2018高考一轮江苏数学文练习第3章 第14课 课时分层训

课时分层训练(十四)
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为________．
(－7,24) [根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0， 即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.]
2．不等式组⎩⎨⎧
x ≥0，x ＋3y ≥4，
3x ＋y ≤4
所表示的平面区域的面积等于________．
4
3 [平面区域如图中阴影部分所示． 解⎩⎨⎧
x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)， 易得B (0,4)，C ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，43，
BC ＝4－43＝83，∴S △ABC ＝12×83×1＝4
3.]
3．(2016·北京高考改编)若x ，y
满足⎩⎨⎧
2x －y ≤0，
x ＋y ≤3，
x ≥0，
则2x ＋y 的最大值为
________．
4 [根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到虚线处时，目标函数取得最大值，由⎩⎨⎧
2x －y ＝0，
x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最
大值为2×1＋2＝4.]
4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x ≥1，
x ＋y －4≤0，
x －3y ＋4≤0，
则目标函数z ＝3x －y 的最
大值为__________．
4 [根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.]
5．若函数y ＝kx 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，
x ≥1，
则
实数k 的最大值为________．
2 [约束条件对应的平面区域是以点(1,2)，(1，－1)和(3,0)为顶点的三角形，当直线y ＝kx 经过点(1,2)时，k 取得最大值2.]
6．(2017·如皋中学高三第一次月考)已知x ，y 满足⎩⎨⎧
y ≥x
x ＋y ≤2，
x ≥a ，且z ＝2x
＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是________. 【导学号：62172081】
14
[作出不等式组⎩⎨⎧
y ≥x ，
x ＋y ≤2，
x ≥a ，
对应的平面区域如图：
由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ， 平移直线y ＝－2x ＋z .
由图象可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大，由⎩⎨⎧ y ＝x ，x ＋y ＝2，得⎩⎨⎧
x ＝1，
y ＝1，
即A (1,1)，此时z ＝2×1＋1＝3. 当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，直线的截距最小，此时z 最小，由⎩⎨
⎧
x ＝a ，y ＝x ，得⎩⎨⎧
x ＝a ，y ＝a ，
即B (a ，a )，此时z ＝2×a ＋a ＝3a . ∵目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍， ∴3＝4×3a ， 即a ＝14.]
7．已知x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧
x ＋2y －5≥0，
x －6y ＋27≥0，
3x －2y ＋1≤0，
使目标函数z ＝mx ＋y (m ＜0)
取得最小值的解(x ，y )有无数个，则m 的值是________. 【导学号：62172082】
－3
2 [画出可行域，目标函数z ＝mx ＋y (m ＜0)，由取得最小值的最优解有无数个知，取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数中系数必为正，最小值应在边3x －2y ＋1＝0上取到，即mx ＋y ＝0应与直线3x －2y ＋1＝0平行，计算可得m ＝－32.]
8．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆．旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为________元．
36 800 [设分别租用A ，B 两种型号的客车x 辆、y 辆，所用的总租金为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y ，
其中x ，y 满足不等式组
⎩⎨⎧
36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7
(x ，y ∈N ＋)．
其可行域如图中阴影部分所示，由z ＝1 600x ＋2 400y ，得y ＝－23x ＋z
2 400.
当直线y ＝－23x ＋z
2 400过点M (5,12)时，z min ＝1 600×5＋2 400×12＝36 800.]
9．(2017·南京模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x －y ＋3≥0，x ＋y ≥0，
x ≤2，
则x 2＋y 2的最大
值为________．
29 [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
设P (x ，y )是该区域内的任意一点，则x 2＋y 2表示的几何意义是点(x ，y )到点(0,0)距离的平方．由图可知，点A 到原点的距离最远，由⎩⎨⎧ x ＝2，x －y ＋3＝0，得⎩⎨⎧
x ＝2，y ＝5，所以(x 2＋y 2)max ＝22＋52＝29.]
10．(2017·盐城模拟)动点P (a ，b )在区域⎩⎨⎧
x ＋y －2≤0，
x －y ≥0，
y ≥0
上运动，则w ＝
a ＋
b －3
a －1
的取值范围是________________． (－∞，－1]∪[3，＋∞) [画出可行域如图，w ＝
a ＋
b －3a －1＝1＋b －2
a －1
， 设k ＝b －2a －1，则k ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以w
＝a ＋b －3a －1
的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．]
11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x ＋2y －3≤0，
x ＋3y －3≥0，
y －1≤0，
若目标函数z ＝ax ＋y (其
中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是________.
【导学号：62172083】
⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，＋∞ [画出x ，y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，
则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，
∴a >12.]
12．实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧
x －y ＋2≥0，
2x －y －5≤0，
x ＋y －4≥0，
则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为
________．
21 [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分
所示．
z ＝|x ＋2y －4|＝
|x ＋2y －4|
5
·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．
由⎩⎨⎧
x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.]
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．设变量x ，y
满足约束条件⎩⎨⎧
x ＋y －4≥0，
x －y －2≤0，
x －3y ＋4≥0，
则z ＝2x －2y 的最小值为
________．
1
4 [设m ＝x －2y ，则y ＝12x －m 2，作出不等式组对应的平面区域如图，平移直线y ＝12x －m
2，由图可知当直线y ＝12x －m 2过点A 时，直线y ＝12x －m
2的截距最大，
此时m 最小，由⎩⎨⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0解得⎩⎨⎧
x ＝2，
y ＝2，即A (2,2)，此时m 最小，为2－2×2
＝－2，则z ＝2x －2y 的最小值为2－2＝1
4.]
2．已知点A (2，－2)，点P (x ，y )在⎩⎨⎧
x －y ＋1≥0，
x ＋y ＋1≥0，
2x －y －1≤0
所表示的平面区域内，
则OP
→在OA →方向上投影的取值范围是________．
⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－22
，22
[不等式组表示的平面区域，如图所示．由向量投影的几何意
义知，当点P 与点D 重合时投影最大，当点P 与点B 或点C 重合时投影最小．
又C (－1,0)，D (0，－1)， ∴OC
→＝(－1,0)，
OD
→＝(0，－1)， ∴OD →在OA →
方向上的投影为OD →·OA →|OA →|＝22，
OC →在OA →方向上的投影为
OC →·OA →|OA →|＝－22，
故OP
→在OA →方向上投影的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22
，22.] 3．(2017·盐城三模)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x ≥1，
x ＋y ≤5，
x －y ≤2，
则2y －12x
＋3
的最大值为________．
7
5 [画出不等式表示的可行域，如图所示．
又2y －12x ＋3表示点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32，12与可行域内的点连线的斜率，显然k AP ≤2y －12x ＋3≤k PC .又k PC ＝4－1
2
1＋32
＝
7
5，
∴
2y －12x ＋3
的最大值为7
5.] 4．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
3x －y －6≤0，
x －y ＋2≥0，
x ≥0，
y ≥0，
若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，
b >0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________．
25
13
[因为a >0，b >0， 所以由可行域得，如图，
当目标函数过点(4,6)时，z 取最大值， ∴4a ＋6b ＝10.
a 2＋
b 2的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么其最小值是点(0,0)到直线4a ＋6b ＝10距离的平方，则a 2＋b 2的最小值是25
13.]
5．(2017·南京模拟)已知点
P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧
x ≥1，
y ≥x －1，
x ＋3y －5≤0，
那么
点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为________．
2 [作出可行域如图所示．
由图可知，当直线3x －4y －13＝0的平行线经过可行域中的点A (1,0)时，可行域中的点距直线3x －4y －13＝0的距离最小，为d ＝
|3－0－13|32＋(－4)
2＝2.]
6．(2017·苏州模拟)已知点P (x ，y )满足条件⎩⎨⎧
x ≥0，
y ≤x ，
2x ＋y ＋k ≤0
(k 为常数)，若
z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________.
－6 [画出x ，y 满足的可行域，如图中阴影部分所示．
联立⎩⎨
⎧
y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－k 3，y ＝－k
3，
即A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－k
3，－k 3.
因此，目标函数z ＝x ＋3y 在点A 处取得最大值， 所以－k 3＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－k 3＝8，所以k ＝－6.]。