新初中数学锐角三角函数的专项训练及答案

新初中数学锐角三角函数的专项训练及答案
一、选择题
1．如图所示，Rt AOB ∆中，90AOB ∠=︒ ，顶点,A B 分别在反比例函数()10y x x =>与()50y x x
=-<的图象器上，则tan BAO ∠的值为（ ）
A 5
B 5
C 25
D 10
【答案】B
【解析】
【分析】
过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的
性质得到S △BDO =
52
，S △AOC =12，根据相似三角形的性质得到=5OB OA =，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】
解：过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ， 则∠BDO=∠ACO=90°，
∵顶点A ，B 分别在反比例函数()10y x x =
>与()50y x x =-<的图象上， ∴S △BDO =52
，S △AOC =12， ∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠DBO=∠AOC ，
∴△BDO ∽△OCA ，
∴
251
5
22 BOD
OAC
S OB
S OA
⎛⎫
==÷=
⎪
⎝⎭
△
△
，
∴5
OB
OA
=，
∴tan∠BAO=5
OB
OA
=
.
故选B.
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC上找一点B，取145
ABD
∠=o，500
BD m
=，55
D
∠=o，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（）
A．500sin55m
o B．500cos55m
o C．500tan55m
o D．
500
cos55
m
o
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知利用∠D的余弦函数表示即可．
【详解】
在Rt△BDE中，cosD=
DE
BD
，
∴DE=BD•cosD=500cos55°．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
3．如图，AB 是O e 的弦，直径CD 交AB 于点E ，若3AE EB ==，15C ∠=o ，则OE 的长为( )
A ．3
B ．4
C ．6
D ．33
【答案】D
【解析】
【分析】 连接OA ．证明OAB ∆是等边三角形即可解决问题．
【详解】
如图，连接OA ．
∵AE EB =，
∴CD AB ⊥，
∴»»AD BD
=， ∴230BOD AOD ACD ∠=∠=∠=o ，
∴60AOB ∠=o ，
∵OA OB =，
∴AOB ∆是等边三角形，
∵3AE =，
∴tan 6033OE AE =⋅=o
故选D ．
【点睛】
本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则()2
sin cos θθ-=( )
A ．15
B ．5
C ．35
D ．95
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
【详解】
解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，
∴大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，
∴55cos 55sin 5θθ-=，
∴5cos sin θθ-=
， ∴()21sin cos 5
θθ-=
． 故选：A ．
【点睛】 本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出5cos sin 5
θθ-=．
5．如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点A′处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM 的长为( )
A 83
B 43
C ．8
D ．83【答案】A
【解析】
【分析】
根据折叠性质可得BE=1
2
AB，A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，可得∠
EA′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EBA′=60°，进而可得∠ABM=30°，在Rt△ABM 中，利用∠ABM的余弦求出BM的长即可.
【详解】
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，AB=4，
∴BE=1
2
AB=2，∠BEF=90°，
∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A’处，并使折痕经过点B，∴A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，
∴∠EA′B=30°，
∴∠EBA′=60°，
∴∠ABM=30°，
∴在Rt△ABM中，AB=BM⋅cos∠ABM，即4=BM⋅cos30°，
解得：BM=83
，
故选A.
【点睛】
本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键.
6．如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于( )
A．31)m B．31)m
C．31)m D．31)m
【答案】A
【解析】
设MN=xm，
在Rt△BMN中,∵∠MBN=45∘，
∴BN=MN=x，
在Rt △AMN 中,tan ∠MAN=MN AN ， ∴tan30∘=16x x
+ =3√3， 解得：x=8(3 +1)，
则建筑物MN 的高度等于8(3 +1)m ；
故选A.
点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.
7．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点
E ，连接AC 交DE 于点
F .若3sin 5
CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )
A ．10
B ．12
C ．16
D ．20
【答案】D
【解析】
【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．
【详解】
解：连接BD ，如图，
AB Q 为直径，
90ADB ACB ∴∠=∠=︒，
AD CD =Q ，
DAC DCA ∴∠=∠，
而DCA ABD ∠=∠，
DAC ABD ∴∠=∠，
DE AB ∵⊥，
90ABD BDE ∴∠+∠=︒，
而90ADE BDE ∠+∠=︒，
ABD ADE ∴∠=∠，
ADE DAC ∴∠=∠，
5FD FA ∴==，
在Rt AEF ∆中，3sin 5
EF CAB AF ∠=
=Q ， 3EF ∴=， 22534AE ∴=-=，538DE =+=，
ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，
ADE DBE ∴∆∆∽，
::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =，
16BE ∴=，
41620AB ∴=+=．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
8．如图，已知圆O 的内接六边形ABCDEF 的边心距2OM =，则该圆的内接正三角形ACE 的面积为（ ）
A ．2
B ．4
C ．63
D ．43【答案】D
【解析】
【分析】 连接,OC OB ，过O 作ON CE ⊥于N ，证出COB ∆是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接,OC OB ，过O 作ON CE ⊥于N ，
∵多边形ABCDEF 是正六边形，
∴60COB ∠=o ，
∵OC OB =，
∴COB ∆是等边三角形，
∴60OCM ∠=o ，
∴sin OM OC OCM =•∠， ∴43()sin 603OM OC cm ︒==． ∵30OCN ∠=o ， ∴123,223
ON OC CN ===， ∴24CE CN ==， ∴该圆的内接正三角形ACE 的面积123344323=⨯
⨯⨯=， 故选：D ．
【点睛】
本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OC 是解决问题的关键．
9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B=60°，则
c a a b c b
+++的值为（ ）
A ．12
B 2
C ．1
D 2
【答案】C
【解析】
【分析】
先过点A 作AD ⊥BC 于D ，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用3sin602︒=，cos60°=12,可求13,,2DB c AD c ==把这两个表达式代入到另一个Rt △ADC 的勾股定理表达式中，化简可得即a 2+c 2=b 2+ac ，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．
【详解】
解：过A 点作AD ⊥BC 于D ，在Rt △BDA 中，由于∠B=60°， ∴13,,22
DB c AD c == 在Rt △ADC 中，DC 2=AC 2﹣AD 2， ∴2221324a c b c ⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭， 即a 2+c 2=b 2+ac ，
∴()()2222222 1.c a c cb a ab a c ab bc b ac ab bc a b c b a b c b ac ab bc b ac ab bc b
++++++++++====++++++++++ 故选C ．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．
10．利用量角器可以制作“锐角余弦值速查卡”．制作方法如下：如图，设1OA =，以O 为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，利用“锐角余弦值速查卡”可以读出相应锐角余弦的近似值．例如：cos300.87︒≈，cos450.71︒=．下列角度中余弦值最接近0.94的是（ ）
A ．30°
B ．50︒
C ．40︒
D ．20︒
【答案】D
【解析】
【分析】 根据“锐角余弦值速查卡”解答即可.
【详解】
从“锐角余弦值速查卡”可以读出cos20︒≈0.94，
∴余弦值最接近0.94的是20︒，
故选：D.
【点睛】
此题考查“锐角余弦值速查卡”，正确读出“锐角余弦值速查卡”是解题的关键.
11．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )
A．303n mile B．60 n mile C．120 n mile D．(30303)
+n mile 【答案】D
【解析】
【分析】
过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
【详解】
过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．
在Rt△ACD中，cos∠ACD=CD AC
，
∴CD=AC•cos∠3
303 =．
在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴3
∴AB=AD+BD=30+303．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+303）nmile．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
12．如图，在扇形OAB中，120
AOB
∠=︒，点P是弧AB上的一个动点（不与点A、B 重合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33
CD=，则扇形AOB的面积为（）
A．12πB．2πC．4πD．24π
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．
【详解】
解：如图作OH⊥AB于H．
∵C、D分别是弦AP、BP的中点．
∴CD是△APB的中位线，
∴AB＝2CD＝63
∵OH⊥AB，
∴BH＝AH＝33
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠AOH＝∠BOH＝60°，
在Rt△AOH中，sin∠AOH＝AH AO
，
∴AO ＝33
6sin 3
AH AOH ==∠， ∴扇形AOB 的面积为：2
120612360
ππ=g g ， 故选：A ．
【点睛】
本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，点B 的坐标是（0，4），点D 的坐标是（83，4），点M 和点N 是两个动点，其中点M 从点B 出发，沿BA 以每秒2个单位长度的速度做匀速运动，到点A 后停止，同时点N 从点B 出发，沿折线BC →CD 以每秒4个单位长度的速度做匀速运动，如果其中一个点停止运动，则另一点也停止运动，设M ，N 两点的运动时间为x ，△BMN 的面积为y ，下列图象中能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两个点的运动变化，写出点N 在BC 上运动时△BMN 的面积，再写出当点N 在CD 上运动时△BMN 的面积，即可得出本题的答案；
【详解】
解：当0<x ⩽2时，如图1：
连接BD ，AC ，交于点O′，连接NM ，过点C 作CP ⊥AB 垂足为点P ，
∴∠CPB=90°，
∵四边形ABCD 是菱形，其中点B 的坐标是(0，4)，点D 的坐标是3，4)， ∴BO ′3，CO′=4，
∴228O B O C +'='，
∵AC=8，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴CP=BC×sin60°=8×
323，BP=4， BN=4x ，BM=2x ， 242BM x x BP ==，2
BN x BC =， ∴=BM BN BP BC
， 又∵∠NBM=∠CBP ，
∴△NBM ∽△CBP ，
∴∠NMB=∠CPB=90°， ∴114438322
CBP S BP CP =⨯⨯=⨯⨯=V ； ∴2NBM CBP S BN S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭
V V ， 即y=22
283=232NBM CBP BN x S S x BC ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭V V ， 当2<x ⩽4时，作NE ⊥AB ，垂足为E ，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，
∴NE=CP=43，
BM=2x，
∴y=11
=24343
22
BM NE x x ⨯⨯=
g g；
故选D.
【点睛】
本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握动点问题的函数图象是解题的关键.
14．如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=3BO，OB在x轴上，将Rt△AOB绕点O顺时针旋
转至△RtA'OB'，其中点B'落在反比例函数y=﹣2
x
的图象上，OA'交反比例函数y=
k
x
的图象
于点C，且OC=2CA'，则k的值为（）
A．4 B．7
2
C．8 D．7
【答案】C
【解析】
【详解】
解：设将Rt△AOB绕点O顺时针旋转至Rt△A'OB'的旋转角为α，OB=a，则OA=3a，由题意可得，点B′的坐标为（acosα，﹣asinα），点C的坐标为（2asinα，2acosα），
∵点B'在反比例函数y=﹣2
x
的图象上，
∴﹣asinα=﹣
2
acosα
，得a2sinαcosα=2，
又∵点C在反比例函数y=k
x
的图象上，
∴2acosα=
k
2asinα
，得k=4a2sinαcosα=8.
故选C.
【点睛】
本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为α，利用旋转的性质和三角函数设出点B'与点C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )
A．53
42
π
-B．
53
42
π
+C．23πD．43
2
π
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.
【详解】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，
则有AD=2AH，∠AHO=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3BC=2，tan∠A=
3
23
BC
AB
==，
∴∠A=30°，
∴OH=1
2
3
AH=AO•cos∠
33
3
2
=，∠BOC=2∠A=60°，
∴AD=2AH=3，
∴S 阴影=S △ABC -S △AOD -S 扇形BOD =()
26031132323222
360π⨯⨯⨯-⨯⨯-=532
π-，
故选A.
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
16．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）过原点O ，与x 轴另一交点为A ，顶点为B ，若△AOB 为等边三角形，则b 的值为（ ） A 3B ．﹣3C ．﹣3D ．﹣3
【答案】B
【解析】
【分析】 根据已知求出B （﹣2
,24b b a a
-），由△AOB 为等边三角形，得到2b 4a ＝tan60°×（﹣2b a ），即可求解； 【详解】
解：抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）过原点O ，
∴c ＝0，
B （﹣2
,24b b a a
-）， ∵△AOB 为等边三角形，
∴2
b 4a
＝tan60°×（﹣2b a ）， ∴b ＝﹣3
故选B ．
本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三角形的边关系是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆的顶点B 在第一象限，点A 在y 轴的正半轴上，2AO AB ==，120OAB ∠=o ，将AOB ∠绕点O 逆时针旋转90o ，点B 的对应点'B 的坐标是（ ）
A ．3(2,3)2--
B ．33(2,2)22---
C ．3(3,2)2--
D ．(3,3)-
【答案】D 【解析】
【分析】
过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，通过条件求出'B M ，MO 的长即可得到'B 的坐标.
【详解】
解：过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，
∵2AO AB ==，120OAB ∠=︒，
∴'''2A O A B ==，''120OA B ∠=︒，
∴'0'6M B A ∠=︒，
在直角△''A B M 中，3==2
2=B'M B'M 'sin B A M B '''A ∠ ， 1==2
2=A'M A'M 'cos B A M B '''A ∠， ∴'3B M ='1A M =，
∴OM=2+1=3，
∴'B 的坐标为(3)-.
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
18．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos A （）
A．1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．
5
【答案】B
【解析】
【分析】
构造全等三角形，证明△ABD是等腰直角三角形，进行作答.【详解】
过A作AE⊥BE，连接BD，过D作DF⊥BF于F.
∵AE=BF，∠AEB=∠DFB，BE=DF，
∴△AEB≌△BFD，
∴AB=DB.∠ABD=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴cos∠2 .
答案选B.
【点睛】
本题考查了不规则图形求余弦函数的方法，熟练掌握不规则图形求余弦函数的方法是本题解题关键.
19．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC＝（）
A．1
4
B．
1
6
C
．
2
6
D．
3
10
【答案】B
【解析】
【分析】
过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=
1
2
x，
CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．
【详解】
解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，
∴BC＝AD，
设AB＝2x，则BC＝x．
如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴四边形BOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC，
∴四边形BOCE是菱形．
∴OE与BC垂直平分，
∴EF＝
1
2
AD＝
1
2
x，OE∥AB，
∴四边形AOEB是平行四边形，
∴OE＝AB＝2x，
∴CF＝
1
2
OE＝x．
∴tan∠EDC＝
EF
DF
＝
1
2
2
x
x x
＝
1
6
．
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，
解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（）
A．3B．23C．3
2
D．
23
【答案】A
【解析】
连接OC，
∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，∵PC是⊙O切线，
∴∠PCO=90°，∠P=30°，∵PC=3，
∴OC=PC•tan30°3
故选A。