小学数学奥赛7-7-5 容斥原理之最值问题.学生版

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进
来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A 类、
B 类与
C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．
教学目标
知识要点
7-7-5.容斥原理之最值问题
1．先包含——A B +
重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；
2．再排除——A B A B +-I
把多加了1次的重叠部分A B I 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，
大圆表示C 的元素的个数．
1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B I 、B C I 、C A I 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---I I I 重叠部分A B C I I 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --I I I 计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+I I I I I ．
【例 1】“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。

每个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年级都不同。

如果每道题出现在不同年级，最多只能出现3次。

本届活动至少要准备道决赛
试题。

【例 2】将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？
【例 3】如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?
【例 4】某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？
【巩固】某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有人．
【巩固】60人中有
2
3
的人会打乒乓球，
3
4
的人会打羽毛球，
4
5
的人会打排球，这三项运动都会的人有22人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？
【例 5】图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时
有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?
例题精讲
【巩固】甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?
【例 6】某数学竞赛共160人进入决赛，决赛共四题，做对第一题的有136人，做对第二题的有125人，做对第三题的有118人，做对第四题的有104人。

在这次决赛中至少有____得满分。

【例 7】某班有46人，其中有40人会骑自行车，38人会打乒乓球，35人会打羽毛球，27人会游泳，则该班这四项运动都会的至少有人。

【例 8】在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？
【巩固】甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?
【巩固】在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被1个人浇过的花最少有多少盆？
一、现代文阅读
1．现代文阅读阅读下面的文章，完成下列小题。

①20世纪四十年代末，由于美国科学家发明了一种利用测量原子稳定能级之间跃迁的方式来计时的方法后，计时方式进入了所谓的“原子钟时代”。

②原子钟的计时方式是采用测量一种稳定的原子能级之间的跃迁频率作为计时的方法。

在1967年，国际度量衡大会决定采用原子钟来定义基本时间单位。

到20世纪末，一方面通过进一步对原子钟的使用条件进行严格规定，另一方面通过技术改进，例如使用激光冷却和原子俘获，以及更精密的激光光谱技术，使原子钟的精确性有了更大的提高。

这种精确的计时装置使时间的计量更加统一和准确，为科学技术研究、现代生产活动和人们的日常生活都带来了很大的方便，于是有人将之称为“时间魔盒”。

③进入21世纪，科学家不但在原子钟的准确性方面继续努力，还在原子钟的微型化和节能化方面狠下功夫，使得新一代原子钟实现了芯片级的跃升，所需能量也大大降低，从而在稳定性和精密性方面再一次得到了极大的优化，并进入到了商业化推广阶段。

④当前，原子钟在工作物质方面也开始多样化，不再限于铯元素。

工作模式则分为光学原子钟和量子原子钟等多种不同的模式。

原子钟甚至已经突破了单纯原子的界限，开始朝着原子核和单个离子特性测量的方向
发展。

特别重要的进展还在于，如今的原子钟________已作为一种精确的计时装置得到应用，________成为科学家研究宇宙天体乃至地形地貌等更广泛科学领域的新型探测工具。

⑤我们已经知道时间并非绝对均匀的流逝过程，在不同的引力条件下时间流逝是有一定差异的。

反映到原子钟的运行上，其时间快慢也由于引力场的作用而有所差异。

但一般原子计时装置可能无法觉察到这种微小差异，只有超精密的原子钟才有可能探测到这个差异。

基于这个思路，在目前更新一代原子钟技术的基础上，科学家开始通过探测其时间差异来研究不同宇宙天体的变化所引起的引力波现象。

据英国《自然》杂志的报道，科学家也在利用便携式微型精密原子钟来测量山脉的高度，其原理也是基于山峰和谷底引力变化所导致的时间差异。

⑥可以预见，随着原子钟技术的不断发展，一方面其为更广阔的科学技术领域，例如宇宙天体、人造卫星、地形地貌、半导体芯片等的研究应用创造新的机会，另一方面也将普及到更广泛的生产和生活领域，为人们的日常生活带来更多的便利。

（1）①请用比喻的修辞为本文拟写一个恰当的标题，要求题目中包含本文的说明对象。

________
②从全文看，本文依次介绍了原子钟的发明、特点、________、________。

（2）下列对文章内容理解和分析不正确的一项是（）
A. 第②段划线句用举例子的说明方法，说明了技术改进的方式和作用。

B. 直到21世纪，新一代原子钟实现了芯片级的跃升，才使得原子钟在精确性方面有了极大的提高。

C. 第⑤段援引英国《自然》的报道，说明了原子钟在科研上的应用原理。

D. 在原子钟的运行上，其时间快慢也由于引力场的作用而有所差异。

但只有超精密的原子钟才有可能探测到这个差异。

（3）第④段的横线处缺少一组关联词，小明用“既……又……”来填空，小芳用“不仅……还……”来填空，你赞同谁的观点？并说说你赞同的理由。

【答案】（1）“时间魔盒”原子钟；发展；应用（用途）
（2）B
（3）我赞同小芳的观点。

理由：“不仅……还……”是递进复句的关联词语。

前面主要讲的是原子钟在计时方面的应用，而第⑤小节讲到“原子钟成为科学家研究宇宙天体乃至地形地貌等更广泛科学领域的新型探测工具”，体现出原子钟用途的进一步扩大，比前一个用途更进一层。

而“既……又……”是并列关系的关联词，不能体现层进关系。

【解析】【分析】（1）从全文看，本文依次介绍了“原子钟”的发明、特点、发展和应用等内容。

由此可知，本文说明的对象是“原子钟”。

结合文章第②段“这种精确的计时装置使时间的计量更加统一和准确，为科学技术研究、现代生产活动和人们的日常生活都带来了很大的方便，于是有人将之称为‘时间魔盒’”，可将题目拟写为：“时间魔盒”原子钟。

答案是多元的。

据此可完成本题的作答。

（2）依据“进入21世纪，科学家不但在原子钟的准确性方面继续努力，还在原子钟的微型化和节能化方面狠下功夫，使得新一代原子钟实现了芯片级的跃升，所需能量也大大降低，从而在稳定性和精密性方面再一次得到了极大的优化，并进入到了商业化推广阶段”可知，B项的“直到21世纪，新一代原子钟实现了芯片级的跃升，才使得原子钟在精确性方面有了极大的提高”的概括，与原文表达的意思不完全一致。

故答案为B。

（3）阅读文本可知，“已作为一种精确的计时装置得到应用”与“成为科学家研究宇宙天体乃至地形地貌等更
广泛科学领域的新型探测工具”句意之间的关系是递进关系，所以应该选用表递进关系的关联词语“不仅……还……”。

而不应该选用表并列关系的“既……又……”。

据此应该赞同小芳的观点。

故答案为：⑴“时间魔盒”原子钟；发展；应用（用途）
⑵B；
⑶我赞同小芳的观点。

理由：“不仅……还……”是递进复句的关联词语。

前面主要讲的是原子钟在计时方面的应用，而第⑤小节讲到“原子钟成为科学家研究宇宙天体乃至地形地貌等更广泛科学领域的新型探测工具”，体现出原子钟用途的进一步扩大，比前一个用途更进一层。

而“既……又……”是并列关系的关联词，不能体现层进关系。

【点评】⑴本题考查说明文的说明对象及其特征的梳理概括能力。

解答时抓住关键句进行即可。

⑵本题考查对文章内容的理解和分析能力。

解答时认真审题，将内容放入原文进行对比，注意不可妄加猜测。

⑶本题考查复句的运用能力。

解答时需要认真审题，明确此题的考查重点，先点明观点，然后再结合内容表达需要的是什么关系的复句，最后进行效果差别叙述即可。

2．现代文阅读阅读下面《器成还须久为功》一文，完成下列小题。

①人才的成长也是有过程的，一旦超出科学界限，所谓的速成只会营造“海市蜃楼”般的幻影。

②近日，故宫博物院的家具馆对外开放，许多参观者第一次欣赏到宫廷紫檀家具的绝美。

紫檀虽美，但它“五年一年轮，千年孕一木”，成材实属不易。

“十年树木，百年树人”，树木与树人往往类比，因为正像树木成材一样，年轻人成长也需要过程，只有经历了打磨和历练，才能积淀下精华。

③但反观当下，不少现象不免有些违反常识。

对“超速”的渴望正涌动成一股潮流。

“我报名了翻译速成班，一个月就能拿下口译资格证”“我加了个减肥群，10天极速变苗条”“我刚买了明星快速养成手册，正在琢磨如何一夜成名”……急于工作，急于恋爱，急着看成效，似乎成为唯恐落后于时代节拍的“紧箍咒”。

④其实，“神速”未必变成“神话”，拼搏进取的姿态固然可取，但如果心浮气躁占了上风，就难免落入急于求成的窠臼。

⑤对“速度”的追求应鼓励，但对“速成”应怀有警惕之心。

事物发展自有其规律，人才成长也一样。

创业风口光景无限，但若缺乏优质产品，竞争过后只会留下一片狼藉；高薪职业令人羡慕，假如核心能力缺位，终非长久之策。

有人向往钢琴演奏的古典优雅，可练习枯燥，每个指法要经过千百次重复方能形成记忆；有人向往芭蕾舞者的风度翩翩，可完美舞姿的背后隐藏着练功中数不胜数的伤痛。

由此看来，所谓的“短期速成钢琴特长生”无非是商业招数，轻信这些并不会等来奇迹发生。

⑥速成背后，是偷懒投机心态在作祟。

从自身角度出发，心不能沉、气不能静，浮于表面不下苦功夫，想钻空子不坐“冷板凳”，都会导致自我管理缺失缺位，信心发生动摇。

现代社会选择自然是更多样了，实现选择的资源也更为丰富，从这个角度讲，所谓“速成”有一定市场。

但看树知人，但凡能速成的恐怕很难让你优势独具。

与其目光游移、辗转腾挪，倒不如一门深入、攀登高峰。

⑦“十年法则”认为，每个领域的大师都需要10年左右的勤学苦练；“一万小时定律”指出，从平凡到超凡的跨越，需要经历一万个小时的稳扎稳打。

著名小提琴家盛中国少年时被称为“天才琴童”，但“左手要长在琴上，右手的血脉要流入弓里”又需要怎样的艰苦付出？
⑧器成还须久为功，卓越从来都不是速成的，持之以恒才是关键。

季羡林先生曾描述他在北大种莲的经历，
几颗莲子经过两年扎根池底的力量积蓄，终于在第三年“长出了几个圆圆的绿叶”，并在第四年“蔓延得遮蔽了半个池塘”，绽放出“红艳耀目的荷花”。

⑨愿年轻人都能做一池“季荷”，生生不息，静待花开。

（选自《人民日报》，邝西曦）（1）简要概括文章的主要观点。

（2）文章第②段中写故宫博物院的宫廷紫檀家具有什么作用？
（3）简述第⑤段的论述思路。

（4）说说第⑨段的深刻含义以及在文中的作用。

（5）通读选文，选出下列对选文理解与分析错误的一项（）
A. 选文开头的“海市蜃楼”一词足以表明作者对人才的“速成”是完全否定的。

B. 选文第④段中加点词“窠臼”本来的意思是指现成的格式，这里指急于求成的潮流。

C. 选文第⑥段画线句中的“与其……不如……”表示作者对后者的选择与肯定。

D. 选文第⑦段连续运用了三个事实论据，深入论证了大师的“功”都不是速成的。

【答案】（1）器成还须久为功（或“卓越从来都不是速成的，持之以恒才是关键”；或“年轻人成长也需要过程，只有经历了打磨和历练，才能积淀下精华”）。

（2）写故宫博物院的绝美紫檀家具，是为了引出中心论点“年轻人成长也需要过程，只有经历了打磨和历练，才能积淀下精华”；同时可以增添议论文的趣味性，激发读者的阅读兴趣；还可以作为一个事实论据来证明中心论点。

（3）首先，提出“应对速成怀警惕之心”的观点并从反面简要阐述；接着列举创业、追求高薪职业两例从反面论证观点；然后以钢琴和芭蕾舞练习为例，从正面论述观点；最后自然而然得出结论，强调轻信“速成”无法等来奇迹，回应了论点。

（4）含义：勉励年轻人要学季先生的莲花，只有经过长期的力量积蓄，才会绽放出“红艳耀目的荷花”；含蓄地重申了论点：器成还须久为功，卓越从来都不是速成的，持之以恒才是关键。

作用：呼应开头，总结全文，点明写作目的，对年轻人提出希望。

（5）D
【解析】【分析】（1）本题难度不大，议论文观点是比较容易找的，一般位于文章第一段或者结尾段，有些文章的文题就是观点。

本题中的观点就是文章的题目----《器成还须久为功》。

（2）本题首先，要在文中找到材料所在位置，再联系上下文进行理解。

遇到作用题，一般都是从内容和结构两方面做答。

从内容上看，写故宫博物院的绝美紫檀家具表明了紫檀家具的精美绝伦，增加文章趣味性；从结构上看，引出中心论点——“年轻人成长也需要过程，只有经历了打磨和历练，才能积淀下精华。

”。

（3）第五段首先是提出论点——对“速度”的追求应鼓励，但对“速成”应怀有警惕之心；接着通过“创业风口光景无限，但若缺乏优质产品，竞争过后只会留下一片狼藉；高薪职业令人羡慕，假如核心能力缺位，终非长久之策。

”这两个例子来进行反面论证；然后通过钢琴演奏、芭蕾舞两个例子从正面论证，最后通过所谓的“短期速成钢琴特长生”无非是商业招数，轻信这些并不会等来奇迹发生。

这句话来回应论点。

（4）第九段是本文的最后一段，从结构上来说起到了总结全文的作用，同时也点明了文章的中心论点——年
轻人成长也需要过程，只有经历了打磨和历练，才能积淀下精华。

；从内容上来说，“季荷”指的是上文季羡林先生的荷花，这种荷花几颗莲子经过两年扎根池底的力量积蓄，终于在第三年“长出了几个圆圆的绿叶”，并在第四年“蔓延得遮蔽了半个池塘”，绽放出“红艳耀目的荷花”。

，所以是在勉励年轻人要学习季荷，厚积薄发，不能够急于求成，也是对中心论点的强调。

（5）D项错误。

选文第七段用了一个事实论据——著名小提琴家盛中国少年时被称为“天才琴童”，但“左手要长在琴上，右手的血脉要流入弓里”又需要怎样的艰苦付出？，并不是三个。

故答案为：⑴器成还须久为功
⑵写故宫博物院的绝美紫檀家具，是为了引出中心论点“年轻人成长也需要过程，只有经历了打磨和历练，才能积淀下精华”；同时可以增添议论文的趣味性，激发读者的阅读兴趣；还可以作为一个事实论据来证明中心论点。

⑶首先，提出“应对速成怀警惕之心”的观点并从反面简要阐述；接着列举创业、追求高薪职业两例从反面论证观点；然后以钢琴和芭蕾舞练习为例，从正面论述观点；最后自然而然得出结论，强调轻信“速成”无法等来奇迹，回应了论点。

⑷含义：勉励年轻人要学季先生的莲花，只有经过长期的力量积蓄，才会绽放出“红艳耀目的荷花”；含蓄地重申了论点：器成还须久为功，卓越从来都不是速成的，持之以恒才是关键。

作用：呼应开头，总结全文，点明写作目的，对年轻人提出希望。

⑸D
【点评】⑴本题难度不大，考查考生对文体基本知识的理解和掌握能力。

考生在平时学习中稍加留心，做好积累，完成此题应该是没有问题的。

⑵本题考查辨析文句在文中作用的能力。

考生要明确思考的方面：内容和结构，要结合上下文或段落内容进行分析。

⑶本题考查考生对文章内容的理解与辨析。

考生要熟读文段，分清层次，理解文段的思路，再沿着思路进行表述。

注意内容和层次间的逻辑顺序。

⑷本题考查段落作用的分析。

解答此类题，需要从内容和结构两个角度进行分析，内容上的作用在于写出了什么，结构上的作用要看位置，开头的作用往往是引出中心论点（论题），激发读者阅读兴趣，结尾是得出结论，照应开头，总结全文。

⑸本题考查考生对文章多方面的理解能力。

考生要对选项内容进行逐项的审读，在文中找到相对应的内容进行分析比对，得出答案。

3．现代文阅读阅读下文，完成小题。

利益与理想
①“如今的青年怎么了”，近来，关于青春的话题持续引发社会热议。

有声音批评，本是最富朝气锐气、最有权利做梦的年轻一代，不少人却陷入利益的羁绊，精致利己而老于世故，热衷实惠而耻谈理想。

②当今中国，利益的正当性早已“除魅”。

对利益名正言顺的主张，让人人得享发展成果，“利益觉醒”可说是改革开放最重要的成就之一。

马克思早有断言：“人们奋斗所争取的一切，都同他们的利益有关”。

刻意回避利益，岂止是陈腐迂阔，离开利益的齿轮，世界将空挡滑行。

对个人也好，对社会也好，都如小平同志所
言，“如果只讲牺牲精神，不讲物质利益，那就是唯心主义”。

③但是，考量利益，并非让利益的追求绝对化。

表面上看，精致的利益计较未必无益于社会的进步。

相反，它有可能在短期内创造出经济奇迹。

利益最大化的风轮，很容易鼓荡物质的城堡遍地开花。

然而，这样的城堡却精神凋敝，缺乏良性演进的可能。

只在意自己的人不会在意公共问题，只关心物质利益的人不会关心社会福祉。

一旦利益的巨浪吞噬了理想情怀，我们的身边很会充斥利己主义的铁杆拥趸，责任能够淡忘、道德可以离席、灵魂容许出量。

不是吗？毒奶粉泛滥，地为油盛行，在唯利是图的利益尽头，是良知的出局和底线的崩塌。

④志愿服务，主动回报社会，却被猜测其中隐藏着利益动机；应对灾难，企业献出爱心，却被揣度背后有着利益交换。

杨善洲图什么，用利益的逻辑说不通，就斥为“傻瓜”；郭明义为什么，用功利的尺子量不了，就断言“神经病”。

利益风暴撕碎了悬在一些人头顶的崇高云层，人不过是欲念死海中一个小小的漩涡。

“天下熙熙，皆为利来；天下攘攘，皆为利往”；不与实利挂钩的理想不是“做作”、便是“矫情”，利益于是成为时代价值的“粉碎机”，让我们的社会只剩诛心之论，难言感动信任。

⑤这是现代版的义利困惑，也是堕落版的利益考量。

写出了“耻于言利”的时代，难道就一定要抛弃“时刻准备着”的理想？经历“利益解放”的大潮，难道就一定要放弃“为了全人类”的信念？拒绝利益主义，理想情怀又该何处安放？
⑥就像文学家所说的那样，“理想有如星——我们永远不能触到，却可以借着星光在人生的海洋中远航”。

确实，理想饥不可食，寒不可衣，不能帮我们找一个优厚的工作，领一份体面的薪水。

甚至一个有理想的人，火灾当下，会比别人更觉生存的困难与尴尬。

但是人若没有了理想，生命将走向何方？我们赞颂希望“让人类远离饥饿”的袁隆平，我们钦佩把汗水洒落山间油路的王顺友，实际上是赞颂一种更饱满的意义，钦佩一种更丰盈的人生。

循着理想的星光，我们才能跳脱一己得失，眼界更远，胸怀更大，找打一个更持久、更深刻的生命出口。

⑦“唯意志论”者固然举步维艰，只有利益的人生同样苍白无力，“喻有利”不是开启幸福的万能之钥，“喻于义”才能推开梦想的必然之门。

构筑精神的高地、留存理想的底色，才有灵魂的原野郁郁葱葱，文明的河流碧波荡漾。

这就是为什么写出《国富论》的亚当·斯密，更看重《道德情操论》，也是为什么社会的改革者，既需要现实主义的利益考量，更需要理想主义的勇气担当。

借用叔本华的一句话，它是对每个时代伟大事物的同一性和连续性的信心，是对一代代人的变化和衰退的抗议。

（选自《人民日报》2013．05．04，有删改）（1）第③④段都运用了举例论证，试比较其异同。

（2）本文的语言很有特色，请结合第⑥段简要分析。

（3）请简要分析全文的论证思路。

【答案】（1）异：第③段举出“毒奶粉泛滥”“地沟油盛行”的事例证明追求利益绝对化给社会造成的危害；（物质层面）第④段举出“志愿服务”“企业献爱心”“杨善洲”“郭明义”的事例证明追求利益绝对化对时代价值的破坏。

（精神层面）
同：都是从反面论证“利益考量，并非让利益的追求绝对化”这个观点。

（2）①生动形象，整饬有力。

使用引用、比喻、反问等多种修辞方式，使语言生动形象，富于变化；运用。