高三数学练习题：不等式.doc

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高三数学不等式的性质试题

高三数学不等式的性质试题1.若为非零实数，且，则下列命题成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，，，∴由于a，b的正负不确定，所以A，B，C都错，所以D正确.【考点】作差法比较大小.2.已知实数满足，则下面关系是恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由及指数函数的性质得，所以，，选D.【考点】指数函数的性质，不等式的性质.3.已知关于x的不等式(ax－5)(x2－a)<0的解集为M.(1)当a＝4时，求集合M；(2)当3∈M，且5∉M时，求实数a的取值范围．【答案】（1）M＝{x|x<－2，或<x<2}（2）[1，)∪(9,25]【解析】解：(1)当a＝4时，(ax－5)(x2－a)<0⇔(x－)(x－2)(x＋2)<0，由数轴标根法得x<－2，或<x<2.故M＝{x|x<－2，或<x<2}．(2)3∈M，且5∉M⇔⇔⇔⇔1≤a<，或9<a≤25.故实数a的取值范围是[1，)∪(9,25]．4. [2014·绵阳周测]设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列关于t和s的大小关系中正确的是() A．t>s B．t≥s C．t<s D．t≤s【答案】D【解析】s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t，选D项．5. [2013·淮南模拟]已知a>0，b>0，给出下列四个不等式：①a＋b＋≥2；②(a＋b)(＋)≥4；③≥a＋b；④a＋≥－2.其中正确的不等式有________(只填序号)．【答案】①②③【解析】∵a>0，b>0，∴①a＋b＋≥2＋≥2＝2.当且仅当a＝b＝时取等号．②(a＋b)(＋)≥4·＝4.当且仅当a＝b时取等号．③∵≥，∴a2＋b2≥＝(a＋b)·≥(a＋b)，∴≥a＋b.当且仅当a＝b 时取等号．④a＋＝(a＋4)＋－4≥2－4＝－2，当且仅当a＋4＝，即(a＋4)2＝1时等号成立，而a>0，∴(a＋4)2≠1.∴等号不能取得．综上①②③正确．6.已知且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】或,所以是的必要非充分条件.故选B.【考点】充分必要条件7.设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则知即所以即；令，满足，但.所以是的充分而不必要条件.选.【考点】充要条件.8.已知a>b>1，c<0，给出下列四个结论：①>；②a cloga(b－c)；④b a－c>a b－c．其中所有正确结论的序号是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】A【解析】a>b>1⇒，又c<0，故>，故①正确；由c<0知，y＝x c在(0，＋∞)上是减函数，故a cb－c>1．故logb (a－c)>logb(b－c)．由a>b>1得0<loga (b－c)<logb(b－c)，故logb (a－c)>loga(b－c)．故③正确．9.设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3【答案】D【解析】A.3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B．1＞﹣2，但是，故B不正确；C．．﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D．∵a＞b，∴a3＞b3，成立．故选D．10.不等式恒成立,则实数a的取范围是()A．B．C．D．【答案】C【解析】由于函，又显然函数有最大值，，选C.11.函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则不等式<0的解集是()A．(-,3)B．(-∞,0∪(3,+∞)C．(-∞,-3)∪(,+∞)D．(-3,)【答案】A【解析】由题意可知x=1,x=2是方程ax2+bx+c=0的两根,且a>0,∴-=3,=2,即b=-3a,c=2a, 则不等式<0可化为<0,解得-<x<3.故选A.12.若m,n∈N*,则“a>b”是“a m+n+b m+n>a n b m+a m b n”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】a m+n+b m+n>a n b m+a m b n(a m-b m)(a n-b n)>0.当a>b时,由于a,b可能为负值,m,n奇偶不定,因此不能得出(a m-b m)(a n-b n)>0;当(a m-b m)·(a n-b n)>0时,即使在a,b均为正数时也有a<b的可能,因此也得不出a>b.所以“a>b”是“a m+n+b m+n>a n b m+a m b n”的既不充分也不必要条件.【误区警示】不等式性质的使用前提13.设a，b，c∈R，且a>b，则()A．ac>bc B．<C．a2>b2D．a3>b3【答案】D【解析】当c＝0时，选项A不成立；当a>0，b<0时，选项B不成立；当a＝1，b＝－5时，选项C不成立；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b) >0，故选D.14.观察下列不等式：①<1；②＋<；③＋＋<；…；则第5个不等式为________．【答案】＋＋＋＋<【解析】不等式左边为＋＋…＋，不等式右边为，故第5个不等式为＋＋＋＋<15.设0<a<b，则下列不等式中正确的是()．A．a<b<<B．a<<<bC．a<<b<D．<a<<b【答案】B【解析】(特值法)：取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，∴a<<<b.16.如果函数的图像恒在轴上方，则的取值集合为___________.【答案】【解析】因为函数的图像恒在轴上方，也就是求满足的x的取值范围.即或.所以解得或.故填.本小题的关键是绝对值的不等式的解法.【考点】1.转化的思想.2.不等式组的解法.3.绝对值不等式的解法.17.已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.(1)解关于x的不等式f(x)＋a－1>0(a∈R)；(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围．【答案】（1）(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞)；（2）(－∞，5).【解析】(1)本题是一个含参不等式的求解，需要按a＝1，a>1，a<1进行讨论；（2）f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，分离参数为|x－2|＋|x ＋3|>m恒成立．所以对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，于是得m<5.试题解析：(1)不等式f(x)＋a－1>0，即|x－2|＋a－1>0，当a＝1时，解集为x≠2，即(－∞，2)∪(2，＋∞)；当a>1时，解集为全体实数R；当a<1时，∵|x－2|>1－a，∴x－2>1－a或x－2<a－1，∴x>3－a或x<a＋1，故解集为(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞)．(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．又对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，于是得m<5，即m的取值范围是(－∞，5)．【考点】1.含参不等式的求解；2.不等式恒成立问题.18.已知，.（1）求的最小值；（2）证明：.【答案】（1）最小值为3；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生的分析问题的能力和转化能力.第一问，用基本不等式分别对和进行计算，利用不等式的可乘性，将两个式子乘在一起，得到所求的表达式的范围，注意等号成立的条件必须一致；第二问，先用基本不等式将，，变形，再把它们加在一起，得出已知中出现的，从而求出最小值，而所求证的式子的右边，须作差比较大小，只需证出差值小于0即可.试题解析：（Ⅰ）因为，，所以，即，当且仅当时，取最小值3． 5分（Ⅱ）．又，所以．【考点】1.基本不等式；2.不等式的性质；3.作差比较大小.19.若不等式，对满足的一切实数恒成立，则实数的取值范围是【答案】或【解析】设，则，由于x，y满足，所以，即，解得，因为不等式，对满足的一切实数恒成立,所以，解得或.【考点】不等式恒成立问题.20.设，，，则（）A．B．C．D．【解析】，，，故．【考点】比较大小．21.若椭圆和是焦点相同且的两个椭圆，有以下几个命题：①一定没有公共点；②；③；④，其中，所有真命题的序号为。

高三数学解不等式练习题

高三数学解不等式练习题解答一：1. 解不等式2x - 5 < 7：首先加5得到：2x < 12然后除以2：x < 6因此解集为x < 62. 解不等式3(x - 1) + 2 > 5：首先化简得到：3x - 3 + 2 > 5再合并同类项：3x - 1 > 5最后加1得到：3x > 6除以3：x > 2因此解集为x > 23. 解不等式4 - x > 2x + 5：首先整理得到：4 - 2x > 3x + 5然后移项得到：4 - 5 > 3x + 2x化简得到：-1 > 5x最后除以5：x < -1/5因此解集为x < -1/54. 解不等式2x - 3 < 4 - x：首先移项得到：2x + x < 4 + 3合并同类项得到：3x < 7最后除以3：x < 7/3因此解集为x < 7/35. 解不等式|x - 2| > 3：针对绝对值不等式，分为正负两种情况求解：当x - 2 > 0时，即x > 2时，不等式转换为：x - 2 > 3移项得到：x > 5当x - 2 < 0时，即x < 2时，不等式转换为：-(x - 2) > 3移项得到：-x + 2 > 3再移项得到：-x > 1最后乘以-1（注意改变不等号方向）：x < -1综合两种情况，解集为x < -1 或 x > 5解答二：1. 解不等式3x - 4 > 7：首先加4得到：3x > 11然后除以3：x > 11/3因此解集为x > 11/32. 解不等式2(x + 3) - 5 > 4(x - 1)：首先化简得到：2x + 6 - 5 > 4x - 4再合并同类项：2x + 1 > 4x - 4最后移项得到：5 > 2x因此解集为x < 5/23. 解不等式-2x - 3 < 5 - x：首先移项得到：-2x + x < 5 + 3合并同类项得到：-x < 8最后乘以-1（注意改变不等号方向）：x > -8因此解集为x > -84. 解不等式3x - 2 > 4(x + 1)：首先化简得到：3x - 2 > 4x + 4然后移项得到：-2 - 4 > 4x - 3x化简得到：-6 > x因此解集为x < -65. 解不等式|2x + 1| < 5：针对绝对值不等式，分为正负两种情况求解：当2x + 1 > 0时，即2x > -1时，不等式转换为：2x + 1 < 5移项得到：2x < 4最后除以2：x < 2当2x + 1 < 0时，即2x < -1时，不等式转换为：-(2x + 1) < 5移项得到：-2x - 1 < 5再移项得到：-2x < 6最后除以-2（注意改变不等号方向）：x > -3综合两种情况，解集为-3 < x < 2通过以上解答，你可以更好地理解高三数学中的解不等式练习题。

届高三数学一轮复习：不等式基本不等式练习题

基本不等式测试卷一、选择题1．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( ) A ．y ＝x ＋1x B ．y ＝cosx ＋1cosx ⎝⎛⎭⎫0<x<π2C ．y ＝x2＋3x2＋2D ．y ＝ex ＋4ex －2 2．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得n m a a ∙＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.256D ．不存在 [答案] A3．“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( ) A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 [答案] A4．设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab≤1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件 [答案] A5．若a>0，b>0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] D6．半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四点，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则△ABC 、△ACD 、△ADB 面积之和S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB 的最大值为( )A ．8B ．16C ．32D ．64 [答案] C7．已知F 1、F 2分别为双曲线12222=-by a x （a>0，b>0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若221PF PF 的值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3] [答案] D8．已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，M ＝2a ＋2b ，则M 的整数部分是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] B9．已知全集R ，集合E ＝{x|b<x<a ＋b2}，F ＝{x|ab<x<a}，M ＝{x|b<x≤ab}，若a>b>0，则集合M 等于( )A ．E∩FB ．E ∪FC ．E∩(∁RF)D ．(∁RE)∩F [答案] C10．如图在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为( ) A.12B ．1 C ．2 D ．3[答案] B二、填空题11．已知b>0，直线b 2x ＋y ＋1＝0与ax －(b 2＋4)y ＋2＝0互相垂直，则ab 的最小值为________． [答案] 412．已知t>0，则函数y ＝tt t 142+-的最小值为________．[答案] －213、已知三个函数y ＝2x ，y ＝x 2，y ＝8x 的图象都过点A ，且点A 在直线x m ＋y2n ＝1(m>0，n>0)上，则log 2m ＋log 2n 的最小值为________． [答案] 414．已知x>0，y>0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则xy 的最大值是________． [答案] 11215、设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，定义f(M)＝(m ，n ，p)，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f(M)＝⎝⎛⎭⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是________．[答案] 18 三、解答题16．已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinαcos(α＋β)． (1)当α＋β＝π4，求tanβ的值；(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值． [解读] (1)∵由条件知，sinβ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－β，整理得32sinβ－12cosβ＝0， ∵β为锐角，∴tanβ＝13.(2)由已知得sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ， ∴tanβ＝sinαcosα1＋sin2α＝sinαcosα2sin2α＋cos2α＝tanα2tan2α＋1＝12tanα＋1tanα≤122＝24. 当且仅当1tanα＝2tanα时，取“＝”号， ∴tanα＝22时，tanβ取得最大值24，此时，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝ 2.17、设实数a 使得方程x 2+（a -1）x+1=0有两个实根x 1，x 2. (1) 求a 的取值范围； (2) 当a 取何值时，222111x x +取得最小值，并求出这个最小值.解读：(1) a ≤-1或a ≥3 (2) a=-1或3，最小值为2.18．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？[解读] (1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为32Q ＋3Q ×150%＋xQ ×50%，∴年销售收入为(32Q ＋3Q ×150%＋xQ ×50%)·Q ＝32(32Q ＋3)＋12x ，∴年利润W ＝32(32Q ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x ＝12(32Q ＋3－x)＝－x2＋98x ＋35＋(x≥0)．(2)令x ＋1＝t(t≥1)，则 W ＝－－＋－＋352t＝50－⎝⎛⎭⎫t 2＋32t . ∵t≥1，∴t 2＋32t ≥2t 2·32t ＝8，即W≤42，当且仅当t 2＝32t ，即t ＝8时，W 有最大值42，此时x ＝7. 即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．19、(1)不等式04)2m (2)2m (2<--+-x x 对一切实数x 都成立，求实数m 的取值范围。

高三数学绝对值不等式试题

高三数学绝对值不等式试题1. (1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.【考点】含绝对值不等式性质2.集合A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是______．【答案】(－2,2)【解析】A＝{x|<0}＝{x|－1<x<1}，B＝{x||x－b|<a}＝{x|b－a<x<b＋a}，因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2.3.若关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥a在R上恒成立，则a的最大值是（）A．0B．1C．－1D．2【答案】B【解析】由于|x－2|＋|x－a|≥|a－2|，∴等价于|a－2|≥a，解之得a≤1.故实数a的最大值为1，选B.4.设A＝{x∈Z||x－2|≤5}，则A中最小元素为( )A．2B．－3C．7D．0【答案】B【解析】由|x－2|≤5，得－3≤x≤7，又x∈Z，∴A中的最小元素为－3，选B.5.解不等式：|x－1|>.【答案】{x|x<0或x>2}【解析】当x<0时，原不等式成立；当x≥1时，原不等式等价于x(x－1)>2，解得x>2或x<－1，所以x>2；当0<x<1时，原不等式等价于x(1－x)>2，这个不等式无解．综上，原不等式的解集是{x|x<0或x>2}．6.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【答案】（1）x≤1或x≥4（2）－3≤a≤0【解析】(1)当a＝－3时，f(x)≥3，|x－3|＋|x－2|≥3，或或解得x≤1或x≥4.(2)原命题f(x)≤|x－4|在[1，2]上恒成立|x＋a|＋2－x≤4－x在[1，2]上恒成立－2－x≤a≤2－x在[1，2]上恒成立，故－3≤a≤0.7.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若时，，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）[－7，7].【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先把a＝－1代入，先写出的解析式，利用零点分段法去掉绝对值，解不等式组，得到不等式的解集；第二问，在已知的范围内的绝对值可去掉，解绝对值不等式，使之转化成2个恒成立.试题解析：（1）当a＝－1时，不等式为|x＋1|－|x＋3|≤1．当x≤－3时，不等式化为－(x＋1)＋(x＋3)≤1，不等式不成立；当－3＜x＜－1时，不等式化为－(x＋1)－(x＋3)≤1，解得；当x≥－1时，不等式化为(x＋1)－(x＋3)≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为． 5分（2）当x∈[0，3]时，f(x)≤4即|x－a|≤x＋7，由此得a≥－7且a≤2x＋7．当x∈[0，3]时，2x＋7的最小值为7，所以a的取值范围是[－7，7]． 10分【考点】绝对值不等式的解法、不等式恒成立.8.不等式的解集为__________________.【答案】．【解析】，由，解得．【考点】绝对值不等式的解法．9.设（1）当时，，求a的取值范围；（2）若对任意，恒成立，求实数a的最小值【答案】（1）；（2）【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生的转化能力和计算能力第一问，利用绝对值不等式的解法，先解出的解，再利用是的子集，列不等式组，求解；第二问，先利用不等式的性质求出的最小值，将恒成立的表达式转化为，再解绝对值不等式，求出的取值范围试题解析：（1），即依题意，,由此得的取值范围是[0，2] 5分（2）当且仅当时取等号解不等式，得故a的最小值为 10分【考点】1 绝对值不等式的解法；2 集合的子集关系；3 不等式的性质；4 恒成立问题10.解不等式：x＋|2x－1|＜3.【答案】{x|－2＜x＜}【解析】原不等式可化为或解得≤x＜或－2＜x＜.所以不等式的解集是{x|－2＜x＜}．11.在实数范围内，不等式的解集为．【答案】【解析】不等式，由绝对值的几何意义知（如下图），当时，不等式成立.【考点】含绝对值不等式.12.（1）解关于的不等式；（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解绝对值不等式的关键是去掉绝对号，如果有多个绝对号，可考虑零点分段的办法，该题只需分和分类讨论；（2）构造函数，只需函数.试题解析：（1）不等式等价于：，或，所以解集为；（2）记，则，∴实数的取值范围是.【考点】1、；绝对值不等式的解法；2、分段函数的最值.13.若关于x的不等式有解，则实数的取值范围是： .【答案】【解析】∵关于的不等式有解，表示数轴上的到和的距离之差，其最小值等于，最大值是，由题意，∴．【考点】绝对值不等式的解法．14.关于的不等式.（Ⅰ）当时，解此不等式；（Ⅱ）设函数，当为何值时，恒成立？【答案】（1）解集为；（2）.【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力.第一问，先将代入，利用对数值得，利用零点分段法去绝对值解不等式；第二问，先将已知转化为，利用绝对值的几何意义得到的最大值，所以，即.试题解析：（1）当时，原不等式可变为，可得其解集为（2）设，则由对数定义及绝对值的几何意义知，因在上为增函数，则，当时，，故只需即可，即时，恒成立．【考点】1.解绝对值不等式；2.绝对值的几何意义；3.函数的最大值.15.已知函数.（1）若的解集为，求实数的值.（2）当且时，解关于的不等式.【答案】（1）；（2）当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.【解析】本题考查绝对值不等式的解法及利用解集求实数的值，考查学生的分类讨论思想和转化能力.第一问，利用绝对值不等式的解法求出的范围，让它和已知解集相同，列出等式，解出和的值；第二问，先将代入，得到解析式，再代入到所求不等式中，找到需要解的不等式，注意到当时，2个绝对值一样，所以先进行讨论，当时，按照解绝对值不等式的步骤，先列出不等式组，内部求交集，综合和的情况得到结论.试题解析：（Ⅰ）由得，所以解之得为所求． 4分（Ⅱ）当时，，所以当时，不等式①恒成立，即；当时，不等式或或，解得或或，即；综上，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为． 10分【考点】1.绝对值不等式的解法.16.已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为 .【答案】15【解析】二项式展开式中含的项为其系数为．【考点】1、绝对值不等式的性质；2、二项式定理．17.已知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R).(I)当时，解不等式f(x)>3;(II)不等式在区间（-∞，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(I) ；(II)或.【解析】(I) 分三种情况去掉绝对值解不等式；(II)分三种情况讨论，即得的最小值为，再得，解不等式得a的取值范围.试题解析：(Ⅰ)解得；解得；解得， 3分不等式的解集为. 5分(Ⅱ)；；；的最小值为； 8分则，解得或. 10分【考点】1、绝对值不等式的解法.18.设函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若函数的解集为，求实数的取值范围.【答案】①②.【解析】（Ⅰ）把绝对值函数写出分段函数,然后分别解不等式. （Ⅱ）画出函数的图象,由图象知过定点的直线的斜率满足函数的解集为.试题解析：（Ⅰ），即解集为．．5分（Ⅱ）如图，，故依题知，即实数的取值范围为 5分【考点】1.绝对值不等式;2.数形结合数学思想.19.设．（1）解不等式；（2）若对任意实数，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）或;（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）绝对值函数是分段函数,要分段考虑, （Ⅱ）对 ,恒成立等价于对,恒成立,等价于对,函数的最大值小于等于 , 利用函数在区间上是单调递增,求出最大值即可试题解析：解：， 2分（Ⅰ）画出函数的图像如图，的解为或. 4分的解集为或 5分（Ⅱ），即， 7分10分【考点】绝对值不等式,不等式恒成立.20.若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是；【答案】【解析】根据题意，由于的不等式即可知实数的取值范围是。

高三数学不等式试题答案及解析

高三数学不等式试题答案及解析1.已知，则A．n＜m＜1B．1＜n＜m C．1＜m＜n D．m＜n＜1【答案】B【解析】函数是减函数，所以故选B2.现将一个质点随即投入区域中，则质点落在区域内的概率是【答案】【解析】略3.不等式的解集为或，则实数的取值范围．【答案】【解析】略4.如果实数满足条件，那么的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：当直线过点(0，-1)时，最大，故选B5.一元二次不等式的解集为，则的最小值为．【答案】【解析】由已知得，解得，又，则。

【考点】一元二次不等式的解法及基本不等式的应用。

6.设，则函数的最小值是（）A．2B．C．D．3【答案】C【解析】因为，所以，令，则，由于，故知函数是减函数，因此；故选C．【考点】1．换元法；2．函数的最值．7.若变量x，y满足约束条件，则的最小值为．【答案】-6【解析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由与的交点得到，∴，故答案为：﹣6．【考点】简单线性规划．8.已知的大小关系是（）A．a<c<b B．b<a<e C．c<a<b D．a<b<c【答案】D【解析】因为.所以,故D正确.【考点】指数函数,对数函数.9.设，则，，的大小关系是__________________．（用“<”连接）【答案】【解析】令，则，∴函数为增函数，∴，∴，∴，∴，又，∴．【考点】利用导数研究函数的单调性、作差比较大小．10.对一切实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（-，-2）B．[-2，+）C．[-2,2]D．[0，+）【答案】B【解析】对一切实数x，不等式恒成立，等价于对任意实数，恒成立，因此有或，解得，故选B．【考点】不等式恒成立，二次函数的性质．【名师点晴】本题考查不等式恒成立问题，由于题中含有绝对值符号，因此解题的关键是换元思想，设，这样原来对一切实数恒成立，转化为对所有非负实数，不等式恒成立，也即二次函数在区间上的最小值大于或等于0，最终问题又转化为讨论二次函数在给定区间的最值问题，解题中始终贯彻了转化与化归的数学思想．11.设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点落在内的概率为．【答案】【解析】如图所示区域是及其内部．即，所以其面积为．区域是图中阴影部分，面积为．所以所求概率为．【考点】1几何概型概率；2定积分的几何意义．12.已知实数x、y满足，如果目标函数的最小值为－1，则实数m＝（）．A．6B．5C．4D．3【答案】B【解析】将化为，作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），当直线向左上方平移时，直线在轴上的截距增大，即变小，所以当直线过点时，取得最小值，即，解得；故选B．【考点】简单的线性规划．13.已知正数满足，则的最小值为（）A．2B．0C．-2D．-4【答案】D【解析】作出题设约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，直线的纵截距是，因此向上平移直线，当过点时，取得最小值，故选D．【考点】简单的线性规划问题．14.已知，满足约束条件若的最小值为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先根据约束条件画出可行域，设，将最大值转化为轴上的截距，当直线经过点时，最小，由得：，代入直线，解得故答案选【考点】线性规划．15.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若时，，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价绝对值不等式，再求出此不等式的解集，即得所求（2）当时，即由此得讨论即可得到实数的取值范围试题解析：(1）当时，不等式为当时，不等式化为，不等式不成立；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，不等式必成立．综上，不等式的解集为．（2）当时，即由此得当时，的最小值为7，所以的取值范围是【考点】绝对值不等式16.已知函数，其中且．（1）当时，若无解，求的范围；（2）若存在实数，（），使得时，函数的值域都也为，求的范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）分析题意可知，不等式无解等价于恒成立，参变分离后即再进一步等价为，即可求解；（2）分析函数的单调性，可知其为单调递增函数，换元令，从而可将问题等价转化为二次方程根的分布，列得关于的不等式即可求解．试题解析：（1）∵，∴无解，等价于恒成立，即恒成立，即，求得，∴；（2）∵是单调增函数，∴，即，问题等价于关于的方程有两个不相等的解，令，则问题等价于关于的二次方程在上有两个不相等的实根，即，即，得．【考点】1．恒成立问题；2．二次方程的根的分布；3．转化的数学思想．17.选修4-5：不等式选讲已知函数（1）解不等式（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解绝对值不等式，主要是分类讨论，分类标准由绝对值的定义确定；（2）不等式对任意的恒成立，即的最小值满足，由（1）的讨论，可得．试题解析：（1），当时，由，此时无解当时，由当时，由综上，所求不等式的解集为（2）由（1）的函数解析式可以看出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在处取得最小值，最小值为，不等式，对任意的恒成立即，解得故的取值范围为．【考点】解绝对值不等式，不等式恒成立问题，函数的最值．18.若不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为．现随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为．【答案】．【解析】不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为．的面积为，其中满足的图形面积为，所以随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为．【方法点晴】本题属于几何概型的问题，通常在几何概型中，事件的概率计算公式为：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量．因此本题解题思路清晰，作出图形，计算相关三角形的面积，代入上述公式便得答案．19.实数满足，则的最大值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】试题解析：依题画出可行域如图，可见及内部区域为可行域，令，则为直线在轴上的截距，由图知在点处取最大值是4，在处最小值是-2，所以，所以的最大值是4，故选B．【考点】简单线性规划20.选修4－5：不等式选讲已知命题“，”是真命题，记的最大值为，命题“，”是假命题，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】试题解析：（Ⅰ）因为“，”是真命题，所以，恒成立，又，所以恒成立，所以，．又因为，“”成立当且仅当时．因此，，于是．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“，”是假命题，所以“，”是真命题．因为（），因此，，此时，即时．即，，由绝对值的意义可知，．【考点】不等式选讲21.已知实数满足不等式组则的最小值为______．【答案】【解析】由得,则当直线在y轴上的截距最大时取得最小值,所以当直线经过A（2,3）时,z最小,即当x=2,y=3,取得最小值-4．【考点】线性规划22.若关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】如图，易知直线经过定点，又知道关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，且，所以，解得，故选B.【考点】线性规划.23.已知函数，且关于的不等式的解集为R．（1）求实数的取值范围；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）9【解析】（1）由绝对值的性质可知，由此解不等式即可求出结果；（2）由（1），根据基本不等式的性质，即可求出结果.试题解析：解：（1）依题意，（2）时，当且仅当，即时等号成立。

高三数学不等式试题答案及解析

高三数学不等式试题答案及解析1.已知变量满足：，则的最大值为（）A．B．C．2D．4【答案】D【解析】由约束条件画出可行域，令，可知在点处取得最大值，所以的最大值为。

【考点】线性规划及指数函数的单调性。

2.若二元一次线性方程组无解，则实数的值是__________．【答案】-2【解析】二元一次线性方程组无解，则直线x+ay=3与ax+4y=6平行，则解得．【考点】二元一次方程组．3.若实数，满足，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出可行域，由图可知，可行域三个顶点分别为，将三个点的坐标分别代入目标函数得，所以目标函数的取值范围为，故选A.【考点】线性规划.4.（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲设对于任意实数，不等式≥恒成立．（1）求的取值范围；（2）当取最大值时，解关于的不等式：．【答案】（1）；（2）．【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，将不等式≥恒成立，转化为，用零点分段法，将转化为分段函数，再每一段分别求最值；第二问，结合第一问的结论，将m的值代入，利用零点分段法将绝对值不等式转化成不等式组，分别求解．试题解析：（1）设，则有当时有最小值8当时有最小值8当时有最小值8综上有最小值8所以（2）当取最大值时原不等式等价于：等价于：或等价于：或所以原不等式的解集为【考点】绝对值不等式的解法、恒成立问题．5.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数．（1）当时，解不等式；（2）若的解集为，，求证：．【答案】（1）；（2）证明详见解析．【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解不等式；第二问，先解不等式，再结合的解集为，从而得到a的值，再利用特殊值1将转化为，再利用基本不等式求函数的取值范围．试题解析：（1）当a=2时，不等式为，不等式的解集为；（2）即，解得，而解集是，，解得,所以所以．【考点】绝对值不等式的解法、基本不等式．6.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式，当时，；当时，；当时，；故取值范围为，故选C．【考点】1．简单的线性规划；2．向量的数量积．7.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若，且，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）这是含绝对值的不等式工，解法是由绝对值的定义对变量的范围进行分类讨论以去掉绝对值符号，化为普通的不等式（不含绝对值）；（Ⅱ）不等式为，可两边平方去掉绝对值符号，再作差可证．试题解析：（Ⅰ）由题意，原不等式等价为，令 3分不等式的解集是 5分（Ⅱ）要证，只需证，只需证而，从而原不等式成立． 10分【考点】含绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明，分析法．8.若是任意实数，且，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数在上是减函数，又，所以，故选D．【考点】不等式的性质．9.选修4-5：不等式选讲已知x，y为任意实数，有（1）若求的最小值；（2）求三个数中最大数的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用消元法可得关于x的二次三项式，从而用配方法可求得最小值．（2）利用绝对值不等式可求最大值的最小值．试题解析：（1）解：当时，最小值为（2）设，则所以即中最大数的最小值为【考点】配方法，绝对值不等式，最值．10.若实数，满足不等式组．则的最大值是（）A．10B．11C．13D．14【答案】D【解析】画出可行域如图：当时,作出目标函数线,平移目标函数线使之经过可行域,当目标函数线过点时纵截距最大同时也最大, 最大值为;当时,作出目标函数线,平移目标函数线使之经过可行域四边形但不包括边,当目标函数线经过点时纵截距最大同时也最大, 的最大值为．综上可得的最大值为14．【考点】简单的线性规划．11.已知函数，．（1）若，解不等式；（3）若，且对任意，方程在总存在两不相等的实数根，求的取值范围．【答案】（1）：，：；（2）．【解析】（1）根据的取值情况进行分类讨论，将表达式中的绝对值号去掉，再利用二次函数的单调性讨论即可求解；（2）利用二次函数的单调性首先课确定的大致范围，再利根据条件方程在总存在两不相等的实数根，建立关于的不等式组，从而求解．试题解析：（1）∵，∴在单调递增，在单调递减，在单调递增，若：令解得：∴不等式的解为：；若：令，解得：，，根据图象不等式的解为：，综上：：不等式的解为；：不等式的解为；（3），∵，∴在单调递增，在单调递减，在单调递增，∴或，∴在单调递增，∴，若：在单调递减，在单调递增，∴必须，即；若：在单调递增，在单调递减，，即；综上实数的取值范围是．【考点】1．二次函数的综合题；2．分类讨论的数学思想．【方法点睛】解决二次函数综合题常见的解题策略有：1．尽可能画图，画图时要关注已知确定的东西，如零点，截距，对称轴，开口方向，判别式等；2．两个变元或以上，学会变换角度抓主元；3．数形结合，务必要保持数形刻画的等价性，不能丢失信息；3．掌握二次函数，二次不等式，二次方程的内在联系，熟练等价转化和准确表述；4．恒成立问题可转化为最值问题．12.设函数．（1）若，解不等式；（2）如果，，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当，圆不等式变为，可利用绝对值的集合意义求解，从而得到不等式的解集；（2）求当，，a的取值范围，可先对a进行分类讨论：，对后两种情形，只需求出的最小值，最后“，”的充要条件是，即可求得结果．试题解析：由题意得，（Ⅰ）当时，．由，得，（ⅰ）时，不等式化为，即．不等式组的解集为．（ⅱ）当时，不等式化为，不可能成立．不等式组的解集为．（ⅲ）当时，不等式化为，即．不等式组的解集为．综上得，的解集为．（Ⅱ）若，不满足题设条件．若的最小值为．若的最小值为．所以的充要条件是，从而的取值范围为．【考点】绝对值不等式的求解及其应用．13.变量满足约束条件，当目标函数取得最大值时，其最优解为．【答案】.【解析】作出可行域，画出目标函数的图象，由图知最优解为.【考点】线性规划.14.（1）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数），直线和曲线相交于两点，求线段的长．（2）选修4—5：不等式选讲已知正实数满足，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）先由直线的极坐标方程得直线的直角坐标方程，再化为参数方程；曲线的参数方程化为直角坐标方程，把直线的参数方程与曲线联立，利用韦达定理求线段的长．（2）利用基本不等式得，，再根据不等式的性质得，因为，得证.试题解析：（1）由直线的极坐标方程是，可得由直线的直角坐标方程是，化为参数方程为（为参数）；曲线（为参数）可化为．将直线的参数方程代入，得．设所对应的参数为，，，所以．（2）证明：因为正实数，所以．同理可证：．．，．当且仅当时，等号成立．【考点】1、极坐标方程；2、参数方程；3、直线与椭圆；4、基本不等式；5、不等式的性质.【方法点睛】（1）先由直线的极坐标方程得直线的直角坐标方程，再化为参数方程；再把曲线的参数方程化为直角坐标方程，然后把直线的参数方程与曲线联立，利用韦达定理和弦长公式求出线段的长．把直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立能够简化解题过程；（2）利用基本不等式及不等式的性质进行证明.15.已知满足约束条件，若的最大值为4，则（）A．3B．2C．-2D．-3【答案】B【解析】将化为，作出可行域（如图所示），当时，当直线向右下方平移时，直线在轴上的截距减少，当直线过原点时，（舍）；当时，当直线向右上方平移时，直线在轴上的截距增大，若，即时，当直线过点时，，解得（舍），当，即时，则当直线过点时，，解得；故选B．【考点】1.简单的线性规划；2.数形结合思想．【易错点睛】本题主要考查简单的线性规划与数形结合思想的应用，属于中档题；处理简单的线性规划问题的基本方法是：先画出可行域，再结合目标函数的几何意义进行解决，往往容易忽视的是目标函数基准直线与可行域边界的倾斜程度，如本题中，不仅要讨论斜率的符号，还要讨论斜率与边界直线斜率的大小关系.16.如果实数满足关系，则的最小值是．【答案】2【解析】满足不等式组的平面区域，如图所示，因表示定点到平面区域内的点的距离，由图易知其最小距离为点到直线的距离，即，所以的最小值为2．【考点】1、平面区域；2、点到直线的距离公式．【方法点睛】（1）平面区域的确定，已知，则，表示的区域为直线的右方（右下方或右上方），表示的区域为直线的左方（左下方或左上方）；（2）具有一定的几何意义，即几何意义为点到的距离的平方．17.（2014•河南模拟）已知函数f（x）=|x+a|+|2x﹣1|（a∈R）．（1）当a=1，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x的解集包含[，1]，求a的取值范围．【答案】（1）原不等式的解集为{x|x≤0，或}．（2）[﹣]．【解析】对第（1）问，利用零点分段法，令|x+1|=0，|2x﹣1|=0，获得分类讨论的标准，最后取各部分解集的并集即可；对第（2）问，不等式f（x）≤2x的解集包含[，1]，等价于f（x）≤2x在[，1]内恒成立，由此去掉一个绝对值符号，再探究f（x）≤2x的解集与区间[，1]的关系．解：（1）当a=1时，由f（x）≥2，得|x+1|+|2x﹣1|≥2，①当x≥时，原不等式可化为（x+1）+（2x﹣1）≥2，得x≥，∴x≥；②当﹣1≤x＜时，原不等式可化为（x+1）﹣（2x﹣1）≥2，得x≤0，∴﹣1≤x≤0；③当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣（x+1）﹣（2x﹣1）≥2，得x≤，∴x＜﹣1．综上知，原不等式的解集为{x|x≤0，或}．（2）不等式f（x）≤2x的解集包含[，1]，等价于f（x）≤2x在[，1]内恒成立，从而原不等式可化为|x+a|+（2x﹣1）≤2x，即|x+a|≤1，∴当x∈[，1]时，﹣a﹣1≤x≤﹣a+1恒成立，∴，解得，故a的取值范围是[﹣]．【考点】绝对值不等式的解法．18.不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】或．故B正确．【考点】一元二次不等式．19.直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0的面积，则+的最小值为（）A．3+2B．4+2C．6+4D．8【答案】C【解析】根据已知条件得到a+b=，将其代入+，结合基本不等式的性质计算即可．解：∵直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0的面积，∴圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0的圆心（﹣2，1）在直线上，可得﹣2a﹣2b+1=0，即a+b=，因此2（+）（a+b）=2（3++）≥6+4，当且仅当：=时“=”成立，故选：C．【考点】直线与圆的位置关系．20.已知实数满足不等式组，则的最大值为________．【答案】9．【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图：由图可知，当直线经过点时，取得最大值为：．故答案应填：9．【考点】线性规划．21.已知.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若对任意实数都成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】(Ⅰ)利用零点分段讨论法将绝对值符号去掉，得到分段函数，再求各段的值域即可；(Ⅱ)利用基本不等式和不等式恒成立进行求解．试题解析：（Ⅰ）∵，∴的最小值为5，∴.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：的最大值等于5.∵，“=”成立，即，∴当时，取得最小值5.当时，，又∵对任意实数，都成立，∴.∴的取值范围为.【考点】1.零点分段讨论法；2.基本不等式．22.设函数,其中．（I）当时,解不等式；（II）若对于任意实数,恒有成立,求的取值范围．【答案】（I）；（II）.【解析】（I）采用零点分区间法求解；（II）先求出的最大值为,把问题转化为求解.试题解析：（Ⅰ）时,就是当时,,得,不成立；当时,,得,所以；当时,,即,恒成立,所以.综上可知,不等式的解集是.(Ⅱ) 因为,所以的最大值为.对于任意实数,恒有成立等价于.当时,,得；当时,,,不成立.综上,所求的取值范围是【考点】.绝对值不等式的解法；不等式恒成立问题23.已知函数．（1）解不等式；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1) 不等式的解集为;(2) .【解析】(1)分区间去掉绝对值符号，将函数表示成分段函数的形式，在每个区间上分别解不等式，最后再求并集即可；(2) 不等式对任意的恒成立，由（1）求出函数的最小值，解不等式即可.试题解析：（1）．当时，由，得，此时无解；当时，由，得，所以；当时，由，得，所以．综上，所求不等式的解集为．（2）由（1）的函数解析式可以看出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在处取得最小值，最小值为不等式对任意的恒成立，即，解得，故的取值范围为．【考点】1.含绝对值不等式的解法；2.函数与不等式.24.设，若对任意的正实数，都存在以为三边长的三角形，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．以上均不正确【答案】A【解析】因为正实数，则，要使为三边的三角形存在，则，即恒成立，故，令，则，取，递减，所以时，；同理取，递增，可知时，，故实数的取值范围是，故选A．【考点】基本不等式的应用.方法点睛：本题结合三角形的基本性质考查了基本不等式的应用，属于中档题.解答本题应先根据基本不等式求得，再三角形的性质任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到即得的不等式组，再利用基本不等式结合函数的单调性求出的取值范围.25.已知函数（是常数）和是定义在上的函数，对任意的，存在使得，，且，则在集合上的最大值为（）A．B．C．4D．5【答案】D【解析】由题知，易知在上是减函数，在上是增函数，所以，又因为，所以，化简得，再由，可求得，所以，并且可判定在上是减函数，在上是增函数，由于，所以在集合上的最大值为，故选D.【考点】1、导数在函数研究中的应用；2、函数的最值.【思路点睛】本题是一个利用导数研究函数的单调性、最值方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是，首先根据题意判断出的最值关系，再由条件求出函数在定义域上的最小值，进而判断出的最值情况，并据此求出的值，从而得到的解析式，进一步可求出的最大值，问题得以解决.26.已知直线经过点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为直线经过点，所以，故，当且仅当时，等号成立.【考点】基本不等式.27.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的表达式的解集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由绝对值的定义可分类讨论去绝对值，再分别解不等式即可；（2）由题意可得的值域为，要，需，解得实数的取值范围是或.试题解析：（1）由题意得：，则不等式等价于或，解得：或，∴不等式的解集.（2）∵，∴的值域为，∴的解集.要，需，即或，∴或，∴实数的取值范围是或.【考点】含绝对值不等式的解法.28.设函数．（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若不等式的解集非空，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查绝对值不等式、存在性问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，解绝对值不等式，先得到与解集对应系数相等，解出的值；第二问，先整理，构造函数，画出函数图象，结合图象，得到，或，从而解出的取值范围.试题解析：（1）∵，∴，∴，∴，因为不等式的解集为，所以，解得．（2）由（1）得．∴，化简整理得：，令，的图象如图所示：要使不等式的解集非空，需，或，∴的取值范围是【考点】本题主要考查：1.绝对值不等式；2.存在性问题.29.若，若的最大值为3，则的值是___________.【答案】【解析】画出可行域如下图所示，为最优解，故.【考点】线性规划.30.选修4-5：不等式选讲若，且.（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并说明理由.【答案】（1）（2）不存在【解析】（1）利用基本不等式得，即，而，等号都是取得，（2）利用基本不等式得，即与矛盾，故不存在试题解析：解：（Ⅰ）由，得，且当时等号成立，故，且当时等号成立，∴的最小值为.（Ⅱ）由，得，又由（Ⅰ）知，二者矛盾，所以不存在，使得成立.【考点】基本不等式【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.31.已知x、y满足，那么z=3x+2y的最大值为 .【答案】【解析】由题意得，作出不等式组表示平面区域，如图所示，可得平面区域为一个三角形，当目标函数经过点时，目标函数取得最大值，此时最大值为．【考点】简单的线性规划．32.已知实数x，y满足，则z＝4x＋y的最大值为（）A．10B．2C．8D．0【答案】C【解析】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，向上平移直线，增大，当过点时，取最大值8．【考点】简单的线性规划问题．33.若实数满足约束条件，则的最大值为（）A．B．1C．D．【答案】A【解析】因画出不等式组表示的区域如图, 的几何意义是区域内的动点与定点连线的斜率,借助图形不难看出区域内的点与定点连线的斜率最大,最大值为，所以的最大值为,应选A.【考点】线性规划的知识及运用．34.已知，使不等式成立．（1）求满足条件的实数的集合；（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）运用分类讨论的方法分段求解；（2）借助题设条件及基本不等式求解.试题解析:（1）令，则，由于使不等式成立，有（2）由（1）知，，根据基本不等式，从而，当且仅当时取等号，再根据基本不等式当且仅当时取等号，所以的最小值为6【考点】绝对值不等式、基本不等式及运用．35.设变量满足不等式组则目标函数的最小值是______.【答案】7【解析】不等式组对应的可行域如图，由图可知，，目标函数表示斜率为的一组平行线当目标函数经过图中点时取得最小值.故填：7.【考点】线性规划36.设x，y满足约束条件且的最大值为4，则实数的值为____________.【答案】-4【解析】作出可行域，令得 .结合图象可知目标函数在处取得最大值，代入可得.故本题答案应填.【考点】线性规划.37.已知函数，其中为常数．（1）当时，求不等式的解集；（2）设实数，，满足，若函数的最小值为，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由．再由或或解集为；（2）由当且仅当，即时取等号，，则．解法一：由题设．解法二：由题设，，即，．试题解析：（1）当时，由，得或，即或所以不等式的解集为（2）因为，当且仅当，即时取等号，则．由已知，，则解法一：由题设，则，，解法二：由题设，，据柯西不等式，有，即，所以【考点】1、绝对值不等式；2、重要不等式；3、柯西不等式.38.若满足约束条件,则的最大值为．【答案】【解析】作出可行域，如图内部（含边界），，，表示可行域内点与的连线的斜率，，因此最大值为．【考点】简单线性规划的非线性运用．39.已知变量满足约束条件，目标函数的最大值为10，则实数的值等于（）A．4B．C．2D．8【答案】A【解析】由不等式组可得可行域（如图），当直线经过点时，取得最大值，且由已知，解得.【考点】简单线性规划．【方法点睛】本题主要考查简单线性规划问题，属于基础题.处理此类问题时，首先应明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围等.40.已知变量满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】1【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点C时取最大值1.【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.41.设，则a， b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞cC．c＞a＞b D．b＞c＞a【答案】A【解析】，考察函数，该函数在上单调递减，，考察函数，该函数在上单调递增，，故选A．【考点】指数函数的单调性与幂函数的单调性．42.若满足约束条件，则当取最大值时，的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，的几何意义是:过定点与可行域内的点的直线的斜率，由图可知，当直线过点时，斜率取得最大值，此时的值分别为，所以．故选D．【考点】简单线性规划．43.若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为即，，所以，故选A.【考点】指数函数、对数函数的性质.44.已知实数满足不等式组则的最大值是___________.【答案】6【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最大值，即.【考点】简单的线性规划问题.【方法点睛】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值；在哪个端点，目标函数取得最小值，正确作出可行域是解答此类问题的前提条件.45.选修4-5：不等式选讲设函数.（1）证明：；（2）若不等式的解集为非空集，求的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）（-1,0）【解析】（1）（当且仅当时取等号）；（2）作出函数的图象，由图像可求出结果.试题解析：解：（1）（当且仅当时取等号）（2）函数的图象如图所示.当时，，依题意：，解得，∴的取值范围是（-1,0）.【考点】1.绝对值不等式；2.基本不等式.46.选修4—5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若存在实数，使得，求实数的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）分，，三种情况讨论，去掉绝对值符号，转化不等式求出解集，取并集即可；（II）移项可得，根据绝对值的几何意义，求出的最大值，即可求得实数的取值范围.试题解析：(I)①当时，，所以②当时，，所以为③当时，，所以综合①②③不等式的解集(II)即由绝对值的几何意义，只需【考点】绝对值不等式的解法和绝对值的几何意义.47.设，满足约束条件则的取值范围为．【答案】【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值为，在点处取得最大值为.【考点】线性规划.48.实数满足，则的最大值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】依题画出可行域如图，可见及内部区域为可行域，令，则为直线在轴上的截距，由图知在点处的最大值是，在最小值是，所以而，所以的最大值是，故选B.【考点】1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.49.选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（I）（II）【解析】（I）先根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组：，或，或，最后求三个不等式组解集的并集得原不等式的解集（II）先化简不等式为，再利用绝对值三角不等式求最值：，再转化解不等式得实数的取值范围.试题解析：不等式化为，则，或，或，……………………3分解得，所以不等式的解集为.……………………5分（2）不等式等价于，即，由绝对值三角不等式知.……………………8分若存在实数，使得不等式成立，则，解得，所以实数的取值范围是.……………………10分【考点】绝对值三角不等式，绝对值定义【名师】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.50.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；。

高三数学不等式的性质试题答案及解析

高三数学不等式的性质试题答案及解析1.已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是()A．a>ab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a【答案】D【解析】∵a<0，－1<b<0，∴ab2－a＝a(b2－1)>0，ab－ab2＝ab(1－b)>0.∴ab>ab2>a.也可利用特殊值法，取a＝－2，b＝－，则ab2＝－，ab＝1，从而ab>ab2>a.故应选D.2.已知－3<b<a<－1，－2<c<－1，则(a－b)c2的取值范围是________．【答案】(0,8)【解析】依题意0<a－b<2,1<c2<4，所以0<(a－b)c2<8.3.已知实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围为________．【答案】(－∞，－1)【解析】若a<0，则b2<1<b，产生矛盾，所以a>0，则b2>1>b，解得b∈(－∞，－1)．4.已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是()A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|【答案】C【解析】因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0,3z<x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0.所以由，可得xy>xz，故选C.5. [2014·西安模拟]设α∈(0，)，β∈[0，]，那么2α－的取值范围是()A．(0，)B．(－，)C．(0，π)D．(－，π)【答案】D【解析】由题设得0<2α<π，0≤≤，∴－≤－≤0，∴－<2α－<π.6.(2014·十堰模拟)若不等式-a<x-1<a成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围是________.【答案】a≥3【解析】设A={x|-a<x-1<a}={x|1-a<x<1+a},B={x|0<x<4},依题意知B⊆A,因此解得a≥3. 7.已知a>b>1，c<0，给出下列四个结论：①>；②a cloga(b－c)；④b a－c>a b－c．其中所有正确结论的序号是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】A【解析】a>b>1⇒，又c<0，故>，故①正确；由c<0知，y＝x c在(0，＋∞)上是减函数，故a cb－c>1．故logb (a－c)>logb(b－c)．由a>b>1得0<loga (b－c)<logb(b－c)，故logb (a－c)>loga(b－c)．故③正确．8.若P=+,Q=+(a≥0),则P、Q的大小关系是() A．P>Q B．P=QC．P<Q D．由a的取值确定【答案】C【解析】要证P<Q,只需证P2<Q2,即证2a+7+2<2a+7+2,只需证a2+7a<a2+7a+12,只需证0<12成立,∵0<12成立,∴P<Q成立.故选C.9.设a、b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是()A．b-a>0B．a3+b3<0C．a2-b2<0D．b+a>0【答案】D【解析】∵a-|b|>0,∴|b|<a,∴a>0,∴-a<b<a,∴b+a>0.10.>1的一个充分不必要条件是()A．x>y B．x>y>0C．x<y D．y<x<0【答案】B【解析】若x>y>0时>1,但>1时>0,不一定有x>y>0.故选B.11.观察下列不等式：1＋>1，1＋＋…＋>，1＋＋…＋>2，1＋＋…＋>，…，照此规律，第6个不等式_________________．【答案】1＋＋…＋>【解析】观察不等式：1＋＋>1＝；1＋＋…＋>；1＋＋…＋>；1＋＋…＋>；……所以由此猜测第6个不等式为1＋＋…＋>.12.设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．【答案】27【解析】根据不等式的基本性质求解. 2∈[16,81]，∈，＝2·∈[2,27]，的最大值是27.13.已知a＞b＞0，给出下列四个不等式：①a2＞b2；②2a＞2b－1；③＞－；④a3＋b3＞2a2b.其中一定成立的不等式序号为________．【答案】①②③【解析】因为a＞b＞0⇒a2＞b2，故①正确；a＞b＞0⇒a＞b－1⇒2a＞2b－1，故②正确；因为a＞b＞0⇒ab＞b2＞0⇒＞b＞0，而()2－(－)2＝a－b－a－b＋2 ＝2(－b)＞0，所以③正确；因为当a＝3，b＝2时，a3＋b3＝35＜2a2b＝36，故④不正确．14.已知函数.（Ⅰ）若，使得不等式成立，求的取值范围；（Ⅱ）求使得等式成立的的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据=求出的最小值，从而求得得不等式成立的的取值范围．（Ⅱ）由=，可知当且仅当时有，从而成立.解不等式由此求得的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由= 3分使得不等式成立的的取值范围是 5分（Ⅱ）由= 7分所以，当且仅当时取等 9分所以的取值范围是 10分【考点】1、绝对值不等式的性质；2、绝对值不等式的解法．15.设，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时，都不成立，当然只能选D，事实上由于函数是增函数，故是正确的．【考点】不等式的性质．16.设，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时，都不成立，当然只能选D，事实上由于函数是增函数，故是正确的．【考点】不等式的性质．17.设非零实数满足，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则无意义，则A不正确；当时，，当时，，故B不正确；令，则，故C不正确；时，则，故D正确.【考点】不等式的运算.18.已知，.（1）求的最小值；（2）证明：.【答案】（1）最小值为3；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生的分析问题的能力和转化能力.第一问，用基本不等式分别对和进行计算，利用不等式的可乘性，将两个式子乘在一起，得到所求的表达式的范围，注意等号成立的条件必须一致；第二问，先用基本不等式将，，变形，再把它们加在一起，得出已知中出现的，从而求出最小值，而所求证的式子的右边，须作差比较大小，只需证出差值小于0即可.试题解析：（Ⅰ）因为，，所以，即，当且仅当时，取最小值3． 5分（Ⅱ）．又，所以．【考点】1.基本不等式；2.不等式的性质；3.作差比较大小.19.设函数（1）若的最小值为3，求的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力以及计算能力.第一问，利用不等式的性质，得出的最小值，列出等式，解出的值；第二问，解含参绝对值不等式，用零点分段法去掉绝对值，由于已知中有和4的大小，所以直接解不等式即可，最后综合上述所得不等式的解集.试题解析：⑴因为因为,所以当且仅当时等号成立,故为所求. 4分⑵不等式即不等式，①当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.②当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.③当时，原不等式可化为即由于时所以，当时，原不等式成立.综合①②③可知：不等式的解集为 10分【考点】1.不等式的性质；2.绝对值不等式的解法.20.集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是( )A．,B．,C．,D．,【答案】B【解析】从集合的定义，可三个不等式，也可得三个不等式，组合之后可知满足不等关系且，或且，或且，或且，这样可能有或或或，于是不一定成立，也不一定成立，故A，C，D都不能选，只能选B．【考点】不等关系．21.已知且，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】只有当时，选项A，B正确；要使，必须，所以选项C错误；当时，，所以D正确，故选D．【考点】不等式的性质．22.已知x、y、z∈R,且，则的最小值为 .【答案】【解析】由柯西不等式，，因为.所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.【考点】柯西不等式23.若是任意实数，，则下列不等式成立的是( )A．B．C．D．【答案】Ｄ【解析】当时，，可排除Ａ，Ｂ，Ｃ，故选Ｄ．【考点】不等式性质．24.若a，b R＋，a＋b＝1，则ab＋的最小值为 .【答案】【解析】由a，b R＋，a＋b＝1得 ab，a=b时取等号，ab＋=ab+=ab+=ab+=2+ab4+ab4+=，a=b时取等号.【考点】基本不等式的性质的应用.25.当时，则下列大小关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解析】取得，，故，故选Ｃ．【考点】比较大小．26.已知，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】不等式基本性质.27.设为正实数，满足，则的最小值是．【答案】3【解析】由已知得，∵，∴，即，两边同时平方得，.【考点】1、不等式的性质；2、基本不等式.28.已知正数满足则的取值范围是 .【答案】【解析】.由得：.所以，当时取等号.又当时，，所以.【考点】不等式的应用.29.已知函数（1）试求使等式成立的x的取值范围；（2）若关于x的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设=，利用零点分段法，将和写成分段函数的形式，然后观察=时自变量的取值范围即可；（2）这是不等式的有解问题，利用绝对值三角不等式求的最小值，.试题解析：（1）由=，又=，故使等式成立的x的取值范围为；（2）.【考点】1、零点分段法去绝对号；2、绝对值三角不等式；3、不等式有解问题.30.成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处【答案】A【解析】设仓库到车站的距离是千米，那么有，，将，，分别代入两个式子，可得，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处.【考点】基本不等式及其应用31.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，，令，令，则，，，所以，所以.选B.【考点】1.不等式的性质； 2.恒成立问题.32.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】由题意，，令，令，则，，，所以，所以.【考点】1.不等式的性质； 2.恒成立问题.33.设为实数，若，则的最大值是。

高三数学基本不等式试题

高三数学基本不等式试题1.当x>3时，不等式x+≥恒成立，则实数的取值范围是（）A．（－∞，3]B．[3，+∞）C．[，+∞）D．（－∞，]【答案】D【解析】因为当x>3时，不等式x+≥恒成立，所以有，记，设x-1=t，则在上是增函数，所以得，故选Ｄ．【考点】函数的恒成立．2.实数x，y满足x＋2y＝2，则3x＋9y的最小值是________________.【答案】6【解析】3x＋9y＝3x＋32y≥2考点:基本不等式3.阅读：已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.【答案】（1）9；（2）18；（3）证明见解析.【解析】本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出. （1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2）， 7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分【考点】阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.4.（2011•浙江）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是_________．【答案】【解析】∵4x2+y2+xy=1∴（2x+y）2﹣3xy=1令t=2x+y则y=t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x=1即6x2﹣3tx+t2﹣1=0∴△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0解得∴2x+y的最大值是5.若函数f(x)＝（b≠1)在x＝1处有极值，则ab的最大值等于。

高三复习基本不等式练习题

高三复习基本不等式练习题不等式作为高中数学中的一个重要内容，占据了复习的重要一部分。

本文将提供一些基本不等式的练习题，供高三学生复习使用。

练习题1：解不等式组：{x+2>0, x-3<0}练习题2：求解不等式：(x+1)(x-3)<0练习题3：解不等式组：{x^2 - 4>0, x-1<0}练习题4：求解不等式：x^2 - 5x + 6>0练习题5：解不等式组：{x^2-4x+3>0, x^2+6x+8>0}练习题6：求解不等式：(x-2)(x+3)(x-7)<0练习题7：解不等式组：{x^3-9x^2+20x-12>0, x^2-4x+4>0}练习题8：求解不等式：(x-2)^2(x+4)>0练习题9：解不等式组：{x^3-x^2+4x-4>0, x^2 + 3x + 2>0}练习题10：求解不等式：(x-1)^3+8>0以上是关于高三复习基本不等式的一些练习题。

希望同学们能够认真思考，按照正确的解题步骤解答。

复习不等式时，应重点掌握不等式的基本性质和解不等式的方法，如辨别二次不等式的判别式、区间法等。

在解题过程中，也要注意进行化简和因式分解，以便于对不等式进行分类讨论。

基本不等式是高中数学中一个重要的内容，对于加深对不等式的理解和掌握不等式的解法有着重要的意义。

因此，同学们要多进行基本不等式的练习，理解和掌握不等式的性质和方法，为高考做好充分准备。

希望以上的练习题能够帮助到高三的同学们，祝大家能够在高三阶段取得优异的成绩！。

高考数学《基本不等式》真题练习含答案

高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ），∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ）＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。

高三数学不等式试题答案及解析

高三数学不等式试题答案及解析1.函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）[－6，2]（2）[－7，2]【解析】(1)∵x∈R，f(x)≥a恒成立，∴x2＋ax＋3－a≥0恒成立，则Δ＝a2－4(3－a)≤0，得－6≤a≤2.∴当x∈R时，f(x)≥a恒成立，则a的取值范围为[－6，2]．(2)f(x)＝＋3－.讨论对称轴与[－2，2]的位置关系，得到a的取值满足下列条件：或或即或或解得－7≤a≤2.∴当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，则a的取值范围为[－7，2]．2.仔细阅读下面问题的解法：设A＝[0，1]，若不等式21－x+a>0在A上有解，求实数a的取值范围.解：令f(x)＝21－x+a，因为f(x)>0在A上有解。

＝2+a>0a>-2学习以上问题的解法，解决下面的问题，已知：函数f(x)=x2+2x+3(-2≤x≤-1).①求f(x)的反函数f-1(x)及反函数的定义域A；②设B＝，若A∩B≠,求实数a的取值范围.【答案】①， ; ②【解析】①由反函数和原函数的关系可以求得反函数，求反函数的定义域时需知反函数的定义域即是原函数的值域，这样能少走好多弯路；②先由对数函数的定义和分式分母不为0求出集合B 中满足的不等关系，再由集合的关系及运算可以知道所满足的不等式，解不等式即可，解不等式是本题的重点，熟练掌握各种不等式的解法是解答本题的关键.试题解析：①设，由反函数和原函数的关系可知,, 3分； 6分②根据集合B的形式和对数函数的性质※, 8分由得，※在区间上有解, 9分令,. 12分【考点】反函数及其定义域的求法，集合的关系和运算，解不等式.3.已知,.若同时满足条件:①或;② ,. 则的取值范围是________.【答案】【解析】根据,由于题目中第一个条件的限制,导致在是必须是,当时,,不能做到在时,,所以舍去,因此作为二次函数开口只能向下,故,且此时2个根为,为保证条件成立,只需,和大前提取交集结果为,又由于条件2的限制,可分析得出恒负,因此就需要在这个范围内有取得正数的可能,即应该比两个根中较小的来提大,当时,,解得交集为空,舍去.当时,两个根同为,也舍去,当时,,综上所述.【考点】不等式点评：主要是考查了不等式与方程根的问题的综合运用，属于中档题。

高三数学不等式的性质试题

高三数学不等式的性质试题1.已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是()A．a>b B．a＝bC．a＋，所以a<b，故选C.2. [2014·银川质检]当x∈(0，＋∞)时可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋()2≥3，由此可以推广为x＋≥n＋1，取值p等于 ()A．n n B．n2C．n D．n＋1【答案】A【解析】∵x∈(0，＋∞)时可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋()2≥3，∴在p位置出现的数恰好是不等式左边分母x n的指数n的n次方，即p＝n n.3. [2014·西安模拟]设α∈(0，)，β∈[0，]，那么2α－的取值范围是()A．(0，)B．(－，)C．(0，π)D．(－，π)【答案】D【解析】由题设得0<2α<π，0≤≤，∴－≤－≤0，∴－<2α－<π.4.关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知是方程的根，于是有，且，因此不等式即为，化简得，解此不等式得，故选C.【考点】1.不等式解集与方程之间的关系；2.分式不等式的求解5.已知，则a,b,c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a【答案】A【解析】，∴a＜b＜c．6.已知a=log23+log2，b=，c=log32则a，b，c的大小关系是（）A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c 【答案】B【解析】∵a=log23+log2=log23，b===＞1，∴a=b＞1，又0＜c=log32＜1，∴a=b＞c．故选B．7.若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式恒成立，则c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，可以看作是点P(m,n)在直线的右侧，而点P(m,n)在圆上，实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。

高三不等式练习1(详答版)

∴ d | M (a2 1) a2 1| | a | ，平方化简得 1 M 2 (a2 1)2 a2 1 2 4 ，
1 M 2
(1 M )2
a2
a2
∴1 M 2 4M 2 8M 4 ，解得 4 7 M 4 7
3
3
方法二：判别式法，化简为关于 a 的方程， (M 1)a2 (M cos sin )a (M 1) 0 ，
12.
已知 M
a2 a2
a sin a cos
1 1
（
a,
R，
a
0
），则
M
的取值范围是
二. 选择题（4×5=20 分）
a b 2 13. 设 a,b R ，则“ ab 1 ”是“ a 1且 b 1”的（
）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
D. 既非充分也非必要
14. 已知函数 f (x) x3 x 10 ，实数 x1 、 x2 、 x3 满足 x1 x2 0 ， x2 x3 0 ， x3 x1 0 ，则 f (x1) f (x2 ) f (x3 ) 的值（）
2
3. [3, 2] ，当 k 0 ，集合 A 中的元素有无数个，∴ k 0 ，∴[x (k 6 )](x 4) 0 ， k
∵ k 6 0 ，∴ k 6 x 4 ，∵ k 0 ，∴ k 6 2 6 4.9 ，要使集合 A 元素个
k
k
k
数最少， k 6 5 ，∴ k 2 6 5k ，解得 3 k 2 k
4. 1 ， (a 4b)2 1 a2 16b2 8ab 1 8ab 8ab 1 16ab 1 8 ，
4
ab
ab
ab
ab

高三数学单元测试《不等式》

高三数学单元测试《不等式》一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋32a ，c －b ＝4－4a ＋2a ，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b2．设a 、b 为实数，且a ＋b ＝3，则b a 22+的最小值为（）A ．6B ．24C ．22D ．83．不等式211<-x 的解集为（）A ．（21，1）∪（1，23） B ．（－∞，21）∪（23，+∞） C ．（－∞，1）∪（23，+∞）D ．（21，1）∪（23，+∞）4．设实数x, y 满足x + y=4, 则22222++-+y x y x 的最小值为（）A ．2B ．4C ．22D ．85．已知实数x ，y 满足x +y －1=0，则x 2+y 2的最小值为（） A ．21 B ．2C ．2D ．22 6．对“a 、b 、c 是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2≠0； ②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．若x ＞4，则函数xx y －＋＝－41（）A ．有最大值—6B ．有最小值6C ．有最大值—2D ．有最小值28．不等式2|2|+>+x xx x 的解集是（）A ．（－2，0）B ．]0,2(-C ．RD ．),0()2,(+∞--∞9．不等式)310)(31(<<-=x x x y 的最大值是（）A ．2434 B ．121 C ．641 D ．721 10．设a 适合不等式a-11>1，若f (x )＝a x，g (x )＝ax 1,h (x )＝log a x ，且x >1，则（）A ．h (x )<g(x )<f (x )B ．h (x )<f (x )<g(x )C ．f (x )<g(x )<h (x )D ．f (x )<h (x )<g(x )11．已知()x f 是定义在()3,3-上的奇函数，当30<<x 时，()x f 的图象如图所示，那么不等式()0cos <⋅x x f 的解集为（） A ．()⎪⎭⎫⎝⎛⋃⋃⎪⎭⎫⎝⎛--3,21,02,3ππB ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛--3,21,01,2ππ C ．()()()3,11,01,3⋃⋃-- D ．()()3,11,02,3⋃⋃⎪⎭⎫⎝⎛--π 12．定义在R 上的函数y =f (x )，在（－∞，a ）上是增函数，且函数 y =f (x +a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a 且a x a x -<-21时，有（）A ．f (2a －x 1)> f (2a －x 2)B ．f (2a －x 1)= f (2a －x 2)C ．f (2a －x 1)< f (2a －x 2)D ．－f (2a －x 1)< f(x 2－2a )二、填空题（本题每小题4分，共16分） 13．若不等式}213|{0342>-<<->+++x x x x x ax 或的解集为，则a = . 14．已知集合A ＝｛(x ,y )｜13--x y ＝2,x 、y ∈R ｝，B ＝｛(x ,y )｜4x +ay ＝16,x 、y ∈R ｝，若A ∩B ＝φ，则实数a 的值为 . 15．已知两个正数x,y 满足x ＋y =4，则使不等式yx 41+≥m ，恒成立的实数m 的取值范围是 .16．已知a >b ，a ·b=1则ba b a -+22的最小值是 .三、解答题（本大题共6小题，共74分。

高考数学专题03 不等式(解析版)

专题03 不等式一、单选题1．（2022·江苏宿迁·高三期末）不等式10x x->成立的一个充分条件是（） A ．1x <- B ．1x >- C ．10x -<< D ．01x <<【答案】C 【分析】首先解不等式10x x->得到1x >或10x -<<，再根据充分条件定理求解即可. 【详解】()()211001101x x x x x x x x-->⇒>⇒+->⇒>或10x -<<，因为{}{|01x x x x ≠<<⊂或}10x -<<，所以不等式10x x->成立的一个充分条件是01x <<. 故选：C2．（2022·江苏如皋·高三期末）已知a b ＝3－ln4，c ＝32，则下列选项正确的是（）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】C 【分析】由e 2.718,ln 20.69≈≈及不等式性质，进行计算即可得出结果. 【详解】 229e, 2.254a c ===，∴22a c >,即a c >， 2222(3ln 4) 1.62 2.6244b a =-==<，∴a b >，331e 1193ln 4 1.52ln 2ln ln 02216216b =--=-=>>，∴b c >，∴a b c >>，故选：C3．（2022·江苏苏州·高三期末）已知11a b >+> 则下列不等式一定成立的是（） A ．b ab B ．11a b a b+>+ C ．1e 1ln bb a a+<- D ．ln ln a b b a +<+【答案】C 【分析】错误的三个选项ABD 可以借助特殊值法进行排除，C 可以利用求导得出证明. 【详解】取10,8a b ==，则b a b ，故A 选项错误；取3a =，13b =，11a b a b+=+，则B 选项错误；取3a =，1b =，则ln 3a b ，2ln 1ln31ln 3b a e ，即ln ln a b b a +>+，故D 选项错误；关于C 选项，先证明一个不等式：e 1x x ≥+，令e 1x y x =--，e 1xy '=-，于是0x >时0y '>，y 递增；0x <时0y '<，y 递减；所以0x =时，y 有极小值，也是最小值0e 010--=，于是e 10x y x =--≥，当且仅当0x =取得等号，由e 1x x ≥+，当1x >-时，同时取对数可得，ln(1)x x ≥+，再用1x -替换x ，得到1ln x x -≥，当且仅当1x =取得等号，由于11a b >+>，得到e 1bb ，ln 1a a <-，111ln e b a b a ，即1e 1ln bb a a+<-， C 选项正确. 故选：C.4．（2022·湖南郴州·高三期末）已知函数()()0,0,1,1x xf x m n m n m n =+>>≠≠是偶函数，则2m n +的最小值是（） A．6 B ．C ．8 D ．【答案】D 【分析】有()()f x f x =-可得m 、n 的关系，再用均值不等式即可. 【详解】因为函数()()0,0,1,1x xf x m n m n m n =+>>≠≠是偶函数，所以()()f x f x =-，xxxxm n m n --+=+，x xxxx xm n m n m n ++=因为0,0,1,1m n m n >>≠≠，所以1x x m n =，即1mn =，2m n +≥m n =. 故选:D.5．（2022·湖北武昌·高三期末）已知实数a ，b 满足28log 3log 6a =+，6810a a b +=，则下列判断正确的是（） A ．2a b >> B ．2b a >> C ．2a b >> D ．2b a >>【答案】C 【分析】根据对数和指数的单调性可判断2a >，2b >；在构造函数()6810x x xf x =+-，2x >，再根据换元法和不等式放缩，可证明当2x >时，()68100x x xf x =+-<，由此即可判断,a b 的大小.【详解】因为()28221log 3log 6log 3log 233a =+=+⨯2241414317log 3log 233333233=+>=⨯+=>，所以2a >；由6810a a b +=且2a >，所以683664100a a +>+=，所以2b >，令()6810x x xf x =+-，2x >，令20t x =-> ，则2x t =+，则()6810x x x f x =+-，2x >等价于()36664810010t t tg t =⨯+⨯-⨯，0t >；又()366648100101008100100t t t t tg t =⨯+⨯-⨯<⨯-⨯<，所以当2x >时，()68100x x xf x =+-<，故681010a a b a +=<，所以2a b >>．故选：C ．6．（2022·湖北武昌·高三期末）已知正数x ，y 满足115x y x y+++=，则x y +的最小值与最大值的和为（） A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】B 【分析】利用基本不等式进行变形得4x y xy x y+≥+，然后将115x y x y +++=进行代换得45x y x y++≤+，继而解不等式可得答案. 【详解】因为0,0x y >>,所以x y +≥，即2()2x y xy +≤ ，所以214()xy x y ≥+，即4x y xy x y+≥+，又因为115x yx y x y x y xy++++=++=，所以45x y x y++≤+，即2()5()40x y x y +-++≤ ，解得14x y ≤+≤ ，故x y +的最小值与最大值的和为5，故选：B7．（2022·山东青岛·高三期末）已知2319,sin ,224a b c ππ===，则（） A ．c b a << B ．a b c << C ．a <c <b D ．c <a <b【答案】D 【分析】先通过简单的放缩比较c 和a 的大小，再通过构造函数,利用图像特征比较b 和a 的大小，由此可得答案. 【详解】 293334π2π2π2πc a ==⨯<= c a ∴<3132π2a π==⨯，设()sin f x x =，3()g x x π=，当6x π=时，31sin662πππ=⨯= ()sin f x x ∴=与3()g x x π=相交于点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭和原点 ∴0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3sin x x π> 10,26π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴13sin22π>，即b a > ∴c a b <<故选：D.8．（2022·山东枣庄·高三期末）已知1x >，则11x x +-的最小值是（）． A ．6 B ．5 C ．4D ．3【答案】D 【分析】由于1x >，把11x x +-转化为11++11x x --，再利用基本不等式求出最小值即可得到答案. 【详解】1x >，故110,01x x ->>-，111121=31x x ∴-++≥=+-，当且仅当1121x x x -=⇒=-时，等号成立，故11x x +-的最小值是3. 故选：D.9．（2022·河北张家口·高三期末）已知102,105x y ==，则（） A ．1x y +C ．2212x y +> D ．25y x ->【答案】C 【分析】结合指数运算、基本不等式、对数运算、比较大小等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】因为10101010x y x y +⋅==，所以1x y +=，所以A 错误；又102,105x y ==，所以0,0x y >>，又,1x y x y ≠+=>，所以14xy <，所以B 错误；因为222()12x y x y xy +==++，所以2212x y xy +=-，又14xy <，所以2212x y +>，故C 正确；因为lg5,lg2y x ==，所以2552lg ,lg1025y x -==，故只要比较52和2510的大小即可，又55255312510010232⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以52lg 25y x -=<，故D 错误.故选: C二、多选题10．（2022·江苏无锡·高三期末）已知e e 1b a <<，则下列结论正确的是（） A ．22a b C ．2ab b >D ．2lg lg()a ab <【答案】ABD 【分析】先根据函数单调性，得到0b a <<，AC 选项用作差法比较大小；B 选项用基本不等式求取值范围；D 选项，先用作差法，再结合函数单调性比大小. 【详解】e e 1b a <<，则0b a <<，因为22()()0a b a b a b -=-+<，所以22a b <，A 选项正确；因为0b a <<，所以0,0b a a b >>，由基本不等式得：2a b b a +>=，B 选项正确； 2()0ab b b a b -=-<，2ab b ∴<，C 选项错误；2()0a ab a a b -=-<，2a ab ∴<，2lg lg a ab ∴<，D 选项正确，故选：ABD11．（2022·广东·铁一中学高三期末）若0,0a b >>．且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A ．1104ab <≤ B 2< C ．111a b+≥D ．22118a b ≤+ 【答案】CD 【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】22222a b a bab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时等号成立，则2442ab ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭或222422a b+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则222211112,8,48a b ab a b ≥≤+≥≤+，即AB 错误，D 正确.对于C 选项，1141414a b a ab ab b ++==≥⨯=，C 选项正确. 故选：CD12．（2022·广东汕尾·高三期末）已知a ，b 都是不等于1的正实数，且a >b ，0<c <1，则下列不等式一定成立的是（） A ．a b c c > B ．c c a b >C ．log log c c a b >D ．11()()4a b ab++>【答案】BD 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性，结合题意，可判断A 、B 、C 的正误，根据基本不等式，可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】函数x y c =，因为01c <<，所以x y c =是减函数，因为a >b ，所以a b c c <，故A 错．函数c y x =，因为01c <<，所以c y x =在(0,)+∞是增函数，因为a >b ，所以c c a b >，故B 正确．函数log c y x =，因为01c <<，所以log c y x =在(0,)+∞是减函数，因为a >b ，所以log log c c a b <，故C 错．11()1124a b a b a b b a ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，又a b >，所以11()4a b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：BD13．（2022·湖南常德·高三期末）若0a >，0b >，111a b+=，则（）A ．4ab ≤B ．4a b +≥C ．228a b +≤D ．22log log 2a b +≥【答案】BD 【分析】利用基本不等式及指对数函数的性质逐项分析即得. 【详解】∵0a >，0b >，111a b +=≥∴4ab ≥，当且仅当2a b ==时取等号，故A 错误；由()1124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b aa b =，即2a b ==时取等号，故B 正确；因为228a b ≥=+，当且仅当2a b ==时取等号，故C 错误；因为()2222log log log log 42a b ab +=≥=，当且仅当2a b ==时取等号，故D 正确. 故选：BD.14．（2022·湖北襄阳·高三期末）已知()lg f x x =，当a b <时，()()f a f b =，则（） A ．01a <<，1b >B ．10ab =C ．2114b a -<D ．224a b +>【答案】ACD 【分析】利用()()f a f b =，可得lg lg a b -=，从而得到1ab =，再对每一个选项进行分析即可. 【详解】因为()()f a f b =，且a b <，可得lg lg lg lg 0a b a b -=⇒+=，从而得到1ab =，因为0a b <<，所以01a b <<<，所以2221111()244b b b b a -=-+=--+<，而12a b b b +=+>，（1b >，等号不成立）所以422a b >==+. 从而可知选项ACD 正确. 故选：ACD15．（2022·山东泰安·高三期末）若,,0a b R a b ∈<<，则下列不等式中，一定成立的是（） A ．11a b a>- B ．11a b > C ．2a bb a+>D ．a b >【答案】BCD【分析】以求差法判断选项AB ；以均值定理判断选项C ；以绝对值的几何意义判断选项D. 【详解】选项A ：()()11()a a b b a b a a b a a b a ---==---，由0a b <<，可知0a <，0b <，0a b -<，则()0ba b a <-，即11a b a<-.选项A 判断错误；选项B ：11b a a b ab --=，由0a b <<，可知0a <，0b <，0b a ->，则0b aab ->，即11a b>.选项B 判断正确；选项C ：当0a b <<时，2a b b a +>=.选项C 判断正确；选项D ：当0a b <<时，a b >.选项D 判断正确. 故选：BCD16．（2022·山东德州·高三期末）已知0a >，0b >，2a b ab +=，则下列结论正确的是（） A．a b +的最小值为3+B ．22a b +的最小值为16C D ．lg lg a b +的最小值为3lg 2【答案】ACD 【分析】利用“1”的代换结合基本不等式判断AD C ，由对数的运算结合基本不等式判断B. 【详解】由2a b ab +=可得，211b a +=，212()3322a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭（当且仅当2b =等号），故A 正确；214(2)44248a b ab a b b a b a ⎛⎫=++=+++= ⎪⎝⎭（当且仅当24b a ==时，取等号），即lg lg lg lg83lg 2a b ab +=≥=，故D 正确；222a b ab +≥（当且仅当3b a ==时，取等号），8ab （当且仅当24b a ==时，取等号），即2216a b +>，故B 错误；2212112b a b =+++=≤1212a b ==时，取等号），故C 正确；故选：ACD17．（2022·山东烟台·高三期末）已知0a >，0b >，则下列命题成立的有（） A ．若1ab =，则222a b +≥ B ．若1ab =，则112a b +≥C ．若1a b +=，则2212a b +≤ D ．若1a b +=，则114a b+≥【答案】ABD 【分析】利用基本不等式逐项判断. 【详解】A.若1ab =，则2222a b ab +≥=，当且仅当1a b ==时，等号成立，故正确；B.若1ab =，则112a b +≥当且仅当1a b ==时，等号成立，故正确；C.若1a b +=，则()2221122=+≥+a b a b ，当且仅当1a b ==时，等号成立，故错误； D.若1a b +=，则2111421a b ab a b ab a b +==≥++⎛⎫⎪⎝⎭=，当且仅当1a b ==时，等号成立，故正确；故选：ABD18．（2022·山东济南·高三期末）已知实数a ，b ，c 满足0a b c >>>，则下列说法正确的是（）A ．()()11a c abc a <--B ．b bc a a c+<+ C ．2ab c ac bc +>+ D ．()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为4【答案】BC 【分析】对于A ，利用不等式的性质判断，对于BC ，作差判断即可，对于D ，利用基本不等式判断【详解】对于A ，因为0a b c >>>，所以11a b <，10c a<-，所以()()11a c a b c a >--，所以A 错误，对于B ，因为0a b c >>>，所以()0,()0c a b a a c ->+>，所以()()()0()()()b c b a b c b a c ab ac ab bc c a b a c a a a c a a c a a c ++-++----===>++++，所以b b ca a c+<+，所以B 正确，对于C ，因为0a b c >>>，所以0,0a c b c ->->，所以2()()()()()0ab c ac bc a b c c b c a c b c +-+=---=-->，所以2ab c ac bc +>+，所以C 正确，对于D ，因为0,0a b >>，所以()11224b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =即a b =时取等号，因为a b >，所以取不到等号，所以()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值不为4，所以D 错误，故选：BC三、填空题19．（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则23x y xy++的最小值为__________．【答案】9+ 【分析】利用基本不等式来求得最小值. 【详解】由题意可知，23x y xy ++＝233x y x y xy +++＝45x y xy +＝4y ＋5x ＝（4y ＋5x）（x ＋y ）＝4＋5＋4x y ＋5y x ≥9＋9+，当且仅当4x y ＝5yx，2x =时取等号，此时54x y =-=，故23x y xy++的最小值为9+故答案为：9+20．（2022·广东罗湖·高三期末）已知存在实数(),0,1x y ∈，使得不等式21121y yt x x-+<+-成立，则实数t 的取值范围是______．【答案】(3,)+∞ 【分析】根据基本不等式求得111x x+-的最小值为4，将问题转化为只需存在实数(0,1)y ∈，使得224y y t -+>成立即可，即242y yt ->-，再根据二次函数和指数函数的性质可求得答案.【详解】解：∵11111(1)()224111x x x x x x x x x x -+=+-+=++≥+=---，当且仅当11x x x x -=-，即()01x =，时取等号， ∴111x x+-的最小值为4， ∴只需存在实数(0,1)y ∈，使得224yyt -+>成立即可，即242yyt ->-，又当01y <<时，20y y -<，所以20221y y -<=，∴2423y y -->，∴3t >，∴实数t 的取值范围为(3,)+∞，故答案为：(3,)+∞.21．（2022·湖南娄底·高三期末）已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22aa b+的最小值为______．【答案】6 【分析】利用已知化简可得24224222a a b a b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭，根据基本不等式计算即可. 【详解】由已知条件得，2422446222a a b a b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即25a =，15b =时取等号．故答案为：6.22．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）设0x >，0y >，且2116yx y x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则当1x y +取最小值时，221x y +=______. 【答案】12 【分析】当1x y +取最小值时，21x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取最小值，变形可得21416=x y x y y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，由基本不等式和等号成立的条件可得答案．【详解】解析：∵0x >，0y >，∴当1x y +取最小值时，21x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最小值，∵222112x x x y y y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，又2116yx y x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴221216x y x y y x +=+，∴21416x y x y y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭16≥=， ∴14x y+≥，当且仅当416x y y x=，即2x y =时取等号， ∴当1x y +取最小值时，2x y =，221216x x y y++=， ∴2212216y x y y ⋅++=，∴22116412x y +=-=. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题． 23．（2022·山东日照·高三期末）已知54x >，则函数1445y x x =+-的最小值为_______.【答案】7 【分析】由54x >，得450x ->，构造导数关系，利用基本不等式即可得到. 【详解】法一：54x >，450x ∴->， 114(45)52574545y x x x x =+=-++≥+=--，当且仅当14545x x -=-，即32x =时等号成立，故答案为：7. 法二：54x >，令2440(45)y x '=-=-得1x =或32x =，当5342x <<时'0y <函数单调递减，当32x >时'0y >函数单调递增，所以当32x =时函数取得最小值为：314732452⨯+=⨯-，故答案为：7. 【点晴】此题考基本不等式，属于简单题.24．（2022·河北深州市中学高三期末）已知正实数a ，b 满足321a b +=，则6a +1b 的最小值为______．【答案】32 【分析】利用“1"的代换，将6a +1b 转化为6a +1b =(6a +1b )(3a +2b)，然后化简整理，利用均值不等式即可求出结果. 【详解】由0a >，0b >且321a b +=，得 6a+1b =(6a +1b )(3a +2b)=18+12b a+3a b+2≥20+2√12b a⋅3a b=32，当且仅当12b a =3a b ，即2a b =时，取等号，此时{a =14b =18，则6a +1b 的最小值为32．故答案为：32.25．（2022·河北保定·高三期末）22244x x x+++的最小值为___________.【答案】9 【分析】由222224445x x x x x+++=++结合基本不等式得出答案.【详解】因为22222444559x x x x x +++=++≥=，当且仅当224x x =，即22x =时，等号成立，所以22244x x x+++的最小值为9. 故答案为：9。

不等式练习高三数学一轮复习(原卷版)

专题四《不等式》专项练习一．选择题（共8小题）1．下列命题中，正确命题的个数是（） ①若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；③若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d ； ④若a ＞0，b ＞0，则1a +1b≥√ab；⑤y ＝sin x +2sinx ，x ∈（0，π2]的最小值是2√2． A ．1B ．2C ．3D ．42．已知正实数a 、b 满足a +b ＝ab ，则ab 的最小值为（） A ．1B ．√2C ．2D ．43．已知x ＞0，y ＞0，且2x +y ＝xy ，则4x +2y 的最小值为（） A ．8B ．12C ．16D ．204．若函数f （x ）＝ax 2+ax ﹣1对∀x ∈R 都有f （x ）＜0恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．﹣4＜a ≤0B ．a ＜﹣4C ．﹣4＜a ＜0D ．a ≤05．若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则下列结论正确的是（） A ．a c ＜b c B ．a log b c ＜b log a c C ．ab c ＜ba c D ．log a c ＜log b c6．在R 上定义运算：|abcd|=ad −bc ，若不等式|x −1a −2a +1x |≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最小值为（） A ．−12B ．−32C ．12D ．327．已知正数x ，y 满足3xy +y 2﹣4＝0，则3x +5y 的最小值为（） A ．1B ．4C ．8D ．168．若正数x ，y ，z 满足x 2+4y 2＝z +3xy ，则当xy z取最大值时，1x +12y−1z 的最大值为（）A ．2B ．32C ．1D ．12二．多选题（共4小题）9．已知a，b为正实数，且ab+2a+b＝6，则（）A．ab的最大值为2B．2a+b的最小值为4C．a+b的最小值为3D．1a+1+1b+2的最小值为√2210．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥12B．2a﹣b＞12C．log2a+log2b≥﹣2D．√a+√b≤√211．已知函数f（x）＝x+1x（x＞0），若f（a）＝f（b），且a＜b，则下列不等式成立的有（）A．ab＝1B．a2+b2＞2C．1a +2b≥2√2D．log a b＜log b a12．若实数x，y满足x＞y＞0，则（）A．1y ＞1xB．ln（x﹣y）＞lnyC．x+y＜√2(x2+y2)D．x﹣y＜e x﹣e y 三．填空题（共4小题）13．已知x，y∈R+，x+2y＝1，则1x +x+yy的最小值为．14．若4x+4y＝1，则x+y的取值范围是．15．已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则a2+4b2+14ab的最小值是．16．已知a，b∈R，且a＞b＞0，a+b＝1，则a2+2b2的最小值为，4a−b +1 2b的最小值为．。

高三数学不等式试题答案及解析

高三数学不等式试题答案及解析1.已知实数满足，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】即，由，，，所以，即，当且仅当时取等号，综上所述，的取值范围是.故答案选【考点】基本不等式.2.（本小题满分10分）（选修4—5，:不等式选讲）（Ⅰ）证明柯西不等式：；（Ⅱ）若且，用柯西不等式求+的最大值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用做差法，即可证明结果；（Ⅱ）由柯西不等式可得，又即可求出结果．试题解析：解：（Ⅰ）证明：∴（Ⅱ）由柯西不等式可得∵∴∴【考点】1．不等式的性质；2．柯西不等式．3.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设实数，满足．（1）若，求的取值范围；（2）求最小值．【答案】（1）；（2）【解析】第一问根据题中的等量关系式，不等式可以化为，从而求得的取值范围是，第二问将代入上式，得到利用三角不等式求得其最小值为．试题解析：（1）由得，即，所以可化为，即，解得，所以的取值范围是（2）代入，当且仅当，时，等号成立（或）的最小值为【考点】解绝对值不等式，三角不等式求最值．4.设实数满足则的最大值为．【答案】4【解析】不等式组表示的平面区域如图三角形及其内部，且A（4，0）．目标函数可看作直线在y轴上的截距的-2倍，显然当截距越小时，z越大．易知，当直线过点A时，z最大，且最大值为4-2×0=4．【考点】线性规划求最值．5.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若，且，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）这是含绝对值的不等式工，解法是由绝对值的定义对变量的范围进行分类讨论以去掉绝对值符号，化为普通的不等式（不含绝对值）；（Ⅱ）不等式为，可两边平方去掉绝对值符号，再作差可证．试题解析：（Ⅰ）由题意，原不等式等价为，令 3分不等式的解集是 5分（Ⅱ）要证，只需证，只需证而，从而原不等式成立． 10分【考点】含绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明，分析法．6.下列结论：①函数有最大值；②函数有最大值10；③若，则．正确的序号是A．①B．①③C．②③D．①②③【答案】B【解析】对于①；对于②因为，所以；对于③因为，所以．故应选．【考点】1、基本不等式的应用．【方法点睛】本题主要考查了运用基本不等式求其最值，属中档题．其解题的一般方法有两大类：其一是针对和为定值，求其积的最大值问题，如选项①；其二是针对积为定值，和有最小值问题，如选项②、③．在运用基本不等式求最值的过程中，应注意其适用的条件：一正二定三相等，特别应注意等号成立的条件，并检验其是否能够取得到，尤其针对多次运算基本不等式时应验证等号是否能够同时取得．7.选修4-5：不等式选讲．设函数；（Ⅰ）当a=1时，解不等式．（Ⅱ）证明：．【答案】（Ⅰ）当a=1时，不等式的解集为；（Ⅱ）证明过程详见解析．【解析】（Ⅰ）解绝对值不等式的思路是运用零点分段法去绝对值，然后求解每一种情况的解集，最后对几种情况的解集求并集即可；（Ⅱ）求得，，然后利用绝对值不等式缩小为，最后运用均值不等式即可证明．试题解析：（Ⅰ）解：当a=1时，由，得，当时，得，解得，∴；当时，得2≥4不成立，∴不等式无解；当时，由，解得，∴．综上所述，当a=1时，不等式的解集为．（Ⅱ）证明：∵∴．【考点】①解绝对值不等式；②证明不等式．8.选修4-5：不等式选讲已知函数（1）解不等式；（2）若函数的图象恒在函数的图象的上方，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）运用分类讨论的思想方法，去绝对值，即可得到不等式组，即可得到所求解集；（2）由题意可得不等式恒成立，由绝对值不等式的性质，可得右边函数的最大值，进而得到的范围．试题解析：（1）不等式化为，所以不等式的解集为（2）由于函数的图象恒在函数的图象的上方即不等式恒成立令由，得所以实数的取值范围【考点】1．函数的性质及应用；2．绝对值不等式的解法及应用．9.设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），联立，解得B（m﹣1，m），化z=x+3y，得．由图可知，当直线过A时，z有最大值为7，当直线过B时，z有最大值为4m﹣1，由题意，7﹣（4m﹣1）=7，解得：m=．故选：C．【考点】简单线性规划．10.已知函数，不等式的解集为.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）问题转化为，从而得到且，基础即可；（Ⅱ）问题转化为恒成立，根据绝对值的意义解出的范围即可．试题解析：解：(1)∵，∴不等式，即，∴，而不等式的解集为，∴且，解得：；(2)关于的不等式恒成立关于的不等式恒成立恒成立恒成立，由或，解得：或．【考点】1.绝对值不等式的解法；2.分段函数的应用．11.设满足则（）A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】在平面直角坐标系中作出不等式组所表示的平面区域，利用线性规划知识可得，在处，无最大值．【考点】线性规划．12.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为______.【答案】【解析】画出变量满足的约束条件所表示的可行域，如图所示，可求得可行域内点，则目标函数经过点是取得最小值，此时最小值为．【考点】线性规划求最值．13.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）通过讨论的取值范围，即可求出每个不等式的解集，取并集即可；（2）不等式等价于，转化为绝对值三角不等式求解出函数的最小值，列出关于的不等式组，即可求解的取值范围.试题解析：（1）原不等式等价于：解得，不等式的解集为.(2)不等式因为，所以的最小值为4.于是，所以【考点】绝对值不等式的求解；函数的恒成立问题.14.设对任意恒成立，其中是整数，则的取值的集合为________．【答案】【解析】当时，直线单调递增且过定点，而抛物线的开口向上，不等式在不恒成立,故,此时,否则不合题设,所以欲使不等式在恒成立（当且仅当,即时才能满足）,注意到是整数,所以当或时，成立，故或,答案应填：．【考点】1、一次函数、二次函数的图象和性质；2、不等式恒成立的转化与化归；3、分类整合的思想、推理证明的思想和意识．【易错点晴】本题借助不等式恒成立考查的是分类整合的数学思想和函数的图象与性质，属于较难的问题．解题时一定要充分借助一次函数、二次函数的图象，并对参数进行合理的分类，从而将问题进行分析和转化．解题过程中还运用了题设中为整数这一条件，并以此为基点建立关于的等式求出了参数的值．解本题的关键是如何理解题设中“对任意不等式恒成立”，并能建立与此等价的关于的等式．15.若变量满足约束条件，则的最小值是（）A．3B．1C．-3D．不存在【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知当直线，过点时，直线的截距最大，此时最小，由，解得，即,代入目标函数，得，即目标函数的最小值为，故选B．【考点】简单的线性规划．16.设函数.（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）分，及三段讨论去掉绝对值符号，分别求出的解，求并集即得不等式的解集；（2）若恒成立，则求出函数的最小值解得关于的一元二次不等式从而求得实数的取值范围.试题解析：（1）当当当，综上所述（2）易得，若恒成立，则只需综上所述.【考点】绝对值不等式、一元二次不等式的解法及分区间讨论、转化的数学思想.17.设函数.（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）分，及三段讨论去掉绝对值符号，分别求出的解，求并集即得不等式的解集；（2）若恒成立，则求出函数的最小值解得关于的一元二次不等式从而求得实数的取值范围.试题解析：（1）当当当，综上所述（2）易得，若恒成立，则只需综上所述.【考点】绝对值不等式、一元二次不等式的解法及分区间讨论、转化的数学思想.18.设均为正数，且，则的最小值为（）A．16B．15C．10D．9【答案】D【解析】因为均为正数，且，所以，整理可得：，由基本不等式可得，整理可得，解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号，故的最小值为，故选D.【考点】基本不等式.【方法点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题.本题解答的关键是根据条件中整理得到，根据基本不等式，把上述关系转化为关于的一元二次不等式，通过解不等式得到的范围，再利用不等式的性质变形得到的范围，得其最小值.19.选修4-5：不等式选讲已知为非零实数，且，.（1）求证：；（2）求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据柯西不等式可证得，整理即得所证的不等式；（2）根据（1）的结论可得，解不等式求得或，再根据已知条件和不等式的性质可得，取交集即得实数的取值范围.试题解析：（1）证明：由柯西不等式得，即，所以.（2）解：由已知得：，.所以，即，解得或.又，，所以，即实数的取值范围是.【考点】不等式的证明与解法.20.设函数.（1）当时，求函数的定义域；（2）当时，证明：.【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，，由；原不等式等价于或或，即可解除不等式的解；（2）当时,即，所以，所以，即可证明结果.试题解析：解：（1）当时，，由原不等式等价于或或则不等式的解集为（2）当时,即，所以，所以，即.【考点】1.绝对值不等式；2.不等式证明.21.已知满足约束条件，若目标函数的最大值为1，则m的值是（）A．B．1C．2D． 5【答案】B.【解析】如下图所示，画出不等式组所表示的区域，作直线：，，则可知当，时，，故选B．【考点】本题主要考查线性规划．22.已知函数．（I）解关于的不等式；（II）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I）或；（II）或.【解析】（I）化简可得，根据绝对值不等式解的基本模型可得或，由不等式的性质即可求得的范围；（II）要使不等式恒成立，则，按照，分别讨论得到，构造关于的不等式，即可求得实数的取值范围．试题解析：（I），或（II）当时，作出图象可知的最小值为，则此时；当时，，作出图象可知的最小值为，则此时综上：或【考点】绝对值不等式的解法与分段和函数的最值和恒成立问题.23.选修4-5: 不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）求函数的最小值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数中的绝对值符号，求解不等式；（2）画出函数函数的图象，根据图象求得函数的最小值．试题解析：（1）①由解得；②解得；③解得；综上可知不等式的解集为（2）可知则【考点】绝对值的代数意义；分类讨论思想．24.已知x、y满足，那么z=3x+2y的最大值为 .【答案】【解析】由题意得，作出不等式组表示平面区域，如图所示，可得平面区域为一个三角形，当目标函数经过点时，目标函数取得最大值，此时最大值为．【考点】简单的线性规划．25.已知实数满足，且最大值是最小值的倍，则．【答案】【解析】由数形结合得，直线经过点时，有最小值，经过点时，有最大值，所以.【考点】线性规划.26.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数.以点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(Ⅰ)将曲线和直线化为直角坐标方程；(Ⅱ)设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值.【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ) ．【解析】(Ⅰ)利用同角三角基本关系关系消参可得的直角坐标方程；利用两角和的正弦公式和极坐标与直角坐标的转化公式可得的直角坐标方程；(Ⅱ)用参数法设出点的坐标，代入点到直线的距离公式，可得距离的最大值．试题解析：(Ⅰ)解：由得，∴曲线的直角坐标方程为.由，得化简得，，∴∴直线的直角坐标方程为.(Ⅱ)解：由于点是曲线上的点，则可设点的坐标为，点到直线的距离为当时，.∴点到直线的距离的最大值为.【考点】极坐标与普通方程的转化；参数方程与普通方程的转化；点到直线的距离．27.若变量满足约束条件，则的最大值是（）A．B．0C．D．【答案】C【解析】作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过点时取得最大值，即，故选C．【考点】简单的线性规划问题．28.选修4-5：不等式选讲已知，不等式的解集为。

高三数学对数不等式试题

高三数学对数不等式试题1.函数则的解集为________．【答案】【解析】因为函数，那么当x>0，；当x<0,,解得x<-1,综上可知解集为2.已知不等式的解集为A，函数的定义域为B.（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）证明：函数的图象关于原点对称。

【答案】Ⅰ）由，得由得4分，7分（Ⅱ）证明：且，8分11分为奇函数，13分的图象关于原点对称。

【解析】略3.不等式对任意都成立，则的取值范围为A B． C．D．【答案】D【解析】略4.当时，，则下列大小关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略5.已知函数,则不等式的解集为．【答案】【解析】略6.已知的解集为A．B．C．D．【答案】C【解析】略7.若不等式对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：因为有因式lgx，所以须对x分x＞1，0＜x＜1和x=1三种情况讨论，在每一种情况下求出对应的x的范围，最后综合即可．解答：解：由题知x＞0，所以当x＞1时，lgx＞0，不等式[（1-x）n-x]lgx＜0转化为（1-x）n-x＜0?a＞=1-对任意正整数n恒成立?x＞1．当0＜x＜1时，lgx＜0，不等式[（1-x）n-x]lgx＜0转化为（1-x）n-x＞0?x＜=1-对任意正整数n恒成立?x＜，∵0＜x＜1，∴0＜x＜．当x=1时，lgx=0，不等式不成立舍去综上，实数x的取值范围是 x＞1或0＜x＜故选C．＞1，则a的取值范围是 .8.若loga【答案】【解析】略9.已知，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得：．取，，代入每个选项，得：选项A，，不成立；选项B，，不成立；选项C，，成立；选项D，，不成立．故选C．【考点】不等式的性质．10.函数的定义域为，值域为，不等式的解集为．【答案】；【解析】对数型函数要求真数为正，所以，所以函数的定义域为，由于，由于为增函数，的值域为；，则，【考点】对数函数与对数不等式。

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高三数学练习题一不等式贝lj AAB=已知函数jf(x)=llg 兀I,若l/c 〉a>b 〉l,则B ・ f(c) > f(a) > f(b)C. f(c) > f(b) > f(a)6. (05 年全国卷 1)设()VdVl,函数 f(x) = log a (a 2x - 2a x -2)，则使 f(x)< 0 的兀的取值范围是一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中, 一项是符合题目要求的)若集合{x|3asinx —2a+l=0, xG R}= 0, 只有1.A. {0} C. (一8, -1)2. B 是第一象限角， • 3 n A. sin — > 02 U ( — , +8)5那么恒有eB. tan — < 1 3.则实数a 的取值范围是(-1, 1)51)5B. D.C. eesin — > cos —22D.esin — < cos —2设a,beR +,则下列不等式中一定不成立的是 A. a + b —,— > 2^2 QabB.C. —z -〉civ 4abD.4. (05年高考天津卷)设集合A = {x^x-l\>9,xeR}f B>0,xeR>,A ・(-3,-2] C. (-CO-3]u[|,+oo)B. (-3,一2]50,号] D. (-oo,-3) kJ [—,+oo)25. A. (-oo,0)B. (0,-Ko)C. (~oojog a 3)D. (log“3,+oo)7. ax2+2x+l=0至少有一个负的实根的充要条件是• • • •• ••••A. OvaWlB. a<lC. aWlD. 0< aWl 或a<0&在某两个正数兀,yZ间，若插入一个正数Q,使成等比数列，若另插入两个数b、c,使兀，b, c, y成等差数列，则关于t的一•元二次方程，bt2—2at+c=0 (bHO)( )二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13. (05 年全国卷 1)若正整数 m 满足 10w_1 < 2512 vl(T ,贝 ijm 二 _________ . (lg 2 « 0.3010) 14. Q^[l A{x I 3-x >= {x I x 2 -(« + l)x +(7 < 0}, A则实数 a 的取值范围是 _______________ •15. 对任意的函数/(x),g(x),在公共定义域内,规定/(x) * ^(%) = min{f (x),g (x)},若/(x) = 3-x,g(x) = V2x-3,WlJ/(x)* g(x)的最大值为 ______________________ •16. 某工厂牛产的产品第二年比第一年增长的百分率为a,第三年比第二年增长的百分率为142a-l,第四年比第三年增长的百分率为4-3a,设年平均增长率为y,且一 vav-,23 则y 的最大值为 _________________ .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)(理)解不等式：21o glog/^ + l) (Q>1)・(文)解不等式21og tz (x + l)>log u (^ + l) (a > 2).C.无实数根D.有两个相等实根或无实根11 n9.设a>b>c,nwN 旦.—— + ——成立，则n 的最人值是a-b b-c a-c A. 2B. 3C. 4正项数列{On}中，若 M=(a 1+O 2+ •••+01989)• (。

2切3+…+6990)， (时吋…+6989)，则M, N 的大小关系为 A. M>NB. M=NC. M<N设a 、b 、c 都为正数,那么三个数a+-9b + -,c + -b c a A.都不大于2B.都不小于2C.至少冇一个不大于2D.至少有一个不小于2 某种电热器的水箱盛水是200升，加热到一定温度即可浴用.浴用时，已知每分钟放水 34升，在放水的同时按10.9毫升/秒彳的匀加速度作白动注水(即t 分钟自动注水2t? 升)，当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止•现假定每人洗浴用水量为65刃，，则该热器一次至多可供()10.11.12. C. 5人洗浴 D. 5N=(6+a2+ ・八D. M. N 无大小关系18.(本小题满分12分)设/(x)=llgxl,Q、b 是满足= = 凹)的实数，其中0 <Q<b・(1)求证：a < \ 2).x-2 -⑴求/(x),g(x)同时有意义的实数X的取值范围；⑵求F(x) = /⑴+ gCr)的值域.20.（木小题满分12分）某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑Ifli 积为A（n?）的宿舍楼.已知土地的征用费为2388 7L/m2,「L每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445 元/n?,以后每增高一层，具建筑费川就增加30元/m?.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）21-（本小题满分12分）己知函数/0）=处2+bx+］（a,〃为实数），= l-/（x）（x<0）(1)若/(-1) = 0且对任意实数均有/(%) > 0成立,求尸(兀)表达式；(2)在(1)的条件下,当xe[-2MgW = f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围；(3)设mn<O,/n + n>O,n>O_@/(x)为偶函数,判断F(m) + F(n)能否大于0.22.(本小题满分14分)已知函数/(f)对任意实数x、y都有f(x+y) = /d)+ /(刃+3xy(x + y + 2) + 3 J(l) = 1.⑴若t为自然数，试求笊丿的表达式；⑵满足条件f(t)= t的所有整数t能否成等差数列？若能构成等差数列，求出此数列；若不能构成等差数列，请说明理山；⑶若t为自然数，H. t$4时，f(/) »加$+(4加+ i)/ + 3加恒成立，求m的授大值.答案一.选择题二. 填空题17. 解：原不等式x + 1 > 0ax + \> 0(a > 1) n (x + 1)，\处 + 1.・.3分X > —1x > -—(a > 1) ax[x-(a-2)] > 0x > ——(a > 1) ax[x-(a 一2)] > 0(d > 1)13・{兀丨X <一3或X > 4} ；14. tz > 2 ；15. 155；16. 1三、解答题（理6分）（文8分）©Aa=2时,不等式的处为x>——;(理8分) (文10分)a②a>2时,a-2>0,故原不等式解为一丄<xW0或xMa-2 .... (理10分)(文12分)aC / 1\ (。

一1)2 c③当l<a<2时，Q —2<0, T d — 2 — ( -------------- ) = > 0a a・°・原不等式解为............... —2或(理12分)a18.解:(1)由f(a) = I Ign 1=1 lg/? I,v0<a<b,:. lga \gb只能lga = -lgZ?即lgab = 0cib = 1,又0 V a V b,.・. 0<a<l<b.......... 6分(2)由/(b) = 2/(乞乞)得I lgb 1= 21 I 山于a、b 为正数，J亦=1则igb>0,lgH2>(V.lgb = 21gg2,!)ll” =(g2)2, 2 2 2 2即4b-b2 =a2 +2,又Ova < 1,/. 2 < 4b-b2 < 3 ...................... 12 分♦19.解：(1)由土〉o=>x〉2或x<-2又卩一“°乂 2.・.2vxvp,故朋丿与咖的公共定义域为兀_2 [p-x>0(2, P)……4 分⑵ F(x) = /(x) + g(x) = log2[(x 4- 2)(/? - X)]=log 2 [-(X-号)2 + (譽)2 ](2<x<p)……6 分令M(x) = -U-心)2 + (心)2... 抛物线Wx丿的对称轴工一"-2 (i)当p>6时，ZzZ e(2 n)' 2 2 2...o <wW < 血空值域为(-0),2 log2(/; + 2)-2]……9 分4(ii)当2VpW6 时，即号 < 2,讥力在(2, p) tWO < u(x) < 4(p - 2)・•. g⑴ < log2[2(p-2)] = 1 + log2(p - 2)・•・值域为(-oo,2 + 2 log2(p-2)]-12 分20.解：设楼高为n层，总费用为y元，则征地而积为型加2,征地盘用为5970A元,楼层建筑费用为n n[445+445+ ( 445+30 ) + ( 445+30 X 2 ) + …+445+30 X (n~2)]・△ =(15川+ 凹+ 400)A 元，故nn5970A , = 430A 片八八.= 6000 “八、.、，八八八人，一、巾丄6000y = --------- +15nA + ------ + 400A = (15/? + -------- + 400)>4 > 1000/4 (兀)仅当15/?= -------- n n n n 即n=20 (层)时，总费用最少为1000A元 ... 12分21.解：(1) V /(-i) = 0 •••b=a+l, llj /(x) > 0恒成立知：△ = b2_4a = (d + l)2_4d = (a_l)2 <0 …2 分—=1 从耐(x)»2+2兀 + 1 . F&)= p+l)2(x>0) ......3 分|-(x + l)2U<0)(2)由(1)知： f (x) = x2 +2x4-1 /. ^(x) = f(x) -kx = x2 + (2- k)x = 1由g(x)在[一2,2]上是单调两数知_2二土 < _2或n 2……5分2 一一2得k < -2^ > 6……6分(3)V /(X)为偶函数/(-X)= /⑴而a > 0,「. /(X)在[0,+8)为增函数对于F(x),当兀> 0时,-x < 0,F(-x) = = -f(x) = -F(x)……7 分当兀v OM-x > 0, F(-x) = f(-x) = f(x) = -F(x)F(x)是奇函数，且F(x)在[0,+oo)上为增两数……8分由mn < 0知w 异号,①当m > 0,n < 0时，由加 > -n > 0知F(?n) > F(-n) = -F(n):.F(m) + F(n) > 0 ......... 10 分②当m < 0,n > 011 寸，由n > -m > 0知F(M)>F(-m) = -F(in) .................................... :. F(m) +F(n) > 0 H 分综上可知F(m) + F(n) > 0 即二 F(m) + F(n)可大于 0 ...... 12 分22. 解：(1) V /(X + y) = /(%) + f(y) + 3xy(x + y + 2) + 3 /(r +1) = /(r) + /(l) + 3r 2 + 9z + 3 ……1分当t 为自然数时，让t 从],2, 3,……t-1取值有 f(t) = lf(t) 1)] + [兀一 1) _ 口 _ 2)] + …+ [/(2) -/(1)] + /(l)= 3[(r-l)2+(r-2)2 + …+ l] + 9[(t-l) + (f — 2) + ・・・ + l] + 4(r — 1) + 1+ 9.l£^12 + 4(/_l )+ l =尸 + 3/2 一3当t 为自然数时，f(t )的解析式为于⑴=尸+ 3r 2 一 3,虫N ……5分 ⑵当f w W 时,/(r) = r 3 +3z 2 -3当SO 时,在门兀+刃=于(兀)+ /(刃+ 3兀y(x+y + 2) + 3中,令 X = y = 0^11/(0) = /(0) + /(0) + 3得/(0) = -3当f e Z 一时,—f w N,由j(x + y) = f(x)+ /(y) + 3xy(x + y + 2) + 3 知 f (t -/) = /(O + /(-z)- 6/2 + 3 = /(0) = 一3得 /(r )=-/(-r )+6f 2—6 = T(T)‘ +X -02 一3]+6厂一6=户一3综上所述，当 t G Z 时,f(t) = r 3+3r 2-3 ……8 分 /. f(t) = t,:. t 3+ 3t 2- 3 = t:. g = l,r 2 = -l,r 3 = -3r (+r 3-2r 2 = l-3-2(-l) = 0 :成等差数列，此数列为 1, 一1, 一 3 或一 3, -1, 1-10 分(3)当t G N 时，/(O = r 3+3r 2-3» 由/(0>m^2+ (4/n + l)r + 3m 恒成立知 r 3+3z 2-r-3>/n(r 2+4/ + 3)(r- l)(r 4- l)(r + 3)> m(t + l)(r + 3) r > 4(r + l)(r + 3)〉0:恒成立/. m<3・•・“的最大值是3……14分(f-1"⑵-1)6。