4导数研究三次函数的性质.doc
应用导数研究三次函数课件
知识点2 切线条数 切点的个数
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题，在函数中讲到了很 多，你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心 是 ( b , f ( b ))的这个结论吗？
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上（除对称中心） 2条
曲线上（除对称中心） 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横 坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学 袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于（0，0）对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心，对称中 心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像 的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的，你能证明切线条数的一般 性结论吗？
谢 谢！
4导数研究三次函数的性质
4导数研究三次函数的性质复习目标：掌握三次函数的图象和性质，尤其是利用导数研究单调性、极值情况，以及三次函数的零点。
复习重点难点：（1）三次函数的图象的四种情况；（2）三次函数的极值情况；【典型例题】题型一：三次函数单调性的讨论例1．已知函数32()2f x ax x x =++在R 上恒为增函数，求实数a 的取值范围.例2．已知函数f (x )=-x 3＋3x 2＋9x ＋a ,（I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．题型二：三次函数极值，最值的讨论例3. 已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-；（1）若'(1)3f =，求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[]2,0上的最大值．例4．已知函数()f x 的导数2()33,f x x ax '=-(0).f b =,a b 为实数，12a <<.（1）若()f x 在区间[1, 1]-上的最小值、最大值分别为2-、1，求a 、b 的值；（2）设函数2()(()61)x F x f x x e '=++⋅，试判断函数()F x 的极值点个数．【课后作业】1.过曲线y ＝x 3+x-2上的点P 0的切线平行于直线y ＝4x-1,则切点P 0的坐标为2．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．若函数f (x )＝a·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．3．函数f (x )=x 3＋x 2－x 在区间［－2，1］上的最大值和最小值分别是4.已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为5．设函数b x a ax x x f +-+-=2233231)( (0<a <1)． (1)求函数)(x f 的单调区间； (2)当x ∈[]2,1++a a 时，不等式|()x f/ |≤a ，求a 的取值范围．6.已知函数3221()21(0)32a f x x x a x a =--+> （1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()y f x =的图象与值线0y =恰有三个交点，求实数a 的取值范围；（3）已知不等式2'()1f x x x <-+对任意(1,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围.7.已知函数()()a x x f -=2()x b -,b a ,为常数,(1)若a b ≠,求证:函数()x f 存在极大值和极小值(2)设()x f 取得极大值、极小值时自变量分别为12,x x ,令点A 11(,()x f x ),B 22(,()x f x ),若a >b ，直线AB 的斜率为12-,求函数()x f 和/()f x 的公共递减区间的长度.答案：【典型例题】1． 61≥a . 2．（I ） 0)(,963)(2<'++-='x f x x x f 令，解得x <－1或x >3所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）)}2(),2(max{)(,5)1()(,3212m ax m in f f x f a f x f -=+-=-=∴<<-<-)2()2(,22)2(,2)2(->∴+=+=-f f a f a f 于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．3. 解析：（1）2'()32f x x ax =-．因为'(1)323f a =-=，所以0a =．又当0a =时，(1)1,'(1)3f f ==，所以曲线()(1,(1))y f x f =在处的切线方程为3x y --2=0．（2）令'()0f x =，解得1220,3a x x ==． 当203a ≤，即a ≤0时，()f x 在[0，2]上单调递增，从而max (2)84f f a ==-． 当223a ≥时，即a ≥3时，()f x 在[0，2]上单调递减，从而max (0)0f f ==． 当2023a <<，即03a <<，()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而max 84,0 2.0,2 3.a a f a -<≤⎧⎪=⎨<<⎪⎩综上所述，max 84, 2.0, 2.a a f a -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩4.解（Ⅰ）由已知得，323()2f x x ax b =-+； 由()0f x '=，得10x =，2x a =． ∵[1, 1]x ∈-，12a <<，∴ 当[1, 0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 递增；当(0, 1]x ∈时，()0f x '<，()f x 递减．∴ ()f x 在区间[1, 1]-上的最大值为(0)f b =，∴1b =． 又33(1)11222f a a =-+=-，33(1)1122f a a -=--+=-，∴ (1)(1)f f -<． 由题意得(1)2f -=-，即322a -=-，得43a =．故43a =，1b =为所求． （Ⅱ） 2222()(3361)33(2)1x x F x x ax x e x a x e ⎡⎤=-++⋅=--+⋅⎣⎦． ∴ []222()63(2)233(2)1x x F x x a e x a x e '⎡⎤=--⋅+--+⋅⎣⎦22[66(3)83]x x a x a e =--+-⋅．二次函数266(3)83y x a x a =--+-的判别式为22236(3)24(83)12(31211)123(2)1a a a a a ⎡⎤∆=---=-+=--⎣⎦，令0∆≤，得：21(2),22333a a -≤-≤≤+令0∆>，得2,233a a <->+或 ∵20x e >，12a <<，∴当22a ≤<时，()0F x '≥，函数()F x 为单调递增，极值点个数为0；当12a <<()0F x '=有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数()F x 有两个极值点．【课后作业】1.(1,0)或(-1,-4)2.解：f (x )＝a·b ＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，……4分∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t . …………7分∵f (x )在(－1,1)上是增函数，∴－3x 2＋2x ＋t ≥0在x ∈(－1,1)上恒成立．∴t ≥3x 2－2x ， ……………11分令g (x )＝3x 2－2x ，x ∈(－1,1)．∴g (x )∈⎣⎡⎭⎫－13，5，∴t ≥5. ……………15分3． f (x )max =1,f (x )min =－2。
导数法解“三次”函数问题
导数法解“三次”函数问题新教材中导数内容的介入，为研究函数的性质提供了新的活力，通过求导可以研究函数的单调性和极值，其操作的步骤学生易掌握，判别的方法也不难。
特别地，当f(x)为三次函数时，通过求导得到的f /(x)为二次函数，且原函数的极值点就是二次函数的零点；同时利用导数的几何意义：曲线在某一点P （00,y x ）处的切线的斜率)(0/x f k =，可得到斜率 k 为关于0x 的二次函数。
根据这些特点，一般三次函数问题，往往可通过求导，转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。
下面笔者从课堂或试卷上出现的这一类型题目中选择几例，同时结合学生产生的问题，略作说明。
例1：已知f(x)=d cx bx x +++23在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为α、2、β.（1） 求c 的值； （2） 求证：f(1)≥2（3） 求｜α-β｜的取值范围。
解：（1）,23)(2/c bx x x f ++= 由题意可得：x=0为f(x)的极值点， ∴0,0)0(/=∴=c f（2）令023)(2/=+=bx x x f ，得32,021b x x -==∵f(x)在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数， ∴232≥-b ，即3-≤b又∵b d d b f 48,048,0)2(--=∴=++∴=∴.2371)1(≥--=++=b d b f（3）∵方程f(x)=0有三个根α、2、β. ∴设),)(2()(223n mx x x d cx bx x x f ++-=+++= 由待定系数法得2,2d n b m -=+=∴α、β为方程02)2(2=-++d x b x 的两根，∴ α+β=-（b+2），αβ=-d/2；∴｜α-β｜2=16)2(1242)2(222--=--=++b b b d b ∵3-≤b ，∴｜α-β｜2≥9， ∴｜α-β｜ ≥3一般地，若已知三次函数f(x)=)0(23>+++a d cx bx ax 在（—∞，m ）上是增函数，在[m ，n]上是减函数，在（n,+∞）上是增函数,则二次方程f /(x)=0即0232=++c bx ax 的两个根为m ，n ；且当),(),(+∞⋃-∞∈n m x 时f /(x)>0，当),(n m x ∈时f /(x)<0，反之亦然。
2.8数学探究活动(二)探究三次函数性质课件高二下学期数学北师大版选择性(1)
性质3:当b2-3ac≤0时,f(x)无极值.
当b2-3ac>0时,
-- 2 -3
(1)若 a>0,f(x)在 x1=
3
-+ 2 -3
处有极大值 f(x1);f(x)在 x2=
3
处有极小值
f(x2).
-- 2 -3
(2)若 a<0,f(x)在 x1=
f(x2).
3
f(x)单调递增.
∴当x=1时,函数f(x)有极小值,不符合题意,舍去.
若a=-1,f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1),
可得当-1<x<1时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,此时函数
f(x)单调递减.
∴当x=1时,函数f(x)有极大值,则f(x)=-x3+3x+4.
∴m的取值范围是[-22,+∞).
规律方法
1.要学会用导数方法解决三次函数单调性与极值问题中四类
题型:(1)已知函数解析式求单调性问题;(2)已知函数解析式求极值问题;(3)
已知含参数的函数解析式的极值问题求参数;(4)已知含参数的函数解析式
的单调性问题求参数.
2.通过上述例题研究了三次(高次)函数的性质,同时验证了高次函数与导
法就等同于含参数的一元二次不等式的解法了.
【例1】
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-
2
3与x=1时都取得极值.
(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间;
(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求实数c的取值范围.
导数与三次函数的关系
通过乘法法则和链式法则，将原函数进行求导，得到 导数表达式。
注意事项
在计算过程中，需要注意各项的系数和变量的指数变 化。
三次函数导数的性质
单调性
通过导数的符号判断函 数的单调性，若导数大 于0，函数单调递增； 若导数小于0，函数单 调递减。
极值点
导数为0的点称为临界 点或驻点，是函数值可 能发生变化的点，即极 值点。
数学教育改革
在数学教育领域，如何更好地教授导数与三次函数的关系，将直接 影响学生理解和应用数学的能力。
未来研究方向
对于导数与三次函数关系的深入研究，将推动数学理论和应用的不 断发展，为解决复杂问题提供更多有效工具。
THANKS
谢谢
凹凸性
通过求二阶导数判断函 数的凹凸性，二阶导数 大于0，函数为凹函数； 二阶导数小于0，函数 为凸函数。
三次函数导数的几何意义
切线斜率
导数在某一点的值表示该点处切线的斜率。
函数变化率
导数表示函数在某一点附近的变化率，即函 数值增量与自变量增量的比值。
单调区间
通过导数的符号变化，可以确定函数的单调 区间。
优化问题求解
导数在优化问题中扮演关键角色，如最大值和最小 值问题，通过求导可以找到使函数取得极值的点。
近似计算
在科学、工程和经济学中，经常需要估算函 数的近似值，导数有助于更精确地估计这些 值。
导数与三次函数关系在数学中的地位
连接初等与高等数学
导数与三次函数的关系是初等数学与 高等数学之间的桥梁，帮助学习者逐
VS
极值判断
在找到极值点后，我们可以进一步判断这 些点是极大值还是极小值。如果函数在极 值点左侧递增，右侧递减，则该点为极大 值；如果函数在极值点左侧递减，右侧递 增，则该点为极小值。
导数之三次函数图像与性质ppt
5 5 ， 极小值-1， 当 a 或 a 1 时 27 27
函数 g ( x ) x 3 x 2 x 与函数 y a 只有一个交点， 所以当 a ( ，
5 ) (1， ) 时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。 27
本课小结
3
几何画板
f ( x) ax bx cx d (a 0)
3 2
2 f ( x) 3ax 2bx c
4b -12ac 4(b -3ac)
2 2
a 0, 0
y y
x1 O
x2
x2 x x1
f ( x) ax bx cx d (a 0)
1 )上 3
5 ) (1， ) 时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。 27
方法二： 将 f ( x ) 与 x 轴交点问题转化为函数 g ( x ) x 3 x 2 x 与函数 y a 的 交点个数问题
y=-a
y
5 27
x
-1
易求函数 g ( x ) x 3 x 2 x 的极大值
方法一: 转化为a>0利用图像 方法二: 利用图象
例 3 设 a 为实数，函数 f ( x ) x 3 x 2 x a 。 （Ⅰ）求 f ( x ) 的极值； （Ⅱ）当 a 在什么范围内取值时，曲线 y f ( x )与x 轴仅有一个交点。
解法分析：
1 5 对于问题（Ⅰ）易得 f(x)的极大值是 f ( ) a ，极小值是 f (1) a 1 3 27
三次函数图像与性质
复习:二次函数的图象与性质
函数 二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0） a>0
运用导数解决三次函数问题教学设计
课题：运用导数解决三次函数问题（教案）一．教学目标引导学生归纳反思运用导数工具研究三次函数的有关问题，进一步体会导数在研究函数性质中的重要作用。
二、教学重点：运用导数工具认识三次函数图像及与其有关的切线、极值等有关问题三、教学难点：灵活解决三次函数中含参数以及与坐标轴的交点问题。
课前准备：学生阅读教材并完成本节学案四、教学过程：引例1：画一画：如何画出下面函数函数的图像133123+--=x x x y 动画演示：（几何画板） （一）想一想:三次函数与其导函数图象之间的关系a>0 a<0 f′(x )= 3ax 2+ 2bx+c 判判别式△>0 △=0 △<0 △>0 △=0 △<0 图图象f (x )=ax 3+bx 2+cx +d单单调性图图象引例2：练一练：方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数是（二）探一探：三次函数图像与x 轴交点有哪几种可能性？回顾三次函数的图像情况：结论：1. 三次函数没有极值或极大值小于零或极小值大于零时图像与x 轴交点只有一个；2. 三次函数极大值等于零或极小值等于零时图像与x 轴交点有二个；3. 三次函数极大值大于零且极小值小于零时图像与x 轴交点有三个.（三）与三次函数有关问题：例1：（2009北京文）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点))2(,2(f 处与直线8y =相切，求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点))2(,2(f 处与直线8y =相切，∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩ （Ⅱ）∵()()()'230f x x aa =-≠, 当0a <时，()'0f x >，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，此时函数()f x 没有极值点.当0a >时，由()'0f x x =⇒=当(,x ∈-∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当(x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当)x ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，∴此时x =()f x的极大值点，x =()f x 的极小值点.小结1：（1） 切线问题处理（2） 单调性、极值问题例2：设函数329()62f x x x x a =-+-,若方程 f (x )=0 有且仅有一个实根，求 a 取值范围． 解：'2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--, 因为 当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >; 所以 当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2f a =-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52a >. 变式：(1）若方程 f (x )=0 有三个不同的实根，求 a 的取值范围（2）若函数y=f (x )图象与直线y =4 有三个不同的实根，求 a 的取值范围（3）设函数 g (x )=2x+b-a .若f (x )、g (x )图像只有一 个公共点，求b 的取值范围.小结2：方程根的情况与相应函数图像与x 轴交点之间的关系。
三次函数的性质：单调区间和极值 课件(湘教版选修2-2)
课前探究学习
课堂讲练互动
点评 f(x)为增函数，一定可以推出f′(x)≥0，但反之不一 定．因为f′(x)≥0，即为f′(x)>0或f′(x)＝0，当函数在某个区间 内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常函数，不具有单调性，所以f′(x)≥ 0是f(x)为增函数的必要不充分条件．
课前探究学习
课堂讲练互动
预习测评
1．下列说若有最值与极值，则其极大值便是最
大值，极小值便是最小值
B．闭区间上图象连续不断的函数一定有最值，也一定有极
值
C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值，反之，若
有极值则一定有最值
D．若函数在给定区间上有最值，则最多有一个最大值，一
在(－ 在(－∞，u)上 ∞，＋ 递增 ；在(u，v) ∞)上 上 递减 ；在(v，
递增 ＋∞)上 递增
在 x＝u 处取极大 无 值；在 x＝v
处取极小值
课前探究学习
课堂讲练互动
当a<0时， F′(x)的零点
F(x)、 F′(x)的性质
F′(x)的符号
F(x)的单调性
F′(x)的极值
无
F′(x) <0
课前探究学习
课堂讲练互动
解 (1)由f′(x)＝x2＋x－2＝0得，f′(x)的零点为x＝－2或x
＝1，
当x变化时f′(x)变化情况如下表：
x
(－3，－2) (－2,1) (1,3)
f′(x)
＋
－
＋
比较f(－3)，f(－2)，f(1)和f(3)知，在区间[－3,3]上，
当x＝3时，f(x)max＝1016；x＝1时，f(x)min＝32.
2 3
)和(1，＋∞)，f(x)的递减
三次函数的性质
三次函数的性质2015年11月13日 意琦行 数海拾贝三次函数（）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆．性质一 单调性以为例，如图1，记为三次函数图象的判别式，则图1 用判别式判断函数图象当时，为上的单调递增函数；当时，会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值．性质一的证明 的导函数为其判别式为，进而易得结论．性质二 对称性f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0a >0Δ=−3ac b 2Δ⩽0f (x )R Δ>0f (x )f (x )(x )=3a +2bx +c ,f ′x 24(−3ac )b2如图2，的图象关于点对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于对称）．图2 图象的对称性反之，若三次函数的对称中心为，则其解析式可以设为其中．性质二的证明 由于即于是性质二得证．例1 设直线与曲线有三个不同的交点，且，求直线的方程．解 由可知为三次函数的对称中心，由性质二可得，进而不难求得直线的方程．例2 设函数，．（1）求导数，并证明有两个不同的极值点，；f (x )P (−,f(−))b 3a b 3aP (m ,n )f (x )=α⋅+β⋅(x −m )+n ,(x −m )3α≠0f (x )=a +(c −)(x +)−++d ,(x +)b 3a 3b 23a b 3a bc 3a 2b 327a2f (x )=a +(c −)(x +)+f (−),(x +)b 3a 3b 23a b 3a b 3al y =+x +1x 3A ,B ,C |AB |=|BC |=5√l |AB |=|BC |B B (0,1)l y =2x +1f (x )=x (x −1)(x −a )a >1(x )f ′f (x )x 1x 2（2）若不等式成立，求的取值范围．（1）解 的导函数而于是有两个变号零点，从而有两个不同的极值点．（2）解 根据性质二，三次函数的对称中心是两个极值点对应的函数图象上的点的中点．于是即结合，可得的取值范围是．注 本题为2004年高考重庆卷理科数学第题．性质三 切割线性质如图3，设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的一条割线与一条切线（点不为切点），、、均在的图象上，则点的横坐标平分、点的横坐标．f ()+f ()⩽0x 1x 2a f (x )(x )f ′=(x −1)(x −a )+x (x −a )+x (x −1)=3−2(a +1)x +a ,x 2(0)f ′(1)f ′(a )f ′=a >0,=1−a <0,=a (a −1)>0,(x )f ′f (x )(,f ())a +13a +13f ()+f ()=2f ()⩽0,x 1x 2a +132⋅⋅⋅⩽0,a +13a −23−2a +13a >1a [2,+∞)20P f (x )P f (x )AB PT P A B T f (x )T A B图3 切割线性质推论1 设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的两条切线、，切点分别为、，如图．则点的横坐标平分、点的横坐标，如图4．图4 切割线性质推论一推论2 设的极大值为，方程的两根为、（），则区间被和极小值点三等分．图5 切割线性质推论二性质三的证明 设（），直线，直线，则分别将直线与直线的方程与三次函数的解析式联立，得P f (x )P f (x )PM PN M P M P N f (x )M f (x )=M x 1x 2<x 1x 2[,]x 1x 2−b 3af (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0PT :y =x +k 0m 0PAB :y =kx +m PT PAB ++(−)+−=0,32于是根据三次方程的韦达定理可得即于是命题得证．推论1和推论2的证明留给读者．例3 如图6，记三次函数（）的图象为，若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段、与曲线所围成的封闭图形的面积分别记为、．求证：是定值．图6解 由性质二，任意三次函数都可以通过平移变化变成然后可以作伸缩变换变成a +b +(c −)x +d −=0,x 3x 2k 0m 0a +b +(c −k )x +d −m =0,x 3x 22+=++,x T x P x A x B x P =,x T +x A x B 2f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0C x 1C (,f ())P 1x 1x 1(,f ())P 2x 2x 2C P 2(,f ())P 3x 3x 3P 1P 2P 2P 3C S 1S 2S 1S 2f (x )g (x )=p +qx ,x 3而无论平移还是伸缩，题中的均保持不变，因此只需要证明命题对三次函数成立即可．根据题意，联立函数与函数在处的切线方程得于是即又由性质三的推论1，可得即于是，线段与曲线所围成的封闭图形的面积类似的，线段与曲线所围成图形的面积h (x )=+rx ,x 3S 1S 2h (x )=+rx x 3h (x )=+rx x 3h (x )P 1(x −⋅(x −)=0,x 1)2x 22+=0,x 1x 2=−2.x 2x 12=+,x 1x 2x 3=4.x 3x 1P 1P 2C S 1=(x −⋅(x −)d x ∣∣∣∫x 2x 1x 1)2x 2∣∣∣=(−3x +2)d x ∣∣∣∫−2x 1x 1x 3x 21x 31∣∣∣=∣∣∣(−+2x )14x 432x 21x 2x 31∣∣∣−2x 1x 1∣∣∣=,274x 41P 2P 3C于是所求的面积之比为注 此题即2010年高考福建卷理科数学第20题第（2）小问（第（1）小问要求证明该结论对成立）．性质四 切线条数如图7，过的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：图7 切线条数① 过区域 I、III 内的点作的切线，有且仅有三条；② 过区域 II、IV 内的点以及对称中心作的切线，有且仅有一条；③ 过切线或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有两条．性质四的证明 由性质二，不妨设，坐标平面内一点．三次函数图象上处的切线方程为=,S 2274x 42==.S 1S 2()x 1x 24116f (x )=−x x 3f (x )l l f (x )y =f (x )y =f (x )l f (x )y =f (x )f (x )=+mx x 3P (a ,b )x =t即切线过点，即而三次函数对称中心处的切线方程为于是考虑直线与函数的图象公共点个数．函数的零点为和，且为它的一个极值点，由性质二的推论2知，的另外一个极值点对应的函数图象上的点的坐标为，以为例，的草图如下：容易得到结论：当时，时为个公共点，时为个公共点，时为个公共点；当时，无论取何值，均为个公共点；当时，时为个公共点，y =(3+m )(x −t )++mt ,t 2t 3y =(3+m )x −2,t 2t 3P (a,b )b =−2+3a +ma .t 3t 2y =mx ,y =b −ma h (t )=−2+3a t 3t 2h (t )03a 20h (t )(a ,)a 3a >0h (t )a <0b <+ma ∨b >ma a 31b =ma ∨b =+ma a 32+ma <b <ma a 33a =0b 1a >0b >+ma ∨b <ma a 31时为个公共点，时为个公共点．综上，性质四得证．在高考中，对结论 ① 的考察最为常见，例如2007年高考全国II卷理科数学第22题（压轴题）就是证明性质四的结论 ①：已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．例4 设函数，其中．曲线在点处的切线方程为．（1）确定的值；（2）设曲线在点及处的切线都过点．证明：当时，；（3）若过点可作曲线的三条不同切线，求的取值范围．解 （1）的导函数为于是该函数在处的切线方程为因此b =ma ∨b =+ma a 32ma <b <+ma a 33f (x )=−x x 3y =f (x )M (t ,f (t ))a >0(a ,b )y=f (x )−a <b <f (a )f (x )=−+bx +c 13x 3a 2x 2a >0y =f (x )P (0,f (0))y =1b ,c y =f (x )(,f ())x 1x 1(,f ())x 2x 2(0,2)≠x 1x 2()≠()f ′x 1f ′x 2(0,2)y =f (x )a f (x )(x )=−ax +b ,f ′x 2x =0y =bx +c ,b =0,c =1.（2）函数在处的切线方程为当切线过点时可得于是是该方程的两个不等实根．考虑而两式相减并约去，得而于是f(x )x =t y =(−at )(x −t )+−+1,t 213t 3a 2t 2(0,2)−+1=0,23t 3a 2t 2,x 1x 2()−()f ′x 1f ′x 2=(−a)−(−a )x 21x1x 22x 2=(−)⋅(+−a ),x 1x 2x 1x 2⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪−+1=0,23x 31a2x 21−+1=0,23x 32a2x 22−x 1x 2++=,x 21x 1x 2x 2234a 2++x 21x 1x 2x 22=(+−x 1x 2)2x 1x 2>(+−(+x 1x 2)214x 1x 2)2=(+,34x 1x2)2+≠a ,x 1x 2进而可得（3）函数的对称中心为，于是在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得解得即的取值范围是．注 此题为2010年高考湖北卷文科数学第21题（压轴题）． 练习题练习1、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示；（2）求的单调区间；（3）令，设函数在（）处取得极值，记点，，证明：线段与曲线存在异于、的公共点．()≠().f ′x 1f ′x 2f (x )(,−+1)a 2a 312y =−(x −)−+1,a 24a 2a 3121<2<−+1,a 324a >2,3√3a (2,+∞)3√3f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2MN f (x )M N练习2、已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个根，它们分别为从小到大依次为、、．求的取值范围．练习3、如图8，记原点为点，由点向三次函数（）的图象（记为曲线）引切线，切于不同于点的点，再由点引此曲线的切线，切于不同于点的点．如此继续作下去，得到点列．试回答下列问题：图8（1）求数列的递推公式与初始值；（2）求，并指出点列的极限位置在何处？练习4、已知，过点作图象的切线，如果可以作出三条切线，当时，求点所在的区域面积．练习5、已知函数．（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围；（3）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）f (x )=+b +cx +d x 3x 2(−∞,0)(0,2)f (x )=0α2β|α−β|(,)P 1x 1y 1P 1y =−3a +bx x 3x 2a ≠0C P 1(,)P 2x 2y 2P 2C P 2(,)P 3x 3y 3{(,)}P n x n y n {}x n lim n →+∞x n {}P n f (x )=−x x 3(,)x 0y 0f (x )∈(0,1)x 0(,)x 0y 0f (x )=2−3x x 3f (x )[−2,1]P (1,t )3y =f (x )t A (−1,2)B (2,10)C (0,2)y =f (x )1练习6、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示，并求的单调区间；（2）令．设函数在（）处取值极值，记点，，，．请仔细观察曲线在点处的切线与线段的位置变化趋势，并解答以下问题：① 若对任意的，线段与曲线有异于、的公共点，试确定的最小值；② 若存在点，，使得线段与曲线有异于、的公共点，请直接写出的取值范围（不必写出求解过程）．练习题的参考答案练习1、（1）的导函数为于是所求的代数表达式为（2）在（1）的基础上，有于是当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间是；f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2P (m ,f (m ))<m ⩽x 1x 2f (x )P MP m ∈(t ,]x 2MP f (x )P Q t Q (n ,f (n ))⩽n <m x 1PQ f (x )P Q m f (x )(x )=+2ax +b ,f ′x 2b =2a −1.(x )=(x +1)⋅(x +2a −1),f ′a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )a =1f (x )R当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．（3）此时而于是，．根据性质二，该公共点为三次函数图象的对称中心．注 本题为2009年高考福建卷文科数学第21题（压轴题）．练习2、根据题意，为的导函数的零点，于是．又，于是即从而因此a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)f (x )=−−3x ,13x 3x 2(x )=−2x −3,f ′x 2M (−1,)53N (3,−9)f (x )(1,−)113x =0f (x )(x )=3+2bx +cf ′x 2c =0f (2)=08+4b +d =0,d =−4b −8,f (x )=+b −(8+4b )x 3x 2=(x −2)⋅[+(b +2)x +2b +4],x 2222另一方面，由在上是减函数得，即于是可得的取值范围是从而的取值范围是．练习3、（1） 根据已知，联立出发的切线方程与曲线的方程，得又，切线方程只能改变左边三次式的一次项和常数项，于是可得进而由性质三的推论1可得于是数列的递推公式与初始值为（2）由数列的递推公式不难得到通项于是=−4α⋅β=(2−b −16.(α−β)2(α+β)2)2f (x )(0,2)(2)⩽0f ′12+4b ⩽0,b b <−3.|α−β|[3,+∞)P 1C (x −)(x −=0,x 1x 2)2=0x 1=a .x 232∀n ⩾3∧n ∈,2=+.N ∗x n x n −1x n −2{}x n =,n ⩾3∧n ∈,=0,=a .x n +x n −1x n −22N ∗x 1x 232∀n ∈,=a ⋅[1−],N ∗x n (−)12n −1因此点列的极限位置为，也就是三次函数的对称中心．练习4、函数在对称中心处的切线方程为于是根据性质四的结论 ①，我们可得所求区域面积为练习5、（1）的导函数于是可得在区间上的最大值为（2）函数在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得即=a .lim n →+∞x n {}P n (a ,−2+ab )a 3f (x )(0,0)y =−x ,[−x −(−x )]d x =d x =.∫10x 3∫10x 314f (x )(x )=6−3,f ′x 2f (x )[−2,1]max {f (−),f (1)}=.2√22√f (x )(0,0)y =−3x ,−3<t <f (1),于是的取值范围是．（3）根据性质四，可得过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切．注 本题为2014年高考北京卷文科数学第20题（压轴题）．练习6、（1）；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）① 的最小值为，证明从略；② 的取值范围为．注 本题为2009年高考福建卷理科数学第21题（压轴题）．−3<t <−1,t (−3,−1)A (−1,2)3y =f (x )B (2,10)2y =f (x )C (0,2)1y =f (x )b =2a −1a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)a =1f (x )R a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )t 2m (1,3]。
高中数学新湘教版精品学案《三次函数的性质：单调区间和极值》
三次函数的性质：单调区间和极值
【学习目标】
1．了解三次函数的图象和简单性质，三次函数与二次函数的联系。
2．会用导数研究三次函数的单调性，并且求解出三次函数的单调区间，认识它们之间的内在联系，进一步培养运算能力。
3．会用导数研究三次函数的极值，并且学会求解，认识事物之间的相互联系，培养辨证思维能力
【学习重难点】
重点：理解并掌握三次函数的单调区间和极值。
难点：理解并掌握求解三次函数的单调区间和极值的步骤，会运用到解决实际问题当中。
【学习过程】
一、新课学习。
知识点一：三次函数的单调区间和极值。
三次函数的导数是二次函数，二次函数的零点是容易求出的。
所以，用导数方法可以彻底了解三次函数的增减变化和极大极小，这个增减区间，就是三次函数的单调区间，列出表格，对函数的极大极小值点就可以一目了然。
根据前面的知识做一做：
练习：
1．指出函数3234y x x =+-的单调递增区间。
2．指出函数32454y x x x =+-的单调递减区间。
3．若函数()323321y x ax a x =++++有极大值和极小值，求a 的取值范围。
4．函数326y x x a =-+的极值是什么？
二、课程总结。
1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．它们在解题中具体怎么应用？
三、习题检测。
1．求下列函数在指定闭区间上的最大值和最小值。
（1）()[]32241,2,1f x x x x =+-+-；（2）()()[]2e 43,3,2x f x x x =-+-。
2．求解函数322611y x x =-+的单调减区间及极值。
三次函数的图像和性质
导数是新课标下高考的必考内容之一，利用导数研究函数的 性质，主要是利用导数求函数的单调区间、极值和最值等，这 些年来也是高考的重点.考纲的主要要求有：(1)导数的概念及其 意义；(2)导数的运算；(3)导数在研究函数中的应用.其中第（3） 点有两个小点：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数 研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般 不超过三次).②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过 三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三次).括号中的内容：其中多项式函数一般不超过三次. 这提示着我们，如果考与多项式有关的导数问题，多项式函数 中一元三次函数是重点.从近几年各地的高考题来看这一点也是 值得肯定的，特别是文科的高考题.基于导数高考大纲多项式函 数中一元三次函数的重要地位，因此我们有必要着重于对一元 三次函数的图象进行深入的研究，其目的在于通过研究函数
y
f ( x)
y
f / ( x)
o
x
图1
o
图1中函数f ( x)在x R
x
y
严格递增,没有极值点;
y
f ( x)
f / ( x)
图2中函数f ( x)在x R 严格递增,有一拐点x0 ;
o x0 x
图2
o
y
x1
图3
x0
x
y
x1o x2
f ( x)
f / ( x) 图3中函数f ( x)有两个
f ( x) x 3x.
3
4.已知f ( x) ax3 bx 2 3x在x 1处取得极值. (1)求函数f ( x)的解析式. 求实数m的取值范围.
3次函数曲线-概念解析以及定义
3次函数曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在数学中，三次函数是一种常见的多项式函数，其最高次项的指数为3。
三次函数的一般形式可以表示为y = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d都是实数，并且a不等于0。
三次函数曲线通常呈现出一种典型的"弓形"形状，有时可能具有一个局部极值点或者一个拐点。
它们在图像上的走势和特点在多个领域中都有重要的应用，例如物理学、经济学和计算机图形学等。
理解和掌握三次函数曲线的特点对于解决实际问题和进行进一步的数学研究都是非常重要的。
本文将围绕三次函数曲线展开讨论，首先介绍三次函数的基本定义和性质，然后探讨三次函数曲线的图像特点以及如何进行函数图像的变换和分析。
接下来，我们将进一步研究三次函数曲线的局部极值点和拐点的性质，并举例说明在实际问题中的应用。
最后，我们将总结所讨论的内容，并展望一些可能的研究方向。
通过研究和理解三次函数曲线的性质和特点，我们可以更好地应用它们解决实际问题，并且有助于我们对数学的深入理解和进一步研究。
接下来，我们将详细介绍本文的组织结构和目的。
1.2 文章结构2. 正文在本文中，我们将着重研究3次函数曲线。
通过对这种特殊类型的函数曲线进行深入的分析和研究，我们可以更好地理解它们的数学性质和应用。
本文的正文部分将分为三个要点来探讨3次函数曲线所涉及的关键概念和性质。
2.1 第一要点在第一要点中，我们将首先介绍3次函数曲线的基本定义和表达形式。
我们将学习如何根据给定的系数，利用函数表达式来绘制3次函数曲线的图像。
此外，我们还将讨论3次函数曲线的对称性和奇偶性，并探索其在数学和科学领域中的实际应用。
2.2 第二要点在第二要点中，我们将进一步研究3次函数曲线的性质和特征。
我们将通过对曲线的导数和导数变化率的分析，探讨曲线的增减性和凸凹性。
此外，我们还将介绍曲线的转折点和拐点，并讨论这些特殊点对曲线整体形状的影响。
SXA389高考数学必修_三次函数的性质及应用
三次函数的性质及其简单应用随着极限、导数进入高三教材，函数研究的范围为之扩大，三次函数的研究成为一个新的亮点，在高考命题中的频率逐渐增加.三次函数的导数是二次函数，因此，三次函数交汇了函数、不等式、方程等众多知识点，并且以它为载体的试题，背景新颖独特，有利于考察学生的数学综合能力.一、三次函数的性质d cx bx ax x f +++=23)(（0≠a ）具有下列性质：性质1 设1x 、2x 、3x 是方程0)(=x f 的根，则1x +2x +3x =ab -，1x 2x +1x 3x +32x x =ac ，1x 2x 3x =ad -. 性质2 当0>a 时，-∞=-∞→)(lim x f x ，+∞=+∞→)(lim x f x ；当0<a 时，+∞=-∞→)(lim x f x ，-∞=+∞→)(lim x f x . 对于d cx bx ax x f +++=23)(，其导函数是c bx ax x f ++=23)(2/，)(/x f 相应的判别式)3(42ac b -=∆.于是有下列性质：性质3 若0≤∆，则函数)(x f 在R 上是单调函数，当0≥a 时，)(x f 在R 上是单调递增函数；当0≤a 时，)(x f 在R 上是单调递减增函数.证明 我们只须证明0>a 的情况即可.当0)3(42<-=∆ac b 时，)(/x f 在R 上恒为正数，所以)(x f 在R 上是单调递减增函数. 当0)3(42=-=∆ac b 时，则a b c 32=，于是 a b bx ax c bx ax x f 32323)(222/++=++=，即就是2/)3(3)(a b x a x f +=.当)3,(a b x --∞∈时，0)(/>x f ，)(x f 是增函数；当),3(+∞-∈a b x 时，0)(/>x f ，)(x f 也是增函数；又由于)(x f 在ab x 3-=处连续，则)(x f 在R 上是单调递减增函数. 性质4 若0>∆，方程0)(/=x f 有1x 、2x 两个根，设1x 2x <，.于是当0>a 时，)(x f 在1x 处取得极大值，在2x 处取得极小值；当0<a 时，)(x f 在1x 处取得极小值，在2x 处取得极大值.证明 我们同样只须证明0>a 的情况即可.))((3)(21/x x x x a x f --=，1x 、2x 是方程0)(/=x f 的两个根，当),(1x x -∞∈时，0))((3)(21/>--=x x x x a x f ，)(x f 是增函数；当),(21x x x ∈时，0))((3)(21/<--=x x x x a x f ，)(x f 是减函数.于是)(x f 在1x 处取得极大值.同理可证)(x f 在2x 处取得极大值.性质5 函数d cx bx ax x f +++=23)(的对称中心是))3(,3(ab f a b --，这一点叫函数)(x f 的拐点（即凹凸区间的分隔点）.函数d cx bx ax x f +++=23)(的大致图象如下： 0>a 0>a 0>∆ 0≤∆ 0>∆ 0≤∆二、三次函数性质的简单应用例1 （浙江04）设)(/x f 是函数)(x f 的导函数，)(/x f y =的图象如图所示，则)(x f y =的图象可能是（ ）解 0)(/=x f 的两个根分别是0=x 或2=x .根据性质4知，函数)(x f 在0=x 取得极大值，在2=x 处取得极小值，故选C.例2 设111623=+-x x x ， 1111623=+-y y y ，则=+y x解 令t t t t f 116)(23+-=，则1)(=x f ，11)(=y f .又因为11123)(2/+-=t t t f ，126)(//-=t t f ，故2=x 为其拐点，211262)2(23⨯+⨯-=f =6，则点（2，6）是t t t t f 116)(23+-=的对称中心，由于62)()(=+y f x f ，则22=+y x ，所以4=+y x ，即填4. 例3 函数d cx bx ax x f +++=23)(（0≠a ）的图象如下图所示，在d c b a ,,,这四个数中，正数个数的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3 个D 、4个解 选A.根据性质2，由于+∞=-∞→)(lim x f x ，则0<a ；又0)0(<=f d ；因为1x 、2x 是方程023)(2/=++=c bx ax x f 的两个根，则03221>-=+a b x x ，0321>=ac x x ，则0>b ，0<c .故只有一个正数. 例4 已知函数d cx bx x x f +++=23)(在)0,(-∞上是增函数，在（0，2）上是减函数，并且0)(=x f 有三个根，它们分别是α、2、β.（1）求c 的值；（2）求证2)1(≥f ；（3）求证3≥-βα. 解 由已知条件知，)(x f 在0=x 处有极大值，故0)0(/=f ，因为c bx x x f ++=23)(2/，所以0)0(/=f ，得0=c .（2）由d bx x x f ++=23)(得bx x x f 23)(2/+=，令0232=+bx x 得01=x 或322b x -=.因为)(x f 在（0，2）上是减函数，则232≥-b ，即3-≤b .由048)2(=++=d b f ，得b d 48--=，273)48(11)1(≥--=--++=++=b b b d b f .（3）]42)2()[2()4()8(48)(22323++++-=-+-=--+=b x b x x x b x b bx x x f ，由于α、2、β是方程0)(=x f 的三个根，则α、β是方程42)2(2++++b x b x 的二根， 124)42(4)2(4)(222--=+-+=-+=-b b b b αββαβα，∵3-≤b ，31242≥--b b ∴3≥-βα.。
三次函数的性质及导函数研究函数的应用
专题一：三次函数的中心、单调性、极值、零点和恒成立问题前言：研究三次函数的性质，实质上是研究导函数对应的二次函数的性质。
一、三次多项式函数的中心理论：①若))(,(00x f x 是三次函数的中心，则0)(0//=x f 且0212x x x =+时，有)(2)()(021x f x f x f =+。
②若三次函数)(),(x f x g 的中心分别是))(,()),(,(0000x f x x g x ，则)()(x f x g y +=的中心为))()(,(000x g x f x +。
例1：（1）若()323f x x x =-，则1220122012f f ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4022...2012f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭40232012f ⎛⎫+=⎪⎝⎭A -8046B -4023C -2013D -2012（2）若321151()3132122g x x x x x =-+-+-，则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g +++++= （A ）2010 （B ）2011 （C ）2012 （D ）2013 二、三次函数的极值理论：函数有极值⇔函数不单调⇔导函数二次函数的0>∆； 函数无极值⇔函数单调⇔导函数二次函数的0≤∆。
例2：（1）若a ＞0，b ＞0，且函数224)(23+--=bx ax x x f 在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于 【 】 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9（2）已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为 【 】A ．c ＜14B ． c ≤14C ．c ≥14D ．c ＞14（3）133)(23++-=x ax x x f 。
（i ）2=a 时，求)(x f 的单调区间；（ii ）若)(x f 在)3,2(中至少有一个极值点，求a 的范围。
5-4三次函数的图象和性质
293-b ±b2- 3ac专题4 三次函数的图像和性质第一讲三次函数的基本性质设三次函数为f (x)=ax3 +bx2 +cx +d （a 、b 、c 、d ∈R 且a ≠ 0 ），其基本性质有：性质一：定义域为R．性质二：值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．性质三：单调性和图象．a > 0 a < 0图像∆>0 ∆≤ 0 ∆> 0 ∆≤ 0当 a > 0 时，先看二次函数 f '(x) = 3ax+ 2bx +c ， ∆= 4b- 12ac = 4(b- 3ac)①当∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac) > 0 ，即b2 - 3ac > 0 时，f '(x) 与x 轴有两个交点x ，x ，f (x) 形成三个单1 2点区间和两个极值点x1，x2，图像如图1，2．②当∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac) = 0 ，即b2 - 3ac = 0 时，f '(x) 与x 轴有两个等根x ，x ，f (x) 没有极值点1 2图像如图3，4．③当∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac) < 0 ，即b2 - 3ac < 0 时，f '(x) 与x 轴没有交点，f (x) 没有极值点，图像如图5，6．图1 图2 图3 图4 图5 图6当 a < 0 时，同理先看二次函数 f '(x) = 3ax2 + 2bx +c ，. ∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac)①当∆= 4b2-12ac = 4(b2- 3ac) > 0 ，即b2- 3ac > 0 时，f '(x) 与x 轴有两个交点x ，x ，f (x) 形成三个单1 2点区间和两个极值点x1，x2.②当∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac) = 0 ，即b2 - 3ac = 0 时，f '(x) 与x 轴有两个等根x ，x ，f (x) 没有极值点.1 2③当∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac) < 0 ，即b2 - 3ac < 0 时，f '(x) 与x 轴没有交点，f (x) 没有极值点.性质四：三次方程 f (x )= 0 的实根个数对于三次函数 f (x )=ax3 +bx2 +cx +d （a 、b 、c 、d ∈R 且a ≠ 0 ），其导数为 f '(x) = 3ax2+ 2bx +c当b2-3ac > 0 ，其导数f '(x) = 0有两个解x1 ，x2 ，原方程有两个极值x1、x2 =3a.294x 1x 2x 1 x 2x①当 f (x 1 ) ⋅ f (x 2 ) > 0 ，原方程有且只有一个实根，图像如图 13，14. ②当 f (x 1 ) ⋅ f (x 2 ) = 0 ，则方程有 2 个实根，图像如图 15，16. ③当 f (x 1 ) ⋅ f (x 2 ) < 0 ，则方程有三个实根，图像如图 17.图 13 图 15 图 16 图 17性质五：奇偶性对于三次函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d （ a 、b 、 c 、 d ∈ R 且 a ≠ 0 ）. ① f (x ) 不可能为偶函数；②当且仅当b = d = 0 时是奇函数． 性质六：对称性（1）结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(- b , f (- b)) ；3a 3a（2）结论二：其导函数为 f '(x ) = 3ax 2+ 2bx + c = 0 对称轴为 x = - b 3a，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见， y = f (x ) 图象的对称中心在导函数 y = f '(x )的对称轴上，且又是两个极值点的中点， 同时也是二阶导为零的点；（3）结论三： y = f (x ) 是可导函数，若 y = f (x ) 的图象关于点(m , n ) 对称，则 y = f '(x ) 图象关于直线 x = m对称.（4）结论四：若 y = f (x ) 图象关于直线 x = m 对称，则 y = f '(x ) 图象关于点(m , 0) 对称.（5）结论五：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.（6）结论六：已知三次函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 的对称中心横坐标为 x 0 ，若 f (x )存在两个极值点 x 1，x ，则有 f (x 1 ) - f (x 2 ) = - a (x - x )2 = 2f '(x ).2 x - x 2 1 23 0 1 2性质七：切割线性质（1）设 P 是 f (x )上任意一点(非对称中心)，过点 P 作函数 f (x )图象的一条割线 AB 与一条切线 PT ( P 点不为切点), A , B , T 均在 f (x )的图象上，则T 点的横坐标平分 A 、B 点的横坐标，如图 18．图 18图 19 图20295推论 1：设 P 是 f (x )上任意一点（非对称中心)，过点 P 作函数 f (x )图象的两条切线 PM 、PN 切点分别为 M 、P ，则 M 点的横坐标平分 P 、N 的横坐标，如图 19．推论 2 ： 设 f (x ) 的极大值为 M ， 当成 f (x ) = M 的两根为 x 1 ， x 2 (x 1 < x 2 ) ， 则区间 [x 1 , x 2 ] 被中心(- b , f (- b)) 和极小值点三等分，类似的，对极小值点 N 也有此结论，如图 20． 3a 3a第二讲 三次函数切线问题一般地，如图，过三次函数 f (x )图象的对称中心作切线 L,则坐标平面被切线 L 和函数 f (x )的图象分割为四个区域，有以下结论：（1）过区域Ⅰ、IV 内的点作 f ( x )的切线，有且仅有 3 条；（2）过区域 II 、Ⅲ内的点以及对称中心作 f (x )的切线，有且仅有 1 条；（3）过切线 L 或函数 f (x )图象（除去对称中心）上的点作 f (x )的切线，有且仅有 2 条． 【例 1】过点(1，-1)与曲线 f (x ) = x 3 - 2x 相切的直线方程是．【例 2】若2 f (x ) + f (-x ) = x 3 + x + 3对 x ∈ R 恒成立，则曲线 y = f (x )在点(2, f (2))处的切线方程为．【例 3】过点 A (2 ，1)作曲线 f (x ) = x 3 - 3x 的切线最多有（ ）A ． 3条B ． 2 条C ．1条D ． 0 条秒杀秘籍：第三讲 四段论法则─“房间里装大象”f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a > 0)且导函数∆ > 0 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a < 0)且导函数∆ > 0极大值极大值极小值等值点中心 极小值 极小值 中心 极小值等值点1．对称中心： ⎛ - b ，f ⎛ - b ⎫⎫ ；3a 3a ⎪⎪⎝⎝ ⎭⎭2．极大值到对称中心距离为∆x ，极小值到对称中心距离为∆x ，极小值等值点到极大值距离为 ∆x ，极大值等值点到极小值距离为 ∆x ；3．对称中心为极值与极值等值点的三等分点（三次函数性质七）.2960 0 【例 4】函数 f (x ) = x 3 - 3x + 1在闭区间[-3 , 0]上的最大值、最小值分别是（ ）A ．1， -1B ． 3， -17C ．1， -17D ． 9 ， -19【例 5】已知函数 f (x ) = x 3 + ax + b 的定义域为[-1 , 2] ，记 f (x ) 的最大值为 M ，则 M 的最小值为（）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 【例 6】已知 f (x ) = x 3 - 3x + m ，在区间[0 , 2] 上任取三个数 a ， b ， c ，均存在以 f (a )， f (b )， f (c )为边长的三角形，则 m 的取值范围是（ ）A ． m > 2B ． m > 4C ． m > 6D ． m > 8【例 7】已知 f (x ) = ax 3 - 2ax 2 + b 在区间[-2 , 1] 上的最大值是5 ，最小值为-11，求 f (x ) 解析式．图 1 (a > 0) 图 2 (a < 0)【例 8】若函数 f (x ) = 1 x 3 + x 2 - 2 在区间(a , a + 5) 内存在最小值，则实数 a 的取值范围是（）3 3 A ． [-5 , 0)B ． (-5 , 0)C ． [-3 , 0)D ． (-3 , 0)【例 9】若函数 ax 3 - x 2 + 4x + 3 ≥ 0 对任意的 x ∈[-2 , 1]恒成立，求 a 的取值范围（ ）A ． [-2 , 2]B ． [-2 , 4]C ． [-2 , 6]D ． [-2 , 8]【例 10】设函数 f (x ) = x 3 + ax + bx + c ， a ，b ，c ∈ R ，总存在 x ∈[0 ，4]，使得不 f (x ) ≥ m 等式成立， 则实数 m 的取值范围是.达 标 训 练一．选择题1．函数 f (x ) = 3x 3 - 9x 2 + 5 在区间[-2 , 2] 上的最大值是（ ）A ． 5B ． 2C ． -7D ．142．已知 f (x ) = 2x 3 - 6x 2 + a （ a 是常数）在[-2 ，2] 上有最大值3，那么在[-2 ，2] 上的最小值是（ ）A ． -5B ． -11C ． -29D ． -373．函数 f (x ) = 3x - 4x 3 (x ∈[0 ，1]) 的最大值是（）A ．1B ． 12C ． 0D ． -13297, ] 0 0 4．若函数 f (x ) = x 3 - 3x 2 + a 在[-1 , 1]上有最大值3，则该函数在[-1 , 1]上的最小值是（）2A ． - 1 2B ． 0C ． 1 2D ．15．若函数 f (x ) = 3x - x 3 在区间(a 2 - 12 , a )上有最小值，则实数 a 的取值范围是（ ）A ． (-1 , 11)B ． (-1 , 4)C ． (-1 , 2]D ． (-1 , 2) 6．若函数 f (x ) = x 3 - 3x 在(a , 8 - a 2 ) 上有最小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A ． (- , 1)B ． [- 7 , 1)C ． [-2 , 1)D ． (-2 , 1)7．函数 f (x ) = x 3 - 3ax - a 在(0 , 1) 内有最小值，则 a 的取值范围是（ ）A ． 0 ≤ a < 1B ． 0 < a < 1C ． -1 < a < 1D ． 0 < a < 12 8．当 x ∈[-2 , 1] 时，不等式 mx3 ≥ x 2 - 4x - 3 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A ． ⎡-6 , ⎣ - 8 ⎤9 ⎦ B ． [-6 , - 2]C ． [-5 , - 3]D ． [-4 , - 3]9．若关于 x 的不等式 x 3 - 3x 2 - 9x + 2 ≥ m 对任意 x ∈[-2 , 2]恒成立，则 m 的取值范围是（）A ． (-∞ , 7]B ． (-∞ , - 20]C ． (-∞ , 0]D ． [-12 , 7]10．函数 f (x ) = 1x 3 - x 2 + a ，函数 g (x ) = x 2 - 3x ，它们的定义域均为[1 , + ∞)，并且函数 f (x )的图象始3终在函数 g (x )的上方，那么 a 的取值范围是（ ） A ． (0 , + ∞)B ． (-∞ , 0)C ． (- 4, + ∞)3D ． (-∞ 4311．设函数 f (x ) = x 3 - 1x 2 - 2x + 5 ，若对于任意 x ∈[1 , 2]，f (x ) < m 恒成立，则实数 m 的取值范围为（）2A ． (7 , + ∞)B ． (8 , + ∞)C ． [7 , + ∞)D ． [8 , + ∞) 12．已知函数 f (x ) = ax 3 - 3x 2 + 1 ，若 f (x )存在唯一的零点 x ，且 x > 0 ，则 a 的取值范围是（）A ． (2 , + ∞)B ． (-∞ , - 2)C ． (1 , + ∞)D ． (-∞ , - 1)13．已知 a ≥ - 3，b ≥ 0 ，函数 f (x ) = x 3 + ax + b (-1≤ x ≤ 1)，设 4有 M ≥ k ，则实数 k 的最大值为（ ）f (x ) 的最大值为 M ，对任意的 a 、b ∈ R 恒A ． 4B ． 2C ． 1D ． 12 4 14．曲线 y = x3 - x 的所有切线中，经过点(1 , 0) 的切线的条数是（ ）A ． 0B ．1C ． 2D ． 3 15．已知函数 f (x ) = 1x 3 - x 2 + ax + 3(a ∈ R ) 有两个极值点 x ， x (x < x ) ，则（）31 2 1 2A ． f (x ) 3 ， f (x ) < 10B ． f (x ) 3 ， f (x ) > 101 2 3 1 23 C ． f (x ) 3 ， f (x ) < 10 D ． f (x ) 3 ， f (x ) > 101 2 3 1 2316．已知函数 f (x ) = -x 3 + 6x 2 - 9x + 8 ，则过点(0 , 0) 可以作几条直线与曲线 y = f (x ) 相切（）7298, ] x A ． 3条 B ．1条 C ． 0 条 D ． 2 条17．已知函数 f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c ， x ∈[-3 ，3] 的图象过原点，且在点(1 ， f （1）) 和点(-1 ， f (-1)) 处的切线斜率为 -2 ，则 f (x ) = （ ） A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数18．已知函数 f (x ) = x 3 - ax 2- bx + c 有两个极值点 x ，x ，若 x < x = f (x ) ，则 f (x ) = x 的解的个数为（）121221A ． 0B ．1C ． 2D ． 319．已知函数 f (x ) = x 3 - mx 2 + 2nx + 1， f '(x ) 是函数 f (x ) 的导数，且 f '(2 + x ) = f '(- 2- x ) ，若在[1，π] 上3f (x ) 1 恒成立，则实数 n 的取值范围为（ ）A ． (-∞ 1 2B ． (-∞ , - 1 ] 2C ． [ 1 , + ∞) 2D ． [π, + ∞)20．（2019•汕头月考）函数 f (x ) = 1x 3 - x 2 + ax 在[-1， 2] 上单调递增，则 a 的取值范围是（ ）3A ． a > 0B ． a 0C ． a 1D ． a > 121．（2019•浙江期中）已知函数 f (x ) = 1x 3 + ax 2 - 2x 在区间(1, +∞) 上有极小值无极大值，则实数 a 的取值3 范围（ ）A ． a < 12B ． a > 12C ． a 12D ． a 1222．（2019•长沙期中）已知函数 f (x ) = 4x 2 - 3x + 1，g (x ) = 3x 3 - x -1，则 f (x ) 与 g (x ) 的大小关系是（）A ． f (x ) = g (x )B ． f (x ) > g (x )C ． f (x ) < g (x )D ．随 x 的变化而变化23．（2019•临川月考）正项等差数列{a }中的 a ， a 是函数 f (x ) = 1x 3 - 4x 2 + 4x - 3 的极值点，则log 2 a 2019 = （ ）n 114027 3 A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5324．若函数 f (x ) = - a x 2 + x + 1 在区间(1 , 2) 上单调递减，则实数 a 的取值范围为（ ）5 [2 , ] 23 2 B ． [ 5 , + ∞) 2 C ． ( 5 2 , + ∞)D ． (2 , + ∞) 25．（2019•醴陵期中）函数 f (x ) = x 3 - 3x 2 - 9x + 4 ，若函数 g (x ) = f (x ) - m 在 x ∈[-2 ， 5] 上有 3 个零点， 则 m 的取值范围为（）A ． (-23 , 9)B ． (-23 , 2]C ． [2 , 9]D ． [2 , 9)26．（2019•湛江一模）已知函数 f (x ) = x 3 - x 2+ ax - a 存在极值点 x ，且 f (x ) = f (x ) ，其中 x ≠ x ，x + 2x =1（ ）11A ． 3B ． 2C ．1D ． 027．（2019•邯郸一模）过点 M (-1, 0) 引曲线C : y = 2x 3 + ax + a 的两条切线，这两条切线与 y 轴分别交于 A ，B 两点，若| MA |=| MB | ，则 a = （）A ． - 25 4B ． - 274C ． - 2512D ． - 491228．（2019•黔东南州一模）已知函数 f (x ) = 2x 3 - (6a + 3)x 2 + 12ax + 16a 2 (a < 0) 只有一个零点 x 0 ，且 x 0 < 0 ，A ．2990 0 6 则 a 的取值范围为（）A ． (-∞, - 1)2B ． (- 1 , 0) 2C ． (-∞, - 3)2 D ． (-3 , 0) 229．（2019•莆田一模）若函数 f (x ) = ax 3 - x 2 + 2x 没有极小值点，则 a 的取值范围是（ ）31 [0 , ]2 B ． [ 1 , +∞)2 C ．{0} ⋃ [ 1 , 2 +∞) D ． {0} ⋃ ( 1 , 2+ ∞) 30．（2018 秋•晋中期末）已知 f (x ) = 1 x 3 - 5 ax 2 + 6ax + b 的两个极值点分别为 x ，x (x ≠ x ) ，且 x = 3x ，3 2 则函数 f (x 1 ) - f (x 2 ) = （ ）1 2 1 2 22 1 A ． -1B ． 16C ．1D ．与b 有关31．（2019•陕西一模）已知函数 f (x ) = x 3 + 3x ，则不等式 8 (1 + x )3 +1 + x > x 3+ 3x 的解集为（ ）A ． (-∞ , - 2) ⋃ (-1 , 1) C ． (-∞ , - 2] ⋃ (1 ,+∞)B ． [-2 , - 1) ⋃ [1 , + ∞) D ． (-2 , 1)32．（2018•宜春期末）等比数列{a }的各项均为正数， a ， a 是函数 f (x ) = 1x 3 - 3x 2 + 8x + 1的极值点，n 5 63 则log 2 a 1 + log 2 a 2 + ⋯ + log 2 a 10 = ( （ ）A ． 3 + log 2 5B ． 8C ．10D ．1533．（2018•湖北期末）已知函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx -17(a ， b ， c ∈ R ) 的导函数为 f '(x ) ， f '(x ) 0的解集为{x | -2 x 3} ，若 f (x ) 的极小值等于 -98 ，则 a 的值是（ ）A ． - 8122 B ． 1 3C ． 2D ． 534．（2019•朝阳二模）已知 f (x ) = - 1x 3 + x 在区间(a ,10 - a 2 ) 上有最大值，则实数 a 的取值范围是（）3A ． a < -1B ． -2 a < 3C ． -2 a < 1D ． -3 < a < 1 35．（2018•海淀期末）函数 f (x ) = x 3 + kx 2 - 7x 在区间[-1 , 1]上单调递减，则实数 k 的取值范围是（ ）A ． (-∞ , - 2]B ． [-2 , 2]C ． [-2 , + ∞)D ． [2 , + ∞)36．（2019•汉阳模拟）函数 f (x ) = ax 3 + 3x 2 -1存在唯一的零点 x ，且 x < 0 ，则实数 a 的范围为（ ）A ． (-∞, -2)B ． (-∞, 2)C ． (2, +∞)D ． (-2, +∞)37．（2019•瀍河月考）设函数 f (x ) = ax 3 - bx + 2 的极大值和极小值分别为 M ， m ，则 M + m = ( （ ）A ． 0B ．1C ． 2D ． 438．（2018•南阳期末）函数 f (x ) = x 3 - 3x 2 - 9x + 2 在[0 , 4]上的最大值和最小值分别是（）A ． 2 ， -18B ． -18 ， -25C ． 2 ， -25D ． 2 ， -2039．（2018•合肥期末）已知函数 f (x ) = -x 5 - 3x 3 - 5x + 3，若 f （a ） + f (a - 2) > 6 ，则实数 a 的取值范围是（）A ． (-∞, 3) 二 填空题B ． (3, +∞)C ． (1, +∞)D ． (-∞,1)1．（2019•东城一模）已知函数 f (x ) = 4x - x 3 ，若∀x ，x ∈[a ，b ] ，x ≠ x 都有 2 f (x + x ) > f (2x ) + f (2x )12121212A ．3000 0 成立，则满足条件的一个区间是．2．（2019•陕西二模）设函数 f (x ) = 2x 3 + ax 2 + bx + 1的导函数为 f '(x ) ，若函数 y = f '(x ) 的图象的顶点横坐 标为 - 1 ，且 f '（1） = 0 ．则 a + b 的值为．23．（2019•新疆二模）已知函数 f (x ) = x 3 - ax 2 在(-1 , 1) 上没有最小值，则 a 的取值范围是．4．（2019•十堰模拟）对于三次函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ，b ，c ，d ∈ R ，a ≠ 0) ，有如下定义：设 f '(x )是函数 f (x ) 的导函数， f '(x ) 是函数 f '(x ) 的导函数，若方程 f '(x ) = 0 有实数解 m ，则称点(m ， f (m )) 为函数 y = f (x ) 的“拐点”．若点(1, -3) 是函数 g (x ) = x 3 - ax 2 + bx - 5，(a , b ∈ R ) 的“拐点”也是函数 g (x ) 图象上的点，则当 x = 4 时，函数 h (x ) = log 4 (ax + b ) 的函数值为．5．（2018•揭阳期末）已知函数 f (x ) = x 3 + 2x ，若 f (a -1) + f (2a 2 ) 0 ，则实数 a 的取值范围是．6．（2018•长治期末）已知函数 f (x ) = 2x 3 - 3x ，若过点 P (1,t ) 存在 3 条直线与曲线 y = f (x ) 相切，则t 的取值范围是．7．（2019•自贡模拟）已知 f (x ) = ax 3 + 3x 2 -1存在唯一的零点 x ，且x < 0 ，则实数 a 的取值范围是 ．8．（2019•天山月考）设 f (x ) = x 3 - 1x 2 - 2x + 5 ，当 x ∈[-1， 2]时， f (x ) < m 恒成立，则实数 m 的取值范2 围为． 9．已知函数 f (x ) = 1 x 3 - x 2 - 3x + 4，直线l ： 9x + 2 y + c = 0 ．若当 x ∈[-2 , 2]时，函数 y = f (x )的图象恒3 3 在直线l 的下方，则c 的取值范围是 ．三 解答题1．已知函数 f (x ) = 1ax 3 + 2x 2 ，其中 a > 0 ．若 f (x ) 在区间[-1，1] 上的最小值为 -2 ，求 a 的值．32．知函数 f (x ) = ax 3 - 6ax 2 + b (x ∈[-1 ，2]) 的最大值为3，最小值为-29 ，求 a 、b 的值．3．已知函数 f (x ) = x 3 - 1x 2 + bx + c ；2（1）若 f (x ) 在(-∞ , + ∞) 上是增函数，求 b 的取值范围；301( , 0)（2）若 f (x ) 在 x = 1时取得极值，且 x ∈[-1 , 2] 时， f (x ) < c 2恒成立，求c 的取值范围.4．（2019•海淀期中）已知函数 f (x ) = ax 3+ bx 2+ x + c ，其导函数 y = f '(x ) 的图象过点 1 3和(1, 0) ． （1）函数 f (x ) 的单调递减区间为 ，极大值点为 ；（2）求实数 a ， b 的值；（3）若 f (x ) 恰有两个零点，请直接写出c 的值．5．（2019•莱西月考）设函数 g (x ) = x 3 - 3x 2 + 2 ．（1）若函数 g (x ) 在区间(0, m ) 上递减，求 m 的取值范围；（2）若函数 g (x ) 在区间(-∞ ， n ]上的最大值为 2，求 n 的取值范围．6．（2019•海淀一模）已知函数 f (x ) = 1 x 3 - 5x 2 + a | x | -1．3 2 （1）当 a = 6 时，求函数 f (x ) 在(0, +∞) 上的单调区间； （2）求证：当 a < 0 时，函数 f (x ) 既有极大值又有极小值．7．（2019•怀柔一模）已知函数 f (x ) = 2x 3 + 3ax 2 + 1(a ∈ R ) ． （1）当 a = 0 时，求 f (x ) 在点(1 ， f （1） ) 处的切线方程；302P (1, ) （2）求 f (x ) 的单调区间；（3）求 f (x ) 在区间[0 ， 2] 上的最小值8．（2019•天津一模）已知函数 f (x ) = 2x 3 - ax 2 + 1(a ∈ R ) ． （1） a = 6 时，直线 y = -6x + m 与 f (x ) 相切，求 m 的值；（2）若函数 f (x ) 在(0, +∞) 内有且只有一个零点，求此时函数(x ) 的单调区间；（3）当 a > 0 时，若函数 f (x ) 在[-1 , 1]上的最大值和最小值的和为 1，求实数 a 的值．9．（2018•镇海期末）已知函数 f (x ) = 1 x 3 + 1．3 2（1）求曲线 y = f (x ) 在点 5 6处的切线与 x 轴和 y 轴围成的三角形面积；（2）若过点(2, a ) 可作三条不同直线与曲线 y = f (x ) 相切，求实数 a 的取值范围．10．（2018•太原期末）若 x = 2 是函数 f (x ) = ax 3 - 3x 2 的极值点．（1）求 a 的值；（2）若 x ∈[n ，m ] 时， -4 f (x ) 0 成立，求 m - n 的最大值．11．（2018•佛山期末）已知函数f (x) =x3 + 3ax2 + 3(a2 -l)x ．（1）若 f (x) 在x = 1处取得极小值，求 a 的值；（2）设x ，x 是g(x) =f (x) - 6ax2 - 3a2 x + 5a(a > 0) 的两个极值点，若g(x ) +g(x ) 0 ，求a 的最小值．1 2 1 2303。
高考复习用导数研究三次函数的性质
专题：用导数研究三次函数的性质★★★教学目标1、 掌握三次函数的定义和解析式；2、 掌握用导数求三次函数的切线方程、单调区间、极值和最值；3、 能利用三次函数的图象和性质解决与三次函数有关的问题．知识梳理1．三次函数的定义：形如 的函数叫做三次函数． 2．三次函数的几种表达式：（1）一般形式： ；（2）已知函数的对称中心为),(n m ，则()f x = ；（3）已知函数图象与x 轴三个交点的横坐标)(,,γ<β<αγβα，则()f x = ； （4）已知函数图象与x 轴的一个交点的横坐标0x ，则()f x = ． 3．三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的性质：2()32(0)f x ax bx c a '=++>，则2()320f x ax bx c '=++=的判别式222124(4)b ac b ac =-=-△()．（1）函数的定义域为 ，值域为 ；（2）单调性：①若22120b ac =-≤△()，此时函数()f x 在上 是增函数；②若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，则()f x 在上 单调递增，在 上单调递减；（3）极值：①若 ，此时函数无极值；②若0△>，且2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，此时函数()f x 在 处取极大值 ，在 处取极小值 ． 答案：１．)0(23≠+++=a d cx bx ax y ．2．（1）32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠；（2）3()()(0)A x m B x m n a -+-+≠；（3）()()()(0)a x x x a αβγ---≠；（4）20()()(0)x x ax mx n a -++≠．3．（1）R ， R ；（2）①R ；②12(,),()x x -∞+∞，12(,)x x ；（3）①0≤△，②1x x =，)(1x f ，2x x =，)(2x f ．思维升华：1． 三次函数d cx bx ax x f +++=23)(当且仅当 时是奇函数？2． 三次函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象是对称图形吗？如果是，那么对称中心或对称轴是什么？ 答案：1． 0==d b ．2．图象关于点))3(,3(abf a b --中心对称． 证明如下：三次函数d cx bx ax x f +++=23)(关于点（m ，n ）对称的充要条件是n x m f x m f 2)()(=++-，即])()()([23d x m c x m b x m a +-+-+-+32[()()a m x b m x +++ ()]2c m x d n +++=，整理得，n d mc bm am x b ma 2)2222()26(232=+++++，据多项式恒等对应系数相等，可得a b m 3-=且d mc bm am n +++=23=)3()(abf m f -=，从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是))3(,3(abf a b --． 典例精讲30 min.例1（★★★）（全国卷2文）已知函数f （x ）=x 3-3ax 2+3x+1． （Ⅰ）设a=2，求f （x ）的单调期间；（Ⅱ）设f （x ）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求的取值范围．分析：（1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间．（2）求出函数的导数'()f x ，在（2，3）内有极值，即为'()f x 在（2，3）内有一个零点，即可根据'(2)'(3)0f f <，即可求a 出的取值范围．解：当2a =时，32()631f x x x x =-++，'()3(23)(23)f x x x =--，当(,23)x ∈-∞时，'()0f x >，()f x 在(,23)-∞单调增加； 当(23,23)x ∈时，'()0f x <，()f x 在(23,23)单调减少； 当(23,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 在(23,)+∞单调增加．综上所述，()f x 的单调增区间是(,23)(23,)-∞+∞和．()f x 的单调减区间是(23,23)．（II ））22'()3[()1]f x x a a =-+-．当210a -≥时， '()0f x >，()f x 为增函数，故()f x 无极值点；当210a -<时，'()0f x =有两个根12x a x a ==+由题意知，23a << ①或23a < ② ①式无解，②式的解为5543a <<， 因此a 的取值范围是5543⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 点评：三次函数的单调性判定与一般函数一样，利用函数的导数来求解，求极值时，要注意函数取得极值时的充要条件． 巩固练习（★★★）已知函数f (x )=-x 3＋3x 2＋9x ＋a ， （I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解析：（I ） 0)(,963)(2<'++-='x f x x x f 令，解得x <－1或x >3 所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）． （II ）)}2(),2(max{)(,5)1()(,3212m ax m in f f x f a f x f -=+-=-=∴<<-<-(2)2,(2)22,(2)(2)f a f a f f -=+=+∴>-，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝－7， 即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．例2（★★★）已知函数f （x ）=3231()2ax x x R -+∈，其中a>0． （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，f （x ）>0恒成立，求a 的取值范围． 分析：先求切点坐标，再利用导数求出切线斜率，可得切线方程；再利用三次函数的图象求解函数的极值来解不等式．解：（Ⅰ）当a=1时，f （x ）=323x x 12-+，f （2）=3；'()f x =233x x -， '(2)f =6．所以曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9．（Ⅱ）'()f x =2333(1)ax x x ax -=-．令'()f x =0，解得x=0或x=1a．以下分两种情况讨论： （1） 若110a 2<≤≥，则，当x 变化时，'()f x ，f （x ）的变化情况如下表： 当11x f x 22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，（）>0等价于5a 10,()0,8215a ()0,0.28f f -⎧⎧>->⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩即 解不等式组得-5<a<5．因此0a 2<≤．（2） 若a>2，则11<<．当x 变化时，'()f x ，f （x ）的变化情况如下表：当11x 22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，f （x ）>0等价于1f(-)21f()>0,a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩>0,即25811->0.2a a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩>0,解不等式组得52a <<或2a <-．因此2<a<5． 综合（1）和（2），可知a 的取值范围为0<a<5．点评：三次函数的切线问题，要看清问题是在某点处的切线，还是过某点的切线，确定切线的切点是关键点．利用函数的图象来求解不等式也是常用之法． 巩固练习（★★★）已知函数xxxxf3231)(23+-=（Rx∈）的图象为曲线C．（1）求过曲线C上任意一点的切线的倾斜角的取值范围；（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围；解析：（1）34)(2+-='xxxf，则11)2()(2-≥--='xxf，即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是[)+∞-,1；故倾斜角取值范围为3[0,)[,)24πππ⋃．（2）由（1）可知，⎪⎩⎪⎨⎧-≥--≥111kk解得01<≤-k或1≥k，由03412<+-≤-xx或1342≥+-xx．得：(][)+∞+-∞-∈,22)3,1(22,x；例3（★★★）设Ra∈，讨论关于x的方程0323=-+axx的相异实根的个数？分析：讨论三次方程的根的问题，可化为讨论三次函数的极值点与x轴之间的关系问题．解：0,263)()(212=-==+='xxxxxfxf的两根为导函数函数，，fxffxf0)0()(,4)2()(==-∴的极小值是的极大值是函数如图所示，（1）当0<a或4>a时，函数)(xf与)(xg只有一个交点，即方程只有一个根．（2）当0=a或4=a时，函数)(xf与)(xg只有两个交点，即方程只有两个根．（3）当40<<a时，函数)(xf与)(xg有三个交点，方程有三个根．点评：讨论三次函数的极值的大小与0的关系，可以解决三次方程根的个数问题．可以总结如下的经验：从数形结合的视角看三次方程320(0)ax bx cx d a+++=>的实数根：（1）若22120b ac =-≤△()，方程有且只有一个实数解；（2）若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <， ①若0)()(21<⋅x f x f ，则方程有三个不同的实数解)(,,γ<β<αγβα，且有γ<<β<<α21x x ，②若0)(0)(21==x f x f 或，则方程有两个不同的实数解，③若0)()(21>⋅x f x f ，则方程有且只有一个实数解α，且21x x >α<α或， 巩固练习（★★★）若函数()33f x x x a =-+有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．答案：()2,2- 解析：2'()33f x x =-，则'()0f x =可得1x =±，则有(1)0(1)0f f <⎧⎨->⎩，可解得22x -<<．回顾总结4 min.1．容易忽视三次函数的切线的特殊性而出错．例如3()2f x x x =-+经过(1,2)P 有几条切线？常见的错解有：把P 点当做切点，判定经过P 点只有一条，而实际上要分是否为切点两种情况来看． 2．容易忽视三次函数的图象的特殊性而出错．例如在讨论三次方程有三个根的问题时，不知道函数的极大值大于0且函数的极小值小于0．典型错题反思反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程，是一种自我挑战、自我完善和自我超越，是优化解法、深化思维的有效手段，是高效的学习方法、最佳的纠错手段，是走出“题海”的最有效途径．请整理出本课时的典型错误，找出错因，并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思！ 我的错题：错因：反思：。
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4导数研究三次函数的性质复习H标：掌握三次函数的图象和性质，尤其是利用导数研究单调性、极值情况，以及三次函数的零点。
复习重点难点：（1）三次函数的图象的四种情况；（2）三次函数的极值情况；【典型例题】题型一：三次函数单调性的讨论例1.已知函数/（x） = a? + x2 + 2x在/?上恒为增函数，求实数d的取值范围.例2.已知函数/（%）=-x3+3x24-9x+C/,（I）求/W的单调递减区间；（II）若/（兀）在区间［—2, 2］上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.题型二：三次函数极值，最值的讨论例3・已知Q是实数,函数f(x) = x2(x-a)；(1)若/(1) = 3,求。
的值及曲线y = /(x)在点(1,/(D)处的切线方程;(2)求/(X)在区间［0,2］上的最大值.例4.已知函数/(兀)的导数f\x) = 3x2-3cix, f(0) = b.a y b为实数，1 vav2.(1)若/(x)在区间［-1, 1］上的最小值、最大值分别为—2、1,求a、b的值;(2)设函数F(x) = (/©) + 6x+l)•戶，试判断函数尸(兀)的极值点个数•【课后作业】1.过曲线y=x3+x-2上的点Po的切线平行于直线y=4x・l,则切点P。
的坐标为 _______2.己知向量4=0?, x+1), b=a_jc, /).若函数J{x)=a-b在区间(一1,1)上是增函数，求/的取值范围.3. _____________________________________________________________ 函数心)*+兀2_兀在区间［—2, 1］上的最大值和最小值分别是 _________________________4.已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量兀(单位：万件)的函数关系式为尸-新+8 — 234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产:量为—5.设函数/(兀)=一丄兀'+2仮？一3d，兀+ Z? (0<«<1).(1)求函数/(X)的单调区间；(2)当XW［G+1卫+ 2］时，不等式|/仏)| Wo,求°的取值范围.6.已知函数/(兀)=*兀"一彳兀'一2/兀+1 (a > 0)(1)求函数/(无)的极值；(2)若函数y = /(x)的图象与值线y = 0恰有三个交点，求实数。
的取值范围；(3)已知不等式广⑴VF-兀+1对任意6ZG(l,+oo )都成立，求实数无的取值范围.7.已知函数f(x) = (x-a) (x-b$, a,b为常数，⑴若a$b,求证:函数/(x)存在极大值和极小值⑵设/⑴取得极大值、极小值时自变量分别为西，兀2,令点人(州，/CG)，B (兀2，/也))，若a〉b,直线AB的斜率为-丄，求函数/⑴和fg的公共递减区间的长度.4^当。
罟 2a<2,即0vav3, /（兀）在0,— 上单调递减，在 —,2上单调递增，从答案：【典型例题】1 1 • CI —・ 62. (I) /'(兀)=一3兀2+6兀 + 9,4/'(兀)<0,解得曲一 1 或兀>3所以函数夬x)的单调递减区间为(一8, —1), (3, +°°).(II) V-2<-l<2<3, •・・ /min (兀)= /(-•)=-5 + ^,/max (%) = HiaX {/(-2),/(2) } ・・・ /(-2) = 2 + °,/(2) = 22 + Q,・・・ /(2) > /(-2)又当 G = 0 时，/(!) = !,/*(1) = 3, 所以曲线y = /（尢）在（1,/（1））处的切线方程为3犷厂2= 0. C -(2)令广(兀) = 0,解得 X I=0,X 2=y当—<0,即dWO 时，/（兀）在［0, 2］上单调递增,从而査亦=/（2） = 8 — 4G .当—>2时,即心3时，/⑴在［0, 2］上单调递减,从而/max =/（0）= 0.于是有22+G =20,解得a=~2.3.解析：(1) f\x) = 3x 2-2ax.因为广(1) = 3-2° = 3, 所以a = 0.8-4a,0 <a<2.[8-4a, a < 2.而Znax = \综上所述’/max = \0, 2<ci<3.0, ci >2.4.解(I )由已知得，/(兀)=一扌处‘+b ；由/"(x) = 0,得Xj = 0 , x2= a .V XG | —1, 1J, 1 v a v 2,・・・当XG[-1, 0)时，/'(x)>0, /(x)递增；当xe (0, 1]时,f\x) < 0, /(x)递减.・・・/(x)在区间[-1, 1]±的最大值为g = b, ・・・b = \.又/(l) = l_g + l = 2 —討/(_1) = _1_》+ 1=_討・・・f(_l)v/(l).3 4 4由题意得/(-1) = -2,即一二。
=一2,得a =— .故a = —, b = l为所求.2 3 3(H) F(x) = (3x2一3处 + 6x +1) •戶=[3/ _ 3(a — 2)x +1 ] • e2x ..*• F(兀)=[6兀一3(a —2)] •『'+ 2〔3兀~ — 3(a — 2)兀+1 •=[6x2一6(a 一3)兀 + 8 一3a] • a"・二次函数丁 = 6<-6(。
一3)兀+ 8-3。
的判别式为△ = 36(° - 3)2 - 24(8 一3a) = 12(3夕一12a +11) = 12〔3(。
一2尸一1 ],令△§(),得：(6?-2)2 <-,2- —<6/<2 + —・3 3 3/? R令△>(),得av2-二或a>2 + —.・2>0, 1VG<2,3 3.••当2-—<a<2时，F\x) > 0 ,函数F(x)为单调递增，极值点个数为0；当Ivdv2-M3时，此时方程F\x) = 0有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数F（x）有两个极值点.【课后作业】1.(1,0)或(・1,・4)2...................................................................................... 解：J(x)=a-h=x1(］—x)+r(x+1)=—x3+x2+rr+z, ............................................................................ 4分:・f (x) —— 3x2+2x+1.............. 7分・・・.心)在(一1,1)上是增函数，/.—3X2+2X+/^0在兀丘(一1,1)上恒成立.Ar^3x2-2r, ................. 11 分令g(x)=3/—2尤’尤丘(一1,1).g(x)5),・••心5.................... 15 分3. f(x)mnx=l, f(x)min= — 2。
4・9万件解析：令导数才=一.*+81>0,解得0 VXV9；令导数y' = —F+81vO,解得x>9,所以函数〉，= -丄丘+8］兀_234在区间（0,9）上是增函数，在区间（9,2）上是减函数，所以在尢=9处取得极大值，也是最大值。
5. (1)•:f (x) ——X2+Aax—3a2 =—(兀一3a)(x—ci), 3 分由f (x)>0 得：a<x<3a；由/'(尤)<0 得：尤<°或x>3a； 7分则函数夬兀)的单调递增区间为(G,3G),单调递减区间为(一8, a)和(3a, +°°).(2)\*f' (x)= — P+4dx—3/=—(兀一2°)'+/,:寸'(x)在［c/+l, d+2］上单调递减,:・f «max=r(。
+1)=2。
一1,f W…un=r @+2)=4d—4. ................. 11 分・・•不等式圧(QWo恒成立，|2d—1|W G 4.,、，解得：tWdWl，.................... 14 分4。
一4 巧一a 34又0vav 1.「・t W av 1,即a的取值范围是专Wd<l. ................. 15分6.(1) *.• f '(x) = x2 -ax-2a2,令/z(x) = x1 - ax- 2a~ = 0 ,贝x =-a'^x = 2a A f\x) = x2 -ax-2a2 >0时’XV-G或，x> 2a7—d时，/⑴取得极大值/(-a) = —R + l,x = 2d时，/(兀)取得极小值6/(2a) = -号/ + 1(2)要使函数y = /(x)的图象与直线y = 0恰有三个交点，则函数y = /(x)的极大值大于零, 极小值小于零；由(1)的极值可得+ 1<0(3)要使/*(%) V F -X + 1对任意dW (1, +8)都成立即 — ax — vr —x+1, (1 — ci)x v 2cc +1ae (h+oo) .\l-6f <0r\ 2 | 1x> ---- ---- 对任意aw (1,+°°)都成立，\-a则尤大于辽也的最大值1 -a...丝土 = _2(a-l)?+4(a-l) + 3=_[2(a_])+丄+ 4]\-a a-\ a-\|t| G (1,4-°°) , Q — 1 > 0,「・ 2(。
— 1) -- » 2,当且仅当6Z = 1 4-时取等号, a-\2 ・•・竺岀5-(2舲+ 4)\-a 故心苛—4 + 2亦)7【答案】(1) / (x) = (x-b)[3兀一(2a + b)]解Z 得^/30010'：a .・.b 主 ------- ••・广(x) = 0有两不諄 b 和 ----- ・•・/U)存在极大值和极小值(2)①若沪方,只方不存在减区间②若&＞方时由⑴知x\=b, xi- 4 * &32(% 石 J ------- = _£ 2(d -h)2 = 3(a -h) ------- b 3•・・/(X )的减区间为即(方，快1),广(X )减区间为(-00^ + 1)3 2 ・・・公共减区间为(A,倂丄)长度为丄 2 22a + b 32(a - 疔2★止结局不留遗憾，止过程史加完美镇江市实验高中2012届数学一轮复习理科学案。