最新浙江版高考数学一轮复习(讲+练+测)专题8.1空间几何体的结构及其三视图和直观图(讲)及解析

第01节空间几何体的结构及其三视图和直观图
【考纲解读】
年统计
0,12,20;
合，考查数学应用的
【知识清单】
1．空间几何体的结构特征
一、多面体的结构特征
二、旋转体的形成
三、简单组合体
简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．
对点练习：
有下列四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
2空间几何体的直观图
简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
(1)画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
(2)画几何体的高
在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．
对点练习：
【2017年福建省数学基地校高三复习试卷】一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
3.空间几何体的三视图
三视图
几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
对点练习：
【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
（B）（C）（D）2
（A）
【答案】B
【解析】
【考点深度剖析】
三视图是高考重点考查的内容，考查内容有三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；求与三视图对应的几何体的表面积与体积．命题形式为用客观题考查识读图形和面积体积计算，解答题往往以常见几何体为载体考查空间想象能力和推理运算能力，期间需要灵活应用几何体的结构特征．
【重点难点突破】
考点1：空间几何体的结构特征
【1-1】如图几何体中是棱柱的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【1-2】下列命题中正确的有__________．
①有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
②存在一个四个侧面都是直角三角形的四棱锥；
③如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形；
④圆台的任意两条母线所在直线必相交；
【答案】②④
【解析】①不正确，因为不能保证等腰梯形的各个腰延长后交与一点．
②如右图的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形，故②正确；
③如图所示的棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面不是矩形；
故③错误
④根据圆台的定义和性质可知，命题④正确． 所以答案为②④ 【领悟技法】
系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决． 【触类旁通】
【变式1】一个棱柱是正四棱柱的条件是( )． A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B ．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C ．底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直
D ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱 【答案】C
【解析】 A ，B 两选项中侧棱与底面不一定垂直，D 选项中底面四边形不一定为正方形，故选C.
【变式2】【2018届云南省名校月考一】已知长方体1111ABCD A BC D 的所有顶点在同一个球面上，若球心到过A 点的三条棱所在直线的距离分别是则该球的半径等于__________．
考点2 空间几何体的直观图
【2-1】利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是________(写出所有正确的序号)． ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形． 【答案】①②④
【解析】①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故③错；④正确；⑤中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误．
【2-2】在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在xOy 坐标系中，四边形ABCO 为________，面积为________ cm 2.
【答案】矩形 8
【领悟技法】
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：
S
直观图S 原图形，S 原图形＝直观图．
【触类旁通】
【变式1】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )
A
．2+
B. 1
2
C. 2
2
+
D
．1+
【答案】A
【解析】由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45°，腰
和上底长度均为1
，得下底长为1+
1, 1
2的直角梯形．
所以面积S＝1
2
(1+
2+故选A.
【变式2】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形
【答案】C
【解析】将直观图还原得▱OABC，如图，
∵O′D′＝2O′C′＝2 2 (cm)，
OD＝2O′D′＝4 2 (cm)，
C′D′＝O′C′＝2 (cm)，∴CD＝2 (cm)，
OC＝CD2＋OD2＝22＋422＝6 (cm)，
OA＝O′A′＝6 (cm)＝OC，
故原图形为菱形．
综合点评：解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.
考点3 空间几何体的三视图
【3-1】【2018届河南省新乡市第一中学高三8月月考】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）
【答案】B
【3-2】【江西卷】将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
【答案】(1)D (2)D
【解析】(1)球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A和
C.对于如图所示三棱锥OABC,当OA 、OB 、OC 两两垂直且OA ＝OB ＝OC 时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选
D.
(2)如图所示，点D 1的投影为C 1，点D 的投影为C ，点A 的投影为B ，故选D.
【3-3】【2018届广东省广州市海珠区高三综合测试一】如图，点,M N 分别是正方体1111ABCD A BC D 的棱1111,A B A D 的中点，
用过点,,A M N 和点1,,D N C 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（ ）
A. ①③④
B. ②④③
C. ①②③
D. ②③④
【答案】D
【领悟技法】
三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.
简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．
在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．
【触类旁通】
【变式1】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
【答案】C
【变式2】如图，多面体ABCD－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )．
【答案】D
【变式3】【武汉市部分学校2016 届高三调研】）一个简单几何体的正视图、侧视
）．
图如右图所示，则其俯视图不可能为（
．．．．．
①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.
中的
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
【答案】B
【解析】若俯视图为正方形，则正视图中的边长3不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长3也不成立.
综合点评：三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.
【易错试题常警惕】
易错典例：一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
【错解】①②⑤
【错因】忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选③.
【正解】①三棱锥的主视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边形放置时，其主视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的主视图是三角形；④对于四棱柱，不论怎样放置，其主视图都不可能是三角形；
⑤当圆锥的底面水平放置时，其主视图是三角形；⑥圆柱不论怎样放置，其主视图也不可能是三角形．
故正确答案为①②③⑤.
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.
在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：
【典例】【2017届河北省石家庄市二模】如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为45 ，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形''
AA将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（）ABB A为矩形，若沿'
A. B. C.
D.
【答案】A。