2013届高考数学复习--最新3年高考2年模拟(3)不等式

【3年高考2年模拟】第3章不等式第一部分
三年高考荟萃
2012年高考试题分类解析
一、选择题
1 ．（2012天津文）设变量,x y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数32z x y =-的最小
值为
（ ） A ．5-
B ．4-
C ．2-
D ．3
2 ．（2012浙江文）若正数x,y 满足x+3y=5xy,则3x+4y 的最小值是
（ ）
A ．245
B ．
285
C ．5
D ．6
3 ．（2012辽宁文理）设变量x,y 满足,15020010⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤+≤≤-y y x y x 则2x +3y 的最大值为
（ ）
A ．20
B ．35
C ．45
D ．55
4 ．（2012辽宁理）若[0,)x ∈+∞,则下列不等式恒成立的是
（ ）
A ．2
1x e x x ++„
B
211
124x x <-+
C ．2
1cos 12
x x -
… D ．2
1ln(1)8
x x x +-
… 5 ．（2012重庆文）不等式
1
02
x x -<+ 的解集是为 （ ）
A ．(1,)+∞
B ．(,2)-∞-
C ．(-2,1)
D ．(,2)-∞-∪(1,)+∞
6 ．（2012重庆理）设平面点集{}
221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫
=--
≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭
,则A B I 所表示的平面图形的面积为
（ ）
A ．34π
B ．35π
C ．47
π
D ．
2
π 7 ．（2012重庆理）不等式
01
21
≤+-x x 的解集为 （ ）
A ．⎥⎦
⎤
⎝⎛-
1,21 B ．⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-
1,21 C ．
[)
+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-∞-,121.
D ．[)+∞⋃⎥⎦
⎤ ⎝
⎛-∞-,12
1,
8 ．（2012四川文）若变量,x y 满足约束条件3,212,21200
x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪
+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩,则34z x y =+的最大值是
（ ）
A ．12
B ．26
C ．28
D ．33
9 ．（2012四川理）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、
B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克.每桶甲产品的利润是
300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司
共可获得的最大利润是 （ ） A ．1800元 B ．2400元 C ．2800元 D ．3100元 10 ．（2012陕西文）小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b(a<b),其全程的平均时速为v,则
（ ）
A ．
B ．
C
<v<
2
a b
+ D ．v=
2
a b
+ 11 ．（2012山东文理）设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≥-⎩
则目标函数3z x y =-的取值范围
是 （ ）
A ．3
[,6]2
-
B ．3[,1]2--
C ．[1,6]-
D ．3[6,]2
-
12．（2012课标文）已知正三角形ABC 的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C 在第一象限,若点(x ,y )在
△ABC 内部,则z x y =-+的取值范围是 （ ） A ．(1-3,2) B ．(0,2) C ．(3-1,2) D ．(0,1+3)
13．（2012湖南文）设 a >b >1,0c < ,给出下列三个结论:
①
c a >c b
;② c a <c
b ; ③ log ()log ()b a a
c b c ->-, 其中所有的正确结论的序号是__. （ ）
A ．①
B ．① ②
C ．② ③
D ．①②③
14．（2012广东文）(线性规划)已知变量x 、y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪+≥⎩
,则2z x y =+的最小值
为 （ ）
A ．3
B ．1
C ．5-
D ．6-
15．（2012福建文）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m
+-≤⎧⎪⎪
--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数m 的
最大值为 （ ）
A ．-1
B ．1
C ．
32
D ．2
16．（2012安徽文）若,x y 满足约束条件:02323x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
;则x y -的最小值是
（ ）
A ．3-
B ．0
C ．
32
D ．3
17 ．（2012江西理）某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万
元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 （ ） A ．50,0 B ．30.0 C ．20,30 D ．0,50 18 ．（2012湖北理）设,,,,,a b c x y z
是正数,且22210a b c ++=,22240x y z ++=,20ax by cz ++=,则
a b c
x y z
++=++
（ ）
A ．
14 B ．13
C ．
12
D ．
34
19 ．（2012广东理）已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
,则3z x y =+的最大值为
（ ）
A ．12
B ．11
C ．3
D ．1-
20．（2012福建理）若函数2x
y =图像上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m
+-≤⎧⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数m
的最大值为 （ ）
A ．
1
2
B ．1
C ．
32
D ．2
21．（2012福建理）下列不等式一定成立的是
（ ）
A ．2
1
lg()lg (0)4
x x x +>> B ．1
sin 2(,)sin x x k k Z x
π+≥≠∈ C ．2
12||()x x x R +≥∈
D ．
2
1
1()1
x R x >∈+ 二、填空题
22．（2012浙江文）设z=x+2y,其中实数x,y 满足102000
x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩, 则z 的取值范围是_________.
23．（2012四川文）设,a b 为正实数,现有下列命题:
①若2
2
1a b -=,则1a b -<; ②若
11
1b a
-=,则1a b -<;
③若|1=,则||1a b -<; ④若3
3
||1a b -=,则||1a b -<.
其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)
24．（2012江西文）不等式
29
02
x x ->-的解集是___________. 25．（2012湖南文）不等式2
560x x -+≤的解集为______。

26．（2012湖北文）若变量,x y 满足约束条件1
133
x y x y x y -≥-⎧⎪⎪
+≥⎨⎪-≤⎪⎩,则目标函数23z x y =+的最小值是
________.
27．（2012大纲文）若函数10
30330x y y x y x y -+≥⎧⎪
=+-≤⎨⎪+-≥⎩
,则3z x y =-的最小值为_____.
28．（2012新课标理）设,x y 满足约束条件:,013x y x y x y ≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
;则2z x y =-的取值范围为_______
29．（2012浙江理）设a ∈R,若x >0时均有[(a -1)x -1]( x 2
-ax -1)≥0,则a =______________. 30．（2012上海春）若不等式2
10x kx k -+->对(1,2)x ∈恒成立,则实数k 的取值范围是
______.
31．（2012陕西理）设函数
ln ,0
()21,0
x x f x x x >⎧=⎨
--≤⎩,D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为___________.
32．（2012江苏）已知正数a b c ，，满足:4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，
则
b
a
的取值范围是____. 33．（2012江苏）已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，,若关于x 的不等式
()f x c <的解集为(6)m m +，,则实数c 的值为____.
34．（2012大纲理）若,x y 满足约束条件1030330
x y x y x y -+≥⎧⎪⎪
+-≤⎨⎪+-≥⎪⎩,则3z x y =-的最小值为
_________________.
35．（2012安徽理）若,x y 满足约束条件:02323x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
;则x y -的取值范围为_____
参考答案
一、选择题
1. 【解析】做出不等式对应的可行域如图,由y x z 23-=得
223z x y -=
,由图象可知当直线2
23z
x y -=经过点)2,0(C 时,直线223z
x y -=的截距最大,而此时
y x z 23-=最小为423-=-=y x z ,选B.
2. 【答案】C
【命题意图】本题考查了基本不等式证明中的方法技巧. 【解析】Q x+3y=5xy,
135y x +=, 113131213
(34)()()555
x y x y y x y x +⋅+=++≥ 113
236555
⨯⨯+=. 3. 【答案】D
【解析】画出可行域,根据图形可知当x=5,y=15时2x +3y 最大,最大值为55,故选D
【点评】本题主要考查简单线性规划问题,难度适中.该类题通常可以先作图,找到最优解求出最值,也可以直接求出可行域的顶点坐标,代入目标函数进行验证确定出最值. 4. 【答案】C
【解析】设2211
()cos (1)cos 122
f x x x x x =--
=-+,则()()sin ,g x f x x x '==-+ 所
以
()cos 10g x x '=-+≥，
所以当[0,)
x ∈+∞时,()()()(0)0,g x g x f x g '==为增函数，所以≥ 同理21()(0)0cos (1)02f x f x x =∴--
≥，≥，即21
cos 12
x x -…,故选C
【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查
转化思想、推理论证能力、以及运算能力,难度较大. 5. 【答案】:C
【解析】:
1
0(1)(2)0212
x x x x x -<⇒-+<⇒-<<+ 【考点定位】本题考查解分式不等式时,利用等价变形转化为整式不等式解. 6. 【答案】D
【考点定位】本小题主要考查二元一次不等式(组)与平面区域,圆的方程等基础知识,考
22=+y x 14-=-y x
42=+y x
O
查运算求解能力,考查数形结合思想,化归与转化思想,属于基础题. 7. 【答案】A
【解析】
(1)(21)01101212210
x x x x x x -+≤⎧-⎪≤⇒⇒<≤⎨++≠⎪⎩ 【考点定位】本题主要考查了分式不等式的解法,解题的关键是灵活运用不等式的性质,
属于基础试题,属基本题.
8. [答案]C
[解析]目标函数34z x y =+可以变形为
4
43z x y +-=,做函数x y 43
-=的平行线,
当其经过点B(4,4)时截距最大时,
即z 有最大值为34z x y =+=284443=⨯+⨯.
[点评]解决线性规划题目的常规步骤:
一列(列出约束条件)、 二画(画出可行域)、
三作(作目标函数变形式的平行线)、 四求(求出最优解). 9. [答案]C
[解析]设公司每天生产甲种产品X 桶,乙种产品Y 桶,公司共可获得 利润为Z 元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y
且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0
0122122Y X Y X Y X 画可行域如图所示,
目标函数Z=300X+400Y 可变形为 Y=400
z
x 43+
-
这是随Z 变化的一族平行直线 解方程组⎩⎨
⎧=+=+12y 2x 12y x 2 ⎩
⎨⎧==∴4y 4
x 即A(4,4) 280016001200max =+=∴Z
[点评]解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作
目标函数变形式的平行线)、四求(求出最优解).
10. 解析:设从甲地到乙地距离为s ,则全程的平均时速2211s v s s a b
a b
=
=
++,因为a b <,
221111a ab a a
a b
=
=<
<++,故选A.
11. 解析:作出可行域,直线03=-y x ,将直线平移至点)0,2(处有最大值,
点)3,21(处有最小值,即62
3
≤≤-z .答案应选A.
12. 【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法,是简单题.
【解析】有题设知C(1+3,2),作出直线0l :0x y -+=,平移直线0l ,有图像知,直线:l z x y
=-+过
B
点时,
max z =2,过
C
时,min z =13-,∴z x y =-+取值范围为(1-3,2),故选A.
13. 【答案】D
【解析】由不等式及a >b >1知
11a b
<,又0c <,所以c a >c
b ,①正确;由指数函数的图像与
性质知②正确;由a >b >1,0c <知11a c b c c ->->->,由对数函数的图像与性质知③
正确.
【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质,不等关系,考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点.
14. 解析:C.画出可行域,可知当代表直线过点A 时,取到最小值.联立
11x y x =-⎧⎨=-⎩,解得1
2x y =-⎧⎨
=-⎩
,所以2z x y =+的最小值为5-. 15. 【答案】B
【解析】30x y +-=与2y x =的交点为(1,2),所以只有1m ≤才能符
合条件,B 正确.
【考点定位】本题主要考查一元二次不等式表示平面区域,考查分析判断能力.逻辑推理能力和求解能力. 16. 【解析】选A
【解析】x y -的取值范围为[3,0]-
约束条件对应ABC ∆边际及内的区域:3
(0,3),(0,),(1,1)2
A B C 则[3,0]t x y =-∈-
17. B 【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用,
同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y 亩,总利润为z 万元,则目标函数为
(0.554 1.2)(0.360.9)0.9z x x y y x y =⨯-+⨯-=+.线
性约束条件为 50,
1.20.954,0,0.
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪
⎪≥⎩即50,43180,
0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩作出不等式组50,43180,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表
示的可行域,易求得点()()()0,50,30,20, 0,45A B C .
平移直线0.9z x y =+,可知当直线0.9z x y =+经过点()30,20B ,即30,20x y ==时,z 取得最大值,且max 48z =(万元).故选B.
【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为:
(1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么? (2)转化——设元.写出约束条件和目标函数;
(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系; (4)作答——就应用题提出的问题作出回答.
体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题.
18. 考点分析:本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.
解析:由于22222
2
)())((2
cz by ax z y x c b a ++≥++++ 等号成立当且仅当
,t z
c
y b x a ===则a=t x b=t y c=t z ,10)(2222=++z y x t 所以由
题
知
2/1=t ,又
2/1,==++++++++===t z
y x c b a z y x c b a z c y b x a 所以,答案选C. 19. 解析:B.画出可行域,可知当代表直线过点A 时,取到最大值.联立
21y y x =⎧⎨=-⎩,解得3
2x y =⎧⎨
=⎩
,所以3z x y =+的最大值为11. 20. 【答案】B
【解析】30x y +-=与2y x =的交点为(1,2),所以只有1m ≤才能符合条件,B 正确. 【考点定位】本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域,考查分析判断能力、逻辑推理能力和求解计算能力
21. 【答案】C
【解析】由基本不等式得2
12||()x x x R +≥∈,答案C 正确.
【考点定位】此题主要考查基本不等式和均值不等式成立的条件和运用,考查综合运用能力,掌握基本不等式的相关内容是解本题的关键.
二、填空题
22. 【答案】
72
【命题意图】本题主要考查线性规划的求解范围问题.只要作图正确,表示出区域,然后借助于直线平移大得到最值.
【解析】利用不等式组,作出可行域,可知区域表示的四边形,但目标函数过点(0,0)时,目标函数最小,当目标函数过点13,22⎛⎫
⎪⎝⎭
时最大值为72.
23. [答案] ①④
[解析]若a,b 都小于1,则a-b<1
若a,b 中至少有一个大于等于1, 则a+b>1,
由a 2-b 2
=(a+b)(a-b)=1 ,所以,a-b<1 故①正确.
对于|a 3-b 3|=|(a-b)(a 2+ab+b 2
)|=1,
若a,b 中至少又一个大于等于1,则a 2+ab+b 2
>1,则|a-b|<1 若a,b 都小于1,则|a-b|<1,所以④正确. 综上,真命题有 ① ④ .
[点评]此类问题考查难度较大,要求对四个备选项都要有正确的认识,需要考生具备扎实的数学基础,平时应多加强这类题的限时性练习.
24. 【答案】(3,2)(3,)-⋃+∞
【解析】不等式可化为(3)(2)(3)0x x x +-->采用穿针引线法解不等式即可. 【考点定位】本题考查将分式不等式等价转化为高次不等式,考查高次不等式的解法.
25. 【答案】
{}23x x ≤≤
【解析】由x 2
-5x+6≤0,得(3)(2)0x x --≤,从而的不等式x 2
-5x+6≤0的解集为
{}23x x ≤≤.
【点评】本题考查一元二次不等式的解法,考查简单的运算能力.
26. 2 【解析】作出不等式组1,1,33x y x y x y -≥-⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
所表示的可行
域(如下图的ABM ∆及其内部).目标函数
23z x y
=+在
ABM
∆的三个端点
()()()2,3,0,1,1,0A B M 处取的值分别为13,3,2,
比较可得目标函数23z x y =+的最小值为2.
【点评】本题考查线性规划求解最值的应用.运用线性规划求解最值时,关键是要搞清楚目标函数所表示
的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系,以好确定在哪个端点,目标函数取得最大值;在哪个端点,目标函数取得最小值. 来年需注意线性规划在生活中的实际应用.
27.答案:1-
【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用.常规题型,只要正确作图,表示出区域,然后借助于直线平移法得到最值.
【解析】做出做出不等式所表示的区域如图,由y x z -=3得z x y -=3,平移直线x y 3=,由图象可知当直线经过点)1,0(C 时,直线z x y -=3的截距最 大,此时z 最小,最小值为1-3=-=y x z .
28. 【解析】2z
x y =-的取值范围为[3,3]-
约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域:(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C 则2[3,3]z x y =-∈-
29. 【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况:
(A )2(1)1010a x x ax ≤⎧⎨≤⎩
－－
－－, 无解;
(B )2(1)1010
a x x ax ≥⎧⎨≥⎩－－
－－, 无解.
因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在x >0的整个区间上,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答图)
我们知道:函数y 1=(a -1)x -1,y 2=x 2
-ax -1都过定点P (0,—1).
考查函数y 1=(a -1)x -1:令y =0,得M (1
1
a -,0),还可分析得:a >1;
考查函数y 2=x 2
-ax -1:显然过点M (1
1
a -,0),代入得:
2
11011a a a ⎛⎫
-
-= ⎪--⎝⎭
,解之得:302a or =,舍去0a =,得答案:3
2
a =. 【答案】32
a =
30. (,2]-∞
31.解析:1
,0
()2,0
x y f x x x ⎧>⎪'==⎨⎪-≤⎩,(1)1f '=,曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线方程
为1y x =-,围成的封闭区域为三角形,2z x y =-在点(0,1)-处取得最大值2.
32. 【答案】[] 7e ，
. 【考点】可行域.
【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化为:354a c a b
c c a b
c c
b e c
⎧⋅+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪⎪≥⎩.
设
==a b
x y c c
，,则题目转化为: 已知x y ，满足35
4
00x
x y x y y e x >y >+≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪
⎪⎩
，,求y x 的取值范围. 作出(x y ，)所在平面区域(如图).求出=x y e 的切 线的斜率e ,设过切点()00P x y ，的切线为
()=0y ex m m +≥,
则
00000
==y ex m m e x x x ++,要使它最小,须=0m . ∴
y
x
的最小值在()00P x y ，处,为e .此时,点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间. 当(x y ，)对应点C 时, =45=205=7=7=534=2012y x y x y
y x y x y x
x --⎧⎧⇒⇒⇒⎨
⎨--⎩⎩, ∴
y
x
的最大值在C 处,为7. ∴y
x
的取值范围为[] 7e ，
,即b a 的取值范围是[] 7e ，. 33. 【答案】9.
【考点】函数的值域,不等式的解集.
【解析】由值域为[0)+∞，,当2
=0x ax b ++时有2
40a b =-=V ,即2
4
a b =
, ∴2
22
2
()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=++
=+ ⎪⎝⎭
.
∴2
()2a f x x c ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭解得2a c x c -<+<,22a a c x c --<<-.
∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，,∴()()2622
a
a c c c ----==,解得9c =.
34. 答案:1-
【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用.常规题型,只要正确作图,表示出区域,然后借助于直线平移法得到最值.
【解析】做出不等式所表示的区域如图,由y x z -=3得z x y -=3,平移直线x y 3=,由图象可知当直线经过点)1,0(C 时,直线z x y -=3的截距最 大,此时z 最小,最小值为1-3=-=y x z .
35. 【解析】x y -的取值范围为_____[3,0]-
约束条件对应ABC ∆边际及内的区域:3(0,3),(0,),(1,1)2
A B C 则[3,0]t x y =-∈-
2011年高考题
一、选择题
1.（重庆理7）已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则y=14a b +
的最小值是
A ．7
2
B ．4
C ． 9
2 D ．5
【答案】C
2.（浙江理5）设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +-⎧⎪
+-⎨⎪⎩＞＞≥，y ≥0，
若,x y 为整数，则34x y +的最小值
是
A ．14
B ．16
C ．17
D ．19
【答案】B
3.（全国大纲理3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是
A ．1a b +＞
B ．1a b -＞
C ．22
a b ＞ D ．33
a b ＞
【答案】A
4.（江西理2）若集合{},{}x A x x B x
x -2
=-1≤2+1≤3=≤0，则A B ⋂=
A ． {}x x -1≤<0
B ．
{}
x x 0<≤1
C ． {}
x x 0≤≤2 D ．
{}
x x 0≤≤1
【答案】B
5.（辽宁理9）设函数
⎩⎨
⎧>-≤=-1,log 11
,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是 （A ）1[-，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+∞） （D ）[0，+∞）
【答案】D
6.（湖南理7）设m ＞1，在约束条件1
y x
y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的
取值范围为
A ．（1
，1+ B ．
（1+∞）
C ．（1,3 ）
D ．（3，+∞）
【答案】A
7.（湖北理8）已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x,y 满足不等式1
x y +≤，
则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3]
【答案】D
8.（广东理5）。

已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D
由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪
≤⎨⎪
≤⎩给定。

若
(,)M x y 为D 上的动点，点A
的坐标为，则z OM OA =⋅u u u u r u u u r
的最大值为
A
． B
． C ．4 D ．3
【答案】C
9.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运
送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C
【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件
08071210672219
x y x y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪
+≤⎨⎪+≥⎪+≤⎪⎩画
出可行域在12219x y x y +≤⎧⎨+≤⎩的点7
5x y =⎧⎨=⎩
代入目标函数4900z =
10.（福建理8）已知O 是坐标原点，点A （-1,1）若点M （x,y ）为平面区域2
1y 2x y x +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩
，上
的一个动点，则OA u u u r ·OM u u u u r
的取值范围是
A ．[-1．0]
B ．[0．1]
C ．[0．2]
D ．[-1．2]
【答案】C
11.（安徽理4）设变量y x y x y x 2,1||||,+≤+则满足的最大值和最小值分别为 （A ）1，－1 （B ）2，－2 （C ） 1，－2 （D ） 2，－1 【答案】B
12.（上海理15）若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是
A ．22
2a b ab +>
B
．a b +≥
C ．
D 11a b +> D ．2b a a b +≥
【答案】
二、填空题
13.（陕西理14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米。

开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。

【答案】2000
14.（浙江理16）设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 ．。

【答案】5
15.（全国新课标理13）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨
≤-≤⎩
，则2z x y =+的最小值是
_________． 【答案】-6
16.（上海理4）不等式1
3x x +<的解为 。

【答案】0x <或
12x ≥
17.（广东理9）不等式130
x x +--≥的解集是 ．
【答案】[1,)+∞
18.（江苏14）设集合
},,)2(2|
),{(222R y x m y x m
y x A ∈≤+-≤=,
},,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是
______________
【答案】]
22,21
[+
三、解答题
19.（安徽理19） （Ⅰ）设1,1,x y ≥≥证明
;1
11xy y x xy y x ++≤+
+，
（Ⅱ）c b a ≤≤<1，证明
log log log log log log a b c b c a b c a a b c
++≤++.
本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒
等变形能力和推理论证能力.
证明：（I ）由于1,1≥≥y x ，所以
,)(1)(1
112xy x y y x xy xy y x xy y x ++≤++⇔++≤+
+
将上式中的右式减左式，得
,0)1)(1)(1(,1,1).
1)(1)(1()1)(1()1)(()1)(1())()(()1)(()1)(())((22≥---≥≥---=+---=-+--+=+-+--=++-++y x xy y x y x xy y x xy xy xy y x xy xy y x y x xy xy y x xy xy x y 所以即然
从而所要证明的不等式成立.
（II ）设
,
log ,log y c x b b a ==由对数的换底公式得
.log ,1
log ,1log ,1log xy c y b x a xy a a c b c ====
于是，所要证明的不等式即为,1
11xy y x xy y x ++≤+
+
其中
.
1log ,1log ≥=≥=c y b x b a
故由（I ）立知所要证明的不等式成立.
20.（湖北理17）
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。

在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。

当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数
()
v x 的表达式;
（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）
()()
.f x x v x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。

（满分12分）
解：（Ⅰ）由题意：当020,()60x v x ≤≤=时；当20200,()x v x ax b ≤≤=+时设
再由已知得
1,2000,32060,200.
3a a b a b b ⎧
=-⎪+=⎧⎪⎨
⎨+=⎩⎪=⎪⎩解得
故函数()v x 的表达式为60,020,()1
(200),202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,
020,()1
(200),202003x x f x x x x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩
当020,()x f x ≤≤时为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20=1200；
当20200x ≤≤时，
211(200)10000
()(200)[]3323x x f x x x +-=
-≤=
当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立。

所以，当100,()x f x =时在区间[20，200]上取得最大值10000
.
3
综上，当100x =时，()f x 在区间[0，200]上取得最大值10000
3333
3≈。

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。

21.（湖北理21）
（Ⅰ）已知函数()1f x Inx x =-+，(0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）设,k k a b (1,2
k =…，)n 均为正数，证明：
（1）若
1122a b a b ++
…n n a b ≤12b b ++…n b ，则12
121n k k k n a a a ≤L ；
（2）若12b b ++…n b =1，则1
n ≤121222
212.n k k k n n b b b b b b ≤+++L L
本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想。

（满分14分） 解：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞，令
1
'()10, 1.f x x x =
-==解得
当01,'()0,()x f x f x <<>时在（0，1）内是增函数； 当1x >时，'()0,()(1,)f x f x <+∞在内是减函数； 故函数()1f x x =在处取得最大值(1)0.f = （II ）（1）由（I ）知，当(0,)x ∈+∞时， 有()(1)0,ln 1.f x f x x ≤=≤-即
,0
k k a b >Q ，从而有
ln 1
k k a a ≤-， 得
ln (1,2,,)
k k k k k b a a b b k n ≤-=L ，
求和得11
1
1
ln .
n
n n
k k
k k k k k k a
a b b ===≤-∑∑∑
2
1
1
1
,ln 0,n
n n
k k k k k k k k a b b a ===≤∴≤∑∑∑Q
即
1212ln()0,n k k k n a a a ≤L 12
12
1.n k k k n a a a ∴≤L
（2）①先证
12
121.
n k k k n b b b n ≥L 令
1
(1,2,,),k k
a k n n
b =
=L
则1111
1,n
n
n
k k k k k k a b b n ======∑∑∑于是
由（1）得1212111(
)()()1n k k k n nb nb nb ≤L ，即1212
121
,n n k k k k k k n
n n b b b +++≤=L L
12
121.
n k k k n b b b n ∴≥L ②再证
12222
1212.
n k k k n n b b b b b b ≤+++L L
记
21,(1,2,,)n
k
k k k b S b a k n S ===
=∑L 令，
则2
111111n
n n
k k k k k k a b b b S ======∑∑∑，
于是由（1）得1212()()() 1.
n k k k n b b b
S S S ≤L
即1212
12,
n n k k k k k k n b b b S S +++≤=L L
122221212.
n k k k n n b b b b b b ∴≤+++L L
综合①②，（2）得证。

2010年高考题一、选择题
1.（2010上海文）15.满足线性约束条件
23,
23,
0,
x y
x y
x
y
+≤
⎧
⎪+≤
⎪
⎨
≥
⎪
⎪≥
⎩的目标函数z x y
=+的最大值是（）
（A）1. （B）3
2. （C）2. （D）
3.
答案C
解析：当直线z x y
=+过点B(1,1)时，z最大值为2
2.（2010浙江理）（7）若实数x，y满足不等式组
330,
230,
10,
x y
x y
x my
+-≥
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪-+≥
⎩且x y
+的最大值为9，则
实数m=
（A）2-（B）1-（C）1 （D）2
答案C
解析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题
3.（2010全国卷2理）（5）不等式
26
1
x x
x
--
-
＞
的解集为
（A）{}
2,3
x x x
-
＜或＞
（B）
{}
213
x x x
-
＜，或＜＜
（C）{}
213
x x x
-＜＜，或＞
（D）
{}
2113
x x x
-＜＜，或＜＜
【答案】C
【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.
【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故选C
4.（2010全国卷2文）(5)若变量x,y满足约束条件
1
325
x
y x
x y
≥-
⎧
⎪
≥
⎨
⎪+≤
⎩则z=2x+y的最大值为
（A）1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】C：本题考查了线性规划的知识。

∵作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y x
=与325
x y
+=的交点为最优解点，∴
即为（1，1），当
1,1
x y
==时max3
z=
5.（2010全国卷2文）（2）不等式
3
2
x
x
-
+＜0的解集为
（A）{}
23
x x
-<<
（B）
{}2
x x<-
（C）{}
23
x x x
<->
或
（D）
{}3
x x>
【解析】A ：本题考查了不等式的解法
∵
3
2
x
x
-
<
+，∴23
x
-<<，故选A
6.（2010江西理）3.不等式
22
x x
x x
--
>
的解集是（）
A. (02)
， B. (0)
-∞， C. (2)
+∞
， D. (0)
∞⋃+∞
（-，0），
【答案】A
【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.
2
x
x
-
<
，解得A。

或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。

7.（2010安徽文）（8）设x,y满足约束条件
260,
260,
0,
x y
x y
y
+-≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩则目标函数z=x+y的最大值是
（A）3 （B）4 （C） 6 （D）8 答案C
【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是(3,0),(6,0),(2,2)，目标函数z x y
=+
在
(6,0)取最大值6。

【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.
8.（2010重庆文）（7）设变量
,x y满足约束条件
0,0,220,x x y x y ≥⎧⎪
-≥⎨⎪--≤⎩
则32z x y =-的最大值为
（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）6
解析：不等式组表示的平面区域如图所示，
当直线32z x y =-过点B 时，在y 轴上截距最小，z 最大 由B （
2,2）知
max z =
4
解析：将最大值转化为y 轴上的截距，可知答案选A ，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题
10.（2010重庆理数）（7）已知 x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A.3 B.4
D. 112
C. 答案 B
解析：考察均值不等式
2
228)2(82⎪⎭⎫
⎝⎛+-≥⋅-=+y x y x y x ，整理得()()0322422
≥-+++y x y x
即()()08242≥++-+y x y x ，又02>+y x ，42≥+∴y x
11.（2010重庆理数）（4）设变量x ，y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
，则z=2x+y 的最大值为
A.—2
B.4
C.6 D .8
答案 C
解析：不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点B （3,0）的时候，z 取得最大值6
9
2
12.（2010北京理）（7）设不等式组 110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-+≤⎩ 表示的平面区域为D ，若指数函数y=
x a 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是
（A ）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, +∞] 答案：A
13.（2010四川理）（12）设0a b c >>>，则2211
21025()a ac c ab a a b +
+-+-的最
小值是
（A ）2 （B ）4
（C ） （D ）5
解析：
2211
21025()a ac c ab a a b +
+-+-
＝
2211
(5)()a c a ab ab ab a a b -+-++
+
-
＝
211(5)()()a c ab a a b ab a a b -++
+-+-
≥0＋2＋2＝4
当且仅当a －5c ＝0,ab ＝1,a(a －b)
＝1时等号成立
如取a
,b
＝,c ＝满足条件.
答案：B
14.（2010四川理）（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 （A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 （B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 （C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
答案：B
解析：设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱
则70
106480,x y x y x y N +≤⎧⎪
+≤⎨⎪∈⎩
目标函数z ＝280x ＋300y
结合图象可得：当x ＝15,y ＝55时z 最大 本题也可以将答案逐项代入检验.
15.（2010天津文）(2)设变量x ，y 满足约束条件
3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪
-≥-⎨⎪≥⎩
则目标函数z=4x+2y 的最大值为
（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）2 【答案】B
【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时z 取得最大值
10. 16.（2010福建文）
17.（2010全国卷1文）（10）设1
2
3log 2,ln 2,5a b c -===则
（A ）a b c <<（B ）b c a << (C) c a b << (D) c b a <<
答案C
【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.
【解析1】 a=
3
log 2=
21log 3
, b=In2=
21log e
,而
22log 3log 1
e >>,所以a<b,
c=12
5-52252log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.
【解析2】a=3
log 2=
32
1log ,b=ln2=
2
1
log e ,
3
221log log 2
e <<< ，
322
111
12log log e <<<；
c=
12
15
254-
=
<=，∴c<a<b
x y
+=
1
O
y x
=
20
x y
--=
x
A 0:20
l x y
-=
2-
2
A
18.（2010全国卷1文）(3)若变量
,x y满足约束条件
1,
0,
20,
y
x y
x y
≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪--≤
⎩则2
z x y
=-的最大值为
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
答案B
【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.
【解析】画出可行域（如右图），
11
2
22
z x y y x z
=-⇒=-
，l
时，z最大，且最大值为max
12(1)3
z=-⨯-=
.
19.（2010全国卷1理）（8）设a=3
log
2,b=ln2,c=
1
2
5-,则
（A）a<b<c （B）b<c<a （C）c<a<b （D）c<b<a
20.（2010全国卷1理）
21.（2010四川文）（11）设0
a＞b＞，则()
2
11
a
ab a a b
++
-
的最小值是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
答案：D
解析：
()
2
11
a
ab a a b
++
-
＝
2
11
() a ab ab
ab a a b -+++
-
＝
11
()
() ab a a b
ab a a b
++-+
-
≥2＋2＝4
当且仅当ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立
如取a
,b
＝满足条件.
22.（2010四川文）（8）某加工厂用某原料由车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙
两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为
（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
答案：B
解析：解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱
则
70 106480 ,
x y
x y
x y N
+≤
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪∈
⎩
目标函数z＝280x＋300y
结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大本题也可以将答案逐项代入检验.
23.（2010山东理）
24.（2010福建理）8．设不等式组
x1
x-2y+30
y x
≥
⎧
⎪
≥
⎨
⎪≥
⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线
3490
x y
--=对称,对于1Ω中的任意一点A与2Ω中的任意一点B, ||
AB的最小值等于( )
A．
28
5B．4 C．
12
5D．2
【答案】B
【解析】由题意知，所求的
||
AB的最小值，即为区域1Ω中的点到直线3490
x y
--=的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，
可看出点（1，1）到直线
3490
x y
--=的距离最小，故||
AB的最小值为
|31419|
24
5⨯-⨯-⨯
=，所以选B 。

二、填空题
1.（2010上海文）
2.不等式204x
x ->+的解集是 。

【答案】{}24|<<-x x
解析：考查分式不等式的解法20
4x
x ->+等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<2
2.（2010陕西文）14.设x ，y 满足约束条件24,
1,20,x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪+≥⎩
，则目标函数z ＝3x －y 的最大值
为 . 【答案】5
解析：不等式组表示的平面区域如图所示，
当直线z ＝3x －y 过点C （2,1）时，在y 轴上截距最小 此时z 取得最大值5
3.（2010辽宁文）（15）已知14x y -<+<且23x y <-<，则23z x y =-的取值 是 .
（答案用区间表示） 【答案】 (3,8)
【解析】填(3,8). 利用线性规划，画出不等式组1423
x y x y x y x y +>-⎧⎪+<⎪⎨
->⎪⎪-<⎩表示的平面区域，即可求解.
4.（2010辽宁理）（14）已知14x y -<+<且23x y <-<，则23z x y =-的取值范围是_______（答案用区间表示） 【答案】（3，8）
【命题立意】本题考查了线性规划的最值问题，考查了同学们数形结合解决问题的能力。

【解析】画出不等式组1423x y x y -<+<⎧⎨
<-<⎩
表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x-3y ，当直线
经过x-y=2与x+y=4的交点A （3，1）时，目标函数有最小值z=2×3-3×1=3；当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A （1，-2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8.
5.（2010安徽文）(15)若
0,0,2 a b a b
>>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b恒成立的是(写出所有正确命题的编号)．
①1
ab≤；②2
a b
+≤；③222
a b
+≥；
④333
a b
+≥；⑤
11
2
a b
+≥
【答案】①，③，⑤
【解析】令1
a b
==，排除②②；由221
a b ab ab
=+≥⇒≤，命题①正确；
222
()2422
a b a b ab ab
+=+-=-≥，命题③正确；
112
2
a b
a b ab ab
+
+==≥
，命题⑤正确。

6.（2010浙江文）（15）若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是。

【答案】18
7.（2010山东文）（14）已知,x y R
+
∈，且满足
1
34
x y
+=
，则xy的最大值为.
【答案】3
8.（2010北京文）（11）若点p（m，3）到直线
4310
x y
-+=的距离为4，且点p在不等式2x y
+
＜3表示的平面区域内，则m= 。

【答案】-3
9.（2010全国卷1文）(13)不等式2
2
32
x
x x
-
++
f
的解集是.
【答案】
{}
21,2
x x x
-<<->
或
【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法
【解析】: 2
2
32
x
x x
-
++
f()()()()()
2
02210
21
x
x x x
x x
-
⇔>⇔-++>
++
，数轴标根得：{}
21,2
x x x
-<<->
或
10.（2010全国卷1理）(13)不等式
2
211
x x
+-≤的解集是.
11.（2010湖北文）12.已知：
2,
x y
-式中变量,x y满足的束条件
,
1,
2
y x
x y
x
≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≤
⎩则z的最大值为。