信号与系统第四版第7章
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f 1 ( n) f 2 ( n) f 1 ( k ) f 2 ( n k )
k 0 n
卷积和的图解机理：
图1
f1(k)f2(n1k)
二、零状态响应
单位响应：在零状态条件下，由单位序列(n)引 起的响应称为单位响应，记为h( n )。
零状态响应：已知输入f( n )和h( n )时，则系统的 零状态响应为
duc (t ) 1 1 uc (t ) us (t ) dt RC RC
对上式取样，得
uc [( n 1)T ] uc (nT ) 1 1 uc (nT ) us (nT ) T RC RC
令T = 1，即
uc (n 1) auc (n) bus (n)
梯形网络的节点电位方程（见图5）
( n ) = 1
0
(n<0)
指数序列：
f( n ) = an ( n )
斜升序列：
f( n ) = n ( n )
序列的移位：
f2(n)(n)
图2
图3 从模拟信号到数字信号
二、应用
机器人系统对机械手的控制。信号的变化如下图。
图4
三、离散时间系统
差分方程：微分方程的离散化。对一阶RC电路
第 7章
引言：
离散系统的时域分析
滚动的波涛，漂浮的彩云，运转的星斗，造就连续之美； 一个个文字，简单的音符，0和1，堪称离散之美。 连续与离散，相映而生辉。
学习重点：
• • • • 离散信号及其表示； 系统的差分方程和模拟图； 单位函数和单位响应； 离散系统的卷积和及其应用。
本章目录
7.1 离散信号与离散系统
( n) ( n m)
m0
故
h(n) s (n) s ( n 1)
s ( n) h( n m)
m0
三、卷积和的性质
交换律：f 1( n )
f 2( n ) = f 2( n ) f 1( n )
结合律：f 1( n ) [ f 2( n )
f (k ) (n k )
k 0
n
f ( k ) h( n k )
k 0
f( n ) h( n )
f( n ) ( n ) f( n )
y( n )
阶跃响应s( n )与单位响应h( n ) ：
因
(n) (n) (n 1)
y ( n) f ( n) h( n) f ( k ) h( n k )
k 0 n
证明：
LTI
( n ) ( n k )
f( k )( n k )
n
h( n ) h( n k ) f( k ) h( n k )
（定义） （时不变性） （齐次性） （可加性）
7.2
卷积和及其应用
7.1
离散信号与离散系统
一、离散时间信号
仅在离散时刻有定义的信号。 表示气温、压力、流量、高度、电压、 电流等在离散时刻的数据。便于计算机处理
和控制。常用离散信号如下：
图1 常用离散信号
单位函数（序列）：
( n ) = 1 0 (n=0) (n0) (n0)
单位阶跃序列：
一般形式：
a
k 0
N
k
y (n k ) br f (n r )
r 0
M
LTI系统：
•
线性： a1f1( n ) + a2f2( y2( n )
•
位移不变性（时不变性）： f ( n m ) y ( n m )
例
菲波那契数列为： {0,1,1,2,3,5,8,13,……} 其数学模型为： y (n) y (n 1) y (n 2) 0 试求方程的解，并画出曲线。 图6为用MATLAB方法求解结果。
f 3( n ) ] = [ f 1( n ) f 2( n ) ] f 3( n )
分配律： f 1( n ) [ f 2( n ) + f 3( n ) ] = f 1( n ) f 2( n ) + f 1( n ) f 3( n )
位移不变性： f 1( n m )
u (n 1) u (n) u (n) u (n) u (n 1) R R R
图5 梯形电阻网络
根据KCL，有
u (n 1) u (n) u (n) u (n) u (n 1) R aR R
整理可得
au (n 1) au (n 1) (2a 1)u (n) 0
end
f( n ) = + f( 2 )( n + 2) + f( 1)( n + 1) + f( 0 )( n ) + f(1)( n 1) + f(2)( n 2) +
即
f ( n)
k
f (k ) (n k )
（卷积和，卷和）
一般情况， f1( n ) 和f2( n )的卷和（因果信号）
f 2( n r ) y( n m r )
连续系统与离散系统的比较：
离散系统
系统由差分方程描述 响应 y (n) = yzi (n) + yzs(n) 卷积和 线性和位移不变性 以单位函数(n)为基本信号 yzs(n) = h(n) f(n)
阅读与思考：
阅读书例7-5、例7-6和例7-9。注意卷和的性质应用。
图6
四、系统的模拟
图7 基本模拟单元
例
y (n) a1 y (n 1) a2 y (n 2) b0 f (n) b1 f (n 1) b2 f (n 2)
由上式的关系可画出如图8所示的模拟框图。
图8
end
7.2
卷积和及其应用
一、离散信号的分解与卷积和
由于离散信号
k 0 n
卷积和的图解机理：
图1
f1(k)f2(n1k)
二、零状态响应
单位响应：在零状态条件下，由单位序列(n)引 起的响应称为单位响应，记为h( n )。
零状态响应：已知输入f( n )和h( n )时，则系统的 零状态响应为
duc (t ) 1 1 uc (t ) us (t ) dt RC RC
对上式取样，得
uc [( n 1)T ] uc (nT ) 1 1 uc (nT ) us (nT ) T RC RC
令T = 1，即
uc (n 1) auc (n) bus (n)
梯形网络的节点电位方程（见图5）
( n ) = 1
0
(n<0)
指数序列：
f( n ) = an ( n )
斜升序列：
f( n ) = n ( n )
序列的移位：
f2(n)(n)
图2
图3 从模拟信号到数字信号
二、应用
机器人系统对机械手的控制。信号的变化如下图。
图4
三、离散时间系统
差分方程：微分方程的离散化。对一阶RC电路
第 7章
引言：
离散系统的时域分析
滚动的波涛，漂浮的彩云，运转的星斗，造就连续之美； 一个个文字，简单的音符，0和1，堪称离散之美。 连续与离散，相映而生辉。
学习重点：
• • • • 离散信号及其表示； 系统的差分方程和模拟图； 单位函数和单位响应； 离散系统的卷积和及其应用。
本章目录
7.1 离散信号与离散系统
( n) ( n m)
m0
故
h(n) s (n) s ( n 1)
s ( n) h( n m)
m0
三、卷积和的性质
交换律：f 1( n )
f 2( n ) = f 2( n ) f 1( n )
结合律：f 1( n ) [ f 2( n )
f (k ) (n k )
k 0
n
f ( k ) h( n k )
k 0
f( n ) h( n )
f( n ) ( n ) f( n )
y( n )
阶跃响应s( n )与单位响应h( n ) ：
因
(n) (n) (n 1)
y ( n) f ( n) h( n) f ( k ) h( n k )
k 0 n
证明：
LTI
( n ) ( n k )
f( k )( n k )
n
h( n ) h( n k ) f( k ) h( n k )
（定义） （时不变性） （齐次性） （可加性）
7.2
卷积和及其应用
7.1
离散信号与离散系统
一、离散时间信号
仅在离散时刻有定义的信号。 表示气温、压力、流量、高度、电压、 电流等在离散时刻的数据。便于计算机处理
和控制。常用离散信号如下：
图1 常用离散信号
单位函数（序列）：
( n ) = 1 0 (n=0) (n0) (n0)
单位阶跃序列：
一般形式：
a
k 0
N
k
y (n k ) br f (n r )
r 0
M
LTI系统：
•
线性： a1f1( n ) + a2f2( y2( n )
•
位移不变性（时不变性）： f ( n m ) y ( n m )
例
菲波那契数列为： {0,1,1,2,3,5,8,13,……} 其数学模型为： y (n) y (n 1) y (n 2) 0 试求方程的解，并画出曲线。 图6为用MATLAB方法求解结果。
f 3( n ) ] = [ f 1( n ) f 2( n ) ] f 3( n )
分配律： f 1( n ) [ f 2( n ) + f 3( n ) ] = f 1( n ) f 2( n ) + f 1( n ) f 3( n )
位移不变性： f 1( n m )
u (n 1) u (n) u (n) u (n) u (n 1) R R R
图5 梯形电阻网络
根据KCL，有
u (n 1) u (n) u (n) u (n) u (n 1) R aR R
整理可得
au (n 1) au (n 1) (2a 1)u (n) 0
end
f( n ) = + f( 2 )( n + 2) + f( 1)( n + 1) + f( 0 )( n ) + f(1)( n 1) + f(2)( n 2) +
即
f ( n)
k
f (k ) (n k )
（卷积和，卷和）
一般情况， f1( n ) 和f2( n )的卷和（因果信号）
f 2( n r ) y( n m r )
连续系统与离散系统的比较：
离散系统
系统由差分方程描述 响应 y (n) = yzi (n) + yzs(n) 卷积和 线性和位移不变性 以单位函数(n)为基本信号 yzs(n) = h(n) f(n)
阅读与思考：
阅读书例7-5、例7-6和例7-9。注意卷和的性质应用。
图6
四、系统的模拟
图7 基本模拟单元
例
y (n) a1 y (n 1) a2 y (n 2) b0 f (n) b1 f (n 1) b2 f (n 2)
由上式的关系可画出如图8所示的模拟框图。
图8
end
7.2
卷积和及其应用
一、离散信号的分解与卷积和
由于离散信号