2020-2021学年河南省周口市某校初三(下)3月月考数学试卷详细答案与解析

2020-2021学年河南省周口市某校初三（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1. 1−3的运算结果是（）
A.2
B.−2
C.1
2D.−1
2
2. 在如图所示的低碳、节水、节能和绿色食品这四个标志中，是轴对称图形的是 ( )
A. B. C. D.
3. 已知光速为300000千米/秒，光经过t秒(1≤t≤10)传播的距离用科学记数法表示
为a×10n千米，则n可能为（）
A.5
B.6
C.5或6
D.5或6或7
4. 下列运算结果正确的是（）
A.a4⋅a3=a12
B.a8÷a2=a4
C.a2+a2=2a4
D.−(a+b)=−a−b
5. 对于实数m，n，定义运算“∗”如下：m∗n=m2−mn，例如：2∗3=22−2×3=−2，则方程(x+2)∗2=−1的根的情况是( )
A.没有实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
6. 如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是( )
A.20∘
B.25∘
C.30∘
D.35∘
7. 已知点A(−2,a)，B(2,b)，C(3,c)在反比例函数y=k
x
(k<0)的图象上，则下列判断
正确的是( )
A.b<c<a
B.b<a<c
C.a<c<b
D.c<b<a
8. 某校开展以“我们都是追梦人”为主题的校园文化节活动，文艺部负责人想要知道最受学生欢迎的活动占所有活动的百分比，以下是排乱的统计步骤：
①绘制扇形统计图来表示各项活动人数所占的百分比
②整理所收集的数据，并绘制频数分布表
③从扇形统计图中分析出最受学生欢迎的活动
④收集同学们选择的活动名称和人数
正确统计步骤的顺序是( )
A.④→②→③→①
B.④→②→①→③
C.②→④→③→①
D.④→③→②→①
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=3，AC=4，以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BC，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于1
2
MN的长为半径画弧，两弧在∠ACB内部交于点F，作射线CF交边AB于点D，过点D作AC的垂线交AC边于点E，则DE的长为( )
A.12
7B.12
5
C.5
2
D.3
2
10. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB的两边与坐标轴重合，点A的坐标为(0,4)，∠ABO=30∘，将△AOB沿x轴正半轴方向平移得到△DFE，若四边形ABED的面积为8√3，则点E的坐标为( )
A.(5,0)
B.(4√3,0)
C.(5√3,0)
D.(6√3,0)
二、填空题
计算：|−3|−20=________.
不等式组{x 3≤−1,−x +5>3
的解集是________.
已知抛物线y =−x 2+bx +c ，当x >1时，y 随x 的增大而减小，则b 的取值范围为________.
如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC =24，BD =10，点P 为边CD 上一点，且P 不与C 、D 重合．过点P 作PE ⊥BD 于点E ， PF ⊥AC 于点F ，连接EF ，则EF 的最小值为________.
如图，在边长为6的等边△ABC 中，折叠∠B ，使点B 落在边AC 的B ′ 处，折痕DE 分别交AB ，BC 于点D ，E ，当点B ′ 为边AC 的三等分点时，BE 的长为________.
三、解答题
先化简(x 2x+1−1)÷x 2−1
2x 2+x ，然后从−√3<x <√5的范围内选取一个合适的整数作为x
的值代入求值．
如图，已知AB是半圆O的直径，AB=4，过半圆外一点C引半圆O的切线CF，切点为D，连接CA，且CA=CD，线段CO与半圆O交于点E，连接BD，OD，ED.
(1)求证：∠FDB=∠DCO.
(2)填空：
①当∠FDB的度数为________时，四边形ODCA是正方形；
②当CD=________时，四边形OBDE是菱形．
图1是某学校门口安装的一款体温测量门，当学生从校门外进入学校时，体温门的显
示屏上会出现该学生的体温．如图2，当小明从校外走到点B处时，测量门的显示屏上
开始显示额头温度，此时，在额头处A测得门顶端N的仰角∠NAE=14∘；当小明向前
行进到点D处时，测量门停止显示额头温度，此时在额头C处测得门顶端N的仰角
∠NCE=30∘．已知测量门顶端N距离地面的高度MN为2.2m，小明的身高为1.6m，请
求出小明的有效测温区间BD的长．（结果精确到0.1m．sin14∘≈0.24，cos14∘≈0.97，tan14∘≈0.25，√2≈1.41，√3≈1.73）
某校对九年级学生进行了一次体育测试，随机抽取了40名学生（女）的立定跳远成绩（单位：cm），并对数据进行整理分析，过程如下．
收集数据：
整理数据：
分析数据：
(a)根据上述数据，得到了如下统计量．
根据以上信息，完成以下问题：
(1)计算a的值，并补全条形统计图．
(2)填空：m=________；n=________；b=________；
(3)若该九年级有女生400人，请估计立定跳远成绩不低于200cm的人数．
(4)若小红是该校九年级女生，本次测试立定跳远的成绩为170cm．请结合本次统计结果判断她的体质水平，并给她提出一条合理化的建议．
2021年4月23日是第26个世界读书日．某中学为了增加学生的阅读量，学校决定提前从新华书店预购一批课外读物．已知新华书店现有两种销售方案：
方案一：购买课外读物总费用超出180元后，超出部分按七折优惠；
方案二：所购课外读物一律按标价的八五折优惠．
设该校所购买课外读物的原价为x元(x>180)，
两种方案实际支付的费用分别为y1（元），y2（元）.
其函数图象如图所示：
(1)求y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)求出点C的坐标，并说明两直线交点C的实际意义；
(3)请你帮该校决定选用哪种方案更划算？
设抛物线y=x2+bx+c经过A(1,2)，B(3,12)两点．
(1)求抛物线的解析式及其顶点坐标；
(2)若直线l与抛物线交于点M(−2,m)，N(a,n)，且0≤n−m≤4，求a的取值范围．
数学活动课上，老师制作了几个面积均为9cm2的矩形，然后对这些矩形的周长进行研究．
背景
如图①，四边形ABCD为矩形，且面积为9cm2．
数学思考
(1)设BC=xcm，矩形ABCD的周长为ycm.
①用含x的代数式表示：AB的长为________cm，周长y为________cm；
②y与x的函数关系式为________，自变量x的取值范围为________；
深入研究
(2)①列表：根据(1)中所求函数关系式计算表格中m=________，n=________；
25
②描点：根据表中数据，描出剩余的两个点；
③连线：在平面直角坐标系中，用光滑的曲线画出该函数的图象；
(3)请结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．
如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=2BC=4，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．
(1)问题发现
=________；
①如图①，当α=0∘时，AE
BD
=________．
②当α=180∘时，AE
BD
(2)拓展探究
试判断当0∘≤α<360∘时，AE
的值有无变化，请就图②的情形说明理由；
BD
(3)问题解决
当△CDE绕点C逆时针旋转至A，B，E三点在同一条直线上时，请直接写出线段BD的长．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省周口市某校初三（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
有理数的减法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：1−3=−2.
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
轴对称图形
【解析】
本题主要考查了轴对称图形的相关知识点，需要掌握两个完全一样的图形关于某条直
线对折，如果两边能够完全重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直线就对称轴
才能正确解答此题．
【解答】
解：轴对称图形是平面内一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的
图形.
A，不是轴对称图形，故此选项错误；
B，不是轴对称图形，故此选项错误；
C，不是轴对称图形，故此选项错误；
D，是轴对称图形，故此选项正确．
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
科学记数法--表示较大的数
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】
解：当t=1时，光传播的距离为1×300000=300000=3×105（千米），则n=5；
当t=10时，光传播的距离为10×300000=3000000=3×106（千米），则n=6．
因为1≤t≤10，所以n可能为5或6．
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
同底数幂的除法
同底数幂的乘法
去括号与添括号
合并同类项
【解析】
分别进行同底数幂的乘法、同底数幂的除法，合并同类项，和去括号等运算，结合选项选出正确答案即可．
【解答】
解：a4⋅a3=a7；
a8÷a2=a6；
a2+a2=2a2；
−(a+b)=−a−b.
故选D.
5.
【答案】
C
【考点】
根的判别式
定义新符号
【解析】
根据运算“∗”的定义将方程(x+2)∗2=−1转化为一般式，由根的判别式Δ=0，即可得出该方程有两个相等的实数根．
【解答】
解：(x+2)∗2=−1，
(x+2)2−(x+2)×2=−1，
即x2+2x+1=0，
Δ=b2−4ac=22−4×1×1=0，
∴ 方程(x+2)∗2=−1有两个相等的实数根．
故选C．
6.
【答案】
C
【考点】
平行四边形的性质
平移的性质
平行线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
过点E作EF//AD，
则AD//BC//EF，
∵AD//EF，
∴∠AEF=180∘−∠DAE=180∘−70∘=110∘，
∴∠FEH=140∘−∠AEF=140∘−110∘=30∘，
∵EF//BC，
∴∠α=∠FEH=30∘.
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】
(k<0)的图象分布在第二、四象限，在每四象根据反比例函数的性质得到函数y=k
x
限，y随x的增大而增大，则b<c<0，a>0．
【解答】
解：∵ k<0，
(k<0)的图象分布在第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增∴ 函数y=k
x
大，
∵−2<0，
∴a>0，
∵0<2<3，
∴b<c<0，
∴ b<c<a．
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
调查收集数据的过程与方法
【解析】
统计的一般步骤为，收集数据，整理数据，绘制统计图表，通过统计图表分析得出结论或做出预测，达到预定的目的．
【解答】
解：统计的一般步骤为：收集数据，整理数据，绘制统计图表，分析图表得出结论，
所以正确的步骤为④→②→①→③．
故选B．
9.
【答案】
A
【考点】
角平分线的性质
作图—基本作图
正方形的性质
相似三角形的性质与判定
【解析】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)，也考查了相似三角形的性质．
【解答】
解：过点D作DG⊥BC，交BC于点G，
则由尺规作图可知，CD平分∠ACB，
则四边形CGDE为正方形，且△AED∽△ACB，
设正方形CGDE的边长为x，
AE AC =DE
BC
，
即4−x
4=x
3
，
解得x=12
7
．
故选A．
10.
【答案】
D
【考点】
平行四边形的面积平移的性质
锐角三角函数的定义
【解析】
根据点A 的坐标为(0,4)，OA =4，在直角△AOB 中， tan 30∘=OA
OB ，得出OB ，根据四边形ABED 的面积为8√3，得出BE =2√3，则可得OE ，点E 的坐标可求． 【解答】
解：∵ 点A 的坐标为(0,4)， ∴ OA =4，
在直角△AOB 中，tan 30∘=OA
OB ， ∴ OB =
√33
=4√3，
由平移得，AD =//
BE ，
∴ 四边形ABED 是平行四边形， ∴ S 四边形ABED =BE ×OA =8√3， ∴ BE =8√3÷4=2√3，
∴ OE =OB +BE =4√3+2√3=6√3， ∴ 点E 的坐标为(6√3,0)． 故选D ． 二、填空题
【答案】 2
【考点】 绝对值
零指数幂、负整数指数幂
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：|−3|−20=3−1=2. 故答案为：2. 【答案】 x ≤−3 【考点】
解一元一次不等式组 【解析】
首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【解答】
解：不等式组{x
3≤−1①,
−x +5>3②,
解①得x ≤−3， 解②得x <2，
则不等式组{x 3≤−1,
−x +5>3
的解集是：x ≤−3．
故答案为：x ≤−3．
b≤2
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质【解析】
先根据抛物线的性质得到其对称轴为直线x=1
2b，且当x>1
2
b时，y随x的增大而减小，
由于已知当x>1时，y的值随x值的增大而减小，则可得判断b≤2．【解答】
解：抛物线y=−x2+bx+c的对称轴为直线x=−b
2×(−1)=1
2
b，
而a=−1<0，
∴ 当x>1
2
b时，y随x的增大而减小，
∵ 当x>1时，y随x的增大而减小，
∴1
2
b≤1，
解得b≤2．
故答案为：b≤2．
【答案】
60
13
【考点】
勾股定理
菱形的性质
矩形的判定与性质
三角形的面积
垂线段最短
【解析】
连接OP，由四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，可得DO=1
2
BD=5，OC=
1
2
AC=12，CD=√DO2+OC2=13，由PE⊥BD，PF⊥AC，AC⊥BD，得出四边形
OEPF是矩形，EF=OP，当OP⊥CD时，OP有最小值，此时S△OCD=1
2
OD⋅OC=
1
2
CD⋅OP，即可求．
【解答】
解：连接OP，
∵ 四边形ABCD 是菱形，AC =24，BD =10， ∴ AC ⊥BD ，DO =1
2BD =5，OC =1
2AC =12， ∴ CD =√DO 2+OC 2=13，
∵ PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，AC ⊥BD ， ∴ 四边形OEPF 是矩形， ∴ EF =OP ，
∵ 当OP ⊥CD 时，OP 有最小值， 此时S △OCD =1
2OD ⋅OC =12CD ⋅OP ， ∴ OP =
5×1213
=60
13，
∴ EF 的最小值为60
13． 故答案为：60
13． 【答案】
7
2
或14
5 【考点】
翻折变换（折叠问题） 等边三角形的性质 相似三角形的性质与判定 【解析】
两种情形：①如图1中，当AD =1
3AC ＝1时，设PB ＝x ，②如图2中，当AD =2
3AC ＝2时，利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】
解：①如图1，当AB ′=1
3AC =2时，B ′C =4，
设BE=x，则B′E=x，CE=6−x，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠A=∠ABC=∠C=60∘. ∵∠DB′E=∠ABC=60∘，
∠DB′C=∠DB′E+∠EB′C=∠A+∠ADB′，
∴60∘+∠EB′C=60∘+∠ADB′，
∴∠EB′C=∠ADB′，
∴△ADB′∽△CB′E，
∴AD
CB′=AB′
CE
=DB′
B′E
，
即AD
4=2
6−x
=DB′
x
，
∴BD=B′D=2x
6−x ，AD=8
6−x
.
∵BD+AD=6，
∴2x
6−x +8
6−x
=6，
∴x=7
2
．
②如图2，当AB′=2
3
AC=4时，B′C=2，
由△ADB ′
∽△CB ′
E 得AD
CB ′=AB ′CE
=DB ′
B ′E ，
即AD
2=4
6−x =
DB ′x
，
∴ BD =B ′D =4x
6−x ，AD =8
6−x . ∵ BD +AD =6， ∴ 4x
6−x +8
6−x =6， ∴ x =
145．
综上所述，BE 的长为7
2或14
5． 故答案为：7
2或14
5． 三、解答题 【答案】 解：原式=x−2x−12x+1÷
(x+1)(x−1)x(2x+1)
=
−(x +1)2x +1)×x(2x +1)
(x +1)(x −1)
=x
1−x ．
∵ −√3<x <√5，且x 为整数， ∴ 若使分式有意义，x 只能取2． 当x =2时，原式=−2． 【考点】
分式的化简求值 【解析】 无
【解答】 解：原式=
x−2x−12x+1
÷
(x+1)(x−1)x(2x+1)
=
−(x +1)2x +1)×x(2x +1)
(x +1)(x −1)
=x
1−x ．
∵ −√3<x <√5，且x 为整数， ∴ 若使分式有意义，x 只能取2． 当x =2时，原式=−2． 【答案】
(1)证明：由题意，可知OA =OD ， 在△CAO 和△CDO 中， {CA =CD ，CO =CO ，OA =OD ，
∴ △CAO ≅△CDO (SSS )， ∴ ∠COA =∠COD =1
2∠DOA ，
∵ OB =OD ，
∴ ∠B =∠ODB ，且∠B +∠ODB =∠DOA ， ∴ ∠B =∠ODB =1
2∠DOA ， ∴ ∠COA =∠B ， ∴ OC//BD ，
∴ ∠FDB =∠DOC . 45∘,2√3
【考点】
全等三角形的性质与判定 平行线的判定与性质 切线的性质 正方形的性质 菱形的性质
等边三角形的性质与判定
【解析】
(1)利用三角形全等证明OC ∥BD ，然后根据平行线的性质可得结论.
(2)解：①∵ 四边形ODCA 为正方形，CO 为对角线 ∠ACO =∠DCO =1
2
∠ACD =1
2
×90∘=45∘.
由(1)知，∠FDB =∠DCO =45∘，
∴ 当∠FDB =45∘时，四边形ODCA 为正方形； ②∵ 四边形OBDE 是菱形， ∴ DE =BD =OB =OE . ∵ DE =OE =OD ，
∴ △DOE 为等边三角形， ∴ ∠DOE =60∘.
∵ AB =4， ∴ OB =OD =2.
∵ ∠ODC =90∘，∠DOC =60∘， ∴ ∠DCO =30∘，CO =2OD =4， ∴ CD =√CO 2−OD 2 =√16−4=2√3. 故答案为：45∘；2√3.
【解答】
(1)证明：由题意，可知OA =OD ， 在△CAO 和△CDO 中， {CA =CD ，CO =CO ，OA =OD ，
∴ △CAO ≅△CDO (SSS )， ∴ ∠COA =∠COD =1
2∠DOA ，
∵ OB =OD ，
∴ ∠B =∠ODB ，且∠B +∠ODB =∠DOA ， ∴ ∠B =∠ODB =1
2∠DOA ，
∴ ∠COA =∠B ， ∴ OC//BD ，
∴ ∠FDB =∠DOC .
(2)解：①∵ 四边形ODCA 为正方形，CO 为对角线， ∴ ∠ACO =∠DCO =1
2
∠ACD =1
2
×90∘=45∘.
由(1)知，∠FDB =∠DCO =45∘，
∴ 当∠FDB =45∘时，四边形ODCA 为正方形. 故答案为：45∘.
②∵ 四边形OBDE 是菱形， ∴ DE =BD =OB =OE . ∵ DE =OE =OD ，
∴ △DOE 为等边三角形， ∴ ∠DOE =60∘. ∵ AB =4，
∴ OD =OB =1
2AB =2.
∵ CF 是圆O 的切线， ∴ ∠ODC =90∘， 又∵ ∠DOC =60∘，
∴ ∠DCO =30∘，CO =2OD =4， ∴ CD =√CO 2−OD 2=√16−4=2√3. 故答案为：2√3.
【答案】
解：依题意，可得四边形ABDC ，CDME 均为矩形， AB =EM =1.6(m )，BD =AC ，
又EN=MN−EM=2.2−1.6=0.6(m)，
在Rt△NEC中，∠NEC=90∘，∠NCE=30∘，
∴EC=EN
tan30∘=3
5
√3．
在Rt△NEA中，∠NEA=90∘，∠NAE=14∘，
∴EA=EN
tan14∘
≈0.6÷0.25=2.4(m)，
∴BD=AC=AE−EC≈2.4−3
5
√3≈1.4(m)．答：小明的有效测温区间BD的长约为1.4m．
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】
依题意，可得四边形ABDC，CDME均为矩形，AB=EM=1.6(m)，BD=AC，
又EN=MN=M=2.2−1.6=0.6(m)，
在Rt△NEC中，∠NEC=90∘，∠NCE=30∘，
∴EC=EN
tan30∘=3
5
√3．
在Rt△NEA中，∠NEA=90∘，∠NAE=14∘，
∴EA=EN
tan14∘≈0.670.252.4(m)，∴BD=AC=AE−EC≈2.4−3
5
√3≈1.4(m)．
答：小明的有效测温区间BD的长约为1.4m．
【解答】
解：依题意，可得四边形ABDC，CDME均为矩形，AB=EM=1.6(m)，BD=AC，
又EN=MN−EM=2.2−1.6=0.6(m)，
在Rt△NEC中，∠NEC=90∘，∠NCE=30∘，
∴EC=EN
tan30∘=3
5
√3．
在Rt△NEA中，∠NEA=90∘，∠NAE=14∘，
∴EA=EN
tan14∘
≈0.6÷0.25=2.4(m)，
∴BD=AC=AE−EC≈2.4−3
5
√3≈1.4(m)．答：小明的有效测温区间BD的长约为1.4m．
【答案】
解：(1)由题意，可知a=40−9−10−6−11=4. 补全条形统计图如图所示.
175,27.5%,10%
(3)400×4+11
=150（人），
40
答：估计立定跳远成绩不低于200cm的人数为150.
(4)根据统计量信息，可知抽取样本的平均成绩为181.5cm，中位数为175cm.
∵181.5>170，175>170.
∴小文的成绩低于平均成绩，且处于中等偏下水平.
建议：①加强体育锻炼，增强身体素质；
②合理膳食，均衡营养.
【考点】
条形统计图
中位数
用样本估计总体
算术平均数
【解析】
(1)用总数减去等级为A，B，C，D的人数即可求解a，然后补全统计图即可；
(2)利用中位数计算方法计算出中位数，然后用D，E的人数比上总人数求出n和b；
(3)用400乘以高于200cm人数的百分比即可求解.
(4)比较小红的成绩与平均成绩即可解题.
【解答】
解：(1)由题意，可知a=40−9−10−6−11=4.
补全条形统计图如图所示.
(2)将40个数据按照从小到大的顺序排列，
第20个数是175，第21个数是175，
∴m=175+175
=175；
2
n=11
×100%=27.5%；
40
×100%=10%.
b=4
40
故答案为：175；27.5%；10%.
(3)400×4+11
=150（人），
40
答：估计立定跳远成绩不低于200cm的人数为150.
(4)根据统计量信息，可知抽取样本的平均成绩为181.5cm，中位数为175cm. ∵181.5>170，175>170.
∴小文的成绩低于平均成绩，且处于中等偏下水平.
建议：①加强体育锻炼，增强身体素质；
②合理膳食，均衡营养.
【答案】
解：(1)由题意得y1=180+0.7(x−180)=0.7x+54(x>180)，
y2=0.85x(x>180)．
(2)令0.7x+54=0.85x，解得x=360，
此时y1=y2=306．
∴点C的坐标为(360,306)．
交点C的实际意义：当购买课外读物的原价为360元时，
两种方案所需费用相同．
(3)当0.7x+54>0.85x时，解得x<360，
∴当180<x<360时，选用方案二更划算；
当0.7x+54=0.85x时，解得x=360，此时选用两种方案花费一样；
当0.7x+54<0.85x时，解得x>360，选用方案一更划算．
综上所述，当180<x<360时，选用方案二更划算，
当x=360时，两种方案一样划算，
当x>360时，选用方案一更划算．
【考点】
根据实际问题列一次函数关系式
一次函数图象上点的坐标特点
由实际问题抽象出一元一次不等式
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)由题意得y1=180+0.7(x−180)=0.7x+54(x>180)，
y2=0.85x(x>180)．
(2)令0.7x+54=0.85x，解得x=360，
此时y1=y2=306．
∴点C的坐标为(360,306)．
交点C的实际意义：当购买课外读物的原价为360元时，
两种方案所需费用相同．
(3)当0.7x +54>0.85x 时，解得x <360， ∴ 当180<x <360时，选用方案二更划算；
当0.7x +54=0.85x 时，解得x =360，此时选用两种方案花费一样； 当0.7x +54<0.85x 时，解得x >360，选用方案一更划算． 综上所述，当180<x <360时，选用方案二更划算， 当x =360时，两种方案一样划算， 当x >360时，选用方案一更划算．
【答案】
解：(1)∵ 抛物线y =x 2+bx +c 经过A (1,2)，B (3,12)两点， ∴ {1+b +c =2，9+3b +c =12，∴ {b =1，c =0，
∴ 抛物线的解析式为y =x 2+x ． ∵ y =x 2
+x =(x +12)2
−1
4
，
∴ 抛物线的顶点坐标为(−12,−1
4
) .
(2)∵ 点M (−2,m )在抛物线上，∴ m =2.
又∵ 0≤n −m ≤4，∴ 0≤n −2≤4， ∴ 2≤n ≤6.
令x 2+x =2，解得x 1=−2，x 2=1 . 令x 2+x =6，解得x 3=−3，x 4=2， 如图所示，作直线y =2和直线y =6，
结合图象，可知当2≤n ≤6时， 在对称轴左侧，有−3≤a ≤−2； 在对称轴右侧，有1≤a ≤2 .
综上所述，a 的取值范围为−3≤a ≤−2或1≤a ≤2 . 【考点】
待定系数法求二次函数解析式
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质 二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
（1）∵ 抛物线y =x 2+bx +c 经过A (1,2),B (3,12)两点，
∴ {1+b +c =2,
9+3b +c =12，∴ {b =1,11c =0.，
∴ 抛物线的解析式为y =x 2+x ． ∵ y =x 2
+x =(x +12)2
−1
4
，
∴ 抛物线的顶点坐标为(−12,−1
4
) .
（2）∵ 点M (−2,m )在抛物线上，∴ m =2 .
又∵ 0≤n −m ≤4，∴ 0≤n −2≤4， ∴ 2≤n ≤6 .
令x 2+x =2，解得x 1=−2,x 2=1 . 令x 2+x =6，解得x 3=−3，x 4=2， 如图所示，作直线y =2和直线y =6，
结合图象，可知当2≤n ≤6时，在对称轴左侧，有-3≤a <−2； 在对称轴右侧，有1≤a ≤2 .
综上所述，a 的取值范围为-3≤a ≤−2或1≤a <2 .
【解答】
解：(1)∵ 抛物线y =x 2+bx +c 经过A (1,2)，B (3,12)两点， ∴ {1+b +c =2，9+3b +c =12，∴ {b =1，c =0，
∴ 抛物线的解析式为y =x 2+x ． ∵ y =x 2+x =(x +12)2
−1
4，
∴ 抛物线的顶点坐标为(−1
2,−1
4
) .
(2)∵ 点M (−2,m )在抛物线上，∴ m =2.
又∵ 0≤n −m ≤4，∴ 0≤n −2≤4， ∴ 2≤n ≤6.
令x 2+x =2，解得x 1=−2，x 2=1 . 令x 2+x =6，解得x 3=−3，x 4=2， 如图所示，作直线y =2和直线y =6，
结合图象，可知当2≤n≤6时，
在对称轴左侧，有−3≤a≤−2；
在对称轴右侧，有1≤a≤2 .
综上所述，a的取值范围为−3≤a≤−2或1≤a≤2 . 【答案】
9 x ,2(x+9
x
),y=2(x+9
x
),x>0
(2)①y与x的函数关系式为y=2(x+9
x
)，
当x=1时，y=2×(1+9
1
)=20，即m=20，
当x=2时，y=2×(2+9
2
)=13，即n=13. 故答案为：20；13.
②描点如图所示：
③连线如图所示：
(3)①函数有最小值，最小值是12；
②当0<x<3时，y随x的增大而减小；当x>3时，y随x的增大而增大. 【考点】
函数关系式
矩形的性质
函数的图象
【解析】
1。

1
【解答】
解：(1)①矩形的面积为9cm2，
设BC=xcm，则AB=9
x
cm，
周长y为2(x+9
x
)cm.
故答案为：9
x ；2(x+9
x
).
②y与x的函数关系式为y=2(x+9
x
)，
自变量x的取值范围为x>0.
故答案为：y=2(x+9
x
)；x>0.
(2)①y与x的函数关系式为y=2(x+9
x
)，
当x=1时，y=2×(1+9
1
)=20，即m=20，
当x=2时，y=2×(2+9
2
)=13，即n=13.
故答案为：20；13.
②描点如图所示：
③连线如图所示：
(3)①函数有最小值，最小值是12；
②当0<x<3时，y随x的增大而减小；当x>3时，y随x的增大而增大. 【答案】
√5,√5
(2)无变化．
在图①中，∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，
∴CE
CA =CD
CB
，∠EDC=∠ABC=90∘，
如图②，∵△CDE在旋转过程中形状大小不变，
∴CE
CA =CD
CB
仍然成立．
又∵∠ACE=∠BCD=α，∴△ACE∽△BCD，
∴AE
BD =AC
BC
=2√5
2
=√5．
∴AE
BD
的大小不变．
(3)①如图，当点E在AB的延长线上时，
以点E，B，C为顶点的三角形为直角三角形，在Rt△BCE中，CE=√5，BC=2，
∴BE=√EC2−BC2=√5−4=1，
∴AE=AB+BE=4+1=5，
∵AE
BD
=√5，
∴BD=
√5
=√5．
②如图，当点E在线段AB上时，
以点E，B，C为顶点的三角形为直角三角形，在Rt△BCE中，CE=√5，BC=2，
∴BE=√EC2−BC2=√5−4=1，
∴AE=AB−BE=4−1=3，
∵AE
BD
=√5，
∴BD=3
√5=3√5
5
，
综上所述，线段BD的长为√5或3√5
5
．
【考点】
勾股定理
平行线分线段成比例
旋转的性质
相似三角形的判定
相似三角形的性质
【解析】
(1)①当α＝0∘时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、
E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的AE
BD
值是多少．
②α＝180∘时，可得AB // DE，然后根据AC
AE =BC
DB
，求出AE
BD
的值是多少即可．
（2）首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据EC
DC =AC
BC
=√5，判断出△ECA∽△DCB，然后
由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
（3）分两种情形：①如图3−1中，当点E在AV的延长线上时，②如图3−2中，当点E在线段AB上时，分别求解即可．
(2)首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据EC
DC =AC
BC
=√5，判断出△ECA∽△DCB，然后由
相似三角形的对应边成比例，求得答案．
(3)分两种情形：①如图3−1中，当点E在AV的延长线上时，②如图3−2中，当点E 在线段AB上时，分别求解即可．
【解答】
解：(1)①当α=0∘时，
∵在Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=2BC=4，
∴BC=2，
∴AC=√AB2+BC2=√22+42=2√5，
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴AE=1
2AC=√5，BD=1
2
BC=1，
∴AE
BD
=√5．故答案为：√5．②如图，
当α=180∘时，可得AB // DE，
∴AC
AE =BC
BD
，
∴AE
BD =AC
BC
=2√5
2
=√5．
故答案为：√5．
(2)无变化．
在图①中，∵DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，
∴CE
CA =CD
CB
，∠EDC=∠ABC=90∘，
如图②，∵△CDE在旋转过程中形状大小不变，
∴CE
CA =CD
CB
仍然成立．
又∵∠ACE=∠BCD=α，∴△ACE∽△BCD，
∴AE
BD =AC
BC
=2√5
2
=√5．
∴AE
BD
的大小不变．
(3)①如图，当点E在AB的延长线上时，
以点E，B，C为顶点的三角形为直角三角形，在Rt△BCE中，CE=√5，BC=2，
∴BE=√EC2−BC2=√5−4=1，
∴AE=AB+BE=4+1=5，
∵AE
BD
=√5，
∴BD=
√5
=√5．
②如图，当点E在线段AB上时，
以点E，B，C为顶点的三角形为直角三角形，在Rt△BCE中，CE=√5，BC=2，
∴BE=√EC2−BC2=√5−4=1，
∴AE=AB−BE=4−1=3，
∵AE
BD
=√5，
∴BD=
√5=3√5
5
，
综上所述，线段BD的长为√5或3√5
5
．。