高考数学题根选载 评十年高考 看一个题根

高中数学题根选载1.评十年高考 看一个题根
——从“阿波罗尼斯圆”说起
几十年高考及各地各种大小备考，简直可以汇集成题的海洋。

但细究起来，其知识源头只不过是少数几个。

题的不同根基也屈指可数。

题根研究的首创者万尔遐先生经过细究，竟发现在高考的数学正卷中，同一个题根，竟连绵考核了10年以上。

感叹之余，写了如下脍炙人口的歌谣：
题成海，题成河，说到题根并不多。

教材深处留心找，找到题根书变薄。

考题多，考题新，多新一片像森林。

林中切莫眼花乱，认得题根知考根。

上面的这首儿歌，唱出了三种关系：题目与题根的关系；考题与考根的关系；最后，题根与考根的关系。

那么，到底什么是题根？
一、题根案例
【根题】（人教A 版必修2，p124，B 组，3题。

）已知点M 与两个定点O （0，0）,A （3，0）的距离比为
1
2
，求点M 的轨迹方程.
【解析】如图1，设动点(),M x y ，连结M O ,MA,有：
2MA MO ==，化简得：2
2
230x y x ++-=，也就是：
()
()2
214
1x y ++=
方程（1）即为所求点M 的轨迹方程，它表示以C （-1，0）为圆心，2为半径的圆。

评注：1.根题中所求出的圆，我们习惯上称这种圆为“阿波罗尼斯”圆.根题首先是一道题，而且是具有“生长性”的好题。

在它的基础上，数学人不仅能“看”出它的精髓，释放它的价值。

而且以它为“根”，可以 “长”出许多好题。

2.阿波罗尼斯（Apolloning,约公元前260~170），古希腊数学家，与欧几里得，阿基米德等齐名。

著有《圆锥曲线论》和《平面轨迹》等书。

二、理论基础
将如上根题推广到一般形式，即得轨迹问题：动点(),P x y 到定点12()()F c
F c -00，、，的距离之比为定
值λ.（c ，λ为正数），求点()P x y ,的轨迹方程 .（本题实为2003年北京春季高考题）
【解析】依题意，由距离公式：2222)()(y c x y c x +-=++λ，化简得：
()2222222(1)(1)2(1)(1)0
1x y c x c λλλλ-+-+++-=
【讨论】方程的图形是什么？
①当λ=1时，得 x = 0 ,也就是线段12F F 的垂直平分线（定义这样的直线为阿波罗直线）； ②当λ≠1时，方程（1）变形得：()22222
2101c x y x c λλ+++
+=-，化成标准形式：
()2
2
22
2212211c x c y λλλλ⎛⎫+⎛⎫-⋅+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝
⎭，这是以221,01c λλ⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭
为圆心，且半径221c r λ
λ=-
的圆。

（定义这样的圆为阿波罗尼斯圆，简称为“阿波罗圆”或“阿氏圆”）。

【欣赏】阿波罗尼斯圆与直线有四美：
1.同一个方程，根据参数λ的不同，时而表示直线，时而表示圆，这是直线与圆的统一美；
2.当λ≠1时，不妨设c=1,可得：()2
2
22
2212211x y λλλλ⎛⎫+⎛⎫'-+= ⎪ ⎪
--⎝⎭⎝
⎭
注意到：()()()2
2
222
112λλλ+=-+，可得：2
2
22212111λλλλ⎛⎫+⎛⎫-= ⎪ ⎪--⎝⎭
⎝⎭，
说明22
1,1,2λλλ+-这3数之间存在勾股关系，这反映了阿波罗轨迹内部的结构美；
3.在方程（1）中，如1,λ>圆心22
1,01c λλ⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭
在y 轴右边，如1,λ<令1
1μλ=>，代入（1）得： ()2
2
222222
22221
2
1123111111x y x y μμμμμμμμ⎛⎫⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-+=⇒-+= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
方程（3）与'2（）具有类似的形式，只不过由于2
2
11.01μμμ
+>∴<-，圆心在y 轴左边。

这两个方程表示的图形关于y 轴对称。

例如分别取1
2,2λμλ
==
=时，分别代入方程（2）与（3），得：
2
2
25433x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和2
2
2
5433x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，它们的图形关于y 轴（阿波罗直线）对称。

所以方程（1）又彰显解几图形的对称美与完整美；
4.对于方程（1），只要λ≠1，它都表示圆，当λ无限接近于1乃至等于1时，其图形最终成为直线， 这又是曲线由量变到质变的运动美。

三、考场精彩
【题1】（2013.江苏卷，17题（2））如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C 的半径为1，圆心在l 上. 若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围。

【解析】点C 在直线24l y x =-：上，故设
(),24,C a a -∵半径11r =，∴圆C 的方程是：
()
()2
2
241x a y a -+--=⎡⎤⎣⎦．
满足2MA MO =的轨迹正是阿波罗尼斯圆D ，由
()2
214x y =⇒++=，
这里圆心为D （0，-1）,半径22r =．
两圆有公共点的条件是：1212,r r DC r r -≤≤+即
2151299a a ≤-+≤，解得12
05
a ≤≤
． 评注：图2可以直观地说明两圆公共点的变化情况，当0a =时，
圆C 为()
2
2
41x y ++=与所求圆D 相切；当125a =时，圆C 为22
124155x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭,也与所求圆D 相切。

这样，答案12
05
a ≤≤
的正确性也就不言而喻了．
【题2】 [2012·苏南三校联考,15题] 已知点A (－3,0)，
B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |.
(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；
(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C
只有一个公共点M ，求|QM |的最小值，并求此时直线l 2的方程．
【解析】（1）设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2
＋y 2
＝2(x －3)2
＋y 2
，化简可得 (x －5)2
＋y 2
＝16即为所求．
(2)如图3，曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，则直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则△CQM 必为直角三角形，
|QM |＝|CQ |2
－|CM |2
＝|CQ |2
－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值.
由点线距离公式得：CO =
=此时|QM |的最小值为32－16＝4，
此时△CQM 为等腰直角三角形，故这样的直线l 2有两条，即 l 2的方程是x ＝1或y ＝－4. 评注：阿氏圆求得多了，直接运用公式验证也是可取的。

例如本题中，应有3,2c λ==,代入公式
2
2
2222
1211c x c y λλλλ⎛⎫+⎛⎫-⋅+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝
⎭，立即得到：(x －5)2＋y 2＝16．
【题3】（2008.江苏卷，13题）满足条件BC AC AB 2,2==的△ABC 的面积的最大值是 ．
【解析】显然这又是一例“阿波罗圆”，建立如图4的直角坐标系，
因为有1,c λ==，代入阿波罗圆公式得：()2
2
38x y -+=。

设圆心
为M ，显然当CM⊥x 轴时，△ABC 面积最大,此时
,CM =()m a x 1
222
2
ABC S ∆∴=⋅⋅=评注：既然△ABC 存在，说明其轨迹不包括与x 轴的两个交点P,Q ，现在问：P,Q 这两点究竟有什么性质？
由于
PA CA
PB CB
==CP 为△ACB 的内角平分线；同理，CQ 为△ACB 的外角平分线。

这就是说，P,Q 分别是线段AB 的内分点和外分点，而PQ 正是阿氏圆的直径。

于是“阿波罗尼斯圆”在我们中国又被称为“内外圆”．因此，题3又有如下的轴上简洁解法: ∵动点 C 到定点 A ( - 1，0 ) 和B （1，0）距离之比为
2, 则有
|1|1|x x +=-,()222212216103x x x x x x x ⇒++=-+⇒-+=⇒=±
∴得2231-=x 为内分点，23x =+为外分点．圆半径()211
2
r x x =
-=最大值，即△ABC 高的最大值是22.故△ABC 的面积的最大值是22.
【题4】（2006，四川文8理6）已知两定点 A (-2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足| PA | =2| P B |，则点P 的轨迹所包围的面积等于（ ）
A.π
B.4π
C.8π
D.9π 【解析】显然这又是一个阿波罗圆，由上述评注我们可以实行轴上解决。

设O 为坐标原点，注意到2OA OB =,可知原点O 为线段AB 的内分点．设AB 的外分点为(),0C x ，由
2CA CB =2
21
x x +⇒=-4x ⇒=，即有C （4，0）.于是圆直径为24OC r ==，∴2r =，所求轨迹面积224S ππ=⋅=，故选B.
评注：本题条件中的A,B 关于y 轴不对称，所以直接用阿波罗圆公式不恰当，但由于知道轨迹一定是圆，圆面积只与半径有关，而半径公式为2
21
c r λ
λ=
-，当13,222c AB λ===时，直接代入即得2r =。

【题5】△ABC 中，角C 的平分线交 AB 于点 T ， 且 AT = 2， TB = 1. 若AB 上的高线长为2， 求 △ABC 的周长.
【解析】建立如图5的直角坐标系，由条件知
2CA TA CB
TB
λ=
=
=，故点C 的轨迹是阿波罗圆D ，且T
为AB 的内分点。

设AB 的外分点为(),0G x ，∵
2
21
GA x GB
x +=
=-，∴4
x =，即圆直径
24,2TG r r ===，故点D （2,0）．已知△ABC 中AB 上的高线长为2，即CD AB ⊥,且2,CD =由勾股
定理得：CA CB ==3,AB =
故所求三角形ABC 的周长3ABC l ∆=+．
评注：如果没有阿波罗圆的知识，你可能发现不了此三角形的高原来就是圆的半径，这是一个巧妙的隐含条件。

四、题根拓展
1.由已知轨迹向未知轨迹拓展
【例1】已知定点 B (3，0)，点 A 在圆x y +=2
2
1上运动，
∠AOB 的平分线交AB 于点M ，则点 M 的轨迹方程是 .
【解析】 如图6，设点()00,A x y 为圆
x y +=221上任意一点，
有()001x y +=221
∠AOB 的平分线交AB 于(),M x y ，∵
BM OB
MA OA
==3， 则00(3,)3(,)x y x x y y -=--,∴000041
3433
3443x x x x y y y y
⎧=-⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
，
代入（1），化简得：()2
2392416x y ⎛
⎫-+=
⎪⎝
⎭ 方程（2）就是所求点M 的轨迹方程.
评注：条件依然有比例（3λ=），结论依然是圆，但已经不适合用求阿波罗轨迹的办法解题。

解本题的方法叫做“坐标转移法”（也有称此法为“相关点法”或“代入法”的）。

其步骤是：①设
()00,A x y 在已知轨迹上，它适合已知轨迹的方程；②找出主动点A ()00,x y 与被动点M (),x y 的转化关系；
③将此关系代入已知轨迹的方程，以(),x y 代替()00,x y ，化简即得。

2.由距离比向角度比拓展
【例2】（2012四川理卷21题（1））如图，动点M 到定点A （-1，0）,B （2.0），构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB，设动点M 的轨迹为C ，求轨迹C 的方程。

【解析】如图设∠MAB=ρ则∠MBA=2. 当∠MBA ＝90°时，点M 的坐标为(2，±3)． 当∠MBA ≠90°时，x ≠2，由∠MBA ＝2∠MAB ，有
tan ,tan 2,12MA MB y y k k x x
αα==
=-=+- 而22tan tan 21tan ααα=-，()()222
22112111y
y x y x x x y y x ++∴==-+-⎛⎫
- ⎪+⎝⎭
， △MAB 存在时，y ≠0,化简得：2
2
330x y --=．
注意到∠MBA＞∠MAB,故所求轨迹为双曲线右支，其方程为()2
2
3301x y x --=>.
评注：距离比转换为角度比，轨迹不再是圆。

此时求轨迹方程的一般方法是（五步法）： （1）设点.即设M （x ,y ）为符合轨迹条件的点； （2）列式.即列出能够反映轨迹条件与结论的一个等式；
（3）转化.即将以上（2）中的等式转化成为关于变量x ,y 的二元方程；
（4）化简.即将以上（3）中的方程转化成为最简形式；
（5）讨论.如果以上（4）中的最简方程含有参变量，则需依据参变量的变化进行讨论，
看其分别表示什么曲线，要特别注意做到“多退少补”。

3．距离比向“向量比”拓展
【例3】（选自2013.浙江训练题）．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，点M 在椭圆上，且它
的横坐标为1，点B (0，3)，且AB →＝2AM →
.求椭圆的方程。

【解析】如图8.当AB →＝2AM →
时，点M 为线段AB 的中点。

∵点M 的横坐标为1，故必有A （2，0）,即2,a =
又知OB =M ⎛ ⎝⎭，连同
2a =代入椭圆方程： 2
2131, 1.44b b +==故所求椭圆方程为：2214
x y +=． 评注：本题A,M,B 其实都是定点，这与求点M 的轨迹方程是不一样的。

点A,M,B 确定，则椭圆方程也就唯一确定了。

4.轨迹的解析法，向几何法拓展
【例4】（2010.武汉华师一附中5月考，5题）12,F F 是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任一点，从焦点1F 引12FQF ∠的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为（ ）
A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．双曲线
【解析】如图9,延长21,QF F P 交于R ，连OP.
∵QP 平分12FQF ∠，且QP ⊥F 1R, ∴△Q F 1R 为等腰三角形,1QF QR =且P 为F 1R 的中点.
设双曲线实轴为2a ，12222QF QF QR QF F R a -=-==，而
OP 是△F 1F 2R 的中位线,21
2
OP F R a ∴=
=为定值, 则点P 的轨迹为圆,选B.
评注：假如“看”不到OP 为定长的实质，而纯粹用解析法去做，其难度何止增加数倍？
5. 两定点用两定圆替换，距离之比用切线长之比替换
【例5】（2005年高考江苏卷19题）如图10，圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2 = 4，过动点P 分别作圆
O 1、O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=. 试建立适当的坐标系，求动点P 的轨迹方程.
【解析】以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴建立如图10的直角坐标系，有()()122,0,2,0O O -.
连结1122,;,,PO O M PO O M
有12,PM O M PN O N ⊥⊥．,PN d
=PM =
，
222
212122
22121,1
PO d PO PO PO d ⎧=+⇒-=⎨=+⎩即是： ()()22
222221x y x y ⎡⎤⎡⎤++--+=⎣⎦⎣⎦
，化简得：() x y -+=22633， 所求轨迹是以（6，0）为圆心，以33为半径的圆.
评注：M,N 不是定点，过渡到O 1，O 2就是定点了。

将未知的动点向已知的定点转化，这就是本题思路。

小结：
题根，首先是一道题.但必须是具有生长性的优秀例题或试题；
题根不同于“母题”。

母题的繁衍是由上而下的，是同一试题的各种变式，没有明显的难易之分.而题根的生长则是由下而上的，相当于同一颗树上的不同分支，由简单到复杂，乃至拓广；
题根也不同于“题串”。

题串是将同一类型的题串联起来，题串中的题可以看成是“兄弟姊妹”关系。

而题根，则是同一条根上繁衍出来的题的家族，它可能繁育了好多代；
题根还不同于数学建模。

建模具有转移性，即用同一种“模型”去套解不同的试题。

而同一题根“生长”出来的题的家族，有可能适用于不同的数学模型；
一些人提倡的‘试题串联’，与以上谈到的“题串”类似，也不同于题根。

题根是与“题海”对立的概念。

其最大特点是摒弃多而杂，提倡少而精；
题根研究题的本源，即审查每一道有价值的题，其源头在哪里；研究题根时，如图养花育苗那样，永远的法则是优胜劣汰。

不是什么样的题都可以作为题根，也不是什么样的题都能够加入题根序列的。

【赠言】 “题根”作者赠“题海”三言：
（1）题海战术人笑痴，别人抓根你抓枝，抓根九九能归一，抓枝遍野怎收拾？ （2）起早赶晚太可怜，我把题根送考生，无根解题负担重，有根解题一身轻。

（3）不必走西又跑东，题根就在课本中，三人同行有吾师，三题相见有弟兄！
五、题根精练
1.设 A ( -3，0)，B ( 3，0) 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离为定比1∶2，则P 点的轨迹图形所围成的面积是
2. 设复数z x yi =+（,x y R ∈），若|1|2|1|z z -=+，则复数z 所对应的点的轨迹方程为
3.（2002.全国文卷.21题）已知点P 到两个定点M （-1，0）,N （1，0
N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程。

4.（2011.陕西理卷.17题）如图，设P 是圆2225x y +=上的动点， 点D 是P 在x 轴上投影，Ｍ为PD 上一点，且4
||||5
MD PD =
． （Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为
4
5
的直线被C 所截线段的长度． 5.（1994.全国文卷.24题）已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆22:1,C x y +=动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0λλ>，求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线。

参考答案
1.16π。

解法1.设P （x ,y ）,有
()2
215162
PA x y PB
=
⇒=
++=。

24,16r S r ππ∴===；
解法2.将1,32
c λ==直接代入,阿波罗圆半径公式得：1
2324,16114
r S π⋅⋅
=
=∴=-． 2.2
251639x y ⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭.如图，设复数z x yi =+对应的动点
为C （x ,y ），那么：
|1|2|1|z z -=+⇒
=
22331030x y x +++=，也就是2
251639x y ⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭．
注：本题虽然是以复数的形式出现，但实质还是阿波罗圆的一种形式。

注意到这里11,2c λ==
（原意是2,CB CA =应转化为1
2
CA CB
=）. 2题解图
A (-,)10
B (,)
10O
C x y (.)x
y
若直接代入公式：2
2222
21211c x c y λλλλ⎛⎫+⎛⎫-⋅+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝
⎭，亦得：2
251639x y ⎛
⎫++= ⎪⎝⎭. 3.如图：点P 的轨迹为阿波罗圆，
2,1,c λ==
故其方程为：()()2
2
38
1x y -+=
作N Q ⊥MP 于
Q
,
1,2,30,MP NQ MN PMN k ==∴∠=︒=
直线MP
的方程是：)()11
2y x x
=+⇒=-
或)()113y x x =+⇒=
-
（2）代入（1）：
)
2
2
4
8y -+=
，解得1,y =
从而2x =
((
2,21+
--
；
（3
）代入（1）
，同理得交点((21,2-,
直线PN 的方程为y=x -1或y=-x -1.
4.（Ⅰ）设M 的坐标为（x ,y ）, P 的坐标为00(,)x y .
由已知得0054
x x
y y =⎧⎪⎨=⎪⎩.∵P 在圆上， ∴ 2
25()254x y +=，即C 的方程为2212516x y +
=; （Ⅱ）过点（3，0）且斜率为
45的直线方程为()4
35
y x =-，设直线与C 的交点为11(,)A x y ,22(,)B x y ， 将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得
22
(3)12525
x x -+=,即2380x x -
-=， ∴
132x -=
，232
x =，
∴ 线段AB
的长度为 ||AB
==41
5
==． 5.如图，连CM,CP,则CP⊥MP.由2
2
2
1,MP MQ MC MQ λλ=⇒-=
x
y
O
M N
P
Q
3题解图
()22222144x y x x y λ⇒+-=-++,化简得： ()()()()2222221141401x y x λλλλ-+-+-+=
当1λ=时，方程（1）表示直线5
4x =；
当1λ≠时，得()2222222231
11x y λλλλ⎛⎫+
-+= ⎪-⎝⎭-， 它表示以2
22,01λλ⎛⎫ ⎪-⎝⎭为圆心,
且半径r =的圆．
、 C
Q 20(,)x M x y (,)y
P
15题解图。