域，再将ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln t a t =
在[),e +∞上只有一解求解. 【详解】
令()ln x t f x x ==，当01x <<时，()0ln x t f x x
==<， 当1x >时，()2ln 1
()ln x t f x x -''==，
当1x e <<时，0t '<，当x e >时，0t '>，
所以当x e =时，t 取得最小值e ，所以t e ≥，
如图所示：
所以ln ()()()f x g x a f x =
-有2个零点，转化为ln t a t =在[),e +∞上只有一解， 令ln t m t =，21ln 0t m t -'=≤，所以ln t m t
=在[),e +∞上递减， 所以10m e <≤
， 所以10a e <≤
，当1a e =时，x e =，只有一个零点，不合题意， 所以10a e
<<
故选：B
【点睛】
本题主要考查导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
15．已知函数()()2f x x +∈R 为奇函数，且函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，当[]0,1x ∈时，()2020x f x =
，则()2020f =（ ） A ．2020
B ．12020
C ．11010
D ．0
【答案】D
【解析】
【分析】 根据题意，由函数()f x 的对称性可得()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，进而可得()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得
()()20200f f =，由函数的解析式计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，函数()2f x +为奇函数，即函数()f x 的图象关于点()2,0对称，则有()()4f x f x -=-+，
函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则()()2f x f x -=+，
变形可得：()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，
则有()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，
()()()20200505400f f f ∴=+⨯==；
故选：D ．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，难度一般.一般地，若一个奇函数有对称轴（或一个偶函数有对称中心），可分析出函数具有周期性.
16．已知函数()f x 为偶函数，当x ＜0时，2()ln()f x x x =--，则曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程为（ ）
A ．x -y ＝0
B ．x -y -2＝0
C ．x +y -2＝0
D ．3x -y -2＝0
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出当0x >时，()f x 的解析式，再利用导数的几何意义计算即可得到答案.
【详解】
当0x >时，0x -<，2()ln f x x x -=-，又函数()f x 为偶函数，所以
2()ln f x x x =-，
(1)1f =，所以'1()2f x x x
=-，'(1)1f =，故切线方程为11y x -=-，即y x =. 故选：A ．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，涉及到函数的奇偶性求对称区间的解析式，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
17．若关于x 的不等式220x ax -+>在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是（ ） A
．)+∞
B
．(,-∞ C ．(,3)-∞ D ．27(,)5-∞ 【答案】D
【解析】
【分析】
把220x ax -+>在区间[]1,5上有解，转化为存在一个[]
1,5x ∈使得22x 2ax x a x
+>⇒+
>，解出()f x 的最大值． 【详解】 220x ax -+>在区间[]1,5上有解，转化为存在一个[]1,5x ∈使得
22x 2ax x a x +>⇒+>，设()2f x x x
=+，即是()f x 的最大值a >，()f x 的最大值275
=
，当5x =时取得，故选D 【点睛】
18．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）
A ．16
B ．13
C ．12
D ．56
【答案】A
【解析】
曲线2y x =与直线y x =的交点坐标为()()0,0,1,1 ，由定积分的几何意义可得曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为()12
23100111|236
x x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰ ，故选A.
19．如图，对应此函数图象的函数可能是( )
A ．21(1)2x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
B ．22(1)x y x =-
C ．ln y x =
D ．1x y xe =-
【答案】B
【解析】
【分析】 观察图象，从函数的定义域，零点，以及零点个数，特征函数值判断，排除选项，得到正确答案.
【详解】
由图象可知当0x =时，1y =-，C 不满足；
当1x =时，0y =，D 不满足条件；
A.由函数性质可知当2x =-时，()2141122y -⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭
，显然A 不成立； 而B 都成立.
故选：B
【点睛】
本题考查根据函数图象，判断函数的解析式，重点考查函数性质的判断，包含函数的定义域，函数零点，零点个数，单调性，特殊值，等信息排除选项，本题属于中档题型.
20．已知函数221,0()log ,0
x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(4][2,)-∞-+∞U B ．[1,2]-
C ．[4,0)(0,2]-U
D ．[4,2]- 【答案】D
【解析】
【分析】
不等式()1f a ≤等价于0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,
a a >⎧⎨≤⎩分别解不等式组后，取并集可求得a
的取值范围.
【详解】
()1f a ≤⇔0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩
或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩， 解得：40a -≤≤或02a <≤，即[4,2]a ∈-，故选D.
【点睛】
本题考查与分段函数有关的不等式，会对a 进行分类讨论，使()f a 取不同的解析式，从而将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.。