备战中考数学压轴题专题复习—直角三角形的边角关系的综合及答案

备战中考数学压轴题专题复习—直角三角形的边角关系的综合及答案
一、直角三角形的边角关系
1．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P 作PF∥BC，交对角线BD于点F．
（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；
（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．
①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．
②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时
tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1
2
3
【解析】
【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；
（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；
②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．
【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，
∵PF∥BC，
∴∠DFP=∠ADF，
∴∠DFQ=∠ADF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，
∵∠P′DF′=∠PDF，
∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，
∴∠P′DC=∠F′DB，
由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，
∵PF∥BC，
∴△DPF∽△DCB，
∴△DP′F′∽△DCB ∴
'
'
DC DP DB DF = ， ∴△DP'C ∽△DF'B ；
②当∠F′DB=90°时，如图所示， ∵DF′=DF=1
2
BD ， ∴
'1
2
DF BD =， ∴tan ∠DBF′=
'1
2
DF BD =；
当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB ，不符合题意； 当∠DF′B=90°时，如图所示，
∵DF′=DF=1
2
BD ， ∴∠DBF′=30°，
∴tan ∠DBF′=
33
.
【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.
2．如图，PB 为☉O 的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA ，垂足为C ，交☉O 于点A ，连接PA ，AO.并延长AO 交☉O 于点E ，与PB 的延长线交于点D ．
(1)求证：PA是☉O的切线；
(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.
【解析】
试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．
试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，
∵OP⊥AB，∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，
∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，
∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，
∴AE=2OA=4，OB=OA=2，
在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.
易证，所以,解得，
则，在中，.
考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．
3．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．
（1）AE的长为 cm；
（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；
（3）求点D′到BC的距离．
【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．
【解析】
试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：
∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．
∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．
∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．
（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．
（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则
∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．
试题解析：解：（1）．
（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，
∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．
∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．
∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．
∴点E，D′关于直线AC对称．
如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．
∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，
∴，即DP+EP最小值为12cm．
（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，
∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，
∵AE=EC，∴AD′=CD′=．
在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′
（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．
设D′G长为xcm，则CG长为cm，
在Rt△GD′C中，由勾股定理得，
解得：（不合题意舍去）．
∴点D′到BC边的距离为cm．
考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．
4．许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A ，B 两点之间的距离他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走，走到点C 处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D 处，测得∠BDF=60°．若直线AB 与EF 之间的距离为200米，求A ，B 两点之间的距离（结果保留一位小数）
【答案】215.6米． 【解析】 【分析】
过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点，
根据Rt △ACM 和三角函数tan BDF ∠求出CM 、DN ，然后根据MN MD DN AB =+=即可求出A 、B 两点间的距离. 【详解】
解：过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点
在Rt △ACM 中，∵45ACF ∠=︒， ∴AM=CM=200米，
又∵CD=300米，所以100MD CD CM =-=米， 在Rt △BDN 中，∠BDF=60°，BN=200米 ∴115.6tan 60BN
DN =
≈o
米，
∴215.6MN MD DN AB =+=≈米 即A ，B 两点之间的距离约为215.6米． 【点睛】
本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.
5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，点D 是边BC 上一点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ，连接DE ．
（1）如图①，当点E 落在边BA 的延长线上时，∠EDC ＝ 度（直接填空）； （2）如图②，当点E 落在边AC 上时，求证：BD ＝
1
2
EC ； （3）当AB ＝2E 到AC 31时，直接写出tan ∠CAE 的值．
【答案】（1）90；（2）详见解析；（3）
633 tan
11
EAC
-
∠=
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的外角的性质即可解决问题；
（2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．只要证明△BAD≌△PAE（SAS），提出BD=PE，再证明EC=2PE即可；
（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE．设PH＝x，在Rt△EPH中，可得EP＝3x，EH＝2PH＝2x，
由此FH＝2x+3﹣1，CF＝23x+3﹣3，由△BAD≌△PAE，得BD＝EP＝3x，AE＝AD，在Rt△ABG中， AG＝GB＝2，在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，故AE2＝AD2＝AF2+EF2，由勾股定理得AF＝1+3，由此tan∠EAF＝2﹣3，根据对称性可得tan∠EAC＝
6-33
．
【详解】
（1）如图1中，
∵∠EDC＝∠B+∠BED，∠B＝∠BED＝45°，
∴∠EDC＝90°，
故答案为90；
（2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．
∵∠DAE＝∠BAP＝90°，
∴∠BAD＝∠PAE，
∵∠B＝45°，
∴∠B＝∠APB＝45°，
∴AB＝AP，
∵AD＝AE，
∴△BAD≌△PAE（SAS），
∴BD＝PE，∠APE＝∠B＝45°，
∴∠EPD＝∠EPC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴EC＝2PE＝2BD；
（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE．
设PH＝x，在Rt△EPH中，∵∠EPH＝90°，∠EHP＝60°，
∴EP3，EH＝2PH＝2x，
∴FH＝31，CF3FH＝33
∵△BAD≌△PAE，
∴BD＝EP3，AE＝AD，
在Rt△ABG中，∵AB＝2
∴AG＝GB＝2，
在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，
∵AE2＝AD2＝AF2+EF2，
∴22+（23）231）2+（4﹣3﹣32，
整理得：9x2﹣12x＝0，
解得x＝4
3
（舍弃）或0
∴PH ＝0，此时E ，P ，H 共点， ∴AF ＝1+3， ∴tan ∠EAF ＝
EF AF ＝31
31
-+＝2﹣3． 根据对称性可知当点E 在AC 的上方时，同法可得tan ∠EAC ＝6-33
． 【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
6．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF AE =，连接DE ，DF ，EF . FH 平分EFB ∠交BD 于点H .
（1）求证：DE DF ⊥； （2）求证：DH DF =：
（3）过点H 作HM EF ⊥于点M ，用等式表示线段AB ，HM 与EF 之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.
（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于
45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠,
所以DH DF =.
（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得
222BD AB AD AB =
+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得
HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，
，所以22sin 45HN
BH HN HM ===︒
.
由22cos 45DF
EF DF DH =
==︒
，得22EF AB HM =-.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒. ∴90EAD FCD ∠=∠=︒. ∵CF AE =。

∴AED CFD △△≌. ∴ADE CDF ∠=∠.
∴90EDF EDC CDF EDC ADE ADC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒. ∴DE DF ⊥.
（2）证明：∵AED CFD △△≌， ∴DE DF =. ∵90EDF ∠=︒， ∴45DEF DFE ∠=∠=︒.
∵90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠， ∴45DBF ∠=︒. ∵FH 平分EFB ∠， ∴EFH BFH ∠=∠.
∵45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,
45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, ∴DHF DFH ∠=∠. ∴DH DF =.
（3）22EF AB HM =-.
证明：过点H 作HN BC ⊥于点N ，如图，
∵正方形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒， ∴222BD AB AD AB =+=.
∵FH 平分,
EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，
∴HM HN =. ∵4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，
， ∴22sin 45HN BH HN HM ===︒
. ∴22DH BD BH AB HM =-=
-. ∵22cos 45DF EF DF DH ===︒
， ∴22EF AB HM =-.
【点睛】
本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数.
7．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 、PC 与⊙O 分别相切于点A ，C ，PC 交AB 的延长线于点D ，DE ⊥PO 交PO 的延长线于点E ．
(1)求证：∠EPD=∠EDO ；
(2)若PC=3，tan ∠PDA=34
，求OE 的长．
【答案】（1）见解析；（25. 【解析】
【分析】 （1）由切线的性质即可得证.（2）连接OC ，利用tan ∠PDA=
34，可求出CD=2,进而求得OC=32
，再证明△OED ∽△DEP ，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE 的长. 【详解】
（1）证明：∵PA ，PC 与⊙O 分别相切于点A ，C ，
∴∠APO=∠CPO, PA ⊥AO ，
∵DE ⊥PO ，
∴∠PAO=∠E=90°，
∵∠AOP=∠EOD ，
∴∠APO=∠EDO ，
∴∠EPD=∠EDO.（2）连接OC，∴PA=PC=3，
∵tan∠PDA=3
4
，
∴在Rt△PAD中，
AD=4，PD=22
PA AD
+=5，∴CD=PD-PC=5-3=2，
∵tan∠PDA=3
4
，
∴在Rt△OCD中，
OC=3
2
，
OD=22
OC CD
+=5
2
，
∵∠EPD=∠ODE，∠OCP=∠E=90°，∴△OED∽△DEP，
∴PD
DO =
PE
DE
=
DE
OE
=2，
∴DE=2OE,
在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=
2
5
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
=
25
4
，
∴OE=5．
【点睛】
本题考查了切线的性质；锐角三角函数；勾股定理和相似三角形的判定与性质，充分利用
tan∠PDA=3
4
，得线段的长是解题关键.
8．兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°，拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD的长），试求出主塔BD的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【答案】主塔BD的高约为86.9米．
【解析】
【分析】
根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+CD可得出.【详解】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
sin BC
A
AB
=．
∴sin152sin311520.5279.04
BC AB A︒
=⨯=⨯=⨯=．
79.047.986.9486.9
BD BC CD
=+=+=≈（米）
答：主塔BD的高约为86.9米．
【点睛】
本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键.
9．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）
（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．
【答案】（1）见解析；（2）∠FCN＝45°，理由见解析；（3）当点E由B向C运动时，
∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝4
3
．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据三角形判定方法进行证明即可．
（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．
（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，
∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°，
∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ，
∴∠BAE ＝∠DAG ，
在△ADG 和△ABE 中，
ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADG ≌△ABE （AAS ）．
（2）解：∠FCN ＝45°，理由如下：
作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：
则∠EHF ＝90°＝∠ABE ，
∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，
∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°，
∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，
EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△EFH ≌△ABE （AAS ），
∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ，
∴CH ＝BE ＝FH ，
∵∠FHC ＝90°，
∴∠FCN ＝45°．
（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下：
作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：
由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°，
结合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH＝AD＝BC＝8，
∴CH＝BE，
∴EH FH FH
AB BE CH
==；
在Rt△FEH中，tan∠FCN＝
84
63 FH EH
CH AB
===，
∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝4
3
．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．
10．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．
【答案】拦截点D处到公路的距离是(500＋500)米．
【解析】
试题分析：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离
DA=BE+CF．解Rt△BCE，求出BE=BC=×1000=500米；解Rt△CDF，求出
CF=CD=500米，则DA=BE+CF=（500+500）米．
试题解析：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的
垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF．
在Rt△BCE中，∵∠E=90°，∠CBE=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=BC=×1000=500米；
在Rt△CDF中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=BC=1000米，
∴CF=CD=500米，
∴DA=BE+CF=（500+500）米，
故拦截点D处到公路的距离是（500+500）米．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
11．如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4°，沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°．已知BC＝90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度i＝5：12．
(1)求此人所在位置点P的铅直高度．(结果精确到0.1米)
(2)求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程(结果精确到0.1米)(测倾器的高度忽
略不计，参考数据：tan53°≈4
3
，tan63.4°≈2)
【答案】（1）此人所在P的铅直高度约为14.3米；（2）从P到点B的路程约为127.1米【解析】
分析：(1)过P作PF⊥BD于F，作PE⊥AB于E，设PF＝5x，在Rt△ABC中求出AB，用含x 的式子表示出AE，EP，由tan∠APE，求得x即可；(2)在Rt△CPF中，求出CP的长.
详解：过P作PF⊥BD于F，作PE⊥AB于E，∵斜坡的坡度i＝5:12，
设PF＝5x，CF＝12x，
∵四边形BFPE为矩形，
∴BF＝PEPF＝BE.
在RT△ABC中，BC＝90，
tan∠ACB＝AB BC
，
∴AB＝tan63.4°×BC≈2×90＝180，
∴AE＝AB－BE＝AB－PF＝180－5x，EP＝BC＋CF≈90＋120x.
在RT△AEP中，
tan∠APE＝
18054
90123 AE x
EP x
-
≈
＝
＋
，
∴x＝20
7
，
∴PF＝5x＝10014.3
7
≈.
答：此人所在P的铅直高度约为14.3米.
由(1)得CP＝13x，
∴CP＝13×20
7
≈37.1，BC＋CP＝90＋37.1＝127.1.
答：从P到点B的路程约为127.1米.
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形，找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题，构造直角三角形，用勾股定理或三角函数求相应的线段长.
12．已知Rt△ABC,∠A=90°,BC=10,以BC为边向下作矩形BCDE,连AE交BC于F.
(1)如图1,当AB=AC,且sin∠BEF=3
5
时，求
BF
CF
的值；
(2)如图2,当tan ∠ABC=12
时,过D 作DH ⊥AE 于H,求EH EA ⋅的值； (3)如图3,连AD 交BC 于G,当2FG BF CG =⋅时,求矩形BCDE 的面积
【答案】(1)
17
；（2）80；（3）100. 【解析】
【分析】 (1)过A 作AK ⊥BC 于K ,根据sin ∠BEF=35得出35
FK AK =,设FK =3a ,AK =5a ，可求得BF =a ,故17
BF CF =；（2）过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ，得△EGA ∽△EHD ，利用相似三角形的性质即可求出；（3）延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,根据相似三角形的性质可求出BE =ED ，故可求出矩形的面积.
【详解】
解：(1)过A 作AK ⊥BC 于K ,
∵sin ∠BEF ＝
35,sin ∠FAK ＝35, ∴35
FK AK =, 设FK =3a ,AK =5a ,
∴AK =4a ,
∵AB =AC ,∠BAC =90°,
∴BK =CK =4a ,
∴BF =a ,
又∵CF =7a ,
∴17
BF CF = (2)过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ，
∵∠AGE =∠DHE =90°,
∴△EGA ∽△EHD ,
∴EH ED EG EA
=，
∴·EH EA EG ED ⋅=,其中EG =BK ,
∵BC =10,tan ∠ABC ＝12， cos ∠ABC ＝5， ∴BA ＝BC · cos ∠ABC ＝
5， BK= BA·cos ∠ABC ＝
855
⨯= ∴EG =8,
另一方面：ED =BC =10,
∴EH ·EA =80 (3)延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,
∵BC ∥KT ,
BF AF FG KE AE ED ==， ∴BF KE FG DE =，同理：FG ED CG DT
= ∵FG 2= BF ·CG ∴BF FG FG CG
=， ∴ED 2= KE ·DT ∴
KE ED DE DT = ， 又∵△KEB ∽△CDT ,∴
KE CD BE DT
=， ∴KE ·DT ＝BE 2， ∴BE 2＝ED 2
∴ BE =ED
∴1010100BCDE S =⨯=矩形
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解.。