2017年上海市TI杯高二年级数学竞赛
2017全国数学联赛模拟二试试题及答案2
2017全国数学联赛模拟二试试题及答案2（清北学堂教研部特邀上海中学奥赛名师周建新老师命制，内部资料，禁止翻印。
）第二试1、 点D 在ΔABC 的边BC 上，E 是CD 的中点。
过E 作BC 的垂线交AC 于F ，且AF ·BC=AC ·EC 。
ΔADC 的外接圆交AB 于G 。
证明：过点F 作ΔAGF 的外接圆的切线也是ΔBGE 外接圆的切线。
2、 求正整数n 的最小值，使得存在n 个实数a 1,a 2,……a n ,满足：a i ∈(-1,1)（i=1,2，……，n ），n10ii a==∑,n2120i i a ==∑。
3、 设集合s(n)是所有使得nR的分数部分≥12的正整数的集合，如，S （17）={}2,3,6,9,10,11,18,19,20,21,…，34。
求，K s()n ∈∑，()k ϕ，其中()n ϕ是欧拉函数。
4、 棋盘K 是一个去掉了一些放个的棋盘，使得：（1） 在此棋盘中不可能在放置任何一个1×2块（），（2） 无论在棋盘的什么位置复原一个被去掉的单个方格后，就可以在棋盘上又放置一个1×2块。
容易看出，对8×8块的棋盘束说，得到棋盘K 至少需要去32个方格，问：最多可以去掉多少方格？（注：题目3,4有较大难度）参考答案1.证明：过F 做FH ∥BC 交AB 于H 。
由于ΔAHF ∽ΔABC ，有HF=C BCAF A 。
又由已知条件，EC=C BCAF A ，因此，HF=EC=DE 。
进而得到，平行四边形HFCE ，矩形HFED ，又∠BGD=∠ACB=∠HED(因为HE ∥AC)，有H ，G ，D ，E 共圆，且，∠HDE=90°（因为矩形HFED ），则该圆直径是EH ，再由∠HFE=90°，可知：H ，G ，D ，E ，F 五点共圆，EH 是直径。
由∠BGE=90°=∠FEB ，从而∠ABC=∠GEF ，因此，EF 是ΔBGE 外接圆的切线。
2007年上海市TI杯高二年级数学竞赛个人赛试
那0．0016、计算：tan1tan 2)tan 29)︒︒︒= ． 7、底面直径为4，高为18的封闭圆柱，装半径为1的球，至多能装 个．
8、不等式组2
312,
23,34,1n
x x x n x n <<⎧⎪<<⎪⎪
<<⎨⎪⎪
⎪<<+⎩
的解集非空，则正整数n 的最大值为 ．
解答以下三题必须写出解题的必要步骤． 二、（本题满分20分）
求正整数n ，使得[][][][][]33333log 1log 2log 3log 4log 2007n +++++= ， 其中[]x 表示不超过x 的最大整数．
三、（本题满分20分）如图，正方形ABCD内接于椭圆，正方形EFGH和
正方形IJHK中的顶点E，F，I在椭圆上，顶点K，H，G在边AB上，顶点J在边HE 上．已知正方形ABCD与正方形EFGH的面积比为4∶1，求正方形IJHK与正方形EFGH 的面积比（精确到0．001）．
四、（本题满分20分）我们知道，49
98
约分后是
1
2
，但按下面的方法，居然
也得1
2
：
4941
9882
==．试求出所有分子和分母都是十进制两位正整数，分子的个位数与
分母的十位数相同，且具有上述“奇怪”性质的真分数。
2017学年度第一学期第一次段考高二级数学试题答案 精
2017学年度第一学期第一次段考高二级数学试题答案一、选择题： 二、 填空题： 三、解答题：17．解：（Ⅰ）由题意可知：等比数列{a n }的公比为q ，q ＞0，由5a 1+4a 2=a 3，即5a 1+4a 1q=a 1q 2，整理得：q 2﹣4q ﹣5=0，解得：q=5或q=﹣1（舍去）， ---------------------3分a 1a 2=a 3，a 1•a 1q=a 1q 2，解得：a 1=5，a n =a 1q n =5n ；数列{a n }的通项公式，a n =5n； -----------------------------------------------5分（Ⅱ）b n =log 5a n =n ，S n 为数列{b n }的前n 项和，S n =， ------------------------7分==2（﹣）， -------------------------------------8分数列的{}的前n 项和T n ， T n =2[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]， =2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=，数列的{}的前n 项和T n ，T n =． ------------------------------------------10分18．解：（Ⅰ）由cos()2sin sin A B A B -=，得cos cos sin sin 2sin sin A B A B A B +=，cos cos sin sin 0A B A B ∴-=， ---------------------------------2分cos()0A B ∴+=，2C π∴=．故ABC ∆为直角三角形． -----------------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2C π=，又3a =，6c =，b ∴==6A π=，76412ADC ππππ∠=--=， -----------------7分 由正弦定理得sin sin CD ACA ADC=∠，1sin 62sin 12CD π∴=== --------------------12分19．解：（Ⅰ）证明：设ACBD G =，连接FG ． 依题可知G 是AC 中点，BF ⊥平面ACE ，则BF CE ⊥，而BC BE =，F ∴是EC 中点，故//FG AE ．FG ⊂平面BFD ，AE ⊄平面BFD ，∴//AE 平面BFD ． -------------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知//FG AE ，所以FGB ∠为直线AE 与BD 的所成角．AD ⊥平面ABE ，//AD BC ，BC ∴⊥平面ABE ，则B C A E ⊥．又BF ⊥平面ACE ，则BF AE ⊥，BC BF B =，AE ∴⊥平面BCE ，FG ∴⊥平面BCE ．在Rt B F G ∆中，12BF EC ==，112FG AE ==，BG ∴=故sin 3BF FGB BG ∠===， 所以异面直线AE 与BD----------8分 （Ⅲ）//AE FG 且AE ⊥平面BCE ，FG ∴⊥平面BCF ，因G 是AC 中点，F 是EC 中点，故112FG AE ==，BF ⊥平面ACE ，BF CE ∴⊥，在Rt BCE ∆中，12BF CF CE === 12212CFB S ∆∴==，1133C BGF G BCF CFB V V S FG --∆∴===． 223C BDF C BGF V V --∴==． ------------------------------12分20．（Ⅰ）证明：设E 为BC 中点，连接AE ，1A E ，DE ． 由题意得1A E ⊥平面ABC ，所以1A E AE ⊥． 因为AB AC =，所以AE BC ⊥，所以AE ⊥平面1A BC ． -----------2分由,D E 为11,B C BC 的中点，得1//DE BB 且1DE BB =，从而1//DE AA 且1DE AA =， 所以1AA DE 是平行四边形，所以1//A D AE ．因为AE ⊥平面1A BC ，所以1A D ⊥平面1A BC ． --------------4分 （Ⅱ）解：由，得1E AE BD ==由1AE AE ⊥且14AA =，在1R tA A E ∆中由勾股地理得1A E ，在1R t A B E ∆中同理得14A B =，∴2,90AB AC CAB ==∠=GFDCBEA D C 1A 1B 1C ABEH EFDMNCB AS111122A BE S BE A E ∆==⨯= ---------------------8分 由（Ⅰ）知1A D ⊥平面1A BC，故1A D为三棱锥1D A BE-的高，11111333D A BE A BE V S A D -∆∴==⨯=，设点1B 到平面1A BD 的距离为h ，1BDE B BD S S ∆∆=，111A B BD A BDE V V --∴= ，即111B A BD D A BE V V --=111433A BD S h ∆∴=，1A BD S ∆=h ∴=， 故点1B 到平面1A BD ． ------------------------------------------12分21．解：（Ⅰ）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥DC ． ………………1分 ∵△ABD 是边长为3的正三角形，BC=CD=， ∴在△BCD 中，由余弦定理得到：cos ∠BDC==，…………3分∴∠BDC=30°，∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+30°=90°， ∴DC ⊥AD ， …………………………4分 又∵AD ∩PD=D ，∴CD ⊥平面PAD ．又∵CD ⊂平面CDP ，∴平面PAD ⊥平面PCD ； ……………………6分（Ⅱ）存在AP 的中点M ，使得DM ∥平面PBC ．理由如下： 取AB 的中点N ，连接MN ，DN ．∵M 是AP 的中点，∴MN ∥PB ． ………………7分 ∵△ABC 是等边三角形，∴DN ⊥AB ， 由（1）知，∠CBD=∠BDC=30°，∴∠ABC=60°+30°=90°，即BC ⊥AB ． ∴ND ∥BC ．…………8分又MN ∩DN=N ，∴平面MND ∥平面PBC ．∴DM ∥平面PBC ．…………9分 过点B 作BQ ⊥AD 于Q ，∵由已知知，PD ⊥BQ ，∴BQ ⊥平面PAD ，∴BQ 是三棱锥B ﹣DMP 的高，…………10分 ∵BQ=，S △DMP =AD •PD=3，∴V P ﹣BDM =V B ﹣DMP =BQ •S △DMP =．……12分22．（Ⅰ） 证明: 取AC 的中点E ,连接,ME NE .则//ME SA ,又SA ⊥平面ABC ,∴ME ⊥平面ABC.∵AB ⊂平面ABC ,∴ME AB ⊥.∵,N E 分别为,AB AC 的中点, ∴//NE BC .∵90ABC ︒∠=,即AB BC ⊥, ∴NE AB ⊥. ∵,MENE E ME =⊂平面,MNE NE ⊂平面,MNE∴AB ⊥平面MNE .∵MN ⊂平面MNE ,∴MN AB ⊥. --------3分（Ⅱ）解: 过A 作AF DN ⊥且与DN 的延长线相交于点F , 连接SF∵SA DF ⊥，AF DF ⊥，SAAF A =， ∴DF ⊥平面SAF ，∴DF SF ⊥∴SFA ∠是二面角S ND A --的平面角,也是二面角S ND B --的平面角的补角,在Rt △DBN 中，ND =，sin DB DNB ND ∠==.在Rt △AFN 中，AF AN =sin 2ANF ∠==.在Rt △SAF 中，SF ==cos AF AFS SF ∠==∴二面角S ND B --的余弦值为. ----------7分 （Ⅲ）解:过点A 作AH SF ⊥于H ,由（Ⅱ）知平面SAF ⊥平面SND ,且平面SAF平面SND SF =,∴AH ⊥平面SND . ∴AH 的长为点A 到平面SND 的距离.在Rt △AFN 中，SA AF AH SF ==. ∵点M 是SC 的中点, ∴点M 到平面SND 的距离是点C 到平面SND 的距离的12倍. ∵//AC ND ,∴//AC 平面SND .∴点C 到平面SND 的距离等于点A 到平面SND 的距离.∴点M 到平面SND 的距离是6----------12分。
上海第十七届高二物理识竞赛南汇中学杯
上海市第十七届高二物理识竞赛（南汇中学杯）上海市第十七届高一物理基础知识竞赛（TI杯）的组织过程和竞赛的基本情况上海市第十七届高二物理竞赛（南汇中学杯），由上海市教委教研室主办，上海市教育学会物理教学专业委员会协办，由上海浦东教育发展研究院承办，由南汇中学赞助。
上海市第十七届高一物理基础知识竞赛（TI杯）由上海市教委教研室主办，上海市教育学会物理教学专业委员会协办，华东师大物理系承办，德州仪器半导体技术（上海）有限公司赞助。
现在我受竞赛组委会的委托，将竞赛的过程和基本情况简单汇报如下：一、竞赛宗旨高一、高二物理竞赛，积极推进以德育为核心，以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育，全面落实二期课改的要求，激发学生学习物理的兴趣，培养学生的创新精神，观察实验能力，思维能力和探究能力。
促进物理教学新思想与新方法的交流, 促进中学物理二期课程教学改革的发展。
高一物理团体赛，通过集体形式的实验竞赛，着眼于培养学生乐于交流、善于合作的团队精神，发展学生观察实验能力，思维能力以及在信息化环境中的学习和探究能力。
二、竞赛的方式和组织过程高二竞赛采用二赛制（笔试），高一竞赛分个人赛和团体赛两类。
高二竞赛和高一个人赛的命题均以能力立意，着重考查学生对物理概念、规律的理解和解决实际问题的能力。
其中高二的初赛为分区选拔赛，命题以《上海市中学物理课程标准》（试行稿）的必学内容为依据，高二的决赛和高一个人赛以《上海市中学物理课程标准》（试行稿）的必学和选学内容为依据，适当参考《全国物理竞赛大纲》，高一个人赛只涉及其中的力学部分（包括必学和选学内容）。
参赛对象为分别为高二、高一在校学生。
竞赛分如下几个阶段进行：●竞赛名额分配：本届高二、高一竞赛由学生自愿报名参加，不收报名费。
各区（县）参加市竞赛的名额由市分配给各区县，由各区县自行选拔，其中高二由市提供统一试题。
高一团体赛每校限报一队，每队由3名学生组成，每区报名队数不限。
●高二、高一竞赛的筹备工作均由2011年3月初启动。
2017年上海市数学竞赛
2017年上海市数学竞赛
2017年上海市数学竞赛是一场备受瞩目的盛事。
在这场竞赛中，来自全市各个学校的优秀学生们齐聚一堂，以展示自己的数学才华和智慧。
本次竞赛共分为初中组和高中组两个组别，每个组别又分为单人赛和团体赛两个部分。
初中组的竞赛题目涉及到了初中数学的各个领域，包括代数、几何、数论等。
其中，代数部分的题目难度适中，涉及到了一些基础的代数知识，如方程、不等式、函数等。
几何部分的题目则更加注重学生的几何想象能力和推理能力，例如求多边形面积、圆锥体积等。
数论部分的题目则考察了学生的数学思维能力和逻辑推理能力，需要学生深入理解数学定理和方法，才能正确解题。
高中组的竞赛题目难度更高，覆盖了高中数学的各个领域，包括微积分、数理方程、概率统计等。
微积分部分的题目考察了学生的微积分概念和计算能力，需要学生熟练掌握微积分的基础知识和方法。
数理方程部分的题目则需要学生具备较高的代数知识和解题能力，例如求解三角函数方程、方程组等。
概率统计部分的题目则需要学生掌握概率统计的基本概念和方法，并能够灵活运用到实际问题中。
除了单人赛外，团体赛也是本次竞赛的一大亮点。
团体赛不仅考察了学生的数学能力，更注重学生的协作和沟通能力。
在团队合作中，学生们需要相互协作，共同思考解题方法，发挥每个人的优势，最
终完成团队的目标。
总的来说，2017年上海市数学竞赛是一场难度适中、涵盖面广的数学竞赛。
通过参与这场竞赛，学生们不仅能够提高自己的数学水平，更能够锻炼自己的思维能力和团队精神。
希望未来的数学竞赛能够更加精彩，给学生们带来更多的挑战和乐趣。
2017年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)(含参考答案及评分标准)
答案： 13, 20 ． 解：由条件可知： a1 , a2 , b1 均为正整数，且 由于 ，故 ． ．反复运用 {an } 的递推关系知 ， 因此 而 21a1 a10 b10 512b1 2b1 (mod 34) ， ，故有 ． 另一方面，注意到 ，有 ． 当 当 时，①，②分别化为 时，①，②分别化为 ，此时 当 ． ，得到唯一的正整数 ，无解． ，得到唯一的正整数 ，故 ②
( x1 + 3x2 + 5 x3 )( x1 +
x2 x3 1 5x + ) = ( x1 + 3x2 + 5 x3 )(5 x1 + 2 + x3 ) 3 5 5 3 2 1 1 5x ≤ ⋅ ( x1 + 3x2 + 5 x3 ) + (5 x1 + 2 + x3 ) 5 4 3
1 PP PF 1 1 P 2F 1 2 4 2 PF 1 2 P 2 F2 PP 1 2 4 2 ， ………………15 分 （例如， 当 z1 z2 2 2 i 时，F2 恰是 PP 等号成立当且仅当 F2 位于线段 PP 1 2 上 1 2 的中点） ． 综上可知， z1 2 z2 2 z1 z2 的最小值为 4 2 ． …………20 分
① ② ③
a b a b ab f k m 1 ． 2 2 2
由① ② 2 ③知， a b ( a b) 2 4， =f ( a ) f ( b ) 2 f 2 2 故ba 2 2 ．
2
1 14 ………………10 分 = 6 x1 + x2 + 6 x3 20 3 1 9 2 ≤ ( 6 x1 + 6 x2 + 6 x3 ) = ， 20 5 1 1 9 = x1 = , x2 0, = x3 当 时不等式等号成立，故欲求的最大值为 ． ………20 分 2 2 5 11. （ 本 题 满 分 20 分 ） 设 复 数 z1 , z2 满 足 Re( z1 ) 0, Re( z2 ) 0 ， 且
2017年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2 2 1 AM AN 3 AB AC 4 AB AC ， 8
由 3 S ABC
1 3 AB AC sin A AB AC 得 AB AC 4 2 4
2
所以 AB AC 2 ，所以 3 AB
AC 8 3 ，当且仅当 AB
x x1 3x 2 5 x3 x1 2 3
★解析：由柯西不等式
x3 的最小值和最大值。 5 x2 5 x3 3 x3 5 1
2
x x x1 3x 2 5 x3 x1 x1 3 x 2 x1 2 3 3 5
当 x1 1 ， x 2 0 ， x 3 0 时取等号，故所求的最小值为 1 ； 又 x1 3 x 2 5 x 3 x1
x 2 x3 1 5x x1 3 x 2 5 x 3 5 x1 2 x 3 3 5 5 3
2
512 b1 ② 55
★证明：记 f ( x ) x kx m ， x a, b ，则 f ( x ) 1,1 。于是
2
f (a ) a 2 ka m 1 ①； f (b) b 2 kb m 1 ② ab ab 2 ab )( ) k( ) m 1 ③ 2 2 2 ①+②- 2 ③知 f(
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
一、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 8 分，共 64 分。 2017A1、设 f ( x ) 是定义在 R 上函数，对任意的实数 x 有 f ( x 3) f ( x 4) 1 ，又当 0 x 7 时， f ( x ) log 2 (9 x ) ，则 f ( 100) 的值为 ◆答案：
2017学年度上海市嘉定区高二年级第一学期期末考试数学试卷
2017学年度上海市嘉定区高二年级第一学期期末考试 数 学 试 卷考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、学号等在答题纸密封线内相应位置填写清楚； 3．本试卷共21道试题，满分100分，考试时间90分钟．一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分．1．与)4,3(=a ρ同方向的单位向量=0a ．2．若直线l 的一个方向向量是)3,1(=d ρ，则直线l 的倾斜角是 ．3．线性方程组⎩⎨⎧=-+=-08352y x y x 的增广矩阵是_____________________．4．根据下列框图，写出所打印数列}{n a 的递推公式： ．5．已知首项21=a 的无穷等比数列)(}{*N ∈n a n 的各项和等于3，则数列}{n a 的公比等于_________．6．已知圆4)2()1(:22=-++y x C 关于直线0:=+-m y x l 对称， 则实数=m __________．7．已知直线2:+=kx y l 与两点)1,4(-A 、)1,1(-B ．若直线l 与线段AB 相交， 则实数k 的取值范围是 ．8．经过点)4,3(-且与圆2522=+y x 相切的直线方程是___________________．9．若ij a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅nn a 21201918172213141516231276524118342510921中第i 行第j 列的元素 （n j i ,,3,2,1,⋅⋅⋅=）．若200=ij a ，则 =),(j i _______________．10．数列}{n a 满足)1(21-=+n n a a ，*N ∈n ．若12018a a ≥，则1a 的取值范围是___________．11．设R ∈m ，过定点A 的动直线0=+my x 和过定点B 的动直线03=+--m y mx 交 于点P ，则||||PB PA ⋅的最大值是___________．12．已知AB 为单位圆O 的一条弦，P 为单位圆O 上的点．若||)(f λλ-= （R ∈λ） 的最小值为m ，当点P 在单位圆上运动时，m 的最大值不小于34是 ．二．选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得3分，否则一律得零分．13．设a 、b 、c 是三个实数，则“ac b =2”是“a 、b 、c 成等比数列”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．数列{}n a 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤≤=1001,2110001,3122n nn n n a nn ，则=∞→n n a lim （ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．不存在 15．已知a 、R ∈b ，022≠+b a ，则直线0:=+by ax l 与圆0:22=+++by ax y x C 的位置关系是 （ ） A ．相交 B ．相离 C ．相切 D ．不能确定16．在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值是 （ ）A ．3B ．22C ．5D ．2三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．(本题满分8分)已知)5,1(),2,2(),2,1(-=-==c b a ρρρ．若b a ρρλ-与c b ρρ+平行，求实数λ的值．18．（本题满分10分）解关于,x y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=++=+m my x m y mx 21，并对解的情况进行讨论．19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分．已知过点)1,0(A 的动直线l 与圆4)3(:22=+-y x C 相交于P 、Q 两点． （1）当32||=PQ 时，求直线l 的方程；（2）设动点M 满足1-=⋅，求点M 的轨迹方程．20．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题3分，第2小题5分，第3小题4分．已知方程04222=+-++m y x y x 的曲线是圆C ． （1）求实数m 的取值范围；（2）若直线012:=-+y x l 与圆C 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥（O 为坐标 原点），求实数m 的值；（3）当4=m 时，设T 为直线012:=--y x n 上的动点，过T 作圆C 的两条切线TG 、TH ，切点分别为G 、H ，求四边形TGCH 面积的最小值．21．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分．已知数列}{n a 满足：43,4121==a a ，112-++=n n n a a a （*,2N ∈≥n n ），数列}{n b 满 足：01<b ，n b b n n =--13 （*,2N ∈≥n n ），数列}{n b 的前n 项和为n S ．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求证：数列}{n n a b -是等比数列；（3）求证：数列}{n b 是递增数列；若当且仅当3=n 时，n S 取得最小值，求1b 的取值 范围．2017学年度嘉定区高二年级第一学期期末考试数学试卷参考答案与评分意见 2018.1说明：1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中 评分意见酌情给分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但不超过后继部分给分数的一 半；如果这一步后面的解答有较严重的错误,就不给分．3．解答题右端所注分数,表示正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3 分，否则一律得零分．1．)54,53( 2．3π 3．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-851231 4．⎩⎨⎧+==+12111n n a a a ，*N ∈n 5．31 6．3 7．),41[]3,(+∞--∞Y 8．02543=+-y x 9．)4,15(10．),2[+∞解：由)1(21-=+n n a a ，*N ∈n 得 221-=+n n a a ，*N ∈n ， 所以 )2(221-=-+n n a a ，*N ∈n ． 若21=a ，则2=n a ，*N ∈n ，符合题意；若21≠a ，则数列}2{-n a 是以21-a 为首项、以2为公比的一个等比数列，则得 112)2(2-⋅-=-n n a a ，即22)2(11+⋅-=-n n a a ，*N ∈n ．所以22)2(201712018+⋅-=a a ．因为12018a a ≥，所以12017122)2(a a ≥+⋅-， 即 0)12()2(20171≥-⋅-a ．又因为0122017>-，所以021≥-a ，解得21≥a ，因此21>a ．综上，所求1a 的取值范围是 ),2[+∞．11．5解：由题意得动直线0=+my x 过定点)0,0(A ，动直线03=+--m y mx ，即 03)1(=+--y x m ，即)1(3-=-x m y ， 所以动直线03=+--m y mx 过定点)3,1(B ．动直线0=+my x 的一个法向量是),1(1m n =，动直线03=+--m y mx 的一个法向 量是)1,(2-=m n ，由021=⋅n n 知，上述两条动直线相互垂直，所以 PB PA ⊥，由勾股 定理得 222||||||AB PB PA =+，即 10||||22=+PB PA ．由基本不等式得52||||||||22=+≤⋅PB PA PB PA ， 当且仅当5||||==PB PA 时，等号成立．所以||||PB PA ⋅的最大值是 5． 12．]324,0( 解：设=λ，则||||||)(CP AC AP AB AP f =-=-=λλ．因为=λ，所以点C 在直线AB 上， 因此)(λf 的最小值m 即为||的最小值．当AB CP ⊥时，||CP 最小，所以)(λf 的最小值m 即为点P 到直线AB 的距离，且当m 最大时，CP 过圆心O ，如右图所示．又因为m 的最大值不小于43，所以324)134(12||2=--≤AB]324,0(．二、选择题（每小题3分，满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．选 对得3分，否则一律得零分．13．B 14．B 15．C16．A解：分别以矩形的边BC 、BA 所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的建立平面直角坐标系， 则)1,2(),0,2(),0,0(),1,0(D C B A ．由题意可得，圆的半径552=r ， 所以圆C 的方程是 54)2(22=+-y x ． 设),(y x P ，则)0,2(),1,0(),1,(=-=-=y x ． 因为μλ+=，即)0,2()1,0()1,(μλ+-=-y x ，可得 ⎩⎨⎧-=-=λμ12y x ，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧-==y x 12λμ，所以 12+-=+y x μλ．因此直线012=--+-μλy x 与圆54)2(22=+-y x 有公共点． 所以圆心(20),到直线012=--+-μλy x的距离d r ≤，ABCO P即552)1()21(|2|22≤-+--μλ，解得 31≤+≤μλ．所以λμ+的最大值是 3．选A ． 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要 的步骤.17．(本题满分8分)解：由题意得)22,21(λλλ+-=-b a ρρ，)3,1(=+c b ρρ， …………………………3分因为b a ρρλ-与c b ρρ+平行，所以 1)22(3)21(⋅+=⋅-λλ，…………………………6分解得 81=λ．因此所求实数λ的值等于81．………………………………………………………………8分18．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题5分，第2小题5分． 解：221111(1)(1),(1),12x m m D m m m D m m m m mmm+==-=-+==-=-)1)(12(122112-+=--=+=m m m m mm m D y ．………………………………………3分当1m ≠±时，0≠D ，原方程组有唯一解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=.112,1m m y m m x …………………………………5分当1m =-时，0,0,x D D =≠原方程组无解．……………………………………………7分当1m =时，0,0,0,x yD D D ===原方程组有无穷多组解．这时原方程组为⎩⎨⎧=+=+.2,2y x y x 令)(R ∈=t t x ，则原方程组的解可表示为)(.2,R ∈⎩⎨⎧-==t t y t x ……………………10分19．（本题满分10分）（1）解：由题意知，圆C 的圆心坐标是)0,3(，半径为2．若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程是0=x ，圆心C 到直线l 的距离23|03|>=-=d ，此时直线l 与圆C 相离．不符合题意；……………………………1分若直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为1y kx =+，即01=+-y kx ． 由题意得，圆心C 到直线l 的距离1)3(222=-=d ，所以1=． …………………………………………………………………………3分化简得2860k k +=，解得30,4k k ==-． 所以所求直线l 的方程分别为1y =或0443=-+y x ．…………………………………5分 （2）解：设(,)M x y ，则),3(),1,(y x MC y x MA --=--=． ………………………7分 由题意得 1)()1()3()(-=-⋅-+-⋅-y y x x ，化简得 01322=+--+y x y x ． 所以点M 的轨迹方程是22310x y x y +--+=．………………………………………10分 20．（本题满分12分）本题共有3个l 小题，第1小题3分，第2小题5分， 第3小题4分． （1）解：由04222=+-++m y x y x 得m y x -=-++5)2()1(22．………………2分 由05>-m 解得 5<m ．所以所求实数m 的取值范围是 )5,(-∞．…………………………………………………3分 （2）解：设),(),,(2211y x N y x M ，则221121,21y x y x -=-=， 得)21)(21(2121y y x x --=，即2121214)(21y y y y x x ++-=．因为ON OM ⊥，则得 02121=+y y x x ，所以05)(212121=++-y y y y ① ………5分联立⎩⎨⎧=+-++=-+04201222m y x y x y x ，得 031252=++-m y y ．由⎩⎨⎧>+--=∆<0)3(20)12(52m m 解得521<m ． 于是 53,5122121my y y y +==+．…………………………………………………………7分 代入①得 053551221=+⨯+⨯-m ，解得 54=m ，符合题意．所以所求实数m 的值等于54． ………………………………………………………………8分（3）解法一：当4=m 时，圆C 的方程为 044222=+-++y x y x ，即1)2()1(22=-++y x ，所以圆C 的圆心坐标是)2,1(-，半径是1．由于TG 、TH 为圆C 的两条切线，所以||||||2122TG CG TG S S TGC TGCH =⋅⋅⋅==∆． ………………………………………9分又1||||||||222-=-=CT CG CT TG ，而||CT 的最小值为点C 到直线n 的距离d ．因为521|12)1(2|22=+---⨯=d ，所以21)|(|||2min min =-=CT TG ．………11分 因此四边形TGCH 面积的最小值是2．………………………………………………12分解法二：当4=m 时，圆C 的方程是04222=+-++m y x y x ，即1)2()1(22=-++y x ，所以圆C 的圆心坐标是)2,1(-，半径是1．由于TG 、TH 为圆C 的两条切线，所以||||||2122TG CG TG S S TGC TGCH =⋅⋅⋅==∆．…………………………………9分又1||||||||222-=-=CT CG CT TG ．设点T 的坐标为(,)x y ，则012=--y x ，即12-=x y ， 所以22)2()1(||-++=y x CT ，即22)32()1(||-++=x x CT ，即10105||2+-=x x CT ，即 5)1(5||2+-=x CT ．当1=x ，1=y 时，5||min =CT ．所以21)|(|||2min min =-=CT TG ．……………………………………………………11分 因此四边形TGCH 面积的最小值为2．…………………………………………………12分 21．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分， 第3小题4分．（1）解：112-++=n n n a a a Θ （*,2N ∈≥n n ）．11n n n n a a a a +-∴-=-，即⋅⋅⋅=-=-=-342312a a a a a a ，}{n a ∴是等差数列．…………………………………………………………………………1分设等差数列}{n a 的公差为d ．又43,4121==a a Θ，214143=-=∴d ，41221)1(41-=⋅-+=∴n n a n ，即 4121-=n a n ．………………………………………4分 （2）证明：n b b n n =--13Θ （*,2N ∈≥n n ），n b b n n 31311+=∴-，由（1）得 4121-=n a n ，于是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++=-++41)1(21)1(313111n n b a b n n n )(314121311216131n n n n a b n b n b -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=．………6分 01<b Θ，041111≠-=-∴b a b ， }{n n a b -∴是以411-b 为首项、以31为公比的一个等比数列．…………………………8分（3）证明：由（2）得 11)31()41(-⋅-=-n n n b a b ，由（1）得 4121-=n a n ，4121)31()41(11-+⋅-=∴-n b b n n ．……………………………………………………9分于是当*,2N ∈≥n n 时，211)31()41(3221--⋅-⋅-=-n n n b b b ．又01<b ， 01>-∴-n n b b ．}{n b ∴是递增数列． …………………………………………………………………10分3=n 当且仅当Θ时，n S 取得最小值，⎩⎨⎧><∴0043b b ． …………………………………………………………………………11分即2131511()()0443711()()0443b b ⎧+-<⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩，解得)11,47(1--∈b ． ∴所求1b 的取值范围是 )11,47(--．………………………………………………12分。
2008年上海市TI杯高二年级数学竞赛试题
故 ， ．
所以， ．
11．
【解析】
【详解】
设圆盘 的边界上点 的坐标为 （ ）．
代入抛物线方程 ，得 ．
故 （ ）．
利用图形计算器可得 ．
为了使抛物线穿过 ，对 用进一法取近似值，对 用去尾法取近似值，所Biblioteka ， 的取值范围为 ．12．
【解析】
【详解】
如图，作垂直于平行弦 的半径 ，垂足分别为 ，联结 ．
11．已知在直角坐标系上有一个以点 为圆心、1为半径的圆盘（包括圆周） ，且抛物线 的图像恰好与圆盘 有公共点．求 的取值范围（精确到0．001）．
12．如图，阴影部分是半圆 内的封闭图形，已知弦 与弦 平行，且平行线 与 之间的距离为 ， ．求 的长（精确到 ）．
13．如图，正 的边长为1， 分别是边 上的点，将三角形沿 对折，顶点 恰好落在边 上的点 处，设 ，求 满足的关系式并在直角坐标系中画出大致图像，求出 的取值范围．
又设圆心 到 的距离为 的半径为 ．
则在 和 中，可得方程组
解得 ．
设 ．则 ．
故 的长 ．
所以， 的长为 ．
13．
【解析】
【详解】
联结 ．在 中，由余弦定理得 ，
即 ．故 （ ）．
利用图形计算器可得到其大致图像（如图）．
令 ，则 （ ）．
所以， 的取值范围为 ．
14．(1) ；(2)见解析.
【解析】
故函数的解析式为 .
3．26
【解析】
【详解】
投掷骰子共有36种可能的结果，考查方程没有实根的情况，
当方程没有实数根的时候，判别式 ，
即当点 位于圆 内部时方程没有实数根，
结合圆的图形可知满足方程没有实根的数对 为：
2017年上海市青浦高级中学TI数理实验班选拔测试物理试卷
2017年青浦高级中学TI数理实验班选拔测试物理试卷一、单选题（以下各题的答案中只有一个是正确的，每题3分共30分）1、如图所示是烧开水时的情景，下列有关说法正确的是（）A．壶嘴周围的“白气”是水蒸气B．“白气”是周围的空气液化形成的C．“白气”是空气中原来的水蒸气液化形成的D．壶嘴最近处没有“白气”是因为温度太高，水蒸气无法遇冷液化2、一辆汽车从甲地开往乙地需要2小时，另一辆汽车从乙地开往甲地需要8小时．两辆汽车同时从两地相向开出，经过几小时相遇？（）A、5小时B、1.5小时C、1.6小时D、1.4小时3、如图所示，是A、B两匀速直线运动物体的运动图线，由图可知（）A．A、B同时开始向同方向运动；B．A、B同一位置开始向同方向运动C．A、B的速度的方向相反D．A的速度比B大4、公路上向左匀速行驶的汽车如图所示，经过一棵果树附近时，恰好有一颗果子从上面自由落下，下图是果子运动的轨迹，则车中人以车为参考系看到的果子的运动轨迹是（不计阻力）（）A、 B、 C、 D、5、人站在地面上，先将两腿弯曲，再用力蹬地，就能跳离地面，人在起跳过程中（）A．人对地球的引力大于地球对人的引力B．地面对人的作用力大于人对地面的作用力C．人对地面的作用力大于人的重力D．运动员所受到的合力一定向下6、如图所示，一个人用双手在单杠上把自己吊起来，静止在竖直面上，在下列四种情况中，两臂用力最小的是（）A、当他两臂平行时B、当他两臂成60°夹角时C、当他两臂成90°夹角时D、当他两臂成120°夹角时7、如图所示，入射光线与平面镜成α角，要使反射光线与入射光线之间的夹角增大20°（入射光线不动），则平面镜应（）A、沿顺时针方向转动10°B、沿顺时针方向转动20°C、沿逆时针方向转动10°D、沿逆时针方向转动20°8、如图所示，电源两端电压保持不变，闭合开关S后，滑动变阻器的滑片P向右移动的过程中，下列说法正确的是（）A、电流表A1和电流表A2的示数之和变小B、电压表V和电流表A2的示数之比保持不变C、电流表A1的示数变小，电压表V的示数变大D、电流表A2的示数不变，电压表V的示数不变9、如图所示电路，电源电压保持不变，当闭合开关S，调节滑动变阻器阻值从最大变化到最小，两个电阻的“U-I”关系图像如图所示.则下列判断正确的是( )A、电源电压为10VB、定值电阻R1的阻值为20ΩC、滑动变阻器R2的阻值变化范围为0～10ΩD、变阻器滑片在中点时，电流表示数为0.3A10、如图所示实验，下列对有关实验的解释正确的是（）A．甲图中的实验可得出磁铁异名磁极相斥B．乙图中的奥斯特实验说明了电流周围存在磁场C．丙图中的实验可得出电流越大，电磁铁的磁性越弱D．丁图中的测电笔接触零线氖管一定发光二、填空题：10分11、如图所示，质量和底面积都相同的两个容器甲、乙装有质量和深度均相等的两种不同液体，甲容器底部所受液体的压强乙容器底部所受液体的压强；甲容器对桌面的压强乙容器对桌面的压强（两空均选填“大于”、“小于”或“等于”）。
2017年全国高中数学联赛二试试题及答案解析.pdf
2010年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．证明：用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ．因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） ()()2222PO rKOr =−+−，同理 ()()22222QK QO rKOr =−+−，所以 2222PO PK QO QK −=−，故 OK ⊥PQ ． （10分）由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MCBD CD=， （30分） 所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆. （40分）注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅， ⑤⑤-④，得 2PK PE PC AK KE =⋅−⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）． 注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．二、（本题满分40分）设k 是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r = (1)(()),2l f f r l −≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥．证明：记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎞⎡⎤⎛⎞=++=++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎝⎠为整数． （10分)假设命题对1(1)v v −≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+"，FE Q PO NM KDC B A这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++"． （20分)于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎞⎡⎤⎛⎞=++=++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎝⎠2122kk k =+++ 11211212(1)2()222v v v vv v v ααα−++++=+++⋅++⋅+++""12k ′=+， ①这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα−++++′=++⋅++⋅+++""．显然k ′中所含的2的幂次为1v −．故由归纳假设知，12r k ′′=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明． （40分） 三、（本题满分50分）给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a "满足1,1,2,,k a k n ≤="，记12,1,2,,kk a a a A k n k+++==""．求证：1112nnk k k k n a A ==−−<∑∑． 证明：由01k a <≤知，对11k n ≤≤−，有110,0kni ii i k a k an k ==+<≤<≤−∑∑． （10分）注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y −<，于是对11k n ≤≤−，有11111kn n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎞−=−+⎜⎟⎝⎠∑∑11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠∑∑ 11111max ,n k i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎞<−⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎩⎭∑∑111max (),n k k nk n ⎧⎫⎛⎞≤−−⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎩⎭1k n=−， （30分） 故111nnnk kn k k k k a AnA A ===−=−∑∑∑()1111n n nk n k k k AA A A −−===−≤−∑∑111n k k n −=⎛⎞<−⎜⎟⎝⎠∑12n −=． （50分） 四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A "的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解：对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点23,,,n A A A "上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍． （20分）设标有a 的边有2i 条，02n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j −⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i 条边标记a 的有2in C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22jn i C −种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2in C 22jn i C −种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n i i j n n i i j C C −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−==⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑． ①这里我们约定001C =． （30分）当n 为奇数时，20n i −>，此时22221202n i j n i n i j C −⎡⎤⎢⎥⎣⎦−−−==∑． ② 代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C −⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦−−−−====⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑∑∑ 0022(1)(21)(21)nnkn kk n kk n n nn k k C C −−===+−=++−∑∑ 31n =+． （40分）当n 为偶数时，若2n i <，则②式仍然成立；若2ni =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为222222004n n i i j n n i i j C C −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦−==⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤−⎢⎣⎦−−=⎛⎞⎜⎟×+⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑ ()222124233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎣⎦−−==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n+种；当n 为偶数时有33n+种． （50分）。
2017年新知杯上海市数学竞赛
2017年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷一、 填空题（每题10分，共80分）1. 已知关于x 的两个方程： 032=+-m x x ①， 02=++m x x ②，其中0≠m 。
若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m 的值是___________。
2. 已知梯形ABCD 中，AB //CD ，︒=∠90ABC ，AD BD ⊥，5=BC ，13=BD ，则梯形ABCD 的面积为_______________。
3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等于2的概率为______________。
4. 将8个数7-，5-，3-，2-，2，4，6，13排列为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，使得()()22h g f e d c b a +++++++的值最小，则这个最小值为____________。
5. 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，使得3=AE ，2=BF ，线段AF 与DE 相交于点G ，则四边形DGFC 的面积为_____________。
6. 在等腰直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，P 是ABC ∆内一点，使得11=PA ，7=PB ，6=PC ，则边AC 的长为______________。
7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1分，负得0分。
比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的54，则第2名选手的得分是_________。
8. 已知a ，b ，c ，d 都是质数（质数即素数，允许a ，b ，c ，d 有相同的情况），且abcd 是35个连续正整数的和，则d c b a +++的最小值为_________。
二、 解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）9. 如图，矩形ABCD 的对角线交点为O ，已知︒=∠60DAC ，角DAC 的平分线与边DC 交于点S ，直线OS 与AD 相交于点L ，直线BL 与AC 相交于点M 。
07年上海市TI杯高二年级数学竞赛
114
18
汪野
华东师范大学第二附属中学
男
114
19
朱俊彦
交通大学附属中学
男
114
20
李昕宇
交通大学附属中学
男
114
21
魏志一
交通大学附属中学
男
114
22
朱志尧
延安中学
男
114
23
王一珏
建平中学
男
114
24
朱劭宇
进才中学
男
113
25
罗涛
延安中学
男
111
26
张哲焘
控江中学
男
111
27
王钰
华东师范大学第二附属中学
53
360
11
闵行中学
321
38
359
12
建平中学
290
60
350
13
宜川中学
288
60
348
14
位育中学
285
60
345
15
上海师范大学附属中学
286
56
342
16
上海市第二中学
288
54
342
17
七宝中学
283
50
333
18
晋元中学
272
60
332
19
曹杨第二中学
274
56
330
20
进才中学
277
上海外国语大学附属浦东外语学校
男
96
73
高琪娜
上海外国语大学附属浦东外语学校
女
96
74
2006年上海市TI杯高二年级数学竞赛
2006年上海市TI杯高二年级数学竞赛
佚名
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】2006(000)008
【摘要】竞赛简况为了贯彻《上海市中小学数学课程标准》的要求，推动数字化数学活动和数学课余活动的开展，同时也为了发展学生的数学应用能力，以及自主学习、探索求知和应用技术的能力，由上海市教委教研室与上海市数学会中教委员会联合举办了2006年上海市TI杯高二数学竞赛。
由于该项竞赛允许学生使用包括图形计算器在内的各种型号计算器，因此竞赛试题的内容和形式都与通常的数学竞赛有所不同，它涉及问题更宽广、更有趣，解决问题途径更多样。
【总页数】3页(P37-39)
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.2017年上海市TI杯高二年级数学竞赛 [J],
2.2016年上海市TI杯高二年级数学竞赛 [J], 熊斌;顾鸿达;李大元;黄华;忻重义
3.2015年上海市TI杯高二年级数学竞赛 [J],
4.2006年上海市TI杯高二年级数学竞赛 [J], 顾鸿达; 李大元; 熊斌; 忻重义; 黄华
5.2017年上海市TI杯高二年级数学竞赛 [J],
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2017-2018学年上海市嘉定区高二年级数学第二学期期末考试试卷(含答案)
嘉定区2017学年度高二年级第二学期期末考试数学试卷一、填空题1、已知z C ∈，1)(-=-i i z ，i 为虚数单位，则______=z 。
（i 2）2、在复平面中，点A 、B 对应的复数分别是312i +、，则向量AB 所对应的复数为______.（2i -2+） 3、方程092=+x 的解为________.（i x 3±=）4、以椭圆1222=+y x 的中心为顶点，以它的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为______.（x y 42=）5、已知复数满足12=-z ，则z 的最小值为____（1）6、如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，⊥OA 底面ABCD ，1OA =，则OC 与地面ABCD 所成角的大小为________________ (用反三角函数表示)（ 2arctan 2）7、已知正四棱柱的底面边长为1，高位2，则该棱柱的表面积为________10（）8、已知C z z ∈21,，有下列结论：（1）若021>-z z ，则21z z >；（2）02221=+z z 的充要条件为021==z z（3）21z z =，则21z z ±=；（4）21z z =，的一个必要不充分条件为21z z =（5）22121)(z z z z -=-其中，所在正确结论序号为__________()()24，9、如图，一个圆锥形的空杯子上放着一个半径为4.5cm 的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛满被子，则杯子的高h =_______()9cm10、把地球看作半径为R 的球A B ，是北纬ο45圈上d 两点，他们的经度差为ο60，则A B，两点间d 球面距离为________3arccos 4R ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 11、已知F 是双曲线112422=-y x ，的左焦点，14A （，），P 是该双曲线右支上的一个动点，则PA PF +的最小值为_______.()912、已知直线1(,,,0)l ax by a b R a b +=∈：不全为，点P a b （，）在椭圆12:22=+y x C 上，则直线l 与椭圆C 的公共点个数是_______()21或二、选择题13、已知i R b a ,,∈为虚数单位，则0=ab 是复数i b a +为纯虚数的 （ ）()B（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）即不充分也不必要条件14、一平面截一球得到直径为8cm 的圆面，球心到这个平面的距离为3cm ，则该球的体积为（ ）()D A 、33100cm π Ｂ、33125cm π Ｃ、33256cm π Ｄ、33500cm π １５、已知椭圆）（012222>>=+b a b y a x 的左焦点为1F ，其长轴上的顶点分别为21,A A ，P 为该椭圆上任意一点，则分别以线段211,A A PF 为直径d 两圆的位置关系为（ ）()A Ａ 相切 Ｂ 相交 Ｃ 相离 Ｄ以上情况都有可能１６、正方体1111D C B A ABCD -的棱长为２，线段11D B 上有两个动点1E F EF =，，若 则下列结论中错误的是（ ）（D ） Ａ BE AC ⊥ Ｂ EF ABCD P 平面Ｃ 三棱锥BEF A -的体积为定值Ｄ异面直线ＡＥ，ＢＦ所成的角是定值 三、解答题１７、已知z 为复数，z i ）（21+为纯虚数，2101=+i z （１）求复数z ； （２）若z 的虚部为正数，且z 是关于ｘ的方程）（R q p q px x ∈=++,02的一个根，求圆锥曲线122=+qy p x 的焦点坐标 1. i z +=2或i z --=22.()()0303-，，，１８、已知动圆P 过定点()-1,0A ，且与直线:1l x =相切（１）求动圆P 圆心的轨迹C 的方程（２）若果点()0,2的直线m 与轨迹C 有且仅有一个公共点，求直线m 的方程1.x y 42-=2.0=x 或2=y 或042=-+y x１９，如图，用半径为210厘米，面积为π2100平方厘米的扇形铁皮制作一个无盖d 圆锥形容器（衔接部分忽略不计）（１）该扇形的圆心角大小为多少（精确到ο1）（２）该容器最多盛水多少立方厘米（精确到0.1立方厘米）1.ο2552.1047.2２０、长方体1111D C B A ABCD -中，2,11===AA BC AB ，E 是侧棱1BB 的中点求： （１）异面直线E A 1与1AD 所成角的大小（用反三角函数值表示）（２）三棱锥AE A D 11-的体积（３）而面角11D AE A --的大小1.510arccos2.313.22arctan２１、已知复数),(R y x yi x z ∈+=，满足a z z 211=-++，且z 所对应点),(y x Z 的轨迹C 经过点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭（１）求轨迹C 的方程（２）若矩形ABCD 的边AB 在y 轴上，点C D 、均落在轨迹C 上，求该矩形绕y 轴旋转一周所得圆柱侧面积的最大值（３）设经过点()0-1，且()1,1d =u r 为一个方向向量的直线l 与轨迹C 相交于A B ，两点，试问：在轨迹C 上是否存在点P ，使得OP m OB OA =+成立？若存在，请求出实数m 的值和点P 的坐标，若不存在，请说明理由。
2007年上海市TI杯高二年级数学竞赛
2007年上海市TI杯高二年级数学竞赛
顾鸿达
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】2007(000)008
【摘要】简讯今年五月，上海市举行了“2007年TI杯高二年级数学竞赛”．该项活动是为了贯彻《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》的要求，推动数字化数学活动和数学课外活动的开展，发展学生运用技术探索求知和实践应用的能力．竞赛试题中有涉及图形计算器的应用，因此，竞赛中对学生所使用的计算器的型号不加规定。
【总页数】3页(P41-43)
【作者】顾鸿达
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.2017年上海市TI杯高二年级数学竞赛 [J],
2.2016年上海市TI杯高二年级数学竞赛 [J], 熊斌;顾鸿达;李大元;黄华;忻重义
3.2015年上海市TI杯高二年级数学竞赛 [J],
4.2007年上海市TI杯高二年级数学竞赛 [J], 顾鸿达（命题人）; 李大元（命题人）; 熊斌（命题人）; 忻重义（命题人）; 黄华（命题人）
5.2017年上海市TI杯高二年级数学竞赛 [J],
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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Ａ１３＝ Ａ２３Ａｌ３Ａｌ２
２３ １２
为 锐 角 ．此 时 ，线 段 ４ 不 能 再 为 某 个 等 腰
三 角形 的底边 ；否则 ，会 出现 ｚ３∥ｚ 或 ｚ：∥ｚ ，
与 题 设 条 件 矛 盾．类 似 地 ， 、 ，４
。 均不能再 为某个 等腰三角形 的底边． 又在 。：Ａ 为底 边 的情 况下 ， ５也 可
求 ＢＣ：ＣＡ：ＡＢ．
Ａ
Ｃ
参 考 答 案
一 、 １．１．５７ ２．３ ３３０ ４２０．６０９ ３．９
４．２ ０１５或 ３ ３６１ ５．３０３ ６．１．２２ ７．０．３２１ ８．２０ （１８０ 等也可 ）．
二 、９．设 ＡＫ＝ｚ，ＫＬ＝２ｔ，ＬＭ ＝３ｔ，圆 厂与 ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ分别 切于点 、 、 则
４个 交 点 】 （ ＝２，３，４，５）． 若底边 为 Ａ ，则
至多有两个等腰三角形 的底边 ，它们是 以两个 端点均不同的两条线段 为等腰三角形底边 的． 从而 ，在这五条直线上 以形成的线段为底边 的 等 腰 三 角形 的个 数 至 多为 ２×５＝１０．
事 实上 ，这样 的 ｌＯ个等腰三角形 的构 图 是存 在 的．
＝
Ｉ ｂ＝０．５一ｈ．
故 Ｖ＝ａｂｈ：（１一ｈ）（０．５一ｈ）ｈ
： 一 ＋ （０＜ ＜０．５）．
当＾＝学 ￣０．ｏ４８ １．
１１．由条 件 及 图 形 对 称性 ，可 知 四边 形 ＡＢＣＤ 为平 行 四边 形 ．
１．计算 ：
２
４
×
一 × Βιβλιοθήκη ２ ０１６ ＝ （精确到 ０．０１）．
２．方程 ＋ 丁＋ 丁＝２ ０１７的实数根 为 （精确 到 ０．００１）．
３．掷 一个均 匀 的色 子 次．若 至 少有 一 次 出现 ６的概率 大 于 ０．８，则 ， 的最小 值 为
４．若某 四位 数 的平 方 加 上 ２０ １７５所 得 的和也 为完全 平方数 ，则此 四位数是— — ．
２
图 ３
（１）若 图 ２的方 式恰 包 住 圆锥 ，求 圆锥
的体积 （精确 到 ０．０００ １）：
（２）求 长 方 体 体 积 的 最 大 值 （精 确 到
０．０００ ｌ ．
２
１１．如图 ４，椭 圆 ＋ｙ ＝１，过 点 Ｐ（１，０）、
Ｑ（一１，０）分别作两条平行 线 ，与椭 圆交 于 、 Ｂ、Ｃ、Ｄ 四点．求 四边形 ＡＢＣＤ 面积 的最 大值．
以为等腰 三角形 的底 边 ，于是 ，在 每条直线 上
图 ６
（李延 林 提供 ）
２０１８年第 ６期
２７
二 、解答题 （每小 题 １５分 ，共 ６０分 ） ９．如 图 １，在 △ ＡＢＣ中 ， 为 中线 ，与 △ ＡＢＣ的 内切 圆 厂交于 、 两点．若
ＡＫ ：ＫＬ：ＬＭ ＝１：２：３．
＾ ｙ
叶 一
＼ Ｑ／ ０
（１２ｔ） ＋４（ ＋、 ｚ）
＝ ２（（ ＋ ） ＋（戈＋２ ，／１ ￣ｔ＋ ｆ） ）
￡： —
．
９ —３√５
则 Ｂｃ：
，ＣＡ：
．
９—３，／５
９—３√Ｓ
Ｂ： 堡 双
９—３√５
故 ＢＣ：ＣＡ：ＡＢ＝６：（４一 ）：（４＋ ）． １０．（１）设 被 包住 的 圆锥 母 线 长 为 Ｚ，底 面半径 为 ｒ．则
ｈ２＝ｌ 一１，２：１５ｒ ｈ ＝ ｒ．
故 锥＝ ＝ ｒ３
＝ 争（ ］３≈ｏ－…．
巾 等 数 学
（２）如 图 ５，设 被 包 住
的长 方 体 底 面 长 方 形 长 、 宽 、高分 别为 ａ、ｂ、ｈ．则
ｒａ ＋ ｈ ＝ １，
【２６＋２ｈ＝１
图５
ｒａ ＝ １ 一 ｈ ．
所有正 约数 之和也为完全 平方数 ，例如 ，９ 的
所有正 约数 为 １、３、９、２７、８１，它们 的和为 １２１
＝ ｌ １。 ．
请再找一个具有上述性质
的平 方 数
３０条 线 段 ． （２）能够形成 以这些 线段 为边 的等腰 三
角 形 最 多有 ｌ０个 ． 记 Ｚ。与 Ｚ 的交点为 Ａ 考 虑底 边 在 ２ 上 的 等 腰 三 角 形 ，２ 上 有
２６
中 等 数 学
２０ １７年上海市 Ｔ Ｉ杯 高二年级数学竞赛
中图 分 类 号 ：Ｇ４２４．７９ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１００５—６４１６（２０１８）０６—００２６—０３
一 、 填 空题 （第 １～４题 每小题 ７分 ，第 ５ — ８题每小题 ８分 ，共 ６０分 ）
１ ２￣１ ＝２７ｒｒ ，
＂
ｌ＝４ｒ，
ｒ ：
．
５ ＋
图 ４
１２．设 ｎ、ｂ为两个正整数．数 列 ｛ ｝的通 项公式 为 ＝０ ＋ｂ （ ＝１，２，… ）．证 明 ：存 在无 穷 正 整 数数 列 ｍ ＜ｍ２＜… ，使 得 数 列 ｛ ｝中任 意 两项 互 素 的充分 必 要 条 件 为 ｎ 与 ｂ互 素 ，且奇偶性不 同．
ＣＤ ＝ ＣＥ ＝ ．
图 １
１ｏ．边长 为 １的 正 方 形 纸 片 用 图 ２、３的方 式裁剪后分别包住一个圆锥与一个长方体．
故 ｋｉＤ ＝ ｌ５ ，ＡＥ＝ＡＦ： ． 易 知 ， 为 ＢＣ的 中点 ，有 ＢＭ ＝ＭＣ－＇Ｘ＋￣／１ ｔ．
ＢＦ ＝ ＢＤ ＝ ＋ ２ ｔ．
由平行 四边形 四边平方和等于对角线 的 平 方 和 知
—
—
７．在 平 面 直 角 坐 标 系 ｘＯｙ中 ，有 一 段 正
弦曲线 Ｃ：Ｙ＝ｓｉｎ （０≤ ≤７ｃ）及点 Ｐ（一１，０），
过 Ｐ的直线 与 曲线 Ｃ交于 点 Ａ、Ｂ．若 Ｉ ｌ＝
ＡＢ ｌ，则 该 直 线 的 斜 率 为
（精 确 到
０．００１）．
８．一 个 大 于 １的 完 全 平 方 数 ，有 时 它 的
５．若 一 个 三 位 正 整 数 的 立 方 为 形 如 ＡＢＣＤＣＤＡＢ的 八 位 数 ，则 这 样 的 三 位 数 为
６ ． · 直 直线 线 Ｙ ＝ ９ ＋ ＋ ３与 与曲 曲线 线 Ｙ＝ 三
依 次 交 于 、曰、Ｃ 三 点 ．则 Ｉ Ｉ ＡＢ Ｉ—Ｉ ＢＣ Ｉ Ｉ＝
（精确 到 ０．０１）．