八年级数学上册第四章一次函数

八年级数学上册第四章一次函数
一．函数
1.函数的概念
一般地；在某一变化过程中有两个变量x与y；如果给定一个x值；相应地就确定了唯一的y值；那么我们称y是x的函数；其中x是自变量；y是因变量。

也就是说；函数是两个变量之间的关系。

注意：（1）函数是一个变量相对于另一个变量而言的；如对于两个变量y与x；可以说y是x的函数；不能说y是函数（2）函数是有顺序性的；如y=0.5x+3表示y是x的函数；而变形后的等式x=2y-6；则表示x是y的函数
2.自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体；叫做自变量的取值范围。

一般从整式（取全体实数）；分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。

3.函数的三种表示法
列表法、关系式法（一定要是等式）、图像法
【例1】下列关于变量x；y的关系式：①x-3y=1;②y=∣x∣;③2x-y2=9.其中y是x的函数的是；x是y的函数的是
变式训练：
1.下列关系式中哪些是函数；哪些不是？
【例2】写出下列函数关系中自变量的取值范围
【例3】写出y与x的函数关系式并指出自变量的取值范围
（1）一个长方形周长为24；一边长为x；面积为y
（2）一个长方形菜园；一边靠墙；另外三边用篱笆围成；垂直于墙的一边为x；菜园的面积为y
变式训练：
1.写出下列函数关系式；并写出自变量的取值范围
（1）周长为24的等腰三角形；它的底边长y与腰长x之间的函数关系
（2）周长为24的等腰三角形；它的腰长y与底边长x之间的函数关系
小测验（10分钟）
1.下列四个图像中；不表示某一个函数图像的是（）
2.设路程为s；速度为v；时间为t；当s=60时；t=60/v；在这个表达式中（）
A. t是s的函数
B. t是v的函数
C. v是t的函数
D. v是s的函数
3.已知x-3y=6；若把y看成x的函数；则可表示为
4.已知变量x与y有如下关系：①y=x ②y =∣x∣③∣y∣= x ④x2-y=0 ⑤x-y2=0；其中y是x 的函数关系的有（填序号）
5.对于圆的周长公式C=2πR ；其中自变量是；因变量是；常量是
6.写出下列函数关系式中；自变量的取值范围
二、一次函数与正比例函数
1.正比例函数和一次函数的概念
一次函数：y=kx+b（k；b为常数；k≠0）
正比例函数：y=kx（k≠0）
一次函数有（填序号）
变式训练：
1.下列关系中符合正比例关系的是（）
A.距离s一定时；速度v和时间t
B.圆的面积s和半径r
C.正方体的体积和棱长a
D.正方形的周长C和它的边长a
其中属于一次函数的是
3.粮库有粮50t；每天运走5t；写出剩下的粮食P（t）与运粮天数t (天)的函数关系式；并指出自变量的取值范围。

它是一次函数吗？是正比例函数吗？
2.一次函数和正比例函数k、b的取值问题
变式训练：
三、一次函数的图像
1.由函数关系式画其图像的一般步骤
列表→描点→连线（列表时自变量的取值一定要有一定的代表性；并且大小合适）
2、图像的特征：
一次函数y=kx+b（k、b为常数；k≠0）的图像是经过点（0；b）的直线；正比例函数y=kx的图像是经过原点（0；0）的直线。

3、正比例函数和一次函数的性质
（1）正比例函数y=kx有下列性质：
①当k>0时；图像经过第一、三象限；y随x的增大而增大；
②当k<0时；图像经过第二、四象限；y随x的增大而减小。

（2）一次函数y=kx+b（k、b为常数；k≠0）有下列性质：
①图像经过点（0；b）[也就是与y轴的交点]
②当k>0时；y随x的增大而增大
③当k<0时；y随x的增大而减小
注：一次函数的图像是一条直线；因此一次函数y=kx+b的图像也成为直线y=kx+b
【例6】已知（-1；y1）和（1；y2）是直线y= -9x上的两点；则y1与y2的大小关系是
变式训练：
1.已知点A(-5；a)和B(4；b)在直线y= -3x-5上；则a与b的大小关系是
2.已知点A(a；-5)和B(b；4)在直线y= -3x-5上；则a与b的大小关系是
【例7】一次函数y= -9x-5不经过的象限是
变式训练：
1.已知一次函数y=(6+3m)x+3-2m的图像与y轴交于负半轴；且y随x的增大而增大；求m的
取值范围
2.两个一次函数y1=ax+b与y2=bx+a；它们在同一平面直角坐标系中的图像可能是下列选项中的（）
3．直线y= 0.5x-3与直线y= 0.5x的关系是；可把直线y= 0.5x向平移个单位长度得到直线y= 0.5x-3
4、坐标、函数、方程之间的关系（※※※）
【例8】已知点P（a；b）在一次函数y= 4x+3的图像上；则代数式4a-b-2的值为
变式训练：
1.已知点（3；2）在一次函数y= mx+n（m；n为常数；且m≠0）的图像上；则3m-2n=
2.已知点（3；5）在直线y= mx+n（m；n为常数；且m≠0）的图像上；则5（3a+b）=
【例9】一次函数y=5x-10的图像与x轴的交点坐标为；与y轴的交点坐标为
变式训练：
1.直线y= -x+3与坐标轴所围成的面积是
2.若正比例函数的图像经过点（-1；2）；则这个图像必经过点（）
A.（1；2）
B.（-1；-2）
C.（2；-1）
D.（1；-2）
3.在一次函数y= 2x-5中；当x由3增大到4时；y的值；当x由-3增大到-2时；y的值
（选做题）已知y+2与x成正比例；且当x= -2时；y=0.
（1）求y与x之间的函数表达式
（2）画出函数的图像
（3）观察图像；当x取何值时；y≥0？
（4）已知点（m；6）在该函数的图像上；求m的值
=4；
（5）设点P在y轴的负半轴上；（2）中的图像与x轴；y轴分别交于A；B两点；且S
△ABP 求点P的坐标。

5、一次函数与一元一次方程的关系：
由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数；k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时；求相应的自变量的值．
从图象上看；这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
【例10】一次函数y=kx+b的图像如图所示；则方程kx+b=0的解为（）
A.x=2
B.x=-1
C.y=2
D.y=-1
变式训练：
1.若直线y=kx+b经过点（2；3）；则关于x的方程kx+b=3的解为
2．直线y=2x-3交x轴于点；由此可知；方程2x-3=0的解为
3.方程4x-b=5的解为x=2；则直线y=4x-b一定经过点（）
A.（2；0）
B.（0；3）
C.（0；4）
D.（0；-3）
6.一次函数的应用
①首先要明白横坐标和纵坐标各自的意义；每个点的意义
②注意自变量的取值范围应使实际问题有意义
③同一个坐标系中；两个一次函数的图像的比较；交点的含义
④准确理解一次函数表达式中k；b的含义
【例11】甲乙两工程队同时修筑水渠；且两队所修水渠总长相等；如图是两队所修水渠长度y（米）与修筑时间t（时）的函数图像的一部分。

请根据图中信息；解答下列问题：
(1)直接写出甲队在0≤x≤5的时间段内；y与x之间的函数表达式
(2)直接写出乙队在2≤x≤5的时间段内；y与x之间的函数表达式
【例12】如图；一次函数y=kx+b的图像经过A；B两点；与x轴交于点C；求一次函数的表达式及△AOC的面积
变式训练：
1.某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择；其中一种有月租费；另一种无月租费；且两种通讯方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的关系式如图所示
（1）有月租的通讯方式是（填①或②）；月租费是元
（2）分别求出两种收费方式中y与x之间的函数表达式
2.某办公用品销售商店推出两种优惠办法：①购一个书包；赠送一支水性笔；②购书包和水性笔一律按九折优惠。

书包每个定价20元；水性笔每支定价5元。

小丽和同学需买四个书包；水性笔若干支（不少于4支）。

（1）分别写出两种优惠办法购买费用y(元)与所买水性笔支数x之间的关系式
（2）小丽和同学需买这种书包4个；水性笔12支；请你计算怎样购买最经济。