大学物理专题熵

熵增加原理：孤立系统中的熵永不减少.
S 0 孤立系统不可逆过程 S 0
孤立系统可逆过程 S 0
非平衡态的熵?
量子物理习题课
熵
二、玻耳兹曼熵 1、热力学概率与熵
若一孤立系统的初始状态为非平衡态，无 外界影响，该系统将自发发展到平衡态.
熵增:非平衡态的熵值较少，平衡态的熵值 最大.
非平衡态与平衡态的本质区别？ 粒子空间分布的均匀程度不同. 热力学概率W描述粒子空间分布的均匀程 度.
宏观的无序态，在微
观上是高度复杂有序
的，而平衡无序态则
是微观上、宏观上都
无序的.
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熵 耗散结构形成的条件：
（1）开放系统
（2）远离平衡态的非线性区域 （3）涨落 （4）正反馈 （5）非线性抑制因素
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熵
1-2 熵与能量
热力学第二定律的实质
自然界一切与热现象有关的实际宏观过程
例：1mol温度为T的理想气体作绝热自由膨胀， 已知初始的体积分别为V1和V2，试由克和玻熵
公式计算上述不可逆过程的熵变。
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熵
（2）熵是态函数，两者区别:克劳修斯熵只对 平衡态有意义，而玻尔兹曼熵对系统任意宏观 态（包括非平衡态）均有意义，非平衡态也有 与之相对应的热力学概率，玻尔兹曼熵意义更 普遍.
有序结构源于生物的食物中比 较无序的原子！从无序到有序 正是从平衡态到非平衡态的过 渡。
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DNA双螺旋结构
熵
3、无生命过程的自组织现象
贝纳特对流
贝纳尔对流 元胞
从无序到有序是自然界的普遍现象，它们是 否违背热力学第二定律呢？
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熵
4、开放系统的熵变
（和外界有能量和物质交换的系统叫开放系统）
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熵
分叉现象表明，系统在临界点附近的微小涨落可以 从根本上改变系统的性质，这叫突变现象.
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熵
λ进一步增加，系统更加偏离平衡态，有可能
分支越来越多，系统随机地处于某些耗散结构，
从而使系统的状态不可预测，系统又进入了无序
态，也称为混沌态
但这种混沌无序
态与平衡态的无序态
不同，混沌无序态是
（3）熵是系统无序性的量度，玻尔兹曼熵对 此的描述更本质，已超出了分子热运动的领域 适用于任何作无序运动的粒子系统，对大量无 序出现的事件（如大量出现的信息）的研究， 也应用了熵概念.
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熵
（4）在玻耳兹曼眼中，粒子系统的平衡态是系 统的最概然分布，它表明系统即使处于平衡态， 也存在系统偏离平衡态的可能性，这就是宏观 系统内部存在偏离平衡态的，有时为熵减的 “涨落”现象，系统内部存在的一种内在随机 性。
达尔文的（生物）进化论揭示了自然界的复 杂性、生物结构越来越复杂、越来越精致，与 热二预告的完全相反！
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熵 自组织现象：在远离平衡态的开放系统中，系统 内部自发地由无序变为有序的现象，也称为耗散 结构.
2、生命过程的自组织现象
生物界的有序是很明显的，各种生物有大量细 胞构成精妙的结构。每个生物细胞也有奇特结构。
为了减少对世界认识的不确定性或无知， 我们要尽可能多和社会
经济过程包括三个子过程：生产过程、流 通过程和消费过程，每个过程都是导致熵增加 的过程。
要使经济、社会不断向前发展，又要减少 熵的产生，这就要求人类能巧秒地掌握和运用 自然规律，需要人的高度智慧，知识、技术就 是负熵，它能遏制生产和经济发展中不应有的 熵产生，因此人类需增智，而增智就要认真地 发展卓有成效的教育事业。
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熵
2、信息量
认识问题的过程： 当我们对一问题毫无了解时， 对它的认识是不确定的，在对问题的了解过程 中，通过各种途径获得信息，逐渐消除了不确 定性，获得的信息越多，消除的不确定性也越 多。我们可以用消除不确定性的多少来度量信 息量的大小.
信息量：指从N个相等可能事件中选出一个事 件所需要的信息度量.
都是不可逆的 .
➢ 热功转换
自发过程
功
热
非自发过程
有序 自发 无序
有序到无序能量转化过程不可逆，一部分能 量不能再作功-----能量退降.
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熵
举例焦耳实验来说明熵与能量退降的关系
设当质量为M 的重物下降高度dh时，通过搅拌，
水的温度T升高到T+dT,这个过程是重物的重力势
能 Mgdh 全部变成了水的内能。
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熵
1-1 态函数熵
一、克劳修斯熵(平衡态的熵)
1、克劳修斯等式与熵概念的建立
可逆过程
SB
SA
BdQ
A T
无限小可逆过程
dS dQ T
TdS dQ dE dW
热力学定律 的基本微分方程
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熵
2、克劳修斯不等式与熵增原理
对孤立系统任意不可逆过程有
S2
S1
2 1
dQ T
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W1 1 W2 4 W3 6 W3 4
W5 1
熵
设一个小容器中有a、b、c、d 四个相同粒子，现将容器划分为 左右两个相等的子空间.
可分辨粒子总数 N = 4
第 i 种分布的可能状态数 Wi
各种分布的状态总数
W Wi 16
i
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熵
热力学概率W：各种宏观态所包含微观态数目.
涨落现象在开放的远离平衡态的系统中有价 值.在一定条件下可使系统从无序走向有序，产 生有序结构（称为耗散结构或自组织），为从 本质上说明生命等现象提供依据。
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熵
三、开放系统的熵变 1、热力学第二定律与进化论
一个孤立系统将会自动地从有序状态转化为 无序状态。
热力学熵增定律指示出自然过程的这一单调 乏味的可怕的演化前景(“热寂论”) ，但实际 的自然过程?
Mg
d h Mg
d h (1 T
T0 dT
)
MgdhT0 T
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熵
Ed
Mgdh T0 T
经过不可逆的功变热的过程，水的熵增加了
d Q T dT
T dT
dT
T dT
dS T
T
T
cm T
cm ln
T
cm ln(1 dT ) cm dT
T
T
Mg d h cm dT Ed T0 d S
熵 （3）系统的微观状态不仅要考虑空间分布，还应
全面考虑粒子的各种运动形态，对分子系统而 言，有分子平动、分子转动、分子振动，以及 其它可能的内部运动形态等
W W平 W 转W振 Wi
S k ln W k ln(W平 W 转W振 Wi )
k ln W平 k lnW 转k ln W振 k ln Wi
信息量欠缺 = 负熵 (熵的减少)
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熵 在引入信息等于负熵概念后，对此更易解释： 小妖精虽未作功，但他需要有关飞来气体分子速 率的信息, 在他得知某一飞来分子的速率，然后决定打开还 是关上门以后，他已经运用有关这一分子的信息。 信息的运用等于熵的减少，系统熵的减少表现 在高速与低速分子的分离. 不作功而使系统的熵减少，就必须获得信息，即 吸取外界的负熵。但是在整个过程中 总熵还是 增加的.
S平 S 转S振 Si
熵具有可加性
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熵
2、两种熵概念的比较
（1）对热力学系统来说，如系统从一个平衡态 过渡到另一个平衡态，用克劳修斯熵公式和尔 兹曼玻熵公式计算系统熵变，结果相同
孤立系统的熵不会减少，玻尔兹曼从统计意义 说明自然界一切自发过程都是从小概率状态向 大概率状态发展，这种认识更本质。
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熵
事情的可能结果总数N越大，每个可能结果出 现的几率P越小，信息的不确定成都就越大，所 以熵是无知或缺乏信息的量度.
电视机出了故障，比如怀疑图像通道，或伴音 通道，或扫描电路，或鉴频器、高频头等发生故 障，而对于一个精通电视知识并有修理经验的人 来说，准确地说明毛病之所在，从熵概念来看这 两个人，则前者在电视方面较无知，熵较大；后 者在这方面占有知识（信息），熵较少。
P1
P2
P3
P
1 N
S k ln P k ln N
N表示可能出现的结果总数.
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熵
S k ln N
N越大（信息的不确定程度越大），P就 越小，S就越大.
信息量的计算公式 I log 2 N
取 k 1/ ln 2 ，S, N 计算式完全相同.
即有效信息量增加(即不确定度减少，因而信 息量减少，或者说信息量的欠缺)等于信息熵的减 少.
开放系统熵的变化 dS dSe dSi
dSi 系统内部所产生熵，称为熵产生. dSi 0
dSe 从外界流入系统的熵，简称熵流
deS 0, deS 0, deS 0
dS<0与diS>0并不矛盾，通过与外界交流引入 负熵可能使系统熵减少，发生从无序到有序的 变化.
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熵
四、远离平衡态的非平衡态与混沌态
W 可以用来描述系统粒子热运动的无序性.
玻耳兹曼熵： S k ln W
说明：
（1）将一个系统划分为若干个子空间，子空 间的大小决定了对微观态空间分布的分辨率。 子区域越小，热力学概率就越大，空间分辨率 越高.
N个粒子处于体积为V的空间中，如此时系统处于
平衡态，则系统的热力学最大概率为： Wm V N
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熵
1－３ 熵与信息
1、麦克斯韦妖
为了批驳“热寂论”，麦克 斯韦设想了一个无影无形的精灵 （麦克斯韦妖），它处在一个盒 子中的一道闸门边，它允许速度 快的微粒通过闸门到达盒子的一 边，而允许速度慢的微粒通过闸 门到达盒子的另一边。这样一段 时间后，盒子两边产生温差。麦 克斯韦妖其实就是耗散结构的一 个雏形。
实验与理论表明：处于平衡态及稍微偏离平 衡态的系统不会出现从无序到有序的变化，只有 远离平衡的非平衡态才可能演化为有序态.
远离平衡是指当外界系统的影响较强以至于 在系统引起的变化与外界影响不成线性关系.
远离平衡的态不能单用熵的概念来描写， 状态的变化不能单纯依靠热力学方法确定，必 须同时研究系统的非线性动力学行为、采用非 线性力学的方法.
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熵
（2）若一系统由若干个子系统组成，每个子 系统的热力学概率分别为W1、W2、W3… …， 则根据概率运算法则系统的热力学概率为
W W1 W 2 W3
系统的熵值为
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S k ln(W1 W2 W3 ) k ln W1 k ln W2 k ln W3 S1 S2 S3
熵
3、信息熵
假定某事件的可能结果和出现某结果的几率如下
x1, x2 , x3 可能结果,
N
P1, P2, P3 出现的几率,且 Pi 1
香农把熵的概念引用到信息论中，i1称为信息熵。
信息论中对信息熵的定义是
N
S k Pi ln Pi
i 1
香农所定义的信息熵，实际上就是平均信息量.
当
熵
熵: 源于19世纪热机, 物理学概念. 渗透到生物学、化学、经济学、社会学. 生命、信息、资源、环境等问题与“熵”密切 相关. 熵增会使能量弥散，无序和混乱,但也能在某种 条件下成为有序之源,熵减使自然的、社会的各种 事物向着有序方向发展. 熵不仅使旧事物消亡，也能使新事物萌生. 熵已成为一种自然观，人类与自然和谐相处.
退降的能量与系统熵的增加成正比.
即：熵的增加是能量退降的量度.
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熵 孤立系统内自发发生的过程是熵增加的过程， 熵的增加就意味着有效能量的减少.
在自然界中所有的实际过程都是不可逆的，将 使得能量不断地转变为不能做功的形式，能量虽 然是守恒但越来越多地不能被用来做功.
一切结构性强的或有序运动的能量，都属于 品质高的能量；相反结构性差、熵值高的能量, 属于低品质的能量.
也就是在辨别N个事件特定中的一个事件的过程 中需要提问“是或否‘的最小次数.
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熵
设从N个数中选定任一个数x的概率为P(x)，假 设选定任意一个数的概率相等，即
当 P1
P2
P3
P
1 N
美国数学家、信息论的创始人Shannon对信息 量的定义
I (x) log2 N log2 P
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如果直接利用重物的下落， Mgdh这么多能 量可以全部做功的，现在变成了水的内能，就 只能借助于热机来利用这些能量了。
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熵
设周围可用的温度最低的低温热库的温度为T0， 那么将水中的这些能量吸出，能做的功的最大 值，可按卡诺循环计算为
W
Mg
d h c
Mg
d h (1
T
T0 dT
)
Ed
若利用一热机工作于 B、A 之间则就可制成一部第二类永动机
了，这与第二定律矛盾.
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熵
“麦克斯韦妖”似乎违背了热力学第二定律， 换句话说，这一过程不能毫无能量损耗地分 离热分子和冷分子. “麦克斯韦妖”实际上必 须消耗能量来确定哪个分子是热的、哪个分 子是冷的。而在本次实验中，损耗的能量是 摄像机的能量通过信息这一媒介转换而来。