学案3：2.3.4 平面向量共线的坐标表示

2.3.4 平面向量共线的坐标表示
自主学习
知识梳理
1．两向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．
(1)当a ∥b 时，有________________．
(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时，有__________．即两向量的相应坐标成比例．
2．若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1、P 2三点共线．
当λ∈__________时，P 位于线段P 1P 2的内部，特别地λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点； 当λ∈__________时，P 位于线段P 1P 2的延长线上；
当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的反向延长线上．
自主探究
设P (x ，y )为线段P 1P 2上的一点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．
当P 1P →＝λPP 2→ (λ≠－1)时，求P 点的坐标．
题型探究
知识点一 平面向量共线的坐标运算
例1 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
回顾归纳 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．
变式训练1 已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB →与CD →是否共线？如果共线，
它们的方向相同还是相反？
知识点二 平面向量的坐标运算
例2 已知点A (3，－4)与点B (－1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标．
回顾归纳 在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论．
变式训练2 已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →|＝213，求点B 的坐标．
知识点三 利用共线向量求直线的交点
例3 如图，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．
回顾归纳 本例中的两个方法，在充分理解向量共线的性质定理的基础上从不同的侧面给出了已知四边形四个顶点坐标求对角线交点坐标的一般解法．而且更为重要的是给我们提供了求直线与直线交点的向量方案．
变式训练3 平面上有A (－2,1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12
BC →，连接DC ，点E 在CD 上，且CE →＝14
ED →，求E 点坐标．
课堂小结
1．两个向量共线条件的表示方法
已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)
(1)当b ≠0，a ＝λb .
(2)x 1y 2－x 2y 1＝0.
(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2
，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用
两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.
【参考答案】
知识梳理
1．(1)x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)x 1x 2＝y 1y 2 2．(0，＋∞) (－∞，－1) (－1,0)
自主探究
解 OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋λPP 2→
＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →
∴OP →＝OP 1→＋λOP 2→1＋λ＝11＋λ(x 1，y 1)＋λ1＋λ(x 2，y 2
) ＝⎝⎛⎭⎫11＋λx 1，11＋λy 1＋⎝⎛⎭
⎫λ1＋λx 2，λ1＋λy 2 ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. ∴P ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 题型探究 例1 解 方法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)
＝(k －3,2k ＋2)，
a －3
b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，
使k a ＋b ＝λ(a －3b )．
由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ. 解得k ＝λ＝－13
. 当k ＝－13
时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13
(a －3b )，
∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向． 方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，
a －3
b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，
∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13
. 此时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－13－3，－23＋2＝－13
(a －3b )， ∴当k ＝－13
时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 变式训练1 解 AB →＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，
CD →＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，
且(－2)×4<0，
∴AB →与CD →共线且方向相反．
方法二 ∵CD →＝－2AB →，∴AB →与CD →共线且方向相反．
例2 解 设P 点坐标为(x ，y )．
∵|AP →|＝2|PB →|，∴AP →＝2PB →或AP →＝－2PB →.
当AP →＝2PB →时，(x －3，y ＋4)＝2(－1－x,2－y )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－2－2x y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13
y ＝0，
∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫13，0.
当AP →＝－2PB →时，
则(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x,2－y )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝2＋2x y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－5y ＝8. ∴P 点坐标为(－5,8)．
综上，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，0或(－5,8)．
变式训练2 解 设AB →＝(x ，y )，因AB →与a 同向，
∴AB →＝λa (λ>0)，即(x ，y )＝λ(2,3)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2λ，y ＝3λ，又|AB →|＝213，
∴x 2＋y 2＝52.∴4λ2＋9λ2＝52，λ＝2 (λ>0)．
即AB →＝(4,6)．∴点B 的坐标为(5,4)．
例3 解 方法一 由O ，P ，B 三点共线，
可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)， AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，
由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解之得λ＝34，∴OP →＝34
OB →＝(3,3)，∴P (3,3)即为所求． 方法二 设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，
且OB →＝(4,4)，又OP →与OB →共线，所以x ＝y .
又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，AP →与AC →共线， 则得(x －4)×6－y ×(－2)＝0，
解之得x ＝y ＝3.∴P 点坐标为(3,3)
变式训练3 解 ∵AC →＝12
BC →，∴2AC →＝BC →， ∴2AC →＋CA →＝BC →＋CA →，
∴AC →＝BA →，设C 点坐标为(x ，y )．
则(x ＋2，y －1)＝(－3，－3)，∴x ＝－5，y ＝－2.
∴C (－5，－2)，∵CE →＝14
ED →，∴4CE →＝ED → ∴4CE →＋4ED →＝5ED →，∴4CD →＝5ED →.∴设E 点坐标为(x ′，y ′)， 则4(9，－1)＝5(4－x ′，－3－y ′)．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 20－5x ′＝36－15－5y ′＝－4，∴⎩⎨⎧ x ′＝－165y ′＝－115.
∴E 点坐标为⎝⎛⎭⎫－165，－115.。