草稿纸使用:让习惯和能力并行
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［关键词］ 草稿纸曰习惯培养曰思维品质曰方法策略
新课程提倡教学中应尊重学生生 活经验，联系学生生活经验，走进生活， 贴近生活。而陶行知早在十九世纪三十 年代就提出“生活教育”的 思 想，提 出 “生活即教育”“社会即学校”“教学做合 一”等理念。“教学做合一”的观点是生 活现象即教育现象的说明，它要求教的 方法要根据学的方法，学的方法要根据 做的方法。
大家可能会有这样的体验，有时我 们 在 做 一 道 题 目 时 ，突 然 卡 住 了 ，无 法 继 续 解 下 去 ，我 们 选 择 做 下 一 题 ，等 到 顺利做完下一题时，反过来看上一题， 已经不知道刚才的步骤去哪里了。所 以 ，在 打 草 稿 之 前 ，对 草 稿 纸 的 整 体 布 局显得至关重要，要不然一切重头来， 太浪费时间了。
襛 二、积极鼓励，快乐草稿
有句老话：兴趣是最好的老师。也 就是任何事情只有当你感兴趣的时候， 你才会积极投入地去完成。打“草稿”的 目的就在于，让你的思维在纸上变得更 清晰，让你的计算准确率更高。思维能 力和计算能力得到提高后，你获得的数 学情感越强烈，对待数学的兴趣更浓。 老师可以一方面表扬做得好的学生，把
这显然是一个高屋建瓴的观点，这 个观点对于核心素养背景下的小学数 学教学来说，指明了追求优质教学的方 向 ，那 就 是 要 关 注 学 生 的 成 长 ，进 而 关 注自身的成长。
（上接第52页） 上也能达到预期的效果，但长久以往也 不利于好习惯的养成。草稿纸上的书写 如果是有序进行，我们检查复算时也会 依法可查。所以我们拿到草稿纸时，首 先就得布局，打草稿时可以按照从左往 右，从上往下的顺序。
> 教学实践
数学教学通讯
投稿邮箱院sxjxtxx@
草稿纸使用：让习惯和能力并行
杨军霞 江苏省海安市南莫镇中心小学 226681
［摘 要］ 野打草稿冶是学生在数学学习中一种特有的行为习惯袁一张草稿纸记载着学生分析问题尧探索问题尧 解决问题的一系列的思维过程遥 草稿本是数学教学尧数学练习中不可缺少的工具遥 正确规范地使 用草稿纸袁可以提高孩子的学习效率袁也能养成良好的数学思维习惯遥
襛 四、自我把握，讲求策略
孩子们已经意识到草稿纸的重要 性 ，部 分 孩 子 为 了 得 到 高 分 ，采 取 所 有 的题目都打草稿的方法，这又得不偿失。 那么什么时候需要用草稿，还得我们的 学生自己辨别。
例如院小红家的藏书比小明家的藏 书多一些袁小红家的藏书比小亮家藏书 少得多袁小芳家的藏书比小明家的藏书
渊下转第 84 页冤
作者简介院杨军霞渊1980-冤袁本科学历袁中小学一级教师袁从事小学数学教学与研究遥
52 > 2021 年 6 月（上旬）
> 教研在线
视觉学习过程，对形式的数学本质内容 进行内化理解的数学核心素养。显然， 这样的理解与数学学科的特点密切相 关，也与核心素养培育的需要相关。
在“三角形”一课的教学中，在成功 地创设了情境之后，笔者还进行了这样 的两个教学环节的设计：
设计二：数学语言的教学。小学生 在数学体验的过程当中会比较兴奋，这
个时候他们的思维是活跃的，但是教学 经验告诉我们，经过了数学体验之后， 让学生用数学语言去描述自己的学习 过程或探究结果时，学生的热情往往没 有那么高。其中一个重要原因就是学生 在运用数学语言的时候，会有一定的挑 战。比如让学生去定义三角形，绝大多 数学生的第一反应就是有三个角的图 形就是三角形，那么教师可以拓展学生 进一步认识，除了用角来定义三角形之 外 ，有 没 有 其 他 的 选 择 ，然 后 学 生 通 过 合作学习之后，发现也可以用三条边来 定义三角形（这个时候还会有学生提出 疑问：为什么三角形不叫三边形？这个 问题可以为后面的四边形的学习奠定 基础）。
发两本作业本呢？目的就是，提高学生 端正对待草稿本的态度，让孩子们意识 到草稿本和作业本一样，需要我们精心 呵护，精心打理。在数学课上课前，我要 求孩子准备好草稿本，避免到时候去书 包或桌里翻，或者有些孩子因一时找不 到，又再次把目光瞄准到临时的“草 稿”。草稿本的充分准备，为我们的数学 课堂提高了效率，为孩子们的快速思 维，又添加了活力。当然，这些课前准备 需要一段时间反复训练，草稿本的准备 还需要老师的鼓励，孩子们的互相监督。
襛 三、条理清晰，事半功倍
打草稿的工具很简单：笔和纸。在 草 稿 纸 上 画 图 ，计 算 ，推 理 是 数 学 学 习 活动经常做的事。但从各个孩子的草稿 纸上，也能反映出他们是否有一个好的 学习习惯。在没有经过训练的情况下， 孩子们的草稿纸基本上都挺乱的。孩子 会随心所欲地打草稿，也许在某种程度
少一些袁请依次排出四个小朋友家藏书
的多少遥
这是苏教版二年级比多少的知识。
二年级的孩子由于阅读量小，文字的表
述以借助草稿纸，在草稿纸上画出
数轴（图 1），一一标上多少，就可以了。
数轴的使用，简洁明了，思维清晰，帮助
我们成功地解决了问题。
小芳 小明 小红
小亮
图1 再如，在下面的几个图形中，（ ） 的图形面积最大。 A. 半径是 2 厘米的圆 B. 直径是 5 厘米的圆 C. 周长是 18.84 厘米的圆。 D. 用宽为 远 厘米、长为 愿 厘米的长 方形纸，所剪成的最大的半圆。 学生拿到题后，一般的解题思路是 算出所有圆的面积，然后再进行比较， 但因为有 3.14 的参与，孩子的计算量相 当大，一不小心就会算错。其实这里，我 们可以使计算稍稍简单点，选项 A 是 3.14伊4，选项 B 是 3.14伊6.25，选项 C 我
现在我们说得最多的是“素质教 育”“创新精神”“人文主义”等。其实，陶 行知在《创造的儿童教育》中就已指出， 儿童的创造力是先天就有的，教育的作 用只不过是“启发解放儿童的创造力” 罢了。我今天研究的是学生学习中最细 微的地方———学会使用草稿纸。正确使 用草稿纸，能培养学生良好的数学学习 习惯，以便能取得良好的学习效果。打 草稿是数学学习中，学生特有的一种行 为习惯，看似简单，实则讲究。
襛 三、关注学生成长的小学数学优 质教学
在上面的例子当中，引导学生经过 数学体验的过程，并在此基础上用数学 语言描述自己的探究结果，尤其是在数 学语言的运用过程当中，学生通过对三 角形的角与边特征的描述来定义三角
数学教学通讯
投稿邮箱院sxjxtxx@
形。这样的过程既拓宽了学生的思维空 间 ，也 增 加 了 学 生 的 思 维 深 度 ，较 好 地 将生活与数学联系在一起，将数学与学 生的认知经验联系在一起。学生就在数 学抽象的过程中经过逻辑推理，形成了 三角形这一认知模型，这个模型可以拓 展到其他的领域当中，这是核心素养所 追求的能力迁移的基本要求。
低年级的孩子，可能还不会意识到 草稿本的妙处。所以，我们要通过方法 让孩子理解到草稿纸给我们带来的巨 大 好 处 ，使 用 草 稿 纸 会 帮 助 我 们 ，在 解 题过程中，会变得更轻松。例如我国的 著名数学家陈景润，在攻克了世界著名 数学难题“哥德 巴 赫猜 想 ”中 的“1+2” 后，被誉为“哥德巴赫猜想第一人”。他 用去了 6 麻袋的草稿纸。所以，正确使 用好草稿纸，能帮我们走向成功。
反思这样一个过程，并进一步思考 小学数学优质教学，尤其是从数学教师 专业成长的角度反思优质教学的生成 过程，可以发现追求优质教学的过程， 实际上就是专业化的过程，而数学教育 的专业化应被看成我们深入分析各个 相 关 问 题 的 必 要 前 提 ，这 不 仅 是 指“ 教 育 学 ”与“ 数 学 ”的 必 要 整 合 ，也 是 指 我 们应当高度重视社会学、哲学与历史学 等学科向数学教育领域地渗透，乃至通 过各个学科的必要整合创建出数学教 育学的系统理论。
规范合理地使用好草稿纸是一项 长期的任务。俄国教育家乌申斯基说： “良好的习惯是人在他的神经系统中所 储存的资本，这个资本不断地增值，而人 在其整个一生中就享受它的利息。”这 是说良好的学习习惯对于学生今后一 生的学习、工作时时都在悄悄地发生积 极的影响。如果让孩子坚持高效地使用 草稿纸，孩子往往会有意想不到的收获。
设计一：体验教学。让学生在寻找 生活中三角形的基础上，动手在自己的 草稿纸上去画三角形。画完三角形之后 让学生去说一说这个三角形有几条边？ 几个角？几个顶点？这实际上是一个数 形结合的教学过程，学生画三角形的时 候研究的对象是“形”，判断三角形有几 条 边 、几 个 角 、几 个 顶 点 的 时 候 研 究 的 是“数”。在这个学习的过程中，学生往 往会通过合作的方式去进行，这个时候 的合作是非常有意义的，因为不同学生 画的三角形是不一样的，这在客观上给 学生提供了一个变式学习的机会，学生 在对数与形加工的过程中，可以获得对 三角形特征的基本认识。
们先算出圆的半径为 3，面积是 3.14伊9， 选项 D 是 3.14伊8。由此我们可以直接看 出选项 C 是最大的。
同时，还要注意提高思维原则。如 六年级下册课课练上有一题：
0.5，0.75，6 和 另 外 一 个 数 组 成 比 例，这个数可能是多少？
这是一道思维拓展题，部分孩子能 够直接想出其中的一个答案，0.5 乘 6 除以 0.75，所以这个数算的是 4。比例的 基本性质是两个外项的积等于两个内 项的积。孩子很是情愿地按照题目的顺 序，把 0.5 和 6 看作比的外项。其实，这 道题，比的外项还可以是 0.75 和 6，或 者 0.5 和 0.75 。只要我们在草稿纸上写 出三组，就可以得到这题的三个答案。
襛 一、正面引导，树立意识
我从一年级开始，就给每个孩子发 了 2 本作业本。一本上标“作业”，一本 上标“草稿”。准备一本专用的草稿本， 是促成孩子养成打草稿习惯的前提。在 平 时 教 学 中 ，我 们 不 难 发 现 ，部 分 孩 子 并没有专用的草稿本，等到需要用时，胳 膊、手上、洁净的桌面、甚至作业练习或 试卷的空白处，都会成为他们临时计算 的目标。所以，开学初，一个必要的作业 本成为草稿纸是必须的。为什么会同时
他们的“草稿本”展示给其他同学看，另 一 方 面 ，还 得 鼓 励 ，争 取 提 高 全 班 学 生 使用草稿本的积极性。全班的孩子都是 个性不同的单独体，每个人使用草稿纸 的情况不同。就拿计算来说，有些孩子 一眼就可以看出答案，而有些孩子可能 计算能力差了些，但他不愿打草稿，盯 着题左看右看冥思苦想了半天，好不容 易写上答案，可结果却是错的。对于计 算能力差一些的孩子，如果省去冥思苦 想 的 环 节 ，直 接 打 草 稿 ，就 会 节 约 很 多 时间。所以我们的老师，在让孩子使用 草 稿 纸 时 ，一 定 要 注 意 因 人 而 异 ，还 得 注意方法的指导。让部分落后的孩子， 也愿意花时间在草稿上。我们的老师也 必须给予表扬鼓励，让孩子快乐地打好 “草稿”。只有让学生体验到“打草稿”的 快乐，“打草稿”才会成为学生的自觉行 为。我们可以利用平时的班队课或其他 活动课，开展一些如“草稿纸，我的好朋 友”主题交流会。让孩子们讲讲用草稿 有哪些好处。
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新课程提倡教学中应尊重学生生 活经验，联系学生生活经验，走进生活， 贴近生活。而陶行知早在十九世纪三十 年代就提出“生活教育”的 思 想，提 出 “生活即教育”“社会即学校”“教学做合 一”等理念。“教学做合一”的观点是生 活现象即教育现象的说明，它要求教的 方法要根据学的方法，学的方法要根据 做的方法。
大家可能会有这样的体验，有时我 们 在 做 一 道 题 目 时 ，突 然 卡 住 了 ，无 法 继 续 解 下 去 ，我 们 选 择 做 下 一 题 ，等 到 顺利做完下一题时，反过来看上一题， 已经不知道刚才的步骤去哪里了。所 以 ，在 打 草 稿 之 前 ，对 草 稿 纸 的 整 体 布 局显得至关重要，要不然一切重头来， 太浪费时间了。
襛 二、积极鼓励，快乐草稿
有句老话：兴趣是最好的老师。也 就是任何事情只有当你感兴趣的时候， 你才会积极投入地去完成。打“草稿”的 目的就在于，让你的思维在纸上变得更 清晰，让你的计算准确率更高。思维能 力和计算能力得到提高后，你获得的数 学情感越强烈，对待数学的兴趣更浓。 老师可以一方面表扬做得好的学生，把
这显然是一个高屋建瓴的观点，这 个观点对于核心素养背景下的小学数 学教学来说，指明了追求优质教学的方 向 ，那 就 是 要 关 注 学 生 的 成 长 ，进 而 关 注自身的成长。
（上接第52页） 上也能达到预期的效果，但长久以往也 不利于好习惯的养成。草稿纸上的书写 如果是有序进行，我们检查复算时也会 依法可查。所以我们拿到草稿纸时，首 先就得布局，打草稿时可以按照从左往 右，从上往下的顺序。
> 教学实践
数学教学通讯
投稿邮箱院sxjxtxx@
草稿纸使用：让习惯和能力并行
杨军霞 江苏省海安市南莫镇中心小学 226681
［摘 要］ 野打草稿冶是学生在数学学习中一种特有的行为习惯袁一张草稿纸记载着学生分析问题尧探索问题尧 解决问题的一系列的思维过程遥 草稿本是数学教学尧数学练习中不可缺少的工具遥 正确规范地使 用草稿纸袁可以提高孩子的学习效率袁也能养成良好的数学思维习惯遥
襛 四、自我把握，讲求策略
孩子们已经意识到草稿纸的重要 性 ，部 分 孩 子 为 了 得 到 高 分 ，采 取 所 有 的题目都打草稿的方法，这又得不偿失。 那么什么时候需要用草稿，还得我们的 学生自己辨别。
例如院小红家的藏书比小明家的藏 书多一些袁小红家的藏书比小亮家藏书 少得多袁小芳家的藏书比小明家的藏书
渊下转第 84 页冤
作者简介院杨军霞渊1980-冤袁本科学历袁中小学一级教师袁从事小学数学教学与研究遥
52 > 2021 年 6 月（上旬）
> 教研在线
视觉学习过程，对形式的数学本质内容 进行内化理解的数学核心素养。显然， 这样的理解与数学学科的特点密切相 关，也与核心素养培育的需要相关。
在“三角形”一课的教学中，在成功 地创设了情境之后，笔者还进行了这样 的两个教学环节的设计：
设计二：数学语言的教学。小学生 在数学体验的过程当中会比较兴奋，这
个时候他们的思维是活跃的，但是教学 经验告诉我们，经过了数学体验之后， 让学生用数学语言去描述自己的学习 过程或探究结果时，学生的热情往往没 有那么高。其中一个重要原因就是学生 在运用数学语言的时候，会有一定的挑 战。比如让学生去定义三角形，绝大多 数学生的第一反应就是有三个角的图 形就是三角形，那么教师可以拓展学生 进一步认识，除了用角来定义三角形之 外 ，有 没 有 其 他 的 选 择 ，然 后 学 生 通 过 合作学习之后，发现也可以用三条边来 定义三角形（这个时候还会有学生提出 疑问：为什么三角形不叫三边形？这个 问题可以为后面的四边形的学习奠定 基础）。
发两本作业本呢？目的就是，提高学生 端正对待草稿本的态度，让孩子们意识 到草稿本和作业本一样，需要我们精心 呵护，精心打理。在数学课上课前，我要 求孩子准备好草稿本，避免到时候去书 包或桌里翻，或者有些孩子因一时找不 到，又再次把目光瞄准到临时的“草 稿”。草稿本的充分准备，为我们的数学 课堂提高了效率，为孩子们的快速思 维，又添加了活力。当然，这些课前准备 需要一段时间反复训练，草稿本的准备 还需要老师的鼓励，孩子们的互相监督。
襛 三、条理清晰，事半功倍
打草稿的工具很简单：笔和纸。在 草 稿 纸 上 画 图 ，计 算 ，推 理 是 数 学 学 习 活动经常做的事。但从各个孩子的草稿 纸上，也能反映出他们是否有一个好的 学习习惯。在没有经过训练的情况下， 孩子们的草稿纸基本上都挺乱的。孩子 会随心所欲地打草稿，也许在某种程度
少一些袁请依次排出四个小朋友家藏书
的多少遥
这是苏教版二年级比多少的知识。
二年级的孩子由于阅读量小，文字的表
述以借助草稿纸，在草稿纸上画出
数轴（图 1），一一标上多少，就可以了。
数轴的使用，简洁明了，思维清晰，帮助
我们成功地解决了问题。
小芳 小明 小红
小亮
图1 再如，在下面的几个图形中，（ ） 的图形面积最大。 A. 半径是 2 厘米的圆 B. 直径是 5 厘米的圆 C. 周长是 18.84 厘米的圆。 D. 用宽为 远 厘米、长为 愿 厘米的长 方形纸，所剪成的最大的半圆。 学生拿到题后，一般的解题思路是 算出所有圆的面积，然后再进行比较， 但因为有 3.14 的参与，孩子的计算量相 当大，一不小心就会算错。其实这里，我 们可以使计算稍稍简单点，选项 A 是 3.14伊4，选项 B 是 3.14伊6.25，选项 C 我
现在我们说得最多的是“素质教 育”“创新精神”“人文主义”等。其实，陶 行知在《创造的儿童教育》中就已指出， 儿童的创造力是先天就有的，教育的作 用只不过是“启发解放儿童的创造力” 罢了。我今天研究的是学生学习中最细 微的地方———学会使用草稿纸。正确使 用草稿纸，能培养学生良好的数学学习 习惯，以便能取得良好的学习效果。打 草稿是数学学习中，学生特有的一种行 为习惯，看似简单，实则讲究。
襛 三、关注学生成长的小学数学优 质教学
在上面的例子当中，引导学生经过 数学体验的过程，并在此基础上用数学 语言描述自己的探究结果，尤其是在数 学语言的运用过程当中，学生通过对三 角形的角与边特征的描述来定义三角
数学教学通讯
投稿邮箱院sxjxtxx@
形。这样的过程既拓宽了学生的思维空 间 ，也 增 加 了 学 生 的 思 维 深 度 ，较 好 地 将生活与数学联系在一起，将数学与学 生的认知经验联系在一起。学生就在数 学抽象的过程中经过逻辑推理，形成了 三角形这一认知模型，这个模型可以拓 展到其他的领域当中，这是核心素养所 追求的能力迁移的基本要求。
低年级的孩子，可能还不会意识到 草稿本的妙处。所以，我们要通过方法 让孩子理解到草稿纸给我们带来的巨 大 好 处 ，使 用 草 稿 纸 会 帮 助 我 们 ，在 解 题过程中，会变得更轻松。例如我国的 著名数学家陈景润，在攻克了世界著名 数学难题“哥德 巴 赫猜 想 ”中 的“1+2” 后，被誉为“哥德巴赫猜想第一人”。他 用去了 6 麻袋的草稿纸。所以，正确使 用好草稿纸，能帮我们走向成功。
反思这样一个过程，并进一步思考 小学数学优质教学，尤其是从数学教师 专业成长的角度反思优质教学的生成 过程，可以发现追求优质教学的过程， 实际上就是专业化的过程，而数学教育 的专业化应被看成我们深入分析各个 相 关 问 题 的 必 要 前 提 ，这 不 仅 是 指“ 教 育 学 ”与“ 数 学 ”的 必 要 整 合 ，也 是 指 我 们应当高度重视社会学、哲学与历史学 等学科向数学教育领域地渗透，乃至通 过各个学科的必要整合创建出数学教 育学的系统理论。
规范合理地使用好草稿纸是一项 长期的任务。俄国教育家乌申斯基说： “良好的习惯是人在他的神经系统中所 储存的资本，这个资本不断地增值，而人 在其整个一生中就享受它的利息。”这 是说良好的学习习惯对于学生今后一 生的学习、工作时时都在悄悄地发生积 极的影响。如果让孩子坚持高效地使用 草稿纸，孩子往往会有意想不到的收获。
设计一：体验教学。让学生在寻找 生活中三角形的基础上，动手在自己的 草稿纸上去画三角形。画完三角形之后 让学生去说一说这个三角形有几条边？ 几个角？几个顶点？这实际上是一个数 形结合的教学过程，学生画三角形的时 候研究的对象是“形”，判断三角形有几 条 边 、几 个 角 、几 个 顶 点 的 时 候 研 究 的 是“数”。在这个学习的过程中，学生往 往会通过合作的方式去进行，这个时候 的合作是非常有意义的，因为不同学生 画的三角形是不一样的，这在客观上给 学生提供了一个变式学习的机会，学生 在对数与形加工的过程中，可以获得对 三角形特征的基本认识。
们先算出圆的半径为 3，面积是 3.14伊9， 选项 D 是 3.14伊8。由此我们可以直接看 出选项 C 是最大的。
同时，还要注意提高思维原则。如 六年级下册课课练上有一题：
0.5，0.75，6 和 另 外 一 个 数 组 成 比 例，这个数可能是多少？
这是一道思维拓展题，部分孩子能 够直接想出其中的一个答案，0.5 乘 6 除以 0.75，所以这个数算的是 4。比例的 基本性质是两个外项的积等于两个内 项的积。孩子很是情愿地按照题目的顺 序，把 0.5 和 6 看作比的外项。其实，这 道题，比的外项还可以是 0.75 和 6，或 者 0.5 和 0.75 。只要我们在草稿纸上写 出三组，就可以得到这题的三个答案。
襛 一、正面引导，树立意识
我从一年级开始，就给每个孩子发 了 2 本作业本。一本上标“作业”，一本 上标“草稿”。准备一本专用的草稿本， 是促成孩子养成打草稿习惯的前提。在 平 时 教 学 中 ，我 们 不 难 发 现 ，部 分 孩 子 并没有专用的草稿本，等到需要用时，胳 膊、手上、洁净的桌面、甚至作业练习或 试卷的空白处，都会成为他们临时计算 的目标。所以，开学初，一个必要的作业 本成为草稿纸是必须的。为什么会同时
他们的“草稿本”展示给其他同学看，另 一 方 面 ，还 得 鼓 励 ，争 取 提 高 全 班 学 生 使用草稿本的积极性。全班的孩子都是 个性不同的单独体，每个人使用草稿纸 的情况不同。就拿计算来说，有些孩子 一眼就可以看出答案，而有些孩子可能 计算能力差了些，但他不愿打草稿，盯 着题左看右看冥思苦想了半天，好不容 易写上答案，可结果却是错的。对于计 算能力差一些的孩子，如果省去冥思苦 想 的 环 节 ，直 接 打 草 稿 ，就 会 节 约 很 多 时间。所以我们的老师，在让孩子使用 草 稿 纸 时 ，一 定 要 注 意 因 人 而 异 ，还 得 注意方法的指导。让部分落后的孩子， 也愿意花时间在草稿上。我们的老师也 必须给予表扬鼓励，让孩子快乐地打好 “草稿”。只有让学生体验到“打草稿”的 快乐，“打草稿”才会成为学生的自觉行 为。我们可以利用平时的班队课或其他 活动课，开展一些如“草稿纸，我的好朋 友”主题交流会。让孩子们讲讲用草稿 有哪些好处。
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