第7讲：椭圆及其标准方程

第７讲：椭圆及其标准方程
基本知识点
1 椭圆的定义
平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|12F F |)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．用集合语言叙述为“集合P ＝1212{||||2,2||}M MF MF a a F F +=>，其中F 1，F 2为椭圆的焦点，12||F F 为椭圆的焦距”． 思考：当2a =〡F 1F 2〡时，P 点的轨迹是什么呢？
例1. 下列说法中，正确的是 ( )
A ．坐标平面内，到两定点F 1(0，－2)，F 2(0，2)的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆
B ．坐标平面内，到两定点F 1(0，－2)，F 2(0，2)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆
C ．坐标平面内，到两定点F 1(0，－2)，F 2(0，2)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
D ．坐标平面内，到两定点F 1(0，－2)，F 2(0，2)的距离相等的点的轨迹是椭圆
2 椭圆的标准方程
（1）．标准方程的推导
建立适当的坐标系，以F 1，F 2所在的直线为坐标轴，得到椭圆的标准方程有
如下两种形式： 如图，椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b
+=>>. 它所表示的是焦点在x 轴上，焦点为12(,0),(,0)F c F c -，中心在坐标原点的椭圆，其中222a b c =+．
如图,椭圆的标准方程为22
221(0)y x a b a b
+=>>. 它所表示的是焦点在y 轴上，焦点为F 1(0，－c )，F 2(0，c )，中心在坐标
原点的椭圆，其中以222a b c =+．
（2）标准方程的识别
例2.（1） 已知曲线22
:153x y C k k
+=---，则 “45k ≤<”是“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”的 ( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
（2）. 已知椭圆22
192
x y +=的焦点为F l , F 2，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = 。

∠F 1PF 2的大小为 ．
例3.(1)若方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，求k 的取值范围；
(2)椭圆22288k x ky -=的一个焦点为(0)，求k 的值；
(3)若方程22
135x y k k
+=--表示椭圆，求k 的取值范围．， 3． 椭圆定义的应用
由椭圆的定义可知：P 为椭圆上任意一点，Ｐ到两焦点的距离只和等于２a ，反之，到两定点的距离只和为定值的轨迹就考虑椭圆。

例４. （１）椭圆22
1259
x y +=上一点P 到一个焦点的距离为5，则点P 到另一个焦点的距离为( )
A ．5
B ．6
C ．4
D ．10
（２）.椭圆22
110036
x y +=的焦距是 ，焦点坐标是；若AB 为过椭圆的焦点F 1的一条弦，F 2为另一个焦点，则∠ABF 2的周长是 ．
（３）“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
例５。

设Ｐ椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>上异于ｘ轴的交点的点，Ｆ１，Ｆ２分别为它的两焦点，<Ｆ１ＰＦ２＝θ，求证：Ｓ∆＝ｂ２tan θ２
例６（１）．已知F 1是椭圆22
195
x y +=的左焦点，P 是椭圆上的动点，A (1，1)为定点，则1||||PA PF +的最小值是 ( )
A ．9
B ．6
C ．3+
D ．6
（２） 设F 1，F 2为椭圆22
194
y x +=的两个焦点，P 为椭圆上任一点，已知12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，且12||||,PF PF >求12||| |
PF PF 的值.
４ 椭圆标准方程的应用
例７．. 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上任意一点M 到两个焦点的距离的和等于10；
(2)经过点(2，－3)，且与椭圆229436x y +=有共同焦点．
（３）. 求焦点在坐标轴上，且经过A
2)和B
(-，1)两点的椭圆的标准方程．
５ 求与椭圆有关的轨迹方程
例８.（１） 如图，在圆22:(1)25C x y ++=内有一点A (1，0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．
（２）一个动圆与圆221:(3)1Q x y ++=外切，与圆222:(3)81Q x y -+=内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
（３）：在∠ABC 中．三边BC ，AC ，AB 的长成等差数列，点A (－1，O )，C (1，0)，求顶点B 的轨迹方程．
（４）：在△ABC 中．三边BC ，AC ，AB 的长成等差数列，点A (－1，O )，C (1，0)，求顶点B 的轨迹方程．
（５）。

设Ｐ椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>上异于ｘ轴的交点的点，Ｆ１，Ｆ２分别为它的两焦点，过Ｐ作∠F 1P Ｆ２的外角平分线的垂线，垂足为Ｑ，求Ｑ点的轨迹方程。

1．已知椭圆22
2
125x y m +=(0)m >的左焦点为F 1 (－4，0)，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．9
2．椭圆22
1259
x y +=上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是M F 1的中点，则||ON (0是坐标原点)的值是 ( )
A ．4
B ．2
C ．8
D ．32
3．已知∠ABC 的顶点B ，C 在椭圆2
213
x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点。

且椭圆的另一个焦点F 在BC 上，则∠ABC 的周长是( )
A ．
B ．6
C ．
D . 12
4．在∠ABC 中，A (－4，0)，B (4，0)，∠ABC 的周长是18．则顶点C 的轨迹方程是 ( )
A ．22
1259x y += B ．231(0)259y x y +=≠ C ．22
1(0)169
x x y +=≠
D ．22
1(0)259
y x y +=≠ 5. 已知椭圆22
1123
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上. 若线段PF 1的中点在y 轴上，则1||PF 是2||PF 的 ( )
A ．7倍
B ．5倍
C ．4倍
D ．3倍
6．若方程22sin sin 21x y θθ+=表示椭圆，则θ的取值范围是 ( )
A . (,),2k k k π
ππ+∈Z B . (2,2),2k k k π
ππ+∈Z
C . (2,2),4k k k π
ππ+∈Z D ．以上都不正确
7．若方程22
121
x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 .
8．已知椭圆22
14924
x y +=上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2，连线的夹角为直角，则12||||PF PF ⋅= .
9. 已知椭圆的焦点F 1，F 2在x 轴上，且a =，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且∠ABF 2的周长为16，则椭圆的标准方程为 ．
10．已知F 1，F 2是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥.若∠PF 1F 2的面积为9，则b ＝ ．
11．判断下列椭圆的焦点的位置，并求出焦距与焦点坐标．
(1)22
1925
x y +=； (2)224520x y +=.
12．如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|M D |45
=|PD |．当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程，并判断此曲线的类型．。