圆与球面1球面与平面的关系截面圆1球面被平面切割的截痕

3-4 球面與平面的關係
截面圓
1. 球面被平面切割的“截痕”是一個圓。

這個圓稱為截面圓。

配合課本P. 194
2. 截面圓的圓心Q '
與球心Q 之連線必垂直於截平面。

配合課本P. 194
3. 設球面的半徑為R ，球心到截面的距離為d ( d ＝QQ '¯¯¯ )， 截面圓的半徑為r ，則r ＝ R 2－d 2 。

配合課本P. 194
1
已知平面E ：4x ＋y －2z －13＝0，截球面S ：x 2＋y 2＋z 2＋6x －4y ＋2z －35＝0於一圓C ，求： (1) 圓C 的圓心。

(2) 圓C 的半徑。

x 2＋y 2＋z 2＋6x －4y ＋2z －35＝0 ⇔ ( x ＋3 )2＋( y －2 )2＋( z ＋1 )2＝49
故球面S 的球心為Q (－3 , 2 ,－1 )，半徑R ＝7
(1) 設圓心為H (－3＋4t , 2＋t , －1－2t )，因其在平面E 上， 故4 (－3＋4t )＋( 2＋t )－2 (－1－2t )－13＝0 即21t ＝21，得t ＝1 於是圓心是 ( 1 , 3 ,－3 )
(2) d ＝d ( Q , E )＝｜－12＋2＋2－13｜ 42＋12＋(－2 )2
＝21 21 ＝ 21
故圓C 的半徑r ＝
R 2－d 2 ＝
49－21 ＝ 28 ＝2 7
演練 1. 已知平面E ：2x ＋y ＋2z ＝5，截球面S ：x 2＋y 2＋z 2
－4y ＋6z －36＝0於一圓C ，求：
(1) 圓C 的圓心。

(2) 圓C 的面積。

x 2＋y 2＋z 2－4y ＋6z －36＝0 ⇔ x 2＋( y －2 )2＋( z ＋3 )2＝49
Q '
Q
E
故球面S 的球心為Q ( 0 , 2 ,－3 )，半徑R ＝7
(1) 設圓心為H ( 2t , 2＋t ,－3＋2t )，因其在平面E 上， 故2 ( 2t )＋( 2＋t )＋2 (－3＋2t )＝5 即9t ＝9，得t ＝1 於是圓心是 ( 2 , 3 ,－1 )
(2) d ＝d ( Q , E ）＝｜0＋2－6－5｜ 22＋12＋22
＝9
3 ＝3
故圓C 的半徑r ＝
R 2－d 2 ＝
72－32 ＝ 40 ＝2 10
於是圓C 的面積為r 2π＝( 2 10 )2π＝40π
2
設球面S 過點P （7 , 5 , 5），若xy 平面截球面S 於一圓C ：（x －1）2＋（y －2）2
＝40
（在xy 平面上），求球面S 的方程式。

設球心為Q （1 , 2 , t ），若圓C 的圓心為Q ' 則QQ '¯¯¯＝｜t ｜，又圓C 半徑r ＝2 10 故球面半徑R ＝
QQ '¯¯¯2＋r 2 ＝QP ¯¯¯¯
得t 2＋40＝62＋32＋（t －5）2，即10t ＝30，t ＝3
故球心Q （1 , 2 , 3），半徑R ＝ 9＋40 ＝7
於是球面方程式為（x －1）2＋（y －2）2＋（z －3）2＝49
演練 2. 設球面S 過點P ( 2 , 5 , 4 )，若yz 平面截球面S 於圓C ：( y －2 )2＋( z －2 )2
＝1
( 在yz 平面上 )，求球面S 的方程式。

設球心為Q ( t , 2 , 2 )，若圓C 的圓心為Q ' 則QQ '¯¯¯＝｜t ｜，又圓C 半徑r ＝1 故球面半徑R ＝
QQ '¯¯¯2＋r 2 ＝QP '¯¯¯¯
得t 2＋1＝( t －2 )2＋(－3 )2＋(－2 )2，即4t ＝16，t ＝4 故球心為 ( 4 , 2 , 2 )，半徑R ＝
42＋12 ＝ 17
於是球面方程式為 ( x －4 )2＋( y －2 )2＋( z －2 )2＝17
3
設球面S ：x 2＋y 2＋z 2－4x ＋2y ＋6z －11＝0與xy 平面、xz 平面分別交於圓C 1與圓C 2，求圓C 1與圓C 2的面積比。

⎩
⎨⎧ x 2＋y 2＋z 2－4x ＋2y ＋6z －11＝0……①
z ＝0 …………………………………②
②代入①得x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ⇒ ( x －2 )2＋( y ＋1 )2＝16 故圓C 1的面積為16π
⎩
⎨⎧ x 2＋y 2＋z 2－4x ＋2y ＋6z －11＝0……③y ＝0 …………………………………④ ④代入③得x 2＋z 2－4x ＋6z －11＝0 ⇒ ( x －2 )2＋( z ＋3 )2＝24 故圓C 2的面積為24π
於是圓C 1與圓C 2的面積比為16π：24π＝2：3
演練 3. 設球面S ：x 2＋y 2＋z 2
－2x ＋2y ＋4z －7＝0與xy 平面、yz 平面分別交於圓C 1與C 2，
求圓C 1與圓C 2的面積比。

⎩⎨⎧ x 2＋y 2＋z 2－2x ＋2y ＋4z －7＝0z ＝0
⇒ x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0 ⇒ ( x －1 )2＋( y ＋1 )2＝9 故圓C 1的面積為9π
⎩⎨⎧ x 2＋y 2＋z 2－2x ＋2y ＋4z －7＝0x ＝0
⇒ y 2＋z 2＋2y ＋4z －7＝0 ⇒ ( y ＋1 )2＋( z ＋2 )2＝12 故圓C 2的面積為12π
於是圓C 1與圓C 2的面積比為9π：12π＝3：4
切平面
1. 切平面的意義：
一平面E 與一球面S 恰相交於一點，則平面E 稱為球面S 的切平面，此交點稱為切點。

(1) 球心在切平面上的投影點，就是切點。

(2) 球心與切點的連線必垂直切平面。

配合課本P. 197
2. 過球面上一點的切平面的求法：
(1) 球面的球心為Q ，P 為球面上一點，則過P 點的切平面以 QP 為法向量。

(2) 設P ( x 1 , y 1 , z 1 ) 為球面S ：( x －x 0 )2＋( y －y 0 )2＋( z －z 0 )2＝r 2上一點，
則過P 點的切平面方程式為
( x 1－x 0 ) ( x －x 0 )＋( y 1－y 0 ) ( y －y 0 )＋( z 1－z 0 ) ( z －z 0 )＝r 2。

(3) 設P ( x 1 , y 1 , z 1 ) 為球面S ：x 2＋y 2＋z 2＋dx ＋ey ＋fz ＋g ＝0上一點，
則過P 點的切平面方程式為
x 1x ＋y 1y ＋z 1z ＋d ( x ＋ x 1 2 )＋e ( y ＋y 1 2 )＋f ( z ＋z 1
2 )＋g ＝0。

配合課本P. 198
4
求過點P ( 1 , 4 , 3 ) 而與球面S ：( x ＋1 )2＋( y －2 )2＋( z －2 )2＝9相切之切平面方程式。

球心Q (－1 , 2 , 2 )，切點P ( 1 , 4 , 3 )
＜方法一＞
切平面之法向量
n＝PQ＝(－2 ,－2 ,－1 )
又P點在切平面上
故切平面方程式為－2 ( x－1 )－2 ( y－4 )－( z－3 )＝0 即2x＋2y＋z－13＝0
＜方法二＞
切平面方程式為
( 1＋1 ) ( x＋1 )＋( 4－2 ) ( y－2 )＋( 3－2 ) ( z－2 )＝9 即2x＋2y＋z－13＝0
演練 4. 設球面S：x2＋y2＋z2－6x＋4z－36＝0，點P ( 1 , 6 ,－5 )，求過P點且與球面S相切的平面方程式。

〈師大附中〉
因P點在球面S上，
故切平面方程式為1‧x＋6‧y－5‧z－6 (x＋1
2 )＋4 (
z－5
2 )－36＝0
即2x－6y＋3z＋49＝0
5
設平面E：2x＋2y＋z＝6與球面S：x2＋y2＋z2＝4相切，求切點坐標。

球心O ( 0 , 0 , 0 )在平面E：2x＋2y＋z＝6的投影點
即為切點P
設P ( 2t , 2t , t )，因P點在平面E上
故2 ( 2t )＋2 ( 2t )＋t＝6，得t＝2
3
故切點P的坐標為(4
3 ,4
3 ,
2
3 )
演練 5. 設平面E：2x＋2y－z＋7＝0與球面S：x2＋y2＋z2－10x－10y－31＝0相切，求切點坐標。

x2＋y2＋z2－10x－10y－31＝0
⇔( x－5 )2＋( y－5 )2＋z2＝81
故球心Q ( 5 , 5 , 0 )
球心Q在平面E上的投影點P即為切點P 設P ( 5＋2t , 5＋2t , －t )
因P點在平面E上
故2 ( 5＋2t )＋2 ( 5＋2t )－(－t )＋7＝0 即9t＝－27，得t＝－3
於是切點P的坐標為(－1 ,－1 , 3 )
球面與平面的關係
▲設空間中球面S：( x－x0 )2＋( y－y0 )2＋( z－z0 )2＝r2，球心Q ( x0 , y0 , z0 )，半徑為r；
平面E：ax＋by＋cz＋d＝0，且d ( Q , E )＝
｜ax0＋by0＋cz0＋d｜
a2＋b2＋c2。

(1) 若球面S與平面E交於一圓(截面圓) ⇔d ( Q , E )＜r。

(2) 若球面S與平面E相切⇔ d ( Q , E )＝r。

(3) 若球面S與平面E不相交⇔ d ( Q , E )＞r。

【註】球面S上各點到平面E之距離的最大值是d ( Q , E )＋r，最小值是｜d ( Q , E )－r｜。

配合課本P. 200 6
設平面E：x＋2y－2z＋k＝0，球面S：x2＋y2＋z2＋2x＋4y－2z＋5＝0。

(1) 若平面E與球面S相交成一圓，求k值的範圍。

(2) 若平面E通過球心，求k值。

(3) 若平面E與球面S相切，求k值。

(4) 若平面E與球面S不相交，求k值的範圍。

x2＋y2＋z2＋2x＋4y－2z＋5＝0⇔( x＋1 )2＋( y＋2 )2＋( z－1 )2＝1
球心Q (－1 ,－2 , 1 )，半徑r＝1，而d ( Q , E )＝
｜－1－4－2＋k｜
12＋22＋(－2 )2＝
｜k－7｜
3
(1) 相交成一圓⇔｜k－7｜
3 ＜1，｜k－7｜＜3，－3＜k－7＜3，即4＜k＜10
(2) 通過球心⇔平面E過球心Q，－1＋2 (－2 )－2×1＋k＝0，即k＝7
(3) 相切⇔｜k－7｜
3 ＝1，｜k－7｜＝3，k－7＝±3，即k＝10或4
(4) 不相交⇔｜k－7｜
3 ＞1，｜k－7｜＞3，k－7＞3或k－7＜－3，即k＞10或k＜4
演練 6.設平面E：2x－y＋kz－4＝0，球面S：x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋10＝0。

(1) 若平面E與球面S相交成一圓，求k值的範圍。

(2) 若平面E通過球心，求k值。

(3) 若平面E與球面S相切，求k值。

(4) 若平面E與球面S不相交，求k值的範圍。

x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋10＝0⇔( x－1 )2＋( y＋2 )2＋( z－3 )2＝4，
球心Q ( 1 ,－2 , 3 )，半徑r＝2，而d ( Q , E )＝
｜2＋2＋3k－4｜
22＋12＋k2＝
｜3k｜
k2＋5
(1) 相交成一圓⇔｜3k｜
k2＋5
＜2，k2－4＜0，即－2＜k＜2
(2) 通過球心⇔平面E通過球心Q，故2＋2＋3k－4＝0，即k＝0
(3) 相切⇔｜3k｜
k2＋5
＝2，k2－4＝0，即k＝±2
(4) 不相交⇔｜3k｜
k2＋5
＞2，k2－4＞0，即k＞2或k＜－2
7
下列哪一個平面與球面x2＋y2＋z2－2x＋4y＋2z－19＝0的截面圓之面積最大？
(A) x－2y－2z＝0(B) z＝1(C) y＝－2(D) x＝3(E) x＋y＝4
x2＋y2＋z2－2x＋4y＋2z－19＝0
⇔( x－1 )2＋( y＋2 )2＋( z＋1 )2＝25，球心Q ( 1 ,－2 ,－1 )，半徑r＝5
球心到平面的距離愈小，則截面圓之面積愈大
(A) ｜1＋4＋2｜
1＋4＋4
＝
7
3 (B)
｜－1－1｜
0＋0＋1
＝2(C)
｜－2＋2｜
0＋1＋0
＝0
(D) ｜1－3｜
1＋0＋0
＝2(E)
｜1－2－4｜
1＋1＋0
＝
5
2
故選(C)
演練7.下列哪一個平面與球面x2＋y2＋z2－2z－3＝0的截面圓之面積最大？
(A) x＋y－z＝0(B) 2x＋2y＋z＝2(C) z＝2(D) y＝1(E) 2x＋y＋z＝0
x2＋y2＋z2－2z－3＝0
⇔x2＋y2＋( z－1 )2＝4，球心Q ( 0 , 0 , 1 )，半徑r＝2
球心到平面的距離愈小，則截面圓之面積愈大
(A) ｜－1｜
1＋1＋1
＝
1
3
(B)
｜1－2｜
4＋4＋1
＝
1
3 (C)
｜1－2｜
0＋0＋1
＝1
(D) ｜0－1｜
0＋1＋0
＝1(E)
｜0＋0＋1｜
4＋1＋1
＝
1
6
故選(B) 8
設r ＞0，若方程組 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＝2
x 2＋y 2＋z 2＝r 有實數解，求r 的範圍。

方程組 ⎩⎨⎧ x ＋y ＋z ＝2
x 2＋y 2＋z 2＝r
有實數解的充要條件是
｜0＋0＋0－2｜ 1＋1＋1
≤ r ⇔ 2 3 ≤ r ⇔ r ≥ 4
3
演練 8. 設a 為實數，若方程組 ⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋2z ＝a
x 2＋( y －1 )2＋( z ＋2 )2
＝4 沒有實數解，求a 的範圍。

方程組 ⎩
⎨⎧ x ＋2y ＋2z ＝a
x 2＋( y －1 )2＋( z ＋2 )2
＝4 沒有實數解的充要條件是 ｜0＋2－4－a ｜ 1＋4＋4 ＞2 ⇔ ｜a ＋2｜
3
＞2，｜a ＋2｜＞6，
即a ＞4或a ＜－8
9
設平面E ：2x ＋2y ＋z ＋15＝0與球面S ：x 2＋y 2＋z 2＋2x －4y －2z －3＝0，求球面S 上距離平面E 最近的點之坐標，又此最近距離是多少？
S ：( x ＋1 )2＋( y －2 )2＋( z －1 )2＝9 球心Q (－1 , 2 , 1 )，半徑r ＝3
又d ( Q , E )＝｜－2＋4＋1＋15｜ 4＋4＋1
＝ 18
3
＝6
平面E ：2x ＋2y ＋z ＋15＝0之法向量為n ＝( 2 , 2 , 1 ) 設最近點為P 則直線PQ 的方程式為
⎩⎨⎧ x ＝－1＋2t
y ＝2＋2t z ＝1＋t
，t 為實數 代入平面E 得2 (－1＋2t )＋2 ( 2＋2t )＋( 1＋t )＋15＝0，9t ＝－18 得t ＝－2
故球心Q 在平面E 的投影點是H (－5 ,－2 ,－1 ) 於是最近距離是d ( Q , E )－r ＝6－3＝3 此時，QP ¯¯¯：PH ¯¯¯＝3：3＝1：1 故最近點P 之坐標是 ( －1＋(－5 ) 2 , 2＋(－2 ) 2 , 1＋(－1 )
2
) 即P (－3 , 0 , 0 )
演練9. 承範例9，求球面S上距離平面E最遠的點之坐標，又此最遠距離是多少？
設最遠點是T
則最遠距離HT¯¯¯＝d ( Q , E )＋r＝6＋3＝9
此時T點坐標為
( 2 (－1 )－(－3 ), 2×2－0 , 2×1－0 )
即T ( 1 , 4 , 2 )
10
設x、y、z為實數，且P ( x , y , z )為平面E：2x－y－2z＝8上的動點，求
( x－1 )2＋( y－1 )2＋( z－1 )2的最小值。

設球面S：( x－1 )2＋( y－1 )2＋( z－1 )2＝r2，r＞0
球心Q ( 1 , 1 , 1 )，半徑r
則d ( Q , E )≤r，
即
｜2－1－2－8｜
22＋（－1）2＋（－2）2
≤r，r ≥3，得r2≥ 9
故( x－1 )2＋( y－1 )2＋( z－1 )2之最小值為9
演練10. 設x、y、z為實數，且P ( x , y , z )為球面S：( x＋5 )2＋( y＋3 )2＋( z－1 )2＝36上的動點，求x＋2y－2z的最大值與最小值。

設平面E：x＋2y－2z＝k
因球心Q (－5 ,－3 , 1 )，半徑r＝6
故d ( Q , E ) ≤r
即
｜－5－6－2－k｜
12＋22＋（－2）2
≤ 6
⇔｜k＋13｜
3 ≤ 6
⇒｜k＋13｜≤ 18
⇒－18 ≤k＋13 ≤ 18⇒－31 ≤k≤ 5
於是x＋2y－2z的最大值是5，最小值是－31
直線與球面的關係
▲設球面S：x2＋y2＋z2＋dx＋ey＋fz＋g＝0，
直線L ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋l t
y ＝y 0＋mt z ＝z 0＋nt
，t 為實數，
將L 的方程式代入球面方程式，並化簡整理可得t 的二次方程式At 2＋Bt ＋C ＝0， 令D ＝B 2－4AC ，
(1) D ＞0 ⇔ 直線L 與球面S 交於相異兩點。

(2) D ＝0 ⇔ 直線L 與球面S 恰交於一點 ( 相切 )。

(3) D ＜0 ⇔ 直線L 與球面S 不相交。

配合課本P. 201～P. 202
11
設球面S ：x 2
＋y 2
＋z 2
－2x －4y －6z ＋k ＝0與直線L ：x －2 2 ＝ y －1 1 ＝ z ＋1
－2 相切，試求k
值與切點坐標。

L ：x －2 2 ＝ y －1 1 ＝ z ＋1 －2
⇒ L ：⎩
⎨⎧ x ＝2＋2t
y ＝1＋t z ＝－1－2t ，t 為實數
代入球面S ：x 2＋y 2＋z 2－2x －4y －6z ＋k ＝0
得 ( 2＋2t )2＋( 1＋t )2＋(－1－2t )2－2 ( 2＋2t )－4 ( 1＋t )－6 (－1－2t )＋k ＝0 ⇒ 9t 2＋18t ＋( 4＋k )＝0
因相切，故D ＝( 18 )2－36 ( 4＋k )＝0，k ＝5
於是得9t 2＋18t ＋9＝0，即t 2＋2t ＋1＝0，解得t ＝－1 故切點坐標是 ( 0 , 0 , 1 )
演練 11. 若直線L ：x ＋1 2 ＝ y －2 1 ＝ z －6
1 與球面S ：x 2＋y 2＋z 2＝r 2
相切，求球面半徑r 以及
切點坐標。

設切點坐標為P (－1＋2t , 2＋t , 6＋t ) 又球心為O ( 0 , 0 , 0 )，故OP ⊥L
即 (－1＋2t , 2＋t , 6＋t )．( 2 , 1 , 1 )＝0 －2＋4t ＋2＋t ＋6＋t ＝0，得t ＝－1 於是切點P (－3 , 1 , 5 ) 且半徑r ＝｜OP ｜＝
(－3 )2＋12＋52 ＝ 35
12
試判斷直線L ：x －2 1 ＝ y －6 －8 ＝ z －4
－9 與球面S ：x 2＋( y ＋7 )2＋( z ＋9 )2＝50的相交狀況，
若相交，試求出其交點坐標。

L ：x －2 1 ＝ y －6 －8 ＝ z －4
－9
⇒ L ：⎩⎨⎧ x ＝2＋t
y ＝6－8t z ＝4－9t
，t 為實數
代入S ：( 2＋t )2＋( 13－8t )2＋( 13－9t )2＝50 ⇒ t 2－3t ＋2＝0，( t －1 ) ( t －2 )＝0， 得t ＝1或2
於是直線L 與球面S 交於相異兩點 ( 3 ,－2 ,－5 ) 與 ( 4 ,－10 ,－14 )
N
S 東
西
0°經線120°
120°
東經線
演練12.已知球面x2＋y2＋z2＋2x＋4y＋6z－8＝0與x軸交於A、B兩點，求AB¯¯¯之長。

令交點為( t , 0 , 0 )，
代入球面方程式得t2＋2t－8＝0，( t＋4 ) ( t－2 )＝0，
故t＝－4或2
於是交點為A (－4 , 0 , 0 )、B ( 2 , 0 , 0 )
所以AB¯¯¯＝｜－4－2｜＝6
地球的經度和緯度
1. 大圓與小圓：
球面上以通過球心的平面所截出的圓最大，此種圓叫做大圓(大圓的半徑等於球面的半徑)；不通過球心的平面所截出的圓都叫做小圓。

配合課本P. 202 2. 經線與經度：
(1)地球自轉的軸是一條貫穿南、北兩極的直線，這條直線稱為地軸。

(2)以地軸為直徑的大圓，叫做經線(分為東經線和西經線兩半圓)，又名子午線。

(3)通過英國倫敦市郊格林威治天文台的經線，叫做0度經線，又名本初子午線。

(4)經線的度數就是該經線所在的半平面與0度經線所在的半平面所夾的二面角的度數。

(5)東經θ度(或西經θ度)弧長＝πR ( R表地球半徑)。

(6)0度經線以西的半球上的經線，叫做西經線；
其度數取值範圍是0°～180°；0度經線以東
的半球上的經線，叫做東經線，它的度數也
是0°～180°。

配合課本P. 203
3. 緯線與緯度：
(1)與地軸垂直的平面所截出的圓，叫做緯線，其中唯一的大圓叫做赤道，又名0度緯
線。

赤道以北的緯線，叫做北緯線；赤道以南的緯線，叫做南緯線。

(2) 緯線的度數就是經過緯線上任一點的“球半徑”與其在赤道面上的“正射影”所夾的角度，它的度數是0°～90°。

(3) 北緯θ度 ( 或南緯θ度 ) 的緯線長＝2πR cos θ ( R 表地球半徑 )。

(4) 地球上除了南、北極不談經、緯度，其餘每一 點都可以用經、緯度表示其位置，例如A 點的 位置是“東經120°，北緯45°”。

配合課本P. 203
4. 時差的形成：
地球上從0°經線算起，每隔15°取一經線，做為各地方時區的中央經線，向東、向西各7.5度的地區，皆為同一地方標準時，而且當經線每往東增加15°，該時區的時差與格林威治天文台的時間之“時差”就增加一小時。

配合課本P. 204
5. 球面距離：
(1) 設A 、B 是球面上相異兩點，則球心O 與A 、B 兩點決定一個平面，此平面切割地球表面截出一個大圓，大圓上的劣弧AB ︵
的弧長稱做A 、B 兩點的球面距離。

(2) 地球上A 、B 兩點的球面距離＝( 地球半徑 )．(∠AOB 的弧度 )
配合課本P. 205
13
假設某一球形之地球儀，其赤道長100公分，則北緯60°的緯線長為 (A) 50 (B) 30 (C) 40 (D) 70 (E) 50 3 公分
設地球儀的半徑為R ，北緯60°緯線的半徑為r ， 則r ＝R cos 60°
於是北緯60°的緯線長＝2πr ＝2π(R cos 60°)＝(2πR ) cos 60° ＝100×1
2 ＝50 ( 公分 )，故選(A)
演練 13. 假設地球是個圓球體，已知沿著赤道，經度10度間的距離是1113公里，那麼沿著
北緯20°線，經度10度間的距離最接近下面哪個數值？ ( sin 20°＝0.342，cos 20°＝0.9397 )
(A) 1019 (B) 1027 (C) 1035 (D) 1046 (E) 1054
設北緯20°緯線的半徑為r ，地球的半徑為R ，又10°＝π 18
故所求距離＝r ．π 18 ＝( R cos 20° )．π
18 ＝( R ．π
18 ) cos 20° ＝1113×0.93971045.89 故選(D)
14
設地球是一個圓球體，半徑為6400公里，已知A 點在東經121°，北緯45°處，B 點在東經31°，北緯45°處。

(1) 求北緯45°的緯線長。

(2) 若O 為球心，則O 、A 、B 三點決定的平面與地球表面交於一大圓，則劣弧AB ︵
所對之圓心角∠AOB ＝？
(3) 求A 、B 兩處的球面距離。

(1) 設北緯45°的緯線半徑是r ， 則r ＝R cos 45°＝6400×
2
2
＝3200 2 ( 公里 ) 故北緯45°之緯線長＝2πr ＝2π．3200 2 ＝6400 2 π( 公里 ) (2) 121°－31°＝90°
AB ¯¯¯＝ 2 r ＝ 2 ( R cos 45° )＝R 於是△OAB 為正三角形 故圓心角θ＝∠AOB ＝π 3
(3) A 、B 兩處的球面距離＝R θ＝6400×π 3 ＝ 6400
3 π( 公里 )
演練14. 設地球是一個圓球體，半徑為6400公里，已知A點在東經121°，北緯25°處，B點在東經121°，北緯55°處，求A、B兩處的球面距離。

55°－25°＝30°＝π 6
故A、B兩處的球面距離為
6400×π
6 ＝
3200
3 π(公里)
15
已知台灣約位於東經121°，日本約位於東經139°，如果現在台灣的時間是上午8時，那
麼日本現在大約是什麼時候？
台灣所在時區的中央經線為東經120°，
日本東京所在時區的中央經線為東經135°，
135°－120°
15°
＝1，
故日本現在大約是上午9時
演練15. 已知台灣約位於東經121°，阿根廷的福爾摩沙省約位於西經59°，如果現在台灣的時間是2009年1月2日上午8時，那麼福爾摩沙省現在大約是什麼時候？
福爾摩沙省所在時區的中央經線為西經60°，
120°－(－60° )
15°
＝12，
故福爾摩沙省現在是2009年1月1日大約晚上8時
自我練習題
1. 下列各平面中，哪一個平面與球面S ：x 2＋y 2＋z 2－2x ＋4y －2z －19＝0，相交所形成的圓
面積最大？
(A) E 1：2x ＋y ＋z ＝0 (B) E 2：xy 平面 (C) E 3：x ＝2 (D) E 4：y －2z ＝1 (E) E 5：y ＝0
解：x 2＋y 2＋z 2－2x ＋4y －2z －19＝0經配方得 ( x －1 )2＋( y ＋2 )2＋( z －1 )2＝25
球心Q ( 1 ,－2 , 1 )，半徑r ＝5 d ( Q , E 1 )＝
｜2－2＋1｜
22＋12＋12
＝1 6 ，d ( Q , E 2 )＝1
1 ＝1，d ( Q , E 3 )＝｜1－2｜ 1 ＝1 d ( Q , E 4 )＝
｜－2－2－1｜
12＋( －2 )2
＝5
5 ＝ 5 ，d ( Q , E 5 )＝｜－2｜ 1 ＝2 與球心Q 距離愈小的平面，其截圓的面積愈大 故E 1與球面S 相交所形成的圓面積最大 故選(A)
2. 下列哪些平面與球面S ：x 2＋y 2＋z 2＝9相切？
(A) E 1：x －3＝0 (B) E 2：y －9＝0 (C) E 3：2x ＋2y －z －9＝0 (D) E 4：x ＋y －6＝0 (E) E 5：x ＋4y ＋8z ＋27＝0 解：球面S 的球心O ( 0 , 0 , 0 )，半徑r ＝3
(A) d ( Q , E 1 )＝｜－3｜ 1 ＝3 (B) d ( Q , E 2 )＝｜－9｜
1 ＝9 (C) d ( Q , E 3 )＝
｜－9｜
22＋22＋( －1 )2 ＝3 (D) d ( Q , E 4 )＝
｜－6｜ 12＋12
＝
6 2
＝3 2
(E) d ( Q , E 5 )＝
｜27｜
12＋42＋82
＝ 27
9 ＝3
球心與平面的距離等於半徑，此平面即為切平面， 故選(A)(C)(E)
3.設平面E：2x－y＋2z＋k＝0與球面S：x2＋y2＋z2＋2x＋4y－2z＋5＝0相切，求k之值。

解：球面S：x2＋y2＋z2＋2x＋4y－2z＋5＝0經配方得
( x＋1 )2＋( y＋2 )2＋( z－1 )2＝1，球心Q (－1 ,－2 , 1 )，半徑r＝1
｜－2＋2＋2＋k｜
由
＝1，得｜k＋2｜＝3，即k＋2＝±3
22＋(－1 )2＋22
故k＝1或k＝－5
4.已知P ( 5 , 6 , 3 ) 在球面S：x2＋y2＋z2＋2x－6y－6z＋k＝0上，求過P點與球面S相切的
切平面方程式。

解：x2＋y2＋z2＋2x－6y－6z＋k＝0，經配方得
( x＋1 )2＋( y－3 )2＋( z－3 )2＝19－k，
球心Q (－1 , 3 , 3 )，
故所求切平面之法向量為PQ＝(－6 ,－3 , 0 )＝－3 ( 2 , 1 , 0 )
又過P點，故其方程式為2 ( x－5 )＋( y－6 )＝0，即2x＋y－16＝0
5.一球面S切平面E：x－2y－2z＝7於點( 3 ,－1 ,－1 )，且過點P ( 1 , 1 ,－3 )，則此球面S
之方程式為。

〈鳳新高中〉解：球心在過點A ( 3 ,－1 ,－1 )且垂直平面E的直線上。

設球心Q ( 3＋t，－1－2t，－1－2t )
由AQ¯¯¯＝PQ¯¯¯得t2＋(－2t )2＋(－2t )2＝ ( 2＋t )2＋(－2－2t )2＋( 2－2t )2
整理得t＝－3
故球心Q ( 0 , 5 , 5 )，半徑＝ 32＋62＋ 62＝ 81 ＝9
於是球面S的方程式為x2＋( y－5 )2＋( z－5 )2＝81
6. 已知平面E：2x－y＋2z＋3＝0與球面S：( x－1 )2＋( y－2 )2＋( z－3 )2＝25交於一圓C，
求圓C的圓心與半徑。

解：球面S的球心為Q ( 1 , 2 , 3 )，半徑r＝5
因圓C的圓心在過Q點且垂直平面E的直線上，故
設圓C的圓心為( 1＋2t , 2－t , 3＋2t )
又因圓心在平面E上，故2 ( 1＋2t )－( 2－t )＋2 ( 3＋2t )＋3＝0
得t＝－1
於是圓C的圓心是(－1 , 3 , 1 )
又d＝d ( Q , E )＝
｜2－2＋6＋3｜
22＋(－1 )2＋22 ＝
9
3 ＝3
所以圓C的半徑＝r2－d2＝ 52－32＝4
(1,2,t)t
210
7. 設一球面S 過點 ( 7 , 5 , 5 )，且S 被xy 平面截出一個圓C ，其方程式為
⎩
⎪⎨⎪⎧ z ＝0( x －1 )2＋( y －2 )2＝40，試求出此球面S 的方程式。

〈新店高中〉
解：截圓的圓心為 ( 1 , 2 , 0 )，半徑r ＝210
設球心為Q ( 1 , 2 , t )
又球心Q 到xy 平面的距離為｜t ｜
設球面S 的方程式為 ( x －1 )2＋( y －2 )2＋( z －t )2＝40＋t 2 因過點 ( 7 , 5 , 5），故 ( 7－1 )2＋( 5－2 )2＋( 5－t )2＝40＋t 2 整理得t ＝3
所以球面S 的方程式為 ( x －1 )2＋( y －2 )2＋( z －3 )2＝49
8. 將一球形的地球儀放在平面E 上，使得南極S 位在E 上。

已知球心是Q ( 0 , 3 , 6 )，平面
E 的方程式是2x －y －2z ＝3。

(1) 求南極S 的坐標。

(2) 求北緯30°線所在平面的方程式。

解：(1) 球面與平面E 相切於南極S
因直線QS 與平面E 垂直
故設S ( 2t , 3－t , 6－2t )，又S 在E 上 得4t －( 3－t )－2 ( 6－2t )＝3，t ＝2 於是S ( 4 , 1 , 2 ) (2) 地球儀半徑r ＝QS ¯¯¯＝
42＋22＋42 ＝6
設北緯30°線的圓心是P ( a , b , c )，則PQ ¯¯¯＝6 sin30°＝6×1
2 ＝
3 因PQ ¯¯¯：QS ¯¯¯＝3：6＝1：2
故0＝ 2a ＋4 1＋2 ，3＝ 2b ＋1 1＋2 ，6＝ 2c ＋2 1＋2
得a ＝－2，b ＝4，c ＝8 於是P (－2 , 4 , 8 )
又北緯30°線所在的平面與平面E 平行 故其方程式為2x －y －2z ＋24＝0
9. 空間中球面x 2＋y 2＋z 2＝10上兩點A ( 2 , 5 , 1 )，B ( 1 , 0 , 3 )，一隻螞蟻沿球面從A 爬
至B ，其最短距離為 。

〈台南二中〉
解：該球面的球心為O ( 0 , 0 , 0 )，半徑r ＝10
OA ＝( 2 , 5 , 1 )，OB ＝( 1 , 0 , 3 )， 設∠AOB ＝θ
則cos θ＝OA ．OB ｜OA ｜｜OB ｜ ＝ 2＋0＋3 10 ． 10 ＝1
2
故θ＝ π
3
於是最短距離為劣弧AB ︵
之長＝r θ＝ 10 × π 3 ＝ 10 3 π
10. 有一地球儀，半徑為90公分，A 地在北緯60°東經115°，
B 地在北緯60°東經55°，有一隻螞蟻從A 地爬到B 地， 求這隻螞蟻在地球儀表面爬行的最短距離大約是多少公分？ ( cos 29°0.875，π 3.14 ) 解：A 、B 兩地同在北緯60°線上
而北緯60°線的半徑＝90×cos 60°＝45 ( 公分 )
在△AO ′B 中，∠AO ′B ＝115°－55°＝60°，故△A ′OB 是正三角形，於是AB ¯¯¯＝45 ( 公分 ) 在△AOB 中，由餘弦定理得cos ( ∠AOB )＝ 902＋902－452 2×90×90
＝7
8 ＝0.875
設∠AOB 29°＝29
180 π，所以螞蟻爬行的最短距離 ( 即A ，B 的球面距離 ) 約為
90×29 180 π 29
2 ×3.14＝45.5
3 ( 公分 )
3
綜合練習
1. 已知三角形由三直線y ＝0，3x －2y ＋3＝0，x ＋y ＝4所圍成，求其外接圓直徑。

解：⎩⎨⎧ y ＝03x －2y ＋3＝0 ⇒ 交點 (－1 , 0 )；⎩
⎨⎧ y ＝0x ＋y ＝4 ⇒ 交點 ( 4 , 0 )；
⎩
⎨⎧ 3x －2y ＋3＝0x ＋y ＝4 ⇒ 交點 ( 1 , 3 ) 設外接圓方程式為x 2＋y 2＋dx ＋ey ＋f ＝0，則
⎩⎨⎧ 1－d ＋f ＝016＋4d ＋f ＝01＋9＋d ＋3e ＋f ＝0 ⇒ ⎩⎨⎧ －d ＋f ＝－1
4d ＋f ＝－16d ＋3e ＋f ＝－10
，解得d ＝－3，e ＝－1，f ＝－4 故外接圓方程式為x 2＋y 2－3x －y －4＝0 配方得 ( x －3 2 )2＋( y －1 2 )2＝26
4
所以直徑＝2． 26
2 ＝ 26
2. 若直線L ：y ＝mx ＋3與圓x 2＋y 2＋2x ＝3相切，求m 值。

解：x 2＋y 2＋2x ＝3 ( x ＋1）2
＋y 2＝4，圓心Q (－1 , 0 )，半徑r ＝2
d ( Q , L )＝r ⇒ ｜－m ＋3｜
m 2＋1 ＝2 ⇒ 3m 2＋6m －5＝0
故m ＝－6±4 6 6 ＝－3±2 6 3
3. 圓心在原點的兩個同心圓，面積分別為75π、27π；P 點在第一象限，若P 點到大圓、小
圓、x 軸的距離均相等，求P 點坐標。

解：因大圓的半徑r 1＝5 3 ，小圓的半徑r 2＝3 3
故點P 到大圓的距離＝到小圓的距離＝ 3 設P ( x , y )，x ＞0，y ＞0，則OP ¯¯¯＝4 3 又P 點到x 軸的距離＝ 3 ，故y ＝ 3 因OP ¯¯¯＝
x 2＋y 2 ＝4 3 ⇒ x ＝3 5
於是P 點坐標是 ( 3 5 , 3 )
4. 在坐標平面上，下列五組條件中，哪幾組恰可決定一圓？
(A) 過三點 ( 1 ,－3 )、( 2 , 6 )、( 4 , 24 ) (B) 以 ( 1 , 0 ) 與 ( 3 , 4 ) 為一直徑的兩端點 (C) 過四點 ( 1 , 0 )、(－1 , 0 )、( 0 , 1 ) 與 ( 0 ,－1 ) (D) 圓心為 (－1 , 2 )，且與x 軸、y 軸都相切 (E) 與直線x ＋y －1＝0、x 軸及y 軸都相切
解：(A) 因 6－(－3 ) 2－1 ＝9，且 24－(－3 )
4－1
＝9
故此三點共線，不能決定一圓
(B) 以 ( 1 , 0 )、( 3 , 4 ) 為一直徑的二端點，恰可決定一圓
(C) 此四點與原點的距離均為1，故此四點決定了以原點為圓心，1為半徑的唯一圓 (D) 因點 (－1 , 2 ) 到x 軸的距離為2，到y 軸的距離為1， 故以 (－1 , 2 ) 為圓心所作之圓，無法與x 軸、y 軸都相切 (E) 直線x ＋y －1＝0、x 軸、y 軸圍成一個三角形， 與此三角形三邊均相切的圓共有四個，如右圖所示 故選(B)(C)
5. 設P 、A 、B 為坐標平面上以原點為圓心的單位圓上三點，其中P 點坐標為 ( 1 , 0 )，
A 點坐標為 (－12 13 , 5
13 )，且∠APB 為直角，求B 點坐標。

〈96.學測〉
解：因∠APB 為直角，故AB ¯¯¯為直徑，於是B 點與A 點對稱於原點
得B 點坐標為 ( 12 13 ,－5
13 )
6. 在坐標平面上，選出與圓 ( x －3 )2＋( y －4 )2＝52相切的直線：
〈95.指考乙〉
(A) 3x ＋4y ＝5 (B) 3x ＋4y ＝0 (C) 4x ＋3y ＝5 (D) 4x ＋3y ＝0 (E) 4x ＋3y ＝1
解：圓心（3 , 4），半徑＝5
(A) d ＝｜9＋16－5｜ 32＋42
＝20 5 ＝4＜5，交於相異兩點 (B) d ＝｜9＋16｜ 32＋42 ＝5，相切
(C) d ＝｜12＋12－5｜ 42＋3 2
＝19 5 ＜5，交於相異兩點 (D) d ＝｜12＋12｜ 42＋32
＝24 5 ＜5，交於相異兩點 (E) d ＝｜12＋12－1｜ 42＋32
＝23 5 ＜5，交於相異兩點 故選(B)
7. 設一圓與直線3x －4y ＋4＝0及3x －4y －6＝0都相切，且圓心在直線x －2y ＋1＝0上，求
此圓方程式。

解：與兩平行線3x －4y ＝－4及3x －4y ＝6均相切之圓，其圓心必在直線3x －4y ＝1上
又已知圓心在直線x －2y ＝－1上，
故 ⎩
⎨⎧ 3x －4y ＝1x －2y ＝－1 ⇒ 圓心 ( 3 , 2 ) 又其半徑為 ｜3×3－4×2＋4｜ 32＋42
＝1 於是此圓方程式為 ( x －3 )2＋( y －2 )2＝1
8. 一圓的方程式為x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0，考慮此圓任意兩條互相垂直切線的交點，求所有
這種交點所成圖形的方程式。

解：圓：( x －3 )2＋（y ＋1）2＝16，圓心Q ( 3 ,－1 )，半徑r ＝4
設交點為P
因QP ¯¯¯＝ 42＋42 ＝4 2
故所求交點P 所成的圖形為以Q 為圓心，QP ¯¯¯為半徑之圓，
其方程式為 ( x －3 )2＋( y ＋1 )2＝32
9. 試問：圓C ：( x －7 )2＋( y －8 )2＝9上有多少個點與原點的距離是整數值？ 〈93.學測〉
解：圓心Q ( 7 , 8 )，半徑r ＝3
設P 是半圓上任一點，則
OQ¯¯¯－r ≤OP¯¯¯≤OQ¯¯¯＋r
故 113 －3 ≤OP¯¯¯≤ 113 ＋3
⇒7.6…≤OP¯¯¯≤ 13.6…，又OP¯¯¯為整數所以OP¯¯¯＝8，9，10，11，12，13 於是共有6×2＝12 (個)
10. 通過 ( 2 , 1 , 0 ) 與 ( 1 2 , 0 , 1 ) 兩點的平面，而與球面x 2＋y 2＋z 2＝1相切，求切點坐標。

解：設切點 ( x 0 , y 0 , z 0 )，則切平面為x 0x ＋y 0y ＋z 0z ＝1
因其過點 ( 2 , 1 , 0 ) 與 ( 1 2 , 0 , 1 )
故 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0＋y 0＝1 ………①
1 2 x 0＋z 0
＝1 ．……② 又x 02＋y 02＋z 02＝1……③
解①②③得 ( x 0 , y 0 , z 0 )＝(
2 3 ,－1 3 , 2 3 ) 或 ( 2 7 , 3 7 , 6 7
)
11. 已知平面x －y ＋z －2＝0截球面 ( x －1 )2＋( y ＋1 )2＋( z －3 )2＝4於一圓C ，求圓C 的圓心
與半徑。

解：球心Q ( 1 ,－1 , 3 )，球半徑r ＝2
設截圓的圓心是Q' ( 1＋t ,－1－t , 3＋t )
則 ( 1＋t )－(－1－t )＋( 3＋t )－2＝0
得t ＝－1
於是圓C 的圓心是Q' ( 0 , 0 , 2 )
又QQ ′¯¯¯＝d （Q , E ）＝
｜1＋1＋3－2｜
12＋(－1 )2＋12 ＝ 3 故圓C 半徑＝
22－( 3 )2 ＝1
12. 在平面z ＝0上有一圓，其圓心為 ( 2 , 3 , 0 )，半徑為 13 ，今有一球，其球面含此圓及點
( 6 , 6 , 6 )，求此球的半徑。

解：設球心為Q ( 2 , 3 , t )，球半徑為r ，P ( 6 , 6 , 6 )
則QP¯¯¯＝r
⇒42＋32＋( 6－t )2＝t2＋13
⇒12t＝48，故t＝4
於是此球半徑r＝ 42＋13 ＝ 29
13.球面x2＋y2＋z2＝4與空間中兩點P ( 1 ,－2 , 1 )、Q (－1 , 2 ,－1 )的關係是
(A) 直線PQ和球面交於兩點(B) 線段PQ和球面交於兩點
(C) 直線PQ與球面相切(D) 直線PQ通過球心〈94.指考甲〉
解：球心為O ( 0 , 0 , 0 )，而PQ¯¯¯的中點坐標為( 0 , 0 , 0 )
又12＋22＋12＝6＞4，故P、Q皆在球面外部，
於是PQ¯¯¯包含球面的某一直徑，
因此直線PQ、線段PQ和球面都交於兩點，且球心在直線PQ上
故選(A)(B)(D)
14.設地球為一球體，以地球球心為原點，地球半徑為單位長，建立一直角坐標系，設地球表
面上有甲、乙、丙三地，甲、乙兩地的坐標分別為( 1 , 0 , 0 )、(1
2 ,1
2 ,
2
2 )，而丙地
正好是甲、乙兩地之間最短路徑的中點，求丙地的坐標。

解：甲、乙、丙三地分別以A、B、C三點表示，
則A、B、C三點在過球心O的大圓上
AB¯¯¯的中點M之坐標為(3
4 ,
1
4 ,
2
4 )
故OM＝(3
4 ,1
4 ,
2
4 )
設C (3
4 t ,1
4 t ,
2
4 t )
則(3
4 t )2＋(
1
4 t )
2＋(
2
4 t )
2＝1⇒
3
4 t
2＝1⇒t2＝
4
3
但t＞0，故t＝ 2 3
3
於是C ( 3
2 ,
3
6 ,
6
6 )
15.設一地球儀的球心為空間坐標的原點，有兩個城市的坐標分別為A(1,2,2)、B(2,－2,1)。

假定地球為半徑等於6400公里的圓球，試問飛機從A城市直飛至B城市的最短航線長最接近下列哪一個選項的值？〈94.指考乙〉
(A) 8000公里 (B) 8500公里 (C) 9000公里 (D) 9500公里 (E) 10000公里 解：OA ＝( 1 , 2 , 2 )、OB ＝( 2 ,－2 , 1 )
設大圓上劣弧AB ︵所對的圓心角∠AOB ＝θ
則cos θ＝OA ．OB ｜OA ｜｜OB ｜
＝0 ⇒θ＝ π 2 於是最短航線長＝6400× π 2 ＝3200×π
10048 ( 公里 )
故選(E)。