2020-2021中考数学易错题专题复习-反比例函数练习题

2020-2021中考数学易错题专题复习-反比例函数练习题
一、反比例函数
1．如图，已知A是双曲线y= （k＞0）在第一象限内的一点，O为坐标原点，直线OA交双曲线于另一点C，当OA在第一象限的角平分线上时，将OA向上平移个单位后，与双曲线在第一象限交于点M，交y轴于点N，若 =2，
（1）求直线MN的解析式；
（2）求k的值．
【答案】（1）解：∵OA在第一象限的角平分线上，
∴直线OA的解析式为y=x，
∴将OA向上平移个单位后，N（0，），
可设直线MN的解析式为y=x+b，
把N（0，）代入，可得b= ，
∴直线MN的解析式为y=x+
（2）解：如图所示，过A作AB⊥y轴于B，过M作MD⊥y轴于D，则∠MDN=∠ABO=90°，
由平移可得，∠MND=∠AOB=45°，
∴△MDN∽△ABO，
∴ = =2，
设A（a，a），则AB=a，
∴MD= a=DN，
∴DO= a+ ，
∴M（ a， a+ ），
∵双曲线经过点A，M，
∴k=a×a= a×（ a+ ），
解得a=1，
∴k=1．
【解析】【分析】（1）第一三象限角平分线为y=x,向上平移为y=x+b,可求出N点坐标，代入y=x+b，即可求出;（2）通过作垂线构造相似三角形，即△MDN∽△ABO，把A、M坐标代入解析式即可求出a,进而求出k.
2．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.
【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为（k＞0）
∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴解得m=﹣1。

∴A（﹣1，﹣2）。

又∵点A在上，∴，解得k=2。

，
∴反比例函数的解析式为
（2）解：观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1。

（3）解：四边形OABC是菱形。

证明如下：
∵A（﹣1，﹣2），∴。

由题意知：CB∥OA且CB= ，∴CB=OA。

∴四边形OABC是平行四边形。

∵C（2，n）在上，∴。

∴C（2，1）。

∴。

∴OC=OA。

∴平行四边形OABC是菱形。

【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为（k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式。

（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA 且CB= ，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA=OC
3．如图，一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y= （x＞0）的图象于A（4，-8）、B （m，-2）两点，交x轴于点C．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
（3）以O、A、B、P为顶点作平行四边形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵反比例函数y= （x＞0）的图象于A（4，-8），
∴k=4×（-8）=-32．
∵双曲线y= 过点B（m，-2），
∴m=16．
由直线y=kx+b过点A，B得：，
解得，，
∴反比例函数关系式为，一次函数关系式为
（2）解：观察图象可知，当0＜x＜4或x＞16时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）解：∵O（0，0），A（4，-8）、B（16，-2），
分三种情况：①若OB∥AP，OA∥BP，
∵O（0，0），A（4，-8），
∴由平移规律，点B（16，-2）向右平移4个单位，向下平移8个单位得到P点坐标为（20，-10）；
②若OP∥AB，OA∥BP，
∵A（4，-8），B（16，-2），
∴由平移规律，点O（0，0）向右平移12个单位，向上平移6个单位得到P点坐标为（12，6）；
③若OB∥AP，OP∥AB，
∵B（16，-2），A（4，-8），
∴由平移规律，点O（0，0）向左平移12个单位，向下平移6个单位得到P点坐标为（-12，-6）；
∴以O，A，B，P为顶点作平行四边形，第四个顶点P的坐标为（12，6）或（-12，-6）或（20，-10）
【解析】【分析】（1）将点A（4，-8），B（m，-2）代入反比例函数y= （x＞0）中，可求k、a；再将点A（4，-8），B（m，-2）代入y=kx+b中，列方程组求k、b即可；（2）根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值大于反比例函数的值时x的范围；（3）根据平行四边形的性质，即可直接写出．
4．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折现”）
（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；
（2）如图2，双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1，a)，点D是线段AC上一动点(不包
括端点)，过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．
①试求△PAD的面积的最大值；
②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形?若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：如图1，新函数的性质：1.函数的最小值为0；2.函数图象的对称轴为直线x=3.
由题意得，点A的坐标为（-3，0），分两种情况：
①当x-3时，y=x+3；
②当x<-3时，设函数解析式为y=kx+b，
在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1，
则点（-4，-1）关于x轴的对称点为（-4，1），
把点（-4，1），（-3，0），代入y=kx+b中，
得：，
解得：，
∴y=-x-3.
综上，新函数的解析式为y=.
（2）解：如图2，
①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，
∴a=4，
∵点C（1，4）在反比例函数y=上，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=.
∵点D是线段AC上一动点，
∴设点D的坐标为（m，m+3），且-3<m<1，
∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，
∴点P的坐标为（，m+3），
∴PD=-m，
∴S△PAD=（-m）（m+3）=m2-m+2=（m+）2+，
∵a=<0，
∴当m=时，S有最大值，最大值为，
又∵-3<<1，
∴△PAD的面积的最大值为.
②在点D的运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形，理由如下：
当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时点P的坐标为（2，2），点E的坐标为（-5，2），
∵DP=3，DE=4，
∴EP与AC不能互相平分，
∴四边形PAEC不能为平行四边形.
【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，结合函数图象写出新函数的两条性质；利用待定系数法求新函数解析式，注意分两种情况讨论；（2）①先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，设出点D的坐标，进而得到点P的坐标，再根据三角形的面积公式得出函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；②先求出A的中点D的坐标，再计算DP、DE的长度，如果对角线互相平分，则能成为平行四边形，如若对角线不互相平分，则不能成为平行四边形.
5．【阅读理解】
我们知道，当a＞0且b＞0时，（﹣）2≥0，所以a﹣2 +≥0，从而a+b≥2 （当a=b时取等号），
【获得结论】设函数y=x+ （a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x= 即x= 时，函数y有最小值为2
（1）【直接应用】
若y1=x（x＞0）与y2= （x＞0），则当x=________时，y1+y2取得最小值为________．（2）【变形应用】
若y1=x+1（x＞﹣1）与y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），则的最小值是________
（3）【探索应用】
在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（0，﹣2），点P是函数y= 在第一象限内图象上的一个动点，过P点作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，设点P的横坐标为x，四边形ABCD的面积为S
①求S与x之间的函数关系式；
②求S的最小值，判断取得最小值时的四边形ABCD的形状，并说明理由．
【答案】（1）1；2
（2）4
（3）解：①设P（x，），则C（x，0），D（0，），
∴AC=x+3，BD= +2，
∴S= AC•BD= （x+3）（ +2）=6+x+ ；
②∵x＞0，
∴x+ ≥2 =6，
∴当x= 时，即x=3时，x+ 有最小值6，
∴此时S=6+x+ 有最小值12，
∵x=3，
∴P（3，2），C（3，0），D（0，2），
∴A、C关于x轴对称，D、B关于y轴对称，即四边形ABCD的对角线互相垂直平分，
∴四边形ABCD为菱形．
【解析】【解答】解：（1）∵x＞0，∴y1+y2=x+ ≥2 =2，∴当x= 时，即x=1时，y1+y2有最小值2，故答案为：1；2；（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴ = =
（x+1）+ ≥2 =4，∴当x+1= 时，即x=1时，有最小值4，故答案为：4；
【分析】（1）直接由结论可求得其取得最小值，及其对应的x的值；（2）可把x+1看成
一个整体，再利用结论可求得答案；（3）①可设P（x，），则可表示出C、D的坐标，从而可表示出AC和BD，再利用面积公式可表示出四边形ABCD的面积，从而可得到S 与x的函数关系式；②再利用结论可求得其最得最小值时对应的x的值，则可得到P、C、D的坐标，可判断A、C关于x轴对称，B、D关于y轴对称，可判断四边形ABCD为菱形．
6．如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．
（1）四边形ABCD一定是________四边形；（直接填写结果）
（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，a=
，b= ，试判断a，b的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）平行
（2）解：∵正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于A，
∴k1x= ，解得x= （因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）
将x= 带入y=k1x得y= ，
故A点的坐标为（，）同理则B点坐标为（，），
又∵OA=OB，
∴ = ，两边平方得： +k1= +k2，
整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，
∵k1≠k2，
所以k1k2﹣1=0，即k1k2=1；
（3）解：∵P（x1， y1），Q（x2， y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，∴y1= ，y2= ，
∴a= = = ，
∴a﹣b= ﹣ = = ，
∵x2＞x1＞0，
∴＞0，x1x2＞0，（x1+x2）＞0，
∴＞0，
∴a﹣b＞0，
∴a＞b．
【解析】【解答】解：（1）∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD 是平行四边形；
故答案为：平行；
【分析】（1）由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，即可得到结论．（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出 = ，两边平分得 +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，根据k1≠k2，则k1k2﹣1=0，即可求得；（3）由P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，得到y1= ，y2= ，求出a= = = ，得到a﹣
b= ﹣ = = ＞0，即可得到结果．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y= 相交于点A（m，
3），B（﹣6，n），与x轴交于点C．
（1）求直线y=kx+b（k≠0）的解析式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP= S△BOC，求点P的坐标（直接写出结果）．
【答案】（1）解：）∵点A（m，3），B（﹣6，n）在双曲线y= 上，∴m=2，n=﹣1，
∴A（2，3），B（﹣6，﹣1）．
将（2，3），B（﹣6，﹣1）带入y=kx+b，
得：，
解得．
∴直线的解析式为y= x+2
（2）解：
当y= x+2=0时，x=﹣4，
∴点C（﹣4，0）．
设点P的坐标为（x，0），
∵S△ACP= S△BOC， A（2，3），B（﹣6，﹣1），
∴×3|x﹣（﹣4）|= × ×|0﹣（﹣4）|×|﹣1|，即|x+4|=2，
解得：x1=﹣6，x2=﹣2．
∴点P的坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．
【解析】【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出
点C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合S△ACP= S△BOC，即可得出|x+4|=2，解之即可得出结论．
8．已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2= 的图象交于A、B两点，已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2．
（1）求一次函数的函数表达式；
（2）已知反比例函数在第一象限的图象上有一点C到x轴的距离为2，求△ABC的面
积．
【答案】（1）解：∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，∴点A的横坐标为1，
代入反比例函数解析式，=y，
解得y=6，
∴点A的坐标为（1，6），
又∵点A在一次函数图象上，
∴1+m=6，
解得m=5，
∴一次函数的解析式为y1=x+5
（2）解：∵第一象限内点C到x轴的距离为2，∴点C的纵坐标为2，
∴2= ，解得x=3，
∴点C的坐标为（3，2），
过点C作CD∥x轴交直线AB于D，
则点D的纵坐标为2，
∴x+5=2，
解得x=﹣3，
∴点D的坐标为（﹣3，2），
∴CD=3﹣（﹣3）=3+3=6，
点A到CD的距离为6﹣2=4，
联立，
解得（舍去），，
∴点B的坐标为（﹣6，﹣1），
∴点B到CD的距离为2﹣（﹣1）=2+1=3，
S△ABC=S△ACD+S△BCD= ×6×4+ ×6×3=12+9=21．
【解析】【分析】（1）首先根据x＞1时，y1＞y2，0＜x＜1时，y1＜y2确定点A的横坐标，然后代入反比例函数解析式求出点A的纵坐标，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答；（2）根据点C到x轴的距离判断出点C的纵坐标，代入反比例函数解析式求出横坐标，从而得到点C的坐标，过点C作CD∥x轴交直线AB于D，求出点D 的坐标，然后得到CD的长度，再联立一次函数与双曲线解析式求出点B的坐标，然后△ABC的面积=△ACD的面积+△BCD的面积，列式进行计算即可得解．
9．如图，已知直线l：y=kx+b（k＜0，b＞0，且k、b为常数）与y轴、x轴分别交于A
点、B点，双曲线C：y= （x＞0）．
（1）当k=﹣1，b=2 时，求直线l与双曲线C公共点的坐标；
（2）当b=2 时，求证：不论k为任何小于零的实数，直线l与双曲线C只有一个公共点（设为P），并求公共点P的坐标（用k的式子表示）．
（3）①在（2）的条件下，试猜想线段PA、PB是否相等．若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由；
②若直线l与双曲线C相交于两点P1、P2，猜想并证明P1A与P2B之间的数量关系．【答案】（1）解：联立l与C得，
①﹣②，得﹣x+2 ﹣ =0
化简，得x2﹣2 x+3=0
解得x1=x2= ，y1=y2= ，
直线l与双曲线C公共点的坐标为（，）
（2）解：证明：联立l与C得，
①﹣②，得
kx+2 ﹣ =0，
化简，得
kx2+2 x﹣3=0，
a=k，b=2 ，c=﹣3，
△=b2﹣4ac=（2 ）2﹣4k×（﹣3）=12k﹣12k=0，
∴kx2+2 x﹣3=0只有相等两实根，即不论k为任何小于零的实数，直线l与双曲线C只有一个公共点；
x=﹣，y= ，
即P（﹣，）
（3）解：①PA=PB，理由如下：
y=kx+b当x=0时，y=b，即A（0，b）；
当y=0时，x=﹣，即B（﹣，0），
P（﹣，），
PA= ，
PB= ，
∴PA=PB．
②P1A=P2B，理由如下：
y=kx+b当x=0时，y=b，即A（0，b）；
当y=0时，x=﹣，即B（﹣，0），
联立l与C得，
①﹣②，得
kx+b﹣ =0，
化简，得
kx2+bx﹣3=0，
解得P1（，）P2（，）
P1A2=（）2+（）2，P2B2=（）2+
（）2，
∴P1A2=P2B2，
∴P1A=P2B
【解析】【分析】（1）根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可得方程组的解，可得交点的坐标；（2）根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可的一元二次方程，根据判别式，可得答案；（3）①根据函数与自变量的关系，可得A、B点坐标，根据两点间距离公式，可得答案；②根据函数与自变量的关系，可得A、B点坐标，根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可得方程组的解，可得交点的坐标，根据两点间距离公式，可得答案．
10．如图1，抛物线y＝ax2﹣4ax+b经过点A（1，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将△OAC沿AC翻折得到△ACE，直线AE交抛物线于点P，求点P的坐标；
（3）如图2，点M为直线BC上一点（不与B、C重合），连OM，将OM绕O点旋转90°，得到线段ON，是否存在这样的点N，使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：由题意知：抛物线的对称轴为：x=2，则B（3，0）；
已知OB=OC=3，则C（0，-3）；
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），依题意有：
a（0-1）（0-3）=-3，a=-1；
故抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3．
（2）解：设AE交y轴于点F；
易证得△FOA∽△FEC，有，
设OF＝x，则EF＝3x，
所以FA＝3x﹣1；
在Rt△FOA中，由勾股定理得：
（3x﹣1）2＝x2+1，
解得x＝；
即OF＝，F（0，）；
求得直线AE为y＝﹣x+ ，
联立抛物线的解析式得：，
解得，；
故点P（，）．
（3）解：∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC：y＝x﹣3；
设点M（a，a﹣3），则：
①当点M在第一象限时，OG＝a，MG＝a﹣3；过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H；
根据旋转的性质知：∠MON＝90°，OM＝ON，
则可证得△MOG≌△NOH，得：
OG＝NH＝a，OH＝MG＝a﹣3，
故N（a﹣3，﹣a），
将其代入抛物线的解析式中，得：
﹣（a﹣3）2+4（a﹣3）﹣3＝﹣a，
整理得：a2﹣11a+24＝0，
a＝3（舍去），a＝8；
故M（8，5），N（5，﹣8）．
②当点M在第三象限时，OG＝﹣a，MG＝3﹣a；
同①可得：MG＝OH＝3﹣a，OG＝NH＝﹣a，则N（3﹣a，a），代入抛物线的解析式可得：
﹣（3﹣a）2+4（3﹣a）﹣3＝a，
整理得：a2﹣a＝0，故a＝0，a＝1；
由于点M在第三象限，
所以a＜0，
故a＝0、a＝1均不合题意，此种情况不成立；
③当点M在第四象限时，OG＝a，MG＝3﹣a；
同①得：N（3﹣a，a），在②中已经求得此时a＝0（舍去），a＝1；
故M（1，﹣2），N（2，1）；
综上可知：存在符合条件的N点，且坐标为N（2，1）或（5，﹣8）．
【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式，可得抛物线的对称轴方程，进而可根据点A 的坐标表示出点B的坐标，已知OB=OC，即可得到点C的坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的解析式．（2）点P为直线AE和抛物线的交点，欲求点P，必须先求出直线AE的解析式；设直线AE与y轴的交点为F，易得△FOA∽△FEC，由于OA=1，EC=3，根据相似三角形的对应边成比例即可得到FE=3OF，设OF=x，则EF=3x，AF=3x-1，进而可在Rt△FOA 中求出x的值，也就能求出F点的坐标，然后利用待定系数法求出直线AE的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标．（3）此题应分三种情况讨论：①当点M在第一象限时，可设M（a，a-3），由于ON是由OM旋转90°而得，因此△OMN是等腰直角三角形，分别过M、N作MG、NH垂直于x轴，即可证得△OMG≌△NOH，得MG=OH，NH=OG，由此可表示出N点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得点M、N 的坐标；②当点M在第三象限，④点M在第四象限时，解法同①．
11．已知抛物线与轴的两个交点间的距离为2．
（1）若此抛物线的对称轴为直线，请判断点（3,3）是否在此抛物线上？
（2）若此抛物线的顶点为（S，t），请证明；
（3）当时，求的取值范围
【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的两个交点间的距离为2，可得抛物线与轴的两个交点为（0，0）和（2，0），
所以抛物线的解析式为与
当时，
所以点（3,3）在此抛物线上 .
（2）解：抛物线的顶点为，则对称轴为直线，且抛物线与轴的两个交点间的距离为2，
可得抛物线与轴的两个交点为（，，0）和（，0）
所以抛物线的解析式为与
由得
所以；
（3）解：由（2）知即整理得
由对称轴为直线，且二次项系数
可知当时，b的随a的增大而增大
当a=10时，得
当a=20时，得
所以当时，
【解析】【分析】（1）根据已知条件得出两个交点坐标，利用待定系数法求出解析式，然后验证点（3,3）是否在这条抛物线上即可；（2）先确定对称轴为直线，再得出与x 轴的两交点坐标为（，0）和（，0），再利用待定系数法求出解析式的顶点
式可得解；（3）把t=-1代入顶点坐标公式，得到二次函数解析式，根据函数的增减性分别计算a=10和20时b的值从而得解.
12．如图，抛物线与轴交于两点( 在的左侧)，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称.
（1）求抛物线的解析式及点的坐标:
（2）点是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时，求出点的坐标; （3）点在轴上，且，请直接写出点的坐标.
【答案】（1）解：根据题意得，
解得
抛物线的解析式为
抛物线的对称轴为直线
点与点关于抛物线的对称轴对称
点的坐标为
（2）解：连接
点与点关于抛物线的对称轴对称.
为定值，
当的值最小
即三点在同一直线上时的周长最小
由解得，
在的左侧，
由两点坐标可求得直线的解析式为
当时，
当的周长最小时，点的坐标为
（3）解：点坐标为或
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出n，利用对称性C、D关于对称轴对称即可求出点D坐标.（2）A，P，D三点在同一直线上时△PAC的周长最小，求出直线AD的解析式即可解决问题.（3）分两种情形①作DQ∥AC交x轴于点Q，此时∠DQA=∠DAC，满足条件.②设线段AD的垂直平分线交AC于E，直线DE与x的交点为Q′，此时∠Q′DA=′CAD，满足条件，分别求解即可.。