推荐2019届高三数学(理)人教版一轮课件：第三篇第4节 三角函数的图象与性质(38)

第 4节
三角函数的图象与性质
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1
考纲展示
1.能画出y=sin x,y=cos x,
y=tan x的图象,了解三角函 数的周期性.
2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π ] 上的性质(如单调性、最大值和最小值、
图象与x轴的交点等),理解正切函数在
(,
π π ) 内的单调性 . 2 2
考点一 三角函数的定义域
在讲练中理解知识
【例 1】 (1)(2017·合肥八中调研)函数 y= 2sin x 1 的定义域为( (A)[
π 5π , ] 6 6 π 5π ,2kπ + )(k∈Z) 6 6
)
(B)[2kπ + (D)[kπ +
π 5π ,2kπ + ](k∈Z) 6 6 π 5π ,kπ + ](k∈Z) 6 6
π )的对称轴的集合为 3
.
解析:由 2x+
π π kπ π = +kπ,k∈Z,得 x= + ,k∈Z, 3 2 2 12 kπ π + ,k∈Z}. 2 12
即对称轴的集合为{x|x=
答案:{x|x=
kπ π + ,k∈Z} 2 12
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5.y=sin(2x-
π )的单调减区间为 4
π , 2
上单调递减
2kπ π k Z 2
(k∈Z)上单 调递增
最 值
x=
时,ymax=1;x=
x= 2kπ (k∈Z) 时, ymax=1;x=2kπ +π (k∈ Z)时,ymin=-1 无最值
2kπ -
π (k∈Z)时,ymin=-1 2
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奇偶性
奇函数 ____________
_______________
周期 2π
x kπ
π k Z 2
π
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【重要结论】
对称与周期: (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 4 周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.
1
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1 5 )= ,又 f(-1)=-1,f(1)=1,可得 f(t)min=f(-1)=-1. 2 4
5 ].故选 C. 4
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3.函数y=sin 2x的最小正周期为
解析:因为ω=2, 所以函数的最小正周期为 T=
2π
.

=
2π =π. 2
答案:π
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4.函数 y=3sin(2x+
(C)(2kπ +
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解析:(1)由 2sin x-1≥0, 得 sin x≥ 所以 2kπ+
1 , 2
π 5π ≤x≤2kπ+ (k∈Z).故选 B. 6 6
答案:(1)B
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(2)(2017·冀州中学质检)函数 y= sin x cos x 的定义域为
对称中心
偶函数 ________
对称中心
π k π ,0 2
奇函数 ___________
对称中心
kπ ,0 (k∈Z) 2
(kπ ,0)(k∈Z) ________________
对称性 对称轴 l:
(k∈Z) 对称轴 l: x=kπ (k∈Z) 2π
π )(k∈ Z)上都是增 2
函数,但在定义域内不是单调函数.
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4
知识梳理
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
y=sin x 图象 y=cos x y=tan x
定义域 值域
R [-1,1]
R [-1,1]
{x|x≠
π +kπ , 2
k∈Z} R
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5
单 调 性
π π 在 2kπ ,2kπ (k∈Z)上单调 2 2 π 3 递增;在 2kπ ,2kπ π (k∈Z) 2 2
在[2kπ -π ,2kπ ](k ∈Z)上单调递增;在 [2kπ ,2kπ +π ](k∈ Z)上单调递减
在(kπ kπ +
π ) 2
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9
2.函数 y=cos x+sin x 的值域为( (A)[-1,1] (C)[ -1,
5 ] 4
2
C
)
(B)[1,
5 ] 4
(D)[0,1]
1 2 5 ) + =f(t), 2 4
解析:令 sin x=t∈[-1,1],则函数 y=cos2x+sin x=1-t2+t=-(tt∈[-1,1],f(t)max=f( 所以 f(t)∈[-1,
π ≤x≤2kπ+ 5π ,k∈Z}. 4 4
π ≤x≤2kπ + 5π ,k∈Z} 4 4
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反思归纳
简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数的图象求解.
.
解析:由 得
π π 3π +2kπ≤2x- ≤ +2kπ, 2 4 2
3π 7π +kπ≤x≤ +kπ, 8 8 3π 7π +kπ, +kπ](k∈Z). 8 8
即函数的单调减区间为[
答案:[
3π 7π +kπ , +kπ ](k∈Z) 8 8
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考点专项突破
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2
知识梳理自测
考点专项突破
解题规范夯实
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3
知识梳理自测
【教材导读】
1.所有的周期函数都有最小正周期吗?
把散落的知识连起来
提示:不是所有的周期函数都有最小正周期.如函数f(x)=c(c为常数)的周期
为任意非零实数,但没有最小正周期.
2.正切函数y=tan x在定义域是增函数吗? 提示:不是,正切函数y=tan x在每一个区间(kπ- π,k π+ 2
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双基自测
1.(2018·杭州模拟)若函数 f(x)=sin (A)
π 2 x+ ( ∈[0,2π ])是偶函数,则 等于( C 3
)
(B)
2π 3
(C)
3π 2
(D)
5π 3
解析:由
π 3 =kπ+ ,k∈Z 得 =3kπ+ π,k∈Z, 3 2 2
3 π. 2
又 ∈[0,2π],所以取 k=0,得 =
.
解析: (2)要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0.利用图象,在同一坐标系中画 出[0,2π]上 y=sin x 和 y=cos x 的图象,如图所示. 在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为 π,所以原函数的定义域为{x|2kπ+
答案:(2){x|2kπ +
π 5π , ,再结合正弦、余弦函数的周期是 2 4 4