2021-2022学年黑龙江哈尔滨松雷中学九年级(上)月考数学试卷(11月份)(五四学制)(附详解)

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学九年级（上）月考数学试卷（11月份）（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.3的倒数是()
A. 3
B. 1
3C. −1
3
D. −3
2.下列计算中，结果正确的是()
A. a2⋅a3=a6
B. a8÷a4=a2
C. 2m+3n=5mn
D. (a2)3=a6
3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
4.三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是()
A.
B.
C.
D.
5.对于每一象限内的双曲线y=m−2
x
，y都随x的增大而增大，则m的取值范围是()
A. m>−2
B. m<2
C. m<−2
D. m>2
6.将抛物线y=2(x+1)2−3向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得到的抛物线
解析式为()
A. y=2(x+4)2−4
B. y=2(x+4)2−2
C. y=2(x−1)2−2
D. y=2(x−1)2−4
7.如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同
时测得BC=20米，则树的高AB(单位：米)为()
A. 20tan37°
B. 20
tan37∘C. 20
sin37∘
D. 20sin37°
8.如图，在⊙O中弦AB，CD相交于点E，∠A=30°，∠AED=
75°，则∠B=()
A. 60°
B. 45°
C. 75°
D. 50°
9.如图，在△ABC中，AC=BC，BD⊥AC于点D，以点C为
旋转中心，将△BCD顺时针旋转，得到△ACD′.若∠ABD=
35°，则∠BCD′的大小为()
A. 140°
B. 145°
C. 150°
D. 155°
10.如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平
行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于
点F，则下列结论错误的是()
A. AD
BD =AE
EC
B. AF
AE =DF
BE
C. AE
EC =AF
FE
D. DE
BC =AF
FE
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.将8350000用科学记数法表示为______．
12.函数y=1
x−2
中，自变量x的取值范围是______．
13.已知反比例函数y=−2k
x
的图象经过点(−2,3)，则k的值为______．
14.计算√20−√45的结果是______．
15.分解因式：2a3−8ab2=______．
16.二次函数y=2(x−3)2−4的顶点坐标是______．
17.不等式组{x+2>0
2x−3<3的解集为______．
18.已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长20πcm，则此扇形的半径是______cm．
19.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，作等腰直角三角形ACD，使点D在△
ABC外部，且∠ACD=90°，则线段BD的长为______．
20.如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AD⊥AC交BC边于点D，点E在AD上，连接BE、
CE，DE=2AE，BE=CE，若S△ABC=6，则线段AB的长为______．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分）
21.先化简，再求值：3x−6
x2+4x+4÷x−2
x+2
−1
x+2
，其中x=2tan60°−4sin30°．
22.如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均
在小正方形的顶点上．
(1)画出一个以AB为一边的△ABE，点E在小正方形的顶点上，且∠BAE=45°，△
ABE的面积为5；
(2)画出以CD为一腰的等腰△CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为10；
(3)在(1)、(2)的条件下，连接EF，请直接写出线段EF的长．
23.我国北方又进入了火灾多发季节，为此，某校在全校1200名学生中随机抽取一部
分人进行“安全防火，警钟长鸣”知识问卷调查活动，对问卷调查成绩按“很好”、“较好”、“一般”“较差”四类汇总分析，并绘制了如下扇形统计图和条形统计图．
(1)本次活动共抽取了多少名同学？
(2)补全条形统计图；
(3)根据以上调查结果分析，估计该校1200名学生中，对“安全防火”知识了解“较
好”和“很好”的学生大约共计有多少名．
24.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，O是AC的中点，连接DO，过点C作
CE//DA，交DO的延长线于点E，连接AE．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若F是CE上的动点(点F不与C、E重合)，连接AF、DF、BE，请直接写出图2中
与四边形ABDF面积相等的所有的三角形和四边形(四边形ABDF除外)
25.某服装加工厂甲、乙两个车间共同加工一款休闲装，且每人每天加工的件数相同，
甲车间比乙车间少10人，甲车间每天加工服装400件，乙车间每天加工服装600件．
(1)求甲、乙两车间各有多少人；
(2)甲车间更新了设备，平均每人每天加工的件数比原来多了10件，乙车间的加工
效率不变，在两个车间总人数不变的情况下，加工厂计划从乙车间调出一部分人到甲车间，使每天两个车间加工的总数不少于1314件，求至少要从乙车间调出多少人到甲车间．
26.如图，△ABC内接于⊙O，D为BC上一点，连接OA、AD，若∠OAC=∠BAD．
(1)求证：AD⊥BC；
(2)如图2，过O作OF⊥AD于E交AB于F，若OF=FB，求证：AB=BC；
(3)如图3，在(2)的条件下，G为平面内一点，连接AG、BG，若∠GAC=3∠C，BG=AC，
BD：AC=7：30，AG=11，求圆的半径长．
27.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=−ax2−2ax+3a与x轴
交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC=OA．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，P为第二象限抛物线上的一点，连接AC、AP、PC，若点P的横坐标为t，
△PAC的面积为S，用含t的式子表示S；
(3)如图3，在(2)的条件下，将线段AO绕点A逆时针旋转90度，得到线段AH(点O的
对应点为点H)，D为线段OC上一点，F为线段AH上一点，连接OF和AD交于点E，
AF，QH平分∠FQP，求S的连接AP交OF于点Q，连接HQ.若∠DEO=45°，OD=2
3
值．
答案和解析
1.【答案】B
=1，
【解析】解：∵3×1
3
∴3的倒数是1
，
3
故选：B．
根据倒数的定义，可得答案．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A选项，原式=a5，故该选项不合题意；
B选项，原式=a4，故该选项不合题意；
C选项，2m与3n不是同类项，不能合并，故该选项不合题意；
D选项，原式=a6，故该选项符合题意；
故选：D．
根据同底数幂的乘法判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据合并同类项判断C选项；根据幂的乘方判断D选项．
本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，掌握(a m)n=a mn是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形
的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
4.【答案】A
【解析】解：解：从左边看，如图，
故选：A．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
5.【答案】B
的图象在每一象限内y的值随x值的增大而增大，
【解析】解：∵函数y=m−2
x
∴m−2<0，解得m<2．
故选：B．
先根据反比例函数的性质得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数在每一象限内的增减性是解答此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=2(x+1)2−3向右平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=2(x+1−2)2−3．
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2(x+1−2)2−3向上平移1个单位所得抛物线的解析式为：y=2(x+1−2)2−3+1，即y=2(x−1)2−2．
故选：C．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=20m，
∴tanC=AB
，
BC
则AB=BC⋅tanC=20tan37°．
故选：A．
通过解直角△ABC可以求得AB的长度．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
8.【答案】B
【解析】解：∵∠A=30°，
∴∠D=∠A=30°，
∴∠B=∠AED−∠D=75°−30°=45°．
故选：B．
首先求出∠D的度数，然后根据三角形的外角的性质求出答案即可．
本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
9.【答案】A
【解析】解：∵BD⊥AC，
∴直角△ABD中，∠BAC=90°−∠ABD=90°−35°=55°，
又∵AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=55°，
∴∠BCA=180°−55°−55°=70°，
又∵∠BCA=∠ACD′，
∴∠BCD′=70°+70°=140°．
故选：A．
直角△ABD中利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后根据等边对等角求得∠ABC
的度数，则在△ABC中利用三角形内角和定理求得∠BCA的度数，则∠BCD′即可求得．本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质：等边对等角，正确求得∠BCA的度数是关键．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】
解：∵DE//BC，DF//BE，
∴AD
BD =AE
EC
，△ADE∽△ABC，AF
FE
=AD
BD
，DE
BC
=AD
AB
，AF
AE
=DF
BE
=AD
AB
，
∴AE
EC =AF
FE
，
∴选项A、B、C正确，D错误；
故选D．
11.【答案】8.35×106
【解析】解：将8350000用科学记数法表示为8.35×106．
故答案为：8.35×106．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．8350000中a为8.35，小数点向后面移动了6为，n=6从而求解．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
12.【答案】x≠2
【解析】解：要使分式有意义，即：x−2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．13.【答案】3
的图象经过点(−2,3)，
【解析】解：∵反比例函数y=−2k
x
∴3=−2k
，解得k=3．
−2
故答案为：3．
，求出即可求得k的值．
直接把点(−2,3)代入反比例函数y=−2k
x
本题考查的反比例函数图象上点的坐标特点，熟知图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
14.【答案】−√5
【解析】解：原式=2√5−3√5
=−√5，
故答案为：−√5．
先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减法，掌握√ab=√a⋅√b(a≥0,b≥0)是解题的关键．15.【答案】2a(a+2b)(a−2b)
【解析】解：原式=2a(a2−4b2)
=2a(a+2b)(a−2b)．
故答案为：2a(a+2b)(a−2b)．
直接提取公因式2a，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
16.【答案】(3,−4)
【解析】解：∵y=2(x−3)2−4，
∴二次函数y=2(x−3)2−4的顶点坐标是(3,−4)，
故答案为：(3,−4)．
根据y=2(x−3)2−4，可以得到该函数的顶点坐标，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，由二次函数解析式的顶点式可以直接写出顶点坐标．
17.【答案】−2<x<3
【解析】解：解不等式x+2>0，得：x>−2，
解不等式2x−3<3，得：x<3，
∴不等式组的解集为−2<x<3，
故答案为：−2<x<3．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】24
=20π
【解析】解：设扇形的半径是r，则150πR
180
解得：R=24．
故答案为：24．
根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程即可求解．
本题主要考查了扇形的面积和弧长，正确理解公式是解题的关键．
19.【答案】4√5或4
【解析】解：①以C为直角顶点，再BC上方向外作等腰直角三角形ACD，如图：
连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠DCE=45°，
又∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=45°，
∴CE=DE=4×√2
=2√2，
2
在Rt△BAC中，BC=4√2，
∴BE=BC+CE=6√2，
∴BD=√BE2+DE2=4√5；
②以C为直角顶点，在BC下方向外作等腰直角三角形ACD，如图：
∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB//CD，
∵AB=AC=CD=4，
∴四边形ABDC是正方形，
∴BD=AB=4；
故答案为：4√5或4．
分情况讨论：①以C为直角顶点，再BC上方向外作等腰直角三角形ACD；②以C为直角顶点，在BC下方向外作等腰直角三角形ACD，分别画图，并求出BD．
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，掌握等腰直角三角形的性质、灵活运用
分类讨论思想是解题的关键．
20.【答案】√17 【解析】解：作AM ⊥BC 于M ，EN ⊥BC 于N ， ∴AM//EN ， ∴△EDN∽△ADM ， ∵DE =2AE ，
∴EN AM =DE DA =2
3，
∴EN =2
3AM ，
∵∠ACB =45°，AD ⊥AC ，
∴△ACD 是等腰直角三角形，
∴AM 是Rt △ACD 斜边CD 上的中线，∠ADC =45°，
∴AM =1
2CD ，
∴EN =1
3CD ，
∵EN ⊥BC ，∠ADC =45°，
∴△EDN 是等腰直角三角形，
∴DN =EN =1
3CD ，
∴CN =2
3CD ，
∵BE =CE ，
∴BN =CN =2
3CD ，
∴BC =4
3CD ，
∵S △ABC =6，
∴12BC ⋅AM =6，即12×43CD ⋅1
2CD =6，
∴CD =3√2，
∴AM =CM =3√2
2，BC =4√2，
∴BM =BC −CM =4√2−3√2
2=5√2
2，
∴AB =√AM 2+BM 2=√(3√22)2+(5√2
2)2=√17，
故答案为：√17．
作AM ⊥BC 于M ，EN ⊥BC 于N ，则AM//EN ，即可证得△EDN∽△ADM ，得到EN =23AM ，
易证得△ACD 是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得到AM =12CD ，即可得到EN =13CD ，根据等腰三角形的性质得出BN =CN =23CD ，从而得出BC =43CD ，根据三角形面积求得CD =3√2，进一步得到AM =
3√22，BM =5√22
，根据勾股定理即可求得AB ．
本题考查了三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形相似的判定和性质以及勾股定理的应用，求得CD 的长度是解题的关键．
21.【答案】解：3x−6x 2+4x+4÷x−2x+2−1x+2
=
3(x −2)(x +2)2⋅x +2x −2−1x +2 =
3x +2−1x +2 =2x+2，
当x =2tan60°−4sin30°=2√3−4×12=2√3−2时，原式=2√3−2+2=√33
．
【解析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的计算方法． 22.【答案】解：(1)如图，△ABE 即为所求；
(2)如图，△CDF 即为所求；
(3)EF =√22+32=√13．
【解析】(1)画出等腰直角三角形ABE即可；
(2)根据要求利用数形结合的思想作出图形即可；
(3)利用勾股定理求解即可．
本题考查作图−应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)15÷25%=60(名)，
即本次活动共抽取了60名同学；
(2)成绩为“较好的”学生有：
60×50%=30(名)，
补全的条形统计图如右图所示；
(3)1200×(25%+50%)=900(人)，
答：对“安全防火”知识了解“较好”和“很好”的学生大约共计有900名．
【解析】(1)根据成绩“很好的”学生人数和所占的百分比，可以求得本次活动共抽取了多少名同学；
(2)根据(1)中的结果和统计图中的数据，可以求得成绩“较好的”学生人数，从而可以将条形统计图补充完整；
(3)根据统计图中的数据，可以计算出对“安全防火”知识了解“较好”和“很好”的学生大约共计有多少名．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】(1)证明：∵CE//DA，
∴∠OCE=∠OAD，
∵O为AC的中点，∴OA=OC，
在△ADO和△CEO中
{∠OAD=∠OCE OA=OC
∠DOA=∠EOC
∴△ADO≌△CEO(ASA)，
∴OD=OE，
∵OA=OC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形；
(2)解：图2中与四边形ABDF面积相等的所有的三角形和四边形有△ABC，△BCE，矩形ADCE，四边形ABDE，
理由是：∵△ACD和△AFD的面积相等(等底等高的三角形面积相等)，
∴S△ADC=S△ADF，
∴S△ADC+S△ADB=S△ADF+S△ADB，
∴S
四边形ABDF
=S△ABC；
∵S△BCE=S△ABC，
∴S
四边形ABDF
=S△BCE；
∵S△ADB=S△ADC，S△ADF=S△AEC，
∴S
四边形ABDF =S
矩形ADCE
；
∵S△ADF=S△ADE，
∴都加上△ADB的面积得：S四边形ABDF=S四边形ABDE．
【解析】(1)根据全等三角形的判定求出△ADO≌△CEO，求出OD=OE，根据平行四边形的判定得出四边形ADCE是平行四边形，再根据矩形的判定得出即可；
(2)根据面积公式和等底等高的三角形的面积相等得出即可．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，能正确
根据定理进行推理是解此题的关键，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形．25.【答案】解：(1)设甲车间有x人，乙车间有(x+10)人，
则：400
x =600
x+10
，
解得：x=20，
经检验：x=20是原分式方程的解．答：甲车间有20人，乙车间有30人．(2)设从乙车间调a人到甲车间；
则：(a+20)×(400
20+10)+(30−a)×600
30
≥1314，
解得：a≥11.4．
因为a为正整数，
所以a的最小值为12．
答：从乙车间至少调12人到甲车间．
【解析】(1)设甲车间有x人，乙车间有(x+10)人，根据甲、乙两个车间每人每天加工的件数相同，列方程求解；
(2)设要从乙车间调出a人到甲车间，根据调动以后每天两个车间加工的总数不少于1314件，列不等式求解．
本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
26.【答案】(1)证明：如图1，
作直径AE，连接EC，
∴∠ACE=90°，
∴∠OAC+∠E=90°，
∵AC⏜=AC⏜，
∴∠E=∠B，
∵∠OAC=∠BAD，
∴∠BAD+∠B=90°，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC；
(2)证明：如图2，
作直径BG，连接AG，
∴∠BAG=90°，
∴∠BAC+∠GAC=90°，∠ABO+∠G=90°，∵CG⏜=CG⏜，AB⏜=AB⏜，
∴∠GAC=∠CBG，∠C=∠G，
∴∠ABO+∠C=90°，
∵OF⊥AD，AD⊥BC，
∴OF//BC，
∴∠FOB=∠CBG，
∵OF=BF，
∴∠FOB=∠ABO，
∴∠ABO=∠CBG，
∴∠ABO=∠GAC，
∴∠C=∠BAC，
∴BA=BC；
(3)解：如图3，
设BD=7a，AC=30a，
由(2)知：AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD2=AB2−BD2=AC2−CD2，
∵AB=BC，CD=BC−BD，
∴AB2−(7a)2=(30a)2−(AB−7a)2，
化简得，
AB2−7a⋅AB−45a2=0，
∴AB=25a或AB=−18a(舍去)，
延长AB至H，使BH=AG=11，连接CH，∵∠GAC=3∠ACB，
∴∠GAB+∠BAC+∠ACB，
∴∠GAB=2∠ACB
∵∠CBH=∠ACB+∠BAC=2∠ACB，
∴∠GAB=∠CBH，
∴△CBH≌△GAB(SAS)，
∴CH=BG，
∵BG=AC=30a，
∴CH=AC=30a，
∴∠CAB=∠H，
∴∠ACB=∠H，
∵∠BAC=∠CAH，
∴△BAC∽△CAH，
∴AC
AH =AB
AC
，
∴30a
25a+11=25a
30a
，
∴a=1，
∴AB=25，AC=30，BD=7，∴AD=√252−72=24，
由(1)知，
△ACP∽△ADB，
∴AP
AB =AC
AD
，
∴AP
25=30
24
，
∴AP=125
4
，
∴圆的半径是125
8
．
【解析】(1)作直径AE，连接EC，推出∠OAC+∠E=90°，根据已知和圆周角定理等量代换得出结论；
(2)作直径BG，连接AG，推出∠ABO=∠CAG，进而得证；
(3)设BD=7a，AC=30a，根据勾股定理推出AD2=AB2−BD2=AC2−CD2，从而表示AB=25a，延长AB至H，使BH=AG=11，连接CH，先证△CBH≌△GAB，再根据△BAC∽△CAH，得出a的值，再根据△ACP∽△ADB求得结果．
本题考查了圆的性质，等腰三角形判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是寻找线段间的数量关系及作出全等的辅助线．
27.【答案】解：(1)y=−ax2−2ax+3a=a(−x2−2x+3)，
令y=0，则−x2−2x+3=0，
解得x=−3，x=1，
∴A(−3,0)，B(1,0)，
∵OC=OA，
∴C(0,3)，
∴3a=3，
∴a=1，
∴y =−x 2−2x +3；
(2)设直线AC 的解析式为y =kx +b ，
则有{b =3−3k +b =0
， 解得{k =1b =3
， ∴y =x +3，
过P 点作PG ⊥x 轴交AC 于点G ，
∵P 点横坐标为t ，
∴P(t,−t 2−2t +3)，
∴G(t,t +3)，
∴PG =−t 2−2t +3−t −3=−t 2−3t ，
∴S =12×(−t 2−3t)×3=−32(t +32)2+278；
(3)作平行四边形AFOM ，
设OD =2b ，
∵OD =23AF ，
∴AF =3b ，
∴OM =3b ，DM =5b ，
作DN ⊥AM 于N ，交OA 于R ，
∵∠DEO =45°，OF//AM ，
∴∠EDN =45°，
∴AN =DN ，
∵∠RAN =∠NDM ，∠ANR =∠DNM =90°，
∴△DNM≌△ANR(AAS)，
∴AR =DM =5b ，
设线段OR =m ，
∵tan∠RDO =tan∠OAM ，
∴m 2b =3b 5b+m ，
∴m =−6b(舍)或m =b ，
∴AF =FH ，
延长OF 到K ，使FK =FO ，
∵∠HFK =∠AFO ，
∴△FHK≌△FAO(SAS)，
∴HK=AO，∠FHK=∠FAO=90°，∵AH=AO，
∴FH=AH，
∵∠THF=∠AOQ，∠AOF=∠HKF，∴∠FAQ=
∠HKT，
作HT⊥KF交
于点T，作HS⊥
PQ于S，
∵∠HTK=
∠HSA=90°，
∴△HSA≌△
HTK(AAS)，
∴∠AHS=
∠KHT，
∴∠SHT=90°，
∴四边形HTQS是矩形，
∴AP⊥OF，
过P作PW⊥x轴交于W，
∴tan∠APW=tan∠FOA=1
2
，
∵P(t,−t2−2t+3)，
∴PW=−t2−2t+3，AW=t+3，∴−t2−2t+3=2(t+3)，
∴t=−3(舍)或t=−1，
∴S=−3
2(t+3
2
)2+27
8
=3．
【解析】(1)求出A(−3,0)，B(1,0)，则有C(0,3)，再由3a=3可求a=1；
(2)先求直线AC的解析式为y=x+3，过P点作PG⊥x轴交AC于点G，再由P(t,−t2−
2t+3)，则有G(t,t+3)，即可求S=−3
2(t+3
2
)2+27
8
；
(3)作平行四边形AFOM，设OD=2b，则AF=3b，OM=3b，DM=5b，作DN⊥AM于
N，交OA于R，可证△DNM≌△ANR(AAS)，则得AR=DM=5b，设线段OR=m，由tan∠RDO=tan∠OAM，求出m=b，得到AF=FH，延长OF到K，使FK=FO，证明△FHK≌△FAO(SAS)，作HT⊥KF交于点T，作HS⊥PQ于S，可证△HSA≌△HTK(AAS)，
，再由PW=
得到AP⊥OF，过P作PW⊥x轴交于W，所以tan∠APW=tan∠FOA=1
2
−t2−2t+3，AW=t+3，得到方程−t2−2t+3=2(t+3)，求出t=−1，即可求S．本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，构造三角形全等是解题的关键．。