江西省高安中学11-12学年高二上学期期中考试(数学)奥赛班

江西省高安中学2011－2012学年度上学期期中考试
高二年级数学试题(奥赛班)
一、选择题(10×5'=50')
1、设集合M={y|y=2x , x<0}, N={y|y=x 2
1log , 0<x <1}，则x ∈M 是x ∈N 的（ ）
A. 充分不必要条件
B.必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2、现有两条不重合的直线m, n ，两个不重合的平面α、β，给出下面四个命题 ①m ∥n, m ⊥α⇒n ⊥α ②α∥β,m ⊂α,n ⊂β⇒m ∥n ③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α ④α∥β,m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β 上述命题中，正确命题的序号是（ ） A. ①③ B. ③④ C. ①④ D. ②③
3、下图是某次民族运动会上，七位评委为某民族舞 蹈节目打出分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为（ ） A. 84, 4.84 B. 84, 1.6 C. 85, 1.6 D. 85, 4
4、已知x 与y 之间的一组数据是 则y 与x 的线性回归方程 y=bx+a 必过点（ ） A. (2, 2) B.(1, 2) C. (1.5, 0) D. (1.5 , 5)
5、如图，矩形ABCD 中，E 为边CD 上的一点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率为（ ）
A. 41
B. 31
C. 2
1
D. 3
2
6、已知1F =+2j +3，2F =－2+3j －，3F , j , 为单位正交基底)，若1F ,2F ,3F 共同作用在一个物体上，使物体从点M 1(1,－2,1)，移动点M 2 (3, 1, 2)，则这三个合力所作的功为( ) A. 14
B. 621
C. －14
D. －621
7. 已知函数)(x f y =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数
x 、y ，等式()()f x f y =()f x y +恒成立，若数列{}n a 满足1(0)a f =，且
11
()(2)
n n f a f a +=
--*()n N ∈，则2011a 的值为( )
A.4017
B.4018
C.4019
7 8 9 9
4, 4, 6, 4, 7 3
8、一个算法的程序框图如图所图，该程序输出的结果是（ ）
A.
98 B.
109
C. 11
10
D. 12
11
9、已知函数f (x)=⎩
⎨⎧>≤+--66
10)31(7x a x x a x ，若数列{a n }满足
a n =f (n)，n ∈N*，且{a n }为递减数列，则实数a 的取值范围
是（ ）
A. (31
,1)
B. (31,21
)
C. (31,6
5)
D. (6
5
,1) 10、如图给出的是计算1+31+51+…+2011
1
的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条
件是（ ） A. i ≤2011 B. i>2011 C. i ≤1005 D. i>1005 二、填空题（5×5=25')
11、在等比数列{a n }中，存在正整数m ，有a m =3，a m+6=24， 则a m+18= .
12、如图，四面体A －BCD 的顶点A, B,C, D 到相对面的距离分
别为H 1, H 2, H 3, H 4，P 为四面体内一点，P 到面BCD 、ACD 、ABD 、ABC 的距离分别为h 1, h 2, h 3, h 4，则
11H h +22H h +33H h +4
4
H h = . 13、用系统抽样方法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1－160编号，按编号的顺序平均分成20组，若第16组抽出的号码为123，则第2组中应抽出的个体的编号为 .
14、甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想
的数字，把乙猜的数字记为b ，且a, b ∈{1, 2, 3, 4}，若|a －b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 . 15、下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2+x+4≤0”的否定是“∀x ∈R, x 2+x+4≥0”;②“am 2<bm 2”是“a<b ”的充分不必要条件；③命题“对边平行且相等的四边形是平行四边形”不是全称命题；④命题p:∃x 0∈[－1,1]满足x 20+x 0+1>a ，使命题p 为真命题的实数a 的取值范围为a<3. 其中正确的命题有 （填序号).
三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程) 16、（12分）设命题p ：方程2x 2+x+a=0的两根x 1, x 2满足x 1<1<x 2
命题q ：函数y=log 2(ax －1)在区间[1, 2]内单调递增 (1)若p 为真命题，求实数a 的取值范围.
(2)问p 且q 是否有可能为真命题，若可能，求出实数a 的取值范围，若不可能，请说
明理由.
17、（12分）已知数列{a n }中，a 1=
2
1
，点(n, 2a n+1－a n )在直线y=x 上(n ∈N*) （1）令b n =a n+1－a n －1，求证数列{b n }是等比数列. (2) 求数列{a n }的通项. 18、（12分）在对一种半径是1.40cm 的圆形机械部件加工中，为了了解加工的情况，从中抽取了100个部件，测得实际半径，将所有数据分析如右表 (1)估计部件半径落在[1.38, 1.50)中的概率及半径小于1.40的概率是多少? (2)估计部件半径的平均值和中位数
19、（12分）如图，棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=2，
BD=22
(1)求证：BD ⊥平面PAC
(2)求二面角P －CD －B 的大小 (3)求点C 到平面PBD 的距离 20、（13分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13, 14)；第二组[14, 15)，……，第五组[17, 18]. 下图是按上述分组方法得到
分组 频数 [1.30, 1.34) 4 [1.34, 1.38) 25 [1.38, 1.42) 30 [1.42, 1.46) 29
[1.46, 1.50) 10
[1.50, 1.54) 2
合计 100
的频率分布直方图.
(1)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
(2)设m 、n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m, n ∈[13, 14)∪[17, 18]. 求事件“|m －n|>1”的概率. 21、（14分）已知数列{a n }中，a 1=2，对任意的p, q ∈N*，有a p+q =a p +a q . (1)求数列{a n }的通项公式. (2)若数列{b n }满足: a n =
121
+b －1222+b +1233+b －1244+b +…+(－1)n+11
2+n n b (n ∈N*) 求数列{b n }的通项.
(3)设C n =3n +λb n (n ∈N*)是否存在实数λ，当n ∈N*时，C n+1>C n 恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，说明理由.
江西省高安中学2011－2012学年度上学期期中考试
高二年级数学答题卡（奥赛班）
11、 12、 13、 14、 15、 三、解答题 16、
17、
19、
21、
江西省高安中学2011-2012学年度上学期期中考试
高二数学参考答案（奥赛班）
11、1536 12、1 13、11 14、
8
5
15、④②
16、(1)令f (x)=2x 2+x+a ，则f (1)<0，∴3+a<0, ∴a<－3
(2)若q 为真命题，则a>0，且a －1>0⇒a>1 ∵a<－3，与a>1不可能同时成立. ∴p 且q 不可能为真命题. 17、证明：a 1＝
21, 2a n+1=a n +n ，∵a 2=43, a 2－a 1－1=43－21－1=－4
3 又b n =a n+1－a n －1，b n+1=a n+2－a n+1－1
∴
n
n b b 1
+＝11112----+++n n n n a a a a =1
1
22)1(11---+-++++n n n n a a n a n a =121
11----++n n n n a a a a =21 ∴{b n }是以－
43为首项，以21
为公比的等比数列 b n =－43(21)n －1＝－23×n 2
1
(2)a n+1－a n －1=－23×n 21
∴a 2－a 1－1=－23×21, a 3－a 2－1=－23×221
∴a n －a n －1－1=－23×12
1
-n
以上各式相加得：a n －(n －1)－a 1=－23(21+221+…+12
1
-n )
∴a n =a 1+(n －1)－23·2
11)211(211---n =21+n －1－23(1－121-n )=n 23+n －2
∴a n =n 2
3
+n －2
18、(1)部件半径落在[1.38, 1.50)中的概率为100
10
2930++=0.69
部件半径小于1.40的概率为100
15
254++=0.44
(2)部件半径的平均值约为
1.32×
1004+1.36×10025+1.40×10030+1.44×10029+1.48×10010+1.52×100
2=1.4088 部件半径的中位数为1.38+30
21
×0.04=1.408
19、(1)在Rt △BAD 中，AD=2, BD=22，∴AB=2，ABCD 为正方形，因此BD ⊥AC
又PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA 又PA ∩AC=A ，∴BD ⊥平面PAC
(2)由PA ⊥平面ABCD ，知AD 为PD 在平面ABCD 的射影
又CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∴∠PDA 为二面角P －CD －B 的平面角 又PA=AD ，∴∠PDA=45°
(3)∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD=22 设C 到平面PBD 的距离为d. 由V P －BCD =V C －PBD 有
31S △BCD ·PA=3
1
S △PBD ·d 即
31×21×2×2×2=31
·43×(22)2·d
得d=
3
3
2 20、解(1)由直方图知，成绩在[14,16)内的人数为50×0.16+50×0.38=27人 (2)由直方图知，成绩在[13, 14)的人数为50×0.06=3人，设为x, y, z 成绩在[17, 18)的人数为50×0.08=4人，设为A, B, C, D 当m, n ∈[13, 14)时，有xy, xz, yz 3种情况
当m, n ∈[17, 18)时，有AB, AC, AD, BC, BD, CD 6种情况
若m, n 分别在[13, 14)和[17, 18)内时，有xA, xB, xC, xD, yA, yB, yC, yD, zA, zB, zC, zD 共12种情况，所以基本事件总数为21种。

事件“|m －n|>1”所包含的基本事件个数有12种. ∴P(|m －n|>1)= 2112=7
4
21、(1)取p=n, q=1，则a n+1=a n +a 1=a n +2
∴a n+1－a n =2（n ∈N*)
∴{a n }是公差为2，首项为2的等差数列.
∴a n =2n ……………………………………………（4分)
(2)
121
+b －1222+b +1233+b －1244+b +…+(－1)n+11
2+n n b =a n (n ≥1)…………………① ∴
121
+b －1222+b +…+(－1)n 1
211+--n n b =a n －1 (n ≥2)…………………② ①－②得：(－1)n+1
1
2+n
n
b =a n －a n －1=2 (n ≥2) ∴b n =(－1)n+1(2n+1+2) (n ≥2) 当n=1时，a 1=
3
1
b ，∴b 1=6 满足上式 ∴b n =(－1)n+1 (2n+1+2) (n ∈N*) (3)C n =3n +(－1)n+1 (2n+1+2)λ (n ∈N*) 假设存在λ，使C n+1>C n (n ∈N*)
3n+1+(－1)n+2 (2n+2+2)λ>3n +(－1)n+1 (2n+1+2)λ
[(－1)n+2 (2n+2+2)－(－1)n+1 (2n+1+2)]λ>3n －3n+1=－2·3n 当n 为正偶数时，（2n+2+2n+1+4)λ>－2·3n (3·2n+1+4)λ＞－2·3n 恒成立
即λ>max 2233⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-n n =max
)
31(2)32(31⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+-n
n 当n=2时，max
)
31(2)32(31
⎪⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛+-
n n =－149，∴λ>－149
当n 为正奇数时，－(3·2n+1+4)λ>－2·3n 恒成立λ<min
2233
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅n n
当n=1时，min
2233⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅n n =83
综上，存在实数λ，且λ∈(－149, 8
3)。