2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.7.2 Word版含解析

1.7.2 定积分在物理中的应用
课时过关·能力提升
基础巩固
1若某质点沿直线以v=3t+2(t 的单位:s,v 的单位:m/s)的速度运动,则该质点在第3 s 到第6 s 间的运动路程s 为
( )
A.46 m
B.46.5 m
C.87 m
D.47 m 解析s=∫ 63v d t=∫ 63(3t+2)d t=(32t 2+2t)|36 =(32×62+2×6)−(32×32+2×3)=46.5(m).
答案B
2已知一物体在力F (x )={10,0≤x ≤2,3x +4,x >2
(单位:N)的作用下沿与力F (x )相同的方向,由x=0 m 处直线运动到x=4 m 处,则力F (x )所做的功为( )
A.44 J
B.46 J
C.48 J
D.50 J 答案B
3物体以速度v (t )=3t 2-2t+4做直线运动,它在第3秒内的位移是( )
A.12
B.14
C.16
D.18 解析其位移为s=∫ 32(3t 2-2t+4)d t=(t 3-t 2+
4t )|23
=(27-9+12)-(8-4+8)=18.
答案D 4若火车紧急刹车的速度为v (t )=(10-t +108t+2) m/s,则刹车后火车行驶的距离约为 m.(精确到0.1 m) 解析停止时车速为0,由v (t )=10-t+
108t+2=0,解得刹车所用的时间为t=16(s)(t=-8(s)舍去), 所以s=∫ 160(10-t +
108t+2)d t =[10t -12t 2+108ln (t +2)]|0
16=32+216ln 3 ≈269.3(m).
答案269.3
5若某物体以v (t )=t 2-3t+8(t 的单位:s,v 的单位:m/s)的速度运动,则其在前30 s 内的平均速度为 . 解析由定积分的物理意义,得
s=∫ 300(t 2-3t+8)d t=(13t 3-32t 2+8t)|0
30 =7 890(m),v =s t =7 89030=263(m/s). 答案263 m/s
6在弹性限度内,拉伸(或压缩)弹簧所需的力F(x)(单位:N)与弹簧拉伸(或压缩)的长度x(单位:m)成正比,如果用1 N 的力能拉长弹簧1 cm,那么为了将弹簧拉长6 cm需做功 J.
解析设F(x)=kx(常数k是比例系数),由题意知,当F(x)=1 N时,x=0.01 m,可得k=100.
由变力做功公式,得到将弹簧拉长6 cm需做的功W=∫0.06
100x d x=50x2|00.06=0.18(J).
答案0.18
7
某物体在力F(x)(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向运动,力—位移曲线如图所示.求该物体从x=0处运动到
x=4(单位:m)处,力F(x)做的功.
分析先根据图象确定力关于位移的函数关系式,再利用定积分求解.
解由力—位移曲线可知F(x)={10,0≤x≤2,
3x+4,2<x≤4,因此该物体从x=0处运动到x=4处力F(x)做的功为
∫2 010d x+∫4
2
(3x+4)d x=10x|02+(32x2+4x)|24=46(J).
能力提升
1如果某质点以初速度v(0)=1(v的单位:m/s),加速度a(t)=6t(a的单位:m/s2)做直线运动,则质点在t=2 s时的瞬时
速度为()
A.5 m/s
B.7 m/s
C.9 m/s
D.13 m/s
解析v(2)-v(0)=∫2
0a(t)d t=∫2
6t d t=3t2|02,
所以v(2)=v(0)+3×22=1+12=13(m/s).
答案D
2汽车以36 km/h的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以等加速度a=-5 m/s2刹车,从开始刹车到停车,汽车行驶的路程为()
A.5 m
B.9.8 m
C.10 m
D.15 m
解析v0=36 km/h=10 m/s,a=-5 m/s2.设t s后速度为v,则v=v0+∫t
0a d t=10-∫t
5d t=10-5t,
令v=0,得t=2(s).
设汽车由开始刹车到停车所走过的路程为s,
则s=∫2
0v d t=∫2
(10-5t)d t=10(m).故选C.
答案C。