八年级数学上册第五章相交线与平行线单元测试卷综合测试(Word版 含答案)

八年级数学上册第五章相交线与平行线单元测试卷综合测试（Word 版 含答
案）
一、选择题
1．如图，∠1＝20º，AO ⊥CO ，点B 、O 、D 在同一条直线上，则∠2的度数为（ ）
A ．70º
B ．20º
C ．110º
D ．160º 2．如图，AB ∥CD ，直线EF 与AB ，CD 分别交于点M ，N ，过点N 的直线GH 与AB 交于点P ，则下列结论错误的是（ ）
A ．∠EMB=∠END
B ．∠BMN=∠MNC
C ．∠CNH=∠BPG
D ．∠DNG=∠AME
3．下列说法中错误的是（ ）
A ．一个锐角的补角一定是钝角；
B ．同角或等角的余角相等；
C ．两点间的距离是连结这两点的线段的长度；
D ．过直线l 上的一点有且只有一条直线垂
直于l
4．如图，AB ∥CD ，∠B ＝20°，∠D ＝40°，则∠BED 为（ ）
A ．20°
B ．30°
C ．60°
D ．40°
5．如图，//AB CD ，PF CD ⊥于F ，40AEP ∠=︒，则EPF ∠的度数是（ ）
A ．120︒
B ．130︒
C ．140︒
D ．150︒
6．将一副三角板按如图放置，则下列结论①13∠=∠；②如果230∠=，则有//AC DE ；③如果245∠=，则有//BC AD ；④如果4C ∠=∠，必有230∠=，其中正确的有（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．③④
D ．①②③④
7．如图，∠1=70°，直线a 平移后得到直线b ，则∠2-∠3（ ）
A ．70°
B ．180°
C ．110°
D ．80°
8．如图，已知AB ∥CD, EF ∥CD ，则下列结论中一定正确的是( )
A ．∠BCD= ∠DCE;
B ．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360︒;
C ．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD;
D ．∠ABC+∠BC
E -∠CEF=180︒. 9．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后的方向与原来的方向相反，那么两次拐弯的角度可能是是（ ）
A ．第一次右拐60°，第二次左拐120°
B ．第一次左拐60°，第二次右拐60°
C ．第一次左拐60°，第二次左拐120°
D ．第一次右拐60°，第二次右拐60° 10．如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，其中AB ⊥CD ，∠1：∠2=3:6，则∠EOD =
（ ）
A ．120°
B ．130°
C ．60°
D ．150°
11．下列各命题中，属于假命题的是（ ）
A ．若0a b -＞，则a b ＞
B ．若0a b -=，则0ab ≥
C ．若0a b -＜，则a b ＜
D ．若0a b -≠，则0ab ≠ 12．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，
那么∠2的度数是（ ）
A ．30°
B ．25°
C ．20°
D ．15°
二、填空题
13．如图，已知AB CD ∥，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作：
第一次操作，分别作ABE ∠和DCE ∠的平分线，交点为1E ，
第二次操作，分别作1ABE ∠和1DCE ∠的平分线，交点为2E ，
第三次操作，分别作2ABE ∠和2DCE ∠的平分线，交点为3E ，
…
第n 次操作，分别作1n ABE -∠和1n DCE -∠的平分线，交点为n E ．
若1n E ∠=度，那BEC ∠等于__________度．
14．如图，长方形ABCD 中，AB ＝6，第一次平移长方形ABCD 沿AB 的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A 1B 1C 1D 1，第2次平移长方形A 1B 1C 1D 1沿A 1B 1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A 2B 2C 2D 2，…，第n 次平移长方形A n －1B n －1C n －1D n －1沿A n －1B n －1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A n B n C n D n （n ＞2），若AB n 的长度为2 016，则n 的值为__________．
15．如图，直线a ∥b ，且∠1＝28°，∠2＝50°，则∠ABC ＝_______．
16．如图，把直角梯形ABCD 沿AD 方向平移到梯形EFGH ，28HG cm =，5MG cm =，4MC cm =，则阴影部分的面积是___
17．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，等边△ABC 的顶点B 、C 分别在直线l 2、l 3上，若边BC 与直线l 3的夹角∠1=25°，则边AB 与直线l 1的夹角∠2=________．
18．如图，已知12∠=∠，求证：A BCH ∠=∠．
证明：∵12∠=∠（已知）
23∠∠=（______）
∴13∠=∠（等量代换）
∴//CH （______）（同位角相等，两直线平行）
∴A BCH ∠=∠（______）
19．已知∠A 与∠B 的两边分别平行，其中∠A 为x °，∠B 的为(210﹣2x )°，则∠A =____
度．
20．如图，直角△ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则内部五个小直角三角形的周长为_____．
三、解答题
21．如图①，已知直线12l l //，且3l 和12,l l 分别相交于,A B 两点，4l 和12,l l 分别相交于,C D 两点，点P 在线段AB 上，记1 23ACP BDP CPD ∠∠∠∠∠∠＝，＝，＝．
（1）若120,355︒︒∠=∠=，则2∠=_____；
（2）试找出123∠∠∠，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）应用（2）中的结论解答下列问题；如图②，点A 在B 处北偏东42︒的方向上， 若88BAC ︒∠=，则点 A 在C 处的北偏西_____的方向上；
（4）如果点P 在直线3l 上且在,A B 两点外侧运动时，其他条件不变，试探究
1 23∠∠∠，，之间的关系(点 P 和,A B 两点不重合)，直接写出结论即可．
22．如图，//AB CD ，EG 平分DEF ∠，FG 平分BFE ∠．
（1）求证：90EFG GEF ∠+∠=︒；
（2）在（1）问的条件下，过点G 作GH AB ⊥，垂足为H ，FGH ∠的平分线GI 交AB 于点I ，EGH ∠的平分线GJ 交AB 于点J ，求IGJ ∠的度数．
23．在综合与实践课上，老师让同学们以“三条平行线m ，n ，l （即始终满足m ∥n ∥l ）和一副直角三角尺ABC ，DEF （∠BAC ＝∠EDF ＝90°，∠FED ＝60°，∠DFE ＝30°，∠ABC ＝∠ACB ＝45°）”为主题开展数学活动．
操作发现
（1）如图1，展翅组把三角尺ABC 的边BC 放在l 上，三角尺DEF 的顶点F 与顶点B 重合，边EF 经过AB ，顶点E 恰好落在m 上，顶点D 恰好落在n 上，边ED 与n 相交所成的一个角记为∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，受到展翅组的启发，高远组把直线m 向下平移后使得两个三角尺的两个直
角顶点A、D分别落在m和l上，顶点C恰好落在n上，边AC与l相交所成的一个角记为∠2，边DF与m相交所成的一个角记为∠3，请你说明∠2﹣∠3＝15°；
结论应用
（3）老师在点评高远组的探究操作时提出，在（2）的条件下，若点N是直线n上一点，CN恰好平分∠ACB时，∠2与∠3之间存在一个特殊的倍数关系，请你直接写出它们之间的倍数关系，不需要说明理由．
24．（1）问题发现
如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（）
∴∠C＝∠CEF．（）
∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理），
∴∠B+∠C＝（等量代换）
即∠B+∠C＝∠BEC．
（2）拓展探究
如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C＝360°﹣∠BEC．
（3）解决问题
如图③，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，则∠A＝．（之间写出结论，不用写计算过程）
25．（1）方法感悟
∠=∠+∠．
如图①所示，求证：BCF B F
证明：过点C 作//CD EF
//AB EF (已知)
//CD AB ∴(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
1,2B F ∴∠=∠∠=∠(两直线平行，内错角相等 )
12B F ∴∠+∠=∠+∠
即BCF B F ∠=∠+∠
（2）类比应用
如图②所示，//,AB EF 求证：360B BCF F ∠+∠+∠=︒．
证明：
（3）拓展探究
如图③所示，//,AB EF BCF ∠与B F ∠∠、的关系是 (直接写出结论即可)． 如图④所示，//,AB EF BCF ∠与B F ∠∠、的关系是 (直接写出结论即可)．
26．如图，AB ∥CD ．
（1）如图1，∠A 、∠E 、∠C 的数量关系为 ．
（2）如图2，若∠A ＝50°，∠F ＝115°，求∠C ﹣∠E 的度数；
（3）如图3，∠E ＝90°，AG ，FG 分别平分∠BAE ，∠CFE ，若GD ∥FC ，试探究∠AGF 与∠GDC 的数量关系，并说明理由．
27．直线AB ∥CD ，点M ，N 分别在直线AB ，CD 上，点E 为平面内一点．
(1)如图①，探究∠AME ，∠MEN ，∠ENC 的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，∠AME =30°，EF 平分∠MEN ，NP 平分∠ENC ，EQ ∥NP ，求∠FEQ 的度数； （3）如图③，点G 为CD 上一点，∠AMN =m ∠EMN ，∠GEK =m ∠GEM ，EH ∥MN 交AB 于
点H，直接写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系(用含m的式子表示)．
28．如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD⊥BC于E．
（1）求证：∠ABC+∠ADC=90°；
（2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CGD 的度数；
（3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上
一点，且∠NCD=1
2
∠BCN，则∠CIP、∠IPN、∠CNP之间的数量关系是______．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
由AO⊥CO和∠1＝20º求得∠BOC＝70º，再由邻补角的定义求得∠2的度数．
【详解】
∵AO⊥CO和∠1＝20º，
∴∠BOC＝90 º-20 º＝70º，
又∵∠2+∠BOC＝180 º（邻补角互补），
∴∠2＝110º．
故选：C．
【点睛】
考查了邻补角和垂直的定义，解题关键是利用角的度数之间的和差的关系求未知的角的度数．
2．D
解析：D
【解析】
试题分析：根据平行线的性质可得A、∵AB∥CD，∴∠EMB=∠END（两直线平行，同位角相等）；B、∵AB∥CD，∴∠BMN=∠MNC（两直线平行，内错角相等）；C、∵AB∥CD，
∴∠CNH=∠MPN（两直线平行，同位角相等），∵∠MPN=∠BPG（对顶角），
∴∠CNH=∠BPG（等量代换）；D、∠DNG与∠AME没有关系，无法判定其相等．故答案选D.
考点：平行线的性质.
3．D
解析：D
【详解】
解：D选项中缺少先要条件，就是在同一平面内
故选：D
4．C
解析：C
【分析】
过点E作EF∥AB，得∠B=∠BEF=20°，结合AB∥CD知EF∥CD，据此得∠D=∠DEF=40°，根据∠BED=∠BEF+∠DEF可得答案．
【详解】
解：如图，过点E作EF∥AB，
∴∠B=∠BEF=20°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠D=∠DEF=40°，
则∠BED=∠BEF+∠DEF=20°+40°=60°，
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行内错角相等的性质和平行与平面内同一直线的两直线平行的性质．
5．B
解析：B
【分析】
过点P作MN∥AB，结合垂直的定义和平行线的性质求∠EPF的度数．
【详解】
解：如图，过点P作MN∥AB，
∵∠AEP=40°，
∴∠EPN=∠AEP=40°
∵AB∥CD,PF⊥CD于F，
∴PF⊥MN，
∴∠NPF=90
∴∠EPF=∠EPN+∠NPF=40°+90°=130°
故答案为B
【点睛】
本题考查了平行线的判定定理和性质，作出辅助线构造平行线是解答本题的关键．
6．D
解析：D
【分析】
根据∠1+∠2=∠3+∠2即可证得①；根据230∠=求出∠1与∠E 的度数大小即可判断②；利用∠2求出∠3，与∠B 的度数大小即可判断③；利用4C ∠=∠求出∠1，即可得到∠2的度数，即可判断④.
【详解】
∵∠1+∠2=∠3+∠2=90︒，
∴∠1=∠3，故①正确；
∵230∠=，
∴190260∠=-∠=
∠E=60︒，
∴∠1=∠E ，
∴AC ∥DE ，故②正确；
∵245∠=，
∴345∠=，
∵45B ∠=,
∴∠3=∠B,
∴//BC AD ,故③正确；
∵4C ∠=∠45=，
∴∠CFE=∠C 45=，
∵∠CFE+∠E=∠C+∠1，
∴∠1=∠E=60,
∴∠2=90︒-∠1=30，故④正确，
故选：D.
【点睛】
此题考查互余角的性质，平行线的判定及性质，熟练运用解题是关键.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】作AB∥a,先证AB∥a∥b，由平行线性质得∠2=180°-∠1+∠3，变形可得结果.【详解】作AB∥a,由直线a平移后得到直线b，
所以，AB∥a∥b
所以，∠2=180°-∠1+∠3，
所以，∠2-∠3=180°-∠1=180°-70°=110°.
故选：C
【点睛】本题考核知识点：平行线性质.解题关键点：熟记平行线性质.
8．D
解析：D
【解析】
分析：根据平行线的性质，找出图形中的同旁内角、内错角即可判断.
详解：延长DC到H
∵AB∥CD，EF∥CD
∴∠ABC+∠BCH=180°
∠ABC=∠BCD
∠CE+∠DCE=180°
∠ECH=∠FEC
∴∠ABC+∠BCE+∠CEF=180°+∠FEC
∠ABC+∠BCE -∠CEF=∠ABC+∠BCH+∠ECH-∠CEF=180°.
故选D.
点睛：此题主要考查了平行线的性质，关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，同位角相等.
9．C
解析：C
【解析】
试题分析：两次拐弯以后方向相反，那么2次同方向拐弯之和是180°.
故选：C.
10．D
解析：D
【解析】试题分析：根据对顶角的性质可知∠1=∠DOF，然后由平面直角坐标系可知∠DOB=90°=∠DOF+∠2，可知∠1+∠2=90°，再由∠1：∠2=3:6，可求得∠2=60°，因此可知∠AOE=60°，从而求得∠EOD的度数为150°.
故选：D
11．D
解析：D
【分析】
根据不等式的性质对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
A、正确，符合不等式的性质；
B、正确，符合不等式的性质．
C、正确，符合不等式的性质；
D、错误，例如a=2，b=0；
故选D．
【点睛】
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大．
12．B
解析：B
【解析】
根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，
二、填空题
13．【分析】
先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
解析：2n
【分析】
先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出
∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为
E1，则可得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1
1
2
=∠ABE
1
2
+∠DCE
1
2
=∠BEC；同理可得
∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2
1
2
=∠ABE1
1
2
+∠DCE1
1
2
=∠CE1B
1
4
=∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2
的平分线，交点为E3，得出∠BE3C
1
8
=∠BEC；…据此得到规律∠E n
1
2n
=∠BEC，最后求得
∠BEC的度数．
【详解】
如图1，过E作EF∥AB．
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2．
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
如图2．
∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1
1
2
=∠ABE
1
2
+∠DCE
1
2
=∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2
1
2
=∠ABE1
1
2
+∠DCE1
1
2
=∠CE1B
1
4
=∠BEC；
∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3
1
2
=∠ABE2
1
2
+∠DCE2
1
2
=∠CE2B
1
8
=∠BEC；
…
以此类推，∠E n
1
2n
=∠BEC，
∴当∠E n=1度时，∠BEC等于2n度．故答案为：2n．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
14．【解析】
根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=6-5=1，进而求出AB1和AB2的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出ABn=（n+1）×5+1求出n即
解析：【解析】
根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=6-5=1，进而求出AB1和AB2的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出AB n=（n+1）×5+1求出n即可．
解：∵AB=6,第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位,得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位,得到矩形A2B2C2D2…，
∴AA1=5,A1A2=5,A2B1=A1B1−A1A2=6−5=1，
∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11=2×5+1，
∴AB2的长为：5+5+6=16=3×5+1；
……
∴AB n=(n+1)×5+1=2016，
解得：n=402.
故答案为：402.
点睛：本题主要考查找规律.根据所求出的数字找出其变化规律是解题的关键.
15．78°
【解析】
解：过点B作BE∥a，∵a∥b，∴a∥b∥BE，∴∠1=∠3=28°，∠2=∠4=50°，∴∠ABC=∠3+∠4=78°．故答案为：78°．
点睛：此题考查了平行线的性质：两直线
解析：78°
【解析】
解：过点B作
BE∥a，∵a∥b，∴a∥b∥BE，∴∠1=∠3=28°，∠2=∠4=50°，∴∠ABC=∠3+∠4=78°．故答案为：78°．
点睛：此题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解此题的关键是辅助线的作法．
16．130cm2．
【分析】
根据平移的性质可知梯形EFGH≌梯形ABCD，那么GH=CD，BC=FG，观察可知梯形EFMD是两个梯形的公共部分，那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD，再根据梯形的面积计
解析：130cm2．
【分析】
根据平移的性质可知梯形EFGH≌梯形ABCD，那么GH=CD，BC=FG，观察可知梯形EFMD 是两个梯形的公共部分，那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD，再根据梯形的面积计算公式计算即可．
【详解】
解：∵直角梯形EFGH是由直角梯形ABCD平移得到的，
∴梯形EFGH≌梯形ABCD，
∴GH=CD，BC=FG，
∵梯形EFMD是两个梯形的公共部分，
∴S梯形ABCD-S梯形EFMD=S梯形EFGH-S梯形EFMD，
∴S阴影=S梯形MGHD=1
2
（DM+GH）•GM=
1
2
（28-4+28）×5=130（cm2）．
故答案是130cm2．
【点睛】
本题考查了图形的平移，解题的关键是知道平移前后的两个图形全等．17．【解析】
试题分析：如图：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵直线l1∥l2∥l3，∠1=25°，
∴∠1=∠3=25°．
∴∠4=60°-25°=35°，
∴∠2=∠4=35
解析：0
35
【解析】
试题分析：如图：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵直线l 1∥l 2∥l 3，∠1=25°，
∴∠1=∠3=25°．
∴∠4=60°-25°=35°，
∴∠2=∠4=35°．
考点：1．平行线的性质；2．等边三角形的性质．
18．对顶角相等，AG ，两直线平行，同位角相等．
【分析】
根据对顶角的定义可得，再根据平行线的判定可得CH//AG,最后由两直线平行、同位角相等即可证明．
【详解】
解：证明：∵（已知）
（对顶角相等）
解析：对顶角相等，AG ，两直线平行，同位角相等．
【分析】
根据对顶角的定义可得23∠∠=，再根据平行线的判定可得CH//AG,最后由两直线平行、同位角相等即可证明．
【详解】
解：证明：∵12∠=∠（已知）
23∠∠=（对顶角相等）
∴13∠=∠（等量代换）
∴//CH （AG ）（同位角相等，两直线平行）
∴A BCH ∠=∠（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：对顶角相等，AG ，两直线平行，同位角相等．
【点睛】
本题考查了对顶角的定义、平行线的性质和判定定理等知识，灵活应用平行线的性质和判定定理是解答本题的关键．
19．70或30．
【分析】
分∠A=∠B与∠A+∠B=180°两种情况进行讨论即可求解．
【详解】
解：根据题意，有两种情况：
（1）当∠A=∠B，
可得：x=210﹣2x，
解得：x=70；
（2）当
解析：70或30．
【分析】
分∠A=∠B与∠A+∠B=180°两种情况进行讨论即可求解．
【详解】
解：根据题意，有两种情况：
（1）当∠A=∠B，
可得：x=210﹣2x，
解得：x=70；
（2）当∠A+∠B=180°时，
可得：x+210﹣2x=180，
解得：x=30．
故答案为：70或30．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，在解答此题时要注意分类讨论．
20．12
【解析】
分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．
详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的
解析：12
【解析】
分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．
详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，
故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=12．
故答案为12．
点睛：本题主要考查了平移的性质，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．
三、解答题
21．（1）35︒；（2）123∠+∠=∠，理由见解析；（3）46︒；（4）当P 点在A 的上方时，321∠=∠-∠，当P 点在B 的下方时，312∠=∠-∠．
【分析】
（1）由题意直接根据平行线的性质和三角形内角和定理进行分析即可求解；
（2）由题意过点P 作//PM AC ，进而利用平行线的性质进行分析证明即可；
（3）根据题意过A 点作//AF BD ，则////A BD CE ，进而利用平行线的性质即可求解；
（4）根据题意分当P 点在A 的上方与当P 点在B 的下方两种情况进行分类讨论即可．
【详解】
解：()1∵12l l //，
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，
在△PCD 中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，
∴∠3=∠1+∠2，则有∠2=∠3-∠1=35︒，
故答案为：35︒；
()2123∠+∠=∠理由如下：
过点P 作//PM AC
//AC BD
////AC PM BD ∴
12CPM DPM ∴∠=∠∠=∠，
12CPM DPM CPD ∴∠+∠=∠+∠=∠
()3过A 点作//AF BD ，则////A BD CE ，
则BAC DBA ACE ∠∠+∠＝，
故答案为：46︒；
()4当P 点在A 的上方时，
如图 2，
∴∠1=∠FPC ．
∵14//l l ，
∴2//PF l ，
∴∠2=∠FPD
∵∠CPD=∠FPD-∠FPC
∴∠CPD=∠2-∠1，即321∠=∠-∠．
当P 点在B 的下方时，
如图 3，
∴∠2=∠GPD
∵12l l //，
∴1//PG l ，
∴∠1=∠CPG
∵∠CPD=∠CPG-∠GPD
∴∠CPD=∠1-∠2，即312∠=∠-∠．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）45IGJ ∠=︒．
【分析】
（1）根据平行线的性质可得180DEF BFE ∠+∠=︒，再利用角平分线的定义即可得证； （2）过点G 作//GK AB ，则////AB GK CD ，根据平行线的性质可得DEG EGK ∠=∠，KGF GFB ∠=∠，再结合（1）的结论易得90EGK KGF ∠+∠=︒，利用角平分线的定义及垂线的定义即可求解．
【详解】
（1）证明：∵//AB CD ，
∴180DEF BFE ∠+∠=︒．
∵EG 平分DEF ∠，FG 平分BFE ∠，
∴22DEF GEF DEG ∠=∠=∠，22BFE EFG GFB ∠=∠=∠，
∴22180GEF EFG ∠+∠=︒，
∴90EFG GEF ∠+∠=︒．
（2）解：过点G 作//GK AB ．
∵//AB CD ，
∴////AB GK CD ，
∴DEG EGK ∠=∠，KGF GFB ∠=∠．
由（1）得90DEG GFB ∠+∠=︒，∴90EGK KGF ∠+∠=︒．
∵GH AB ⊥，
∴GH KG ⊥，即90KGH KGF HGF ∠=∠+∠=︒，
∴EGK HGF ∠=∠．
∵GJ 平分EGH ∠，
∴EGJ HGJ ∠=∠．
又KGJ EGJ EGK ∠=∠-∠，FGJ HGJ HGF ∠=∠-∠，
∴KGJ FGJ ∠=∠，
∴2KGF FGJ ∠=∠．
∵GI 平分HGF ∠，
∴2HGF FGI ∠=∠，
∴2290FGJ FGI ∠+∠=︒，即45FGJ FGI ∠+∠=︒，
∴45IGJ FGJ FGI ∠=∠+∠=︒．
【点睛】
本题考查平行线的性质、角平分线的定义等内容，掌握平行线的性质是解题的关键．
23．（1）75°；（2）见解析；（3）∠2＝3∠3
【分析】
（1）利用三角板的度数，求出∠DBC 的度数，再利用平行线的性质得到∠BDN 的度数，由此得到∠1的度数；
（2）过B 点作BG ∥直线m ，利用平行线的性质可得到∠3＝DBG 和∠LAB ＝∠ABG ，再利用等量代换得到∠3+∠LAB ＝75°，利用余角性质得到∠LAB ＝90°-∠2，由此证明结论； （3）结论：∠2＝3∠3．利用（2）中结论，结合平行线的性质得到∠2和∠3的度数由此证明结论．
【详解】
（1）∵直线n ∥直线l ，
∴∠DBC ＝∠BDN ，
又∵∠DBC ＝∠ABC ﹣∠ABD ＝45°﹣30°＝15°，
∴∠BDN ＝15°，
∴∠1＝90°﹣15°＝75°．
（2）如图所示，过B 点作BG ∥直线m ，
∵BG ∥m ，l ∥m ，
∴BG ∥l （平行于同一直线的两直线互相平行），
∵BG ∥m ，
∴∠3＝DBG ，
又∵BG ∥l ，
∴∠LAB ＝∠ABG ，
∴∠3+∠LAB ＝∠DBA ＝30°+45°＝75°，
又∵∠2和∠LAB 互为余角，
∴∠LAB ＝90°﹣∠2，
∴∠3+90°﹣∠2＝75°，
∴∠2﹣∠3＝15°．
（3）结论：∠2＝3∠3．
理由：在（2）的条件下，∠2﹣∠3＝15°，
又∵CN 平分∠BCA ，
∴∠BCN ＝∠CAN ＝22.5°，
又∵直线n ∥直线l ，
∴∠2＝22.5°，
∴∠3＝7.5°，
∴∠2＝3∠3．
【点睛】
考查平行线的性质并结合了三角板中的特殊角度，学生需要作辅助线利用平行线的传递性将特殊的角的关系联系起来，熟悉掌握平行线之间角的关系是解题的关键．
24．（1）平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠BEF +∠CEF ；（2）证明见解析；（3）20°．
【分析】
（1）过点E 作//EF AB ，根据平行线的判定得出////AB CD EF ，根据平行线的性质得出即可；
（2）过点E 作//EF AB ，根据平行线的判定得出////AB CD EF ，根据平行线的性质得出即可；
（3）过点E 作//EF AB ，根据平行线的判定得出////AB CD EF ，根据平行线的性质得出即可．
【详解】
（1）证明：如图①，过点E 作EF ∥AB ，
∵AB ∥DC （已知），EF ∥AB （辅助线的作法），
∴EF ∥DC （平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C ＝∠CEF ．（两直线平行，内错角相等），
∵EF ∥AB ，
∴∠B ＝∠BEF （同理），
∴∠B +∠C ＝∠BEF +∠CEF （等量代换）
即∠B +∠C ＝∠BEC ，
故答案为：平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠BEF +∠CEF ； （2）证明：如图②，过点E 作EF ∥AB ，
∵AB ∥DC （已知），EF ∥AB （辅助线的作法），
∴EF ∥DC （平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C +∠CEF ＝180°，∠B +∠BEF ＝180°，
∴∠B +∠C +∠AEC ＝360°，
∴∠B +∠C ＝360°﹣∠BEC ；
（3）解：如图③，过点E 作EF ∥AB ，
∵AB ∥DC （已知），EF ∥AB （辅助线的作法），
∴EF ∥DC （平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C +∠CEF ＝180°，∠A ＝∠BEF ，
∵∠C ＝120°，∠AEC ＝80°，
∴∠CEF ＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BEF ＝80°﹣60°＝20°，
∴∠A ＝∠AEF ＝20°．
故答案为：20°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
25．（2）见解析；（2）BCF F B ∠=∠-∠，BCF B F ∠=∠-∠．
【分析】
（2）过点C 作CD ∥AB ，由平行线的性质，得到180B BCD ∠+∠=︒，
180DCF F ∠+∠=︒，即可得到结论成立；
（3）①过点C 作CD ∥AB ，由平行线的性质和（2）的证明方法，即可得到答案； ②过点C 作CD ∥AB ，由平行线的性质和（2）的证明方法，即可得到答案；
【详解】
()2证明:过点C 作//CD AB
//AB EF (已知)
//CD EF ∴(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
180,180B BCD DCF F ∴∠+∠=︒∠+∠=︒(两相线平行，同旁内角补)，
∵BCF BCD DCF ∠=∠+∠，
∴360B BCF F ∠+∠+∠=︒；
（3）①过点C 作//CD AB ，如图：
∵AB ∥CD ∥EF ，
∴180,180B BCD DCF F ∠+∠=︒∠+∠=︒，
∵BCD BCF DCF ∠=∠+∠，
∴BCF F B ∠=∠-∠；
故答案为：BCF F B ∠=∠-∠；
②过点C 作//CD AB ，如图：
∵AB ∥CD ∥EF ，
∴180,180B BCD DCF F ∠+∠=︒∠+∠=︒，
∵BCD BCF DCF ∠+∠=∠，
∴BCF B F ∠=∠-∠．
故答案为：BCF B F ∠=∠-∠．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握题意，以及掌握平行线的判定和性质进行证明．
26．（1）∠AEC ＝∠C +∠A ；（2）∠C ﹣∠E ＝15°；（3）2∠AGF +∠GDC ＝90°．理由见解析．
【分析】
（1）过点E 作EF ∥AB ，知AB ∥CD ∥EF ，据此得∠A=∠AEF ，∠C=∠CEF ，根据∠AEC=∠AEF+∠CEF 可得答案；
（2）分别过点E 、F 作FM ∥AB ，EN ∥AB ，设∠NEF=x=∠EFM ，知∠AEF=x+50°，∠MFC=115°-x ，据此得∠C=180°-（115°-x ）=x+65°，进一步计算可得答案；
（3）分别过点E 、F 、G 作FM ∥AB ，EN ∥AB ，GH ∥AB ，设∠GAE=x=∠GAB ，∠GFM=y ，∠MPC=z ，知∠GPE=y+z ，从而得2x+2y+z=90°，∠C=180°-z ，根据GD ∥FC 得∠D=z ，由GH ∥AB ，AB ∥CD 知∠AGF=x+y ，继而代入可得答案．
【详解】
（1）∠AEC ＝∠C +∠A ，
如图1，过点E 作EF ∥AB ，
∵AB ∥CD ，
∴AB ∥CD ∥EF ，
∴∠A ＝∠AEF ，∠C ＝∠CEF ，
则∠AEC ＝∠AEF +∠CEF ＝∠A +∠C ，
故答案为：∠AEC ＝∠C +∠A ；
（2）如图2，分别过点E、F作FM∥AB，EN∥AB，
设∠NEF＝x＝∠EFM，则∠AEF＝x+50°，∠MFC＝115°﹣x，
∴∠C＝180°﹣（115°﹣x）＝x+65°，
∴∠C﹣∠E＝x+65°﹣（x+50°）＝15°；
（3）如图3，分别过点E、F、G作FM∥AB，EN∥AB，GH∥AB，
设∠GAE＝x＝∠GAB，∠GFM＝y，∠MPC＝z，
则∠GPE＝y+z，
∴2x+2y+z＝90°，∠C＝180°﹣z，
∵GD∥FC，
∴∠D＝z，
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴∠AGF＝x+y，
∴2∠AGF+∠GDC＝90°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行内错角相等的性质．27．（1）∠MEN=∠AME+∠ENC，见解析；（2）∠FEQ=15°；（3）∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．
【分析】
（1）过点E作l∥AB，利用平行线的性质可得∠1=∠BME，∠2=∠DNE，由
∠MEN=∠1+∠2，等量代换可得结论；
（2）利用角平分线的性质可得∠NEF=1
2
∠MEN，∠ENP=
1
2
∠END，由EQ∥NP，可得
∠QEN=∠ENP=1
2
∠ENC，由（1）的结论可得∠MEN=∠AME+∠ENC，等量代换得出结论；
（3）由已知可得∠EMN=1
m
∠BMN，∠GEN=
1
m
∠GEK，由EH∥MN，可得
∠HEM=∠ENM=
1
m
∠AMN，因为∠GEH=∠GEM-∠HEM，等量代换得出结论．【详解】
解：(1)过点E作l∥AB，
∵AB∥CD，∴l∥AB∥CD
∴∠1=∠AME，∠2=∠CNE．
∵∠MEN=∠1+∠2，
∴∠MEN=∠AME+∠ENC；
（2）∵EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，
∴∠NEF=1
2
∠MEN，∠ENP=
1
2
∠ENC．
∵EQ∥NP，∴∠QEN=∠ENP=1
2
∠ENC．
由（1）可得∠MEN=∠AME+∠ENC，∴∠MEN-∠ENC=∠AME=30°．
∴∠FEQ=∠NEF-∠NEQ=1
2
（∠MEN-∠ENC）=
1
2
×30°=15°；
(3)∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．理由如下：∵∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，
∴∠EMN=1
m
∠AMN，∠GEM=
1
m
∠GEK．
∵EH∥MN，∴∠HEM=∠EMN=1
m
∠AMN．
∵∠GEH=∠GEM-∠HEM=1
m
∠GEK-
1
m
∠AMN，
∴m∠GEH=∠GEK-∠AMN．
∵∠BMN+∠AMN=180°，
∴∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，平行公理以及角平分线的定义等知识点，作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键．
28．（1）见解析；（2）225°；（3）3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP．
【分析】
(1)如图1中，过E作EF∥a，利用平行线的性质即可解决问题；
(2)如图2中，作FM∥a，GN∥b，设∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，可得x+y=45°，证明∠AFB=180°-（2y+x），∠CGD=180°-（2x+y），推出∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y）即可解决问题；
(3)分两种情形：①当点N在∠DCB内部时，②当点N′在直线CD的下方时，分别画出图形求解即可．
【详解】
(1)证明：如图1中，过E作EF∥a．
∵a∥b，
∴a∥b∥EF，
∵AD⊥BC，
∴∠BED=90°，
∵EF∥a，
∴∠ABE=∠BEF，
∵EF∥b，
∴∠ADC=∠DEF，
∴∠ABC+∠ADC=∠BED=90°．
(2)解：如图2中，作FM∥a，GN∥b，
设∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，
由（1）知：2x+2y=90°，x+y=45°，
∵FM∥a∥b，
∴∠BFD=2y+x，
∴∠AFB=180°-（2y+x），
同理：∠CGD=180°-（2x+y），
∴∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y），
=360°-3×45°=225°．
(3)解：如图，设PN交CD于E．
当点N在∠DCB内部时，∵∠CIP=∠PBC+∠IPB，∴∠CIP+∠IPN=∠PBC+∠BPN+2∠IPE，
∵PN平分∠EPB，
∴∠EPB=∠EPI，
∵AB∥CD，
∴∠NPE=∠CEN，∠ABC=∠BCE，
∵∠NCE=1
2
∠BCN，
∴∠CIP+∠IPN=3∠PEC+3∠NCE=3（∠NCE+∠NEC）=3∠CNP．
当点N′在直线CD的下方时，同理可知：∠CIP+∠CNP=3∠IPN，
综上所述：3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP．
【点睛】
本题考查平行线的性质，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。