考研数学三(微积分)-试卷21

考研数学三（微积分）-试卷21
(总分：62.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：10，分数：20.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：
2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
2.设x→a时，f（x）与g（x）分别是x—a的n阶与m阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是（）①f
（x）g（x）是x—a的n+m阶无穷小。

②若n＞m是x一a的n—m阶无穷小。

③若n≤m，则f （x）+g（x）是x—a的n阶无穷小。

（分数：2.00）
A.1
B.2 √
C.3
D.0
解析：解析：此类问题要逐一进行分析，按无穷小阶的定义：关于①：故f（x）g（x）是x—a的n+m阶无穷小；关于②：若n＞m，故f（x）/g（x）是x—a的n—m阶无穷小；关于③：例如，
x→0时，sinx与—x均是x即sinx+（—x）是x的三阶无穷小。

因此①，②正确，③错误。

故选B。

3.设f（x）=|（x—1）（x—2）2（x—3）3 |，则导数f"（x）不存在的点的个数是（）
（分数：2.00）
A.0
B.1 √
C.2
D.3
解析：解析：设φ（x）=（x—1）（x—2）2（x—3）3，则f（x）=| φ（x）|。

使φ（x）=0的点
x=1，x=2，x=3可能是f（x）的不可导点，还需考虑φ"（x）在这些点的值。

φ"（x）=（x—2）2（x—3）3 +2（x—1）（x—2）（x—3）3 +3（x—1）（x—2）2（x—3）3，显然，φ"（1）≠0，φ"（2）=0，φ"（3）=0，所以只有一个不可导点x=1，故选B。

4.设函数f（x）在（一∞，+∞）存在二阶导数，且f（x）=f（—x），当x＜0时有f"（x）＜0，f"（x）＞0，则当x＞0时，有（）
（分数：2.00）
A.f"（x）＜0，f"（x）＞0
B.f"（x）＞0，f"（x）＜0
C.f"（x）＞0，f"（x）＞0 √
D.f"（x）＜0，f"（x）＜0
解析：解析：由f（x）=f（—x）可知，f（x）为偶函数，因可导偶函数的导函数是奇函数，可导奇函数的导函数是偶函数，即f"（x）为奇函数，f"（x）为偶函数，因此当x＜0时，有f"（x）＜0，f"（x）＞0，则当x＞0时，有f"（x）＞0，f"（x）＞0。

故选C。

5.设f（x）在（一∞，+∞）可导，x 0≠0，（x 0 f（x 0））是y=f（x）的拐点，则（）
（分数：2.00）
A.x 0必是f"（x）的驻点
B.（—x 0，—f（—x 0））必是y=—f（—x）的拐点√
C.（—x 0，一f（—x 0））必是y=一f（x）的拐点
D.对任意的x＞x 0与x＜x 0，y=f（x）的凹凸性相反
解析：解析：从几何意义上分析，y=f（x）与y=—f（—x）的图形关于原点对称。

x 0≠0，（x 0，f（x 0））是y=f（x）的拐点，那么（—x 0，—f（x 0））是y=一f（—x）的拐点。

故选B。

6.设f（x）在[a，b]连续，则f（x）在[a，b]非负且在[a，b]的任意子区间上不恒为零是F（x）=∫ a x f （t）dt在[a，b]单调增加的（）
（分数：2.00）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件√
D.既非充分又非必要条件
解析：解析：已知g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则g（x）在[a，b]单调增加g"（x）≥0（x∈（a，b）），在（a，b）内的任意子区间内g"（x）≠0。

因此，F（x）=∫ 0x f（t）dt（在[a，
b]可导）在[a，b]单调增加F"（x）=f（x）≥0（x∈（a，b））且在（a，b）内的任意子区间内F"（x）=f（x）≠0。

故选C。

7.已知f"（x 0，y 0）存在，则
（分数：2.00）
A.f x"（x 0，y 0）
B.0
C.2f x"（x 0，y 0）√
x "（x
0，y 0）
解析：解析：由题意x"（x 0，y）+f x"（x 0，y） =2f x"（x 0，y 0），故选C。

8.设I 1（x 2 +y 2）2 dσ，其中D={（x，y）|x 2 +y 2≤1}，则（）
（分数：2.00）
A.I 3＞I 2＞I 1√
B.I 1＞I 2＞I 3
C.I 2＞I 1＞I 3
D.I 3＞I 1＞I 2
解析：解析：在区域D={（x，y）|x 2 +y 2≤1}上，有0≤x 2 +y 2≤1，从而有（x 2 +y 2）2 dσ故应选A。

9.设函数f（t）连续，则二重积分f（r 2）rdr=（）
（分数：2.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：解析：因为曲线r=2在直角坐标系中的方程为x 2 +y 2 =4，而r=2cosθ在直角坐标系中的方程为x 2 +y 2 =2x，即（x—1）2+y 2 =1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得
10.设p n = n=1，2，…，则下列命题正确的是（）
（分数：2.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：解析：若|a n |收敛，由级数绝对收敛的性质知 a n收敛。

而p n = 再由收敛
级数的运算性质知，都收敛，故选B。

二、填空题(总题数：11，分数：22.00)
（分数：2.00）
填空项1:__________________
12.若函数f（x）x=1处连续且可导，那么a= 1，b= 2。

（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：a=2）
填空项1:__________________ （正确答案：b=—1）
解析：解析：因f（x）在x=1处连续，则=f（1），即1=a+b。

若函数f（x）在x=1处可导，必须有f —"（1）=f +"（1）。

由已知可得因此可得a=2，b=—1。

（分数：2.00）
填空项1:__________________
14.设y=y（x）是由方程2y 3—2y 2 +2xy—x 2 =1确定的，则y=y（x）的极值点是 1。

（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：x=1）
解析：解析：方程两边对x求导，可得 y"（3y 2—2y+x）=x—y，（*）令y"=0，有x=y，代入2y 3—2y 2 +2xy—x 2 =1中，可得（x—1）（2x 2 +x+1）=0。

那么x=1是唯一的驻点。

下面判断x=1是否为极值点：在（*）两端对x求导得 y"（3y 2—2y+x）+y"（3y 2—2y+x）" x =1—y "，把x=y=1，y"（1）=0
代入上式，得y"（1）＞0。

故y（x）只有极值点为x=1，它是极小值点。

（分数：2.00）
填空项1:__________________
解析：解析：令x—1=sint
16.设函数f（x）λ＞0，则∫ —∞+∞ xf（x）dx= 1。

（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：已知x≤0时，函数值恒为0
17.设函数dz| （1，1） = 1。

（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：（1+21n2）dx+（—1—2ln2）dy）
18.设平面区域D由直线y=x，圆x 2 +y 2 =2y及y轴所围成，则二重积分
（分数：2.00）
填空项1:__________________
19. 1。

（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[4，6））
解析：解析：幂级数的系数为a n= 则有因此，幂级数的收敛半径为R=1，其收敛区间为（4，6）。

当x=4时，原级数为收敛；当x=6时，原级数为发散，故幂级数的收敛域是[4，6）。

20. 1。

（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=Cxe —x（x≠0），C为任意常数）
解析：解析：原方程等价为lny=lnx—x+C 1。

取C=e C1，整理得y=Cxe —x（x≠0），C为任意常数。

21.微分方程（y+x 2 e —x）dx—xdy=0的通解为y= 1。

（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：x（—e —x +C），C为任意常数）
解析：解析：微分方程（y+x 2 e —x）dx—xdy=0，可变形为=xe —x所以其通解为（—e —x +C），C为任意常数。

三、解答题(总题数：10，分数：20.00)
22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
23.
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：
24.设a为常数，讨论方程e x =ax 2的实根个数。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：当a≤0时，显然无实根。

以下讨论当a＞0时的情形，由题意知x=0显然不是原方
程的根，当x＜0时，f"（x）＞0；当0 ＜x＜2时f"（x）＜0；当x＞2时f"（x）＞0。

且
所以当a＞0时f（x）在区间（一∞，0）上有唯一实零点。

又在区间（0，+∞）上，f min(x)=f(2)=
-a。

当＞a时，f（x）在区间（0，+∞）上无实数根；当=a时，f（x）在区间（0，+∞）上有唯一实数根；当=+∞，f（x）在（0，+∞）上有两个实数根。

综上所述，当a≤0时，f（x）=0无实根；当＞a＞0时，仅当x＜0时，f（x）=0有唯一实根；当=a时，f（x）=0仅有
两个实根，一正一负；当＜a时，f（x）=0恰有三个实根，一负两正。

)
解析：
25.设奇函数f（x）在[—1，1]上具有二阶导数，且f（1）=1，证明：（Ⅰ）存在ξ∈（0，1），使得f"（ξ）=1；（Ⅱ）存在η∈（—1，1），使得f"（η）+f"（η）=1。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：（Ⅰ）令F（x）=f（x）—x，F（0）=f（0）=0，F（1）=f（1）—1=0，则由罗尔定理知，存在ξ∈（0，1）使得F"（ξ）=0，即f"（ξ）=1。

（Ⅱ）令G（x）=e x [f"（x）—1]，由（Ⅰ）知，存在ξ∈（0，1），使G（ξ）=0，又因为f（x）为奇函数．故f"（x）为偶函数，知G（—ξ）
=0，则存在η∈（一ξ，ξ）（—1，1），使得G "（η）=0，即e η（f"（η）—1）+e’e ηf"（η）=0，f"（η）+f"（η）=1。

)
解析：
26.设f（x）在[a，b]
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：连续利用分部积分法有∫ a b f（x）dx=∫ a b f（x）d（x一b）=f（a）（b—a）一∫ a b f"（x）（x一b）d（x一a） =f（a）（b—a）+∫ a b（x—a）d[f"（x）（x—b）] =f（a）（b 一a）+∫ a b b（x一a）df（x）+∫ a b bf"（x）（x一a）（x一b）dx =f（a）（b—a）+f（b）（b—a）
一∫ a b f（x）clx+∫ a b bf"（x）（x一a）（x一b）dx，移项并整理后得∫ a b f（x）∫
a b f（x）dx+∫
a
b bf"（x）（x一a）（x一b）dx。

)
解析：
27.设z=f（x+y，x—y，xy），其中f具有二阶连续偏导数，求dz （分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由题意=f 1"—f 2" +xf 3"，所以=（f 1" +f 2" +yf 3"）dx+（f 1"一f 2" +xf 3"）dy，=f 11"．1+f 12"．（—1）+f 13"．x+f 21" +f 22"（—1）+f 23
" ?x +f
3" +y[ f
31
"．1+f
32
"．（—1）+f
33
" ?x] =f
3
" +f
11
"—f
22
" +xyf
33
" +（x+y）f
13
" +
（x—y）f 23"。

)
解析：
28.已知函数z=f（x，y）的全微分出=2xdx—2ydy，并且f（1，1）=2。

求f（x，y）在椭圆域D={（x，y）
| x 2≤1}上的最大值和最小值。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：根据题意可知=—2y，于是f（x，y）=x 2 +C（y），且C"（y）=—2y，因此有C（y）=一y 2 +C，由f（1，1）=2，得C=2，故 f（x，y）=x 2一y 2 +2。

△=B 2—AC=4 ＞
0，所以点（0，0）不是极值点，也不可能是最值点。

得可能极值点x=0，y=2，λ=4；x=0，y=—2，λ=4；x=1，y=0，λ=—1；x=—1，y=0，λ=—1。

将其分别代入f（x，y）得，（0，±2）=—2，f（±1，
0）=3，因此z=f（x，y）在区域D={（x，y）|x 2≤1}内的最大值为3，最小值为一2。

)
解析：
29.计算二重积分x（y+1）dσ，其中积分区域D是由y轴与曲线所围成。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：引入极坐标（r，θ）满足x=rcosθ，y=rsinθ，在极坐标（r，θ）中积分区域D
)
解析：
30.设有正项级数是它的部分和。

（Ⅰ）证明收敛；（Ⅱ）判断级数
对收敛，并给予证明。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：（Ⅰ）设T n为因正项级数的部分和数列S n单调上升，将上式放缩
由（Ⅰ）可知收敛，再由比较原理知，收敛，因此原级数绝对收敛。

)
解析：
31.将函数f（x）x—1的幂级数，并指出其收敛区间。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：。