2016-2017学年人教A版高一数学必修一书本讲解课件：第一章 1.3 1.3.1 第1课时 函数
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第二十四页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
2．函数 f(x)＝x|x－2|的增区间是( )
A．(－∞，1]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，1]，[2，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
解析：f(x)＝x|x－2|＝x22x－－2xx2，，xx≥<22
作出 f(x)简图如图：
由图象可知 f(x)的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)． 答案：C
答案：[1，＋∞) (－∞，1]
第八页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
探究一 由函数图象求函数的单调区间 [典例 1] 作出函数 y＝－x2＋2|x|＋3 的图象并指出它的单调区间． [解析] 根据绝对值的意义，y＝－x2＋2|x|＋3 ＝－ －xx22＋ －22xx＋ ＋33， ，xx≥ <00 ＝－ －xx－ ＋1122＋ ＋44， ，xx≥ <00 作出函数图象如图所示， 根据图象可知，函数在区间(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；函数 在区间(－1,0)，(1，＋∞)上是减函数．
解得
3 x<2
②.
由①②得 1≤x<32. 答案： [1，32
第二十页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
对“单调区间”和“在区间上单调”两个
概念理解错误而致误
[典例] 若函数 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2 的单调递减区间是(－∞，4]，求实数 a 的
取值范围． [错解] 函数 f(x)的图象的对称轴为直线 x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单
调递减，因此 1－a≥4，解得 a≤－3. [正解] 函数 f(x)的图象的对称轴为直线 x＝1－a.
因为函数的单调递减区间是(－∞，4]，
所以 1－a＝4，解得 a＝－3.
故实数 a 的取值范围是{－3}．
第二十一页，编辑于星期五：十五点 三五分。[易错警示]错误原因
纠错心得
错解把单调区间误认 为是在区间上单调.
A.fxx11－ －fx2x2>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D.fxx22－ －xf1x1>0 答案：C
第六页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
2．设 f(x)＝(2a－1)x＋b 在 R 上是减函数，则有( )
A．a≥12
B．a≤12
A．f(34)>f(a2－a＋1)
B．f(34)≥f(a2－a＋1)
C．f(34)<f(a2－a＋1)
D．f(34)≤f(a2－a＋1)
第二十三页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且 a2－a＋1＝(a－12)2＋34≥34>0， ∴f(a2－a＋1)≤f(34)． 答案：B
C．a>－12
D．a<12
答案：D
第七页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
3．函数 f(x)＝2x2－mx＋3，当 x∈[－2，＋∞)时，f(x)为增函数，
当 x∈(－∞，－2]时，函数 f(x)为减函数，则 m 等于( )
A．－4
B．－8
C．8
D．无法确定
答案：B
4．函数 f(x)＝|x－1|的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
g(x)＝x2f(x－1)，则函数 g(x)的递减区间是
()
A．(－∞，0]
B．[0,1)
C．[1，＋∞)
D．[－1,0]
(2)求 f(x)＝|x2＋2x－3|的单调区间．
第十一页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
解析：(1) x2，x>1，
g(x)＝0，x＝1， －x2，x<1.
如图所示，其递减区间是[0,1)． 故选 B.
第四页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
二、函数单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是 增函数或是减函数 ，那么就说函数 y＝f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫作 y＝f(x)的单调区间．
第五页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
[双基自测]
1．如果函数 f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的 x1，x2∈[a，b](x1≠x2)， 下列结论中不正确的是( )
是________．
解析：33aa－－11<0＋4a≥－1＋1 得17≤a＜13. 答案：17≤a＜13
第二十六页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
课时作业
第二十七页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
[解析] ∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，且 f(x)<f(2x－3)，
∴x2>x－0，3>0， x>2x－3，
解得32<x<3.
第十八页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
(1)确定函数定义域； (2)根据单调性去符号“f”，如果函数 f(x)在给定区间内是增函数，则去掉符号“f” 后，不等式方向不变；如果函数 f(x)在给定区间内是减函数，则去掉符号“f”后， 不等式方向改变．
1．3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第 1 课时 函数的单调性
第一页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
考纲定位
重难突破
1.通过已学过的函数特别是二次函数， 重点：1.函数单调性的概念．
理解函数的单调性及其几何意义． 2.判断函数单调性的一般方法．
2.学会运用函数图象理解和研究函数的 3.求函数的单调区间．
∴x1＋x21－xx21＋1>0.即 f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．
∴y＝xx＋ ＋21在(－1，＋∞)上是减函数．
第十七页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
探究三 抽象函数的单调性 [典例 3] 已知函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且 f(x)<f(2x－3)，求 x 的取值范围．
第十四页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
∵2<x1<x2， ∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0， ∴f(x1)－f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)． ∴函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
第十五页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图 象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
第十九页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
3．已知 f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且 f(x－2)<f(1－x)，则 x 的取值范
围为________．
解析：由题意，得－ －11≤ ≤x1－ －2x≤ ≤11 ，解得 1≤x≤2 ①.
因为 f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且 f(x－2)<f(1－x)，所以 x－2<1－x，
单调区间是一个整体概念，例如函数的 单调减区间是I，指的是函数递减的最大 范围是区间I，而函数在某一区间上的单 调，则指此区间是相应单调区间的子区 间.
第二十二页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
[随堂训练]
1．若函数 f(x)的定义域为 R，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的
是( )
第二十五页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
3．设函数 f(x)是 R 上的减函数，若 f(m－1)>f(2m－1)，则实数 m 的取值范围是 ________．
解析：由题设可知 m－1<2m－1，即 m>0.
答案：m>0 4．已知 f(x)＝－3ax－＋11，x＋x≥4a1，x<1， 是定义在 R 上的减函数，那么 a 的取值范围
性质． 难点：1.用概念判断函数的单调性．
3.能够熟练应用定义判断与证明函数在 2.求函数的单调区间.
某区间上的单调性.
第二页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
第三页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
[自主梳理] 一、定义域为 I 的函数 f(x)的增减性
第九页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
一般来说，求函数单调区间可以根据函数的图象．在某区间内，由左至右图象是 上升的，该区间就是函数的单调增区间；某区间内，由左到右图象是下降的，该 区间就是函数的单调减区间．
第十页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
1．(1)设函数 f(x)＝10，，xx>＝00，， －1，x<0，
(－∞，－3]，[－1,1]． 答案：(1)B
第十三页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
探究二 函数单调性的证明或判断 [典例 2] 证明函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
[证明] 任取 x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42 ＝(x1－x2)＋4xx21－x2x1 ＝(x1－x2)x1xx12x－2 4.
第十六页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
2．利用单调性的定义，证明函数 y＝xx＋ ＋21在(－1，＋∞)上是减函数． 证明：设 x1，x2 是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝xx11＋ ＋21
－xx22＋ ＋21＝x1＋x21－xx21＋1，
∵－1＜x1＜x2，∴x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0.
第十二页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
(2)令 g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4. 先作出 g(x)的图象，保留其在 x 轴及 x 轴上方部分，把它在 x 轴下方的图象翻到 x 轴上方就得到 f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．
由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是
2．函数 f(x)＝x|x－2|的增区间是( )
A．(－∞，1]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，1]，[2，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
解析：f(x)＝x|x－2|＝x22x－－2xx2，，xx≥<22
作出 f(x)简图如图：
由图象可知 f(x)的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)． 答案：C
答案：[1，＋∞) (－∞，1]
第八页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
探究一 由函数图象求函数的单调区间 [典例 1] 作出函数 y＝－x2＋2|x|＋3 的图象并指出它的单调区间． [解析] 根据绝对值的意义，y＝－x2＋2|x|＋3 ＝－ －xx22＋ －22xx＋ ＋33， ，xx≥ <00 ＝－ －xx－ ＋1122＋ ＋44， ，xx≥ <00 作出函数图象如图所示， 根据图象可知，函数在区间(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；函数 在区间(－1,0)，(1，＋∞)上是减函数．
解得
3 x<2
②.
由①②得 1≤x<32. 答案： [1，32
第二十页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
对“单调区间”和“在区间上单调”两个
概念理解错误而致误
[典例] 若函数 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2 的单调递减区间是(－∞，4]，求实数 a 的
取值范围． [错解] 函数 f(x)的图象的对称轴为直线 x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单
调递减，因此 1－a≥4，解得 a≤－3. [正解] 函数 f(x)的图象的对称轴为直线 x＝1－a.
因为函数的单调递减区间是(－∞，4]，
所以 1－a＝4，解得 a＝－3.
故实数 a 的取值范围是{－3}．
第二十一页，编辑于星期五：十五点 三五分。[易错警示]错误原因
纠错心得
错解把单调区间误认 为是在区间上单调.
A.fxx11－ －fx2x2>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D.fxx22－ －xf1x1>0 答案：C
第六页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
2．设 f(x)＝(2a－1)x＋b 在 R 上是减函数，则有( )
A．a≥12
B．a≤12
A．f(34)>f(a2－a＋1)
B．f(34)≥f(a2－a＋1)
C．f(34)<f(a2－a＋1)
D．f(34)≤f(a2－a＋1)
第二十三页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且 a2－a＋1＝(a－12)2＋34≥34>0， ∴f(a2－a＋1)≤f(34)． 答案：B
C．a>－12
D．a<12
答案：D
第七页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
3．函数 f(x)＝2x2－mx＋3，当 x∈[－2，＋∞)时，f(x)为增函数，
当 x∈(－∞，－2]时，函数 f(x)为减函数，则 m 等于( )
A．－4
B．－8
C．8
D．无法确定
答案：B
4．函数 f(x)＝|x－1|的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
g(x)＝x2f(x－1)，则函数 g(x)的递减区间是
()
A．(－∞，0]
B．[0,1)
C．[1，＋∞)
D．[－1,0]
(2)求 f(x)＝|x2＋2x－3|的单调区间．
第十一页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
解析：(1) x2，x>1，
g(x)＝0，x＝1， －x2，x<1.
如图所示，其递减区间是[0,1)． 故选 B.
第四页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
二、函数单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是 增函数或是减函数 ，那么就说函数 y＝f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫作 y＝f(x)的单调区间．
第五页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
[双基自测]
1．如果函数 f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的 x1，x2∈[a，b](x1≠x2)， 下列结论中不正确的是( )
是________．
解析：33aa－－11<0＋4a≥－1＋1 得17≤a＜13. 答案：17≤a＜13
第二十六页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
课时作业
第二十七页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
[解析] ∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，且 f(x)<f(2x－3)，
∴x2>x－0，3>0， x>2x－3，
解得32<x<3.
第十八页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
(1)确定函数定义域； (2)根据单调性去符号“f”，如果函数 f(x)在给定区间内是增函数，则去掉符号“f” 后，不等式方向不变；如果函数 f(x)在给定区间内是减函数，则去掉符号“f”后， 不等式方向改变．
1．3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第 1 课时 函数的单调性
第一页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
考纲定位
重难突破
1.通过已学过的函数特别是二次函数， 重点：1.函数单调性的概念．
理解函数的单调性及其几何意义． 2.判断函数单调性的一般方法．
2.学会运用函数图象理解和研究函数的 3.求函数的单调区间．
∴x1＋x21－xx21＋1>0.即 f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．
∴y＝xx＋ ＋21在(－1，＋∞)上是减函数．
第十七页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
探究三 抽象函数的单调性 [典例 3] 已知函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且 f(x)<f(2x－3)，求 x 的取值范围．
第十四页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
∵2<x1<x2， ∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0， ∴f(x1)－f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)． ∴函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
第十五页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图 象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
第十九页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
3．已知 f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且 f(x－2)<f(1－x)，则 x 的取值范
围为________．
解析：由题意，得－ －11≤ ≤x1－ －2x≤ ≤11 ，解得 1≤x≤2 ①.
因为 f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且 f(x－2)<f(1－x)，所以 x－2<1－x，
单调区间是一个整体概念，例如函数的 单调减区间是I，指的是函数递减的最大 范围是区间I，而函数在某一区间上的单 调，则指此区间是相应单调区间的子区 间.
第二十二页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
[随堂训练]
1．若函数 f(x)的定义域为 R，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的
是( )
第二十五页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
3．设函数 f(x)是 R 上的减函数，若 f(m－1)>f(2m－1)，则实数 m 的取值范围是 ________．
解析：由题设可知 m－1<2m－1，即 m>0.
答案：m>0 4．已知 f(x)＝－3ax－＋11，x＋x≥4a1，x<1， 是定义在 R 上的减函数，那么 a 的取值范围
性质． 难点：1.用概念判断函数的单调性．
3.能够熟练应用定义判断与证明函数在 2.求函数的单调区间.
某区间上的单调性.
第二页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
第三页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
[自主梳理] 一、定义域为 I 的函数 f(x)的增减性
第九页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
一般来说，求函数单调区间可以根据函数的图象．在某区间内，由左至右图象是 上升的，该区间就是函数的单调增区间；某区间内，由左到右图象是下降的，该 区间就是函数的单调减区间．
第十页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
1．(1)设函数 f(x)＝10，，xx>＝00，， －1，x<0，
(－∞，－3]，[－1,1]． 答案：(1)B
第十三页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
探究二 函数单调性的证明或判断 [典例 2] 证明函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
[证明] 任取 x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42 ＝(x1－x2)＋4xx21－x2x1 ＝(x1－x2)x1xx12x－2 4.
第十六页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
2．利用单调性的定义，证明函数 y＝xx＋ ＋21在(－1，＋∞)上是减函数． 证明：设 x1，x2 是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝xx11＋ ＋21
－xx22＋ ＋21＝x1＋x21－xx21＋1，
∵－1＜x1＜x2，∴x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0.
第十二页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
(2)令 g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4. 先作出 g(x)的图象，保留其在 x 轴及 x 轴上方部分，把它在 x 轴下方的图象翻到 x 轴上方就得到 f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．
由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是