正方体的截面图
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2 2
2 4
2
n)
2
1 n 8
4
←这就是ＡＢＯ的高啦！
3 3 再乘以6（六三角形）則正六边形面积即为 4
2
面积就是底乘以高除以二 即是 2 n 6 n
2 4 3 2 n 8
比较两个面积大小 3 3 2 2 长方形面积是 2n ，而正六边形面积为 4 n
由於 3和 2
不能直接比较，所以取近似值 最后近似值长方形面积就是1.414n2， 正六边形面积近似值就是1.299n2 所以正方体最大截面是长方形， 面积是1.414n2！
什么是截面？
截面就跟他名字一样，就是像用刀子 出來的面。 虽然有很多种切法， 但在这里只讨论切平面而不讨论 曲面。
切
截面： 现在要讨论正方体的截面 先把正方体的截面形状分成几个部分讨论： 一、三角形：锐角三角形三角形、正三角形、 直角三角形、等腰三角形、钝角三角形… 二、四边形：正方形、长方形、平行四边形 、菱形、梯形、等腰梯形… 三、其他：正五边形、 正六边形、 正七边形…
接着把ＢＣ、ＡＣ的一半和 ＡＣ上的高比起來
2 2 8 4 4 2 :2 2 :2 6 2 2 : 2 : 6 2 :1 : 3 n: 8 n: 6 n
而这三边比就是直角三角形30度.60度.90度 的组合，所以角Ｂ的一半为60度。 所以角Ｂ就是120度啦！ 因此这六边形是正六边形 。
大于四边之其它形状截面： 六边形以上的多边形无法切出來， 为什么？ 因为正方体每个面只能有一个图 形的边，才是一个直的截面，才 能切成一直线，每个面只能有一 条边，而正方体只有六个面，所 以截面最多只能有六条边。
依长方体对角线公式：
2 2 2 （ＸＹＺ各代表长方体的长、宽、高。） X Y Z
所以：
BC 3 2 n 2 6 n 2 1 2 1 2 ( n) ( n) n 2 2 2
再算出 AB.BC 2 长为 2 n 三角形就完成边长了（右上图）
算ＡＣ到Ｂ之高
( 2 2 1 n 8 8 8 n n)2 ( 6 4 n)2
结论： １正方体的三角形的截面只有锐角三角形而 不会有钝角或直角三角形。 ２正方体面积最大的三角形截面是正三角形。 ３正方体面积最大的四边形截面是长方形。 ４正方体截面最少边是三角形，最大边是 六边形。 ５正方体截面最大为长方形。
结论与感想： 这次研究因为有模型的帮助而使研究更容易 进行，当然，老師对我的帮助也很大，再加 上同学们和父母帮我解決了很多问题，排除 万难完成了此报告，不然研究可能就作不成 了，谢谢各位帮助我的人！
我们先设一正方体边长为n，如下图：
开始讨论截面吧！
三角形截面：
正三角形： 等腰三角形：
其他直角三角形、钝角三角形…都无法截出 因为三角形至少其中一个顶点必须要在正方体 的顶点上，而一顶点在正方体顶点上之最大角 度即为最大之正三角形的６０度，否则如果 图形沒有任一点在正方体頂点上而在边上图 形变数最少即为四边形；所以不可能出现直 角或钝角三角形（角度小于９０度）。
最大面积的截面：
有两个图形（长方形跟正六边形）比较可能， 來比较看看吧。
可是用看的实在看不出哪个大 那就用来算算吧！
先算长方形面积 长方形比较好算，只要长乘以高 宽就是正方体边长n了 那长就依照华氏定理 两股为n，斜边长即对角线长
2 2 2 n n 2 n 2 n
再乘以n，面积就是 2n 2
大于四边其它的截面：
五边形： 正六边形：
可是这样又不能确定是正六边形 虽然我们知道它每一边都是 2n 但是它每个角得120度才行 來确认吧！ 首先取六边形中一三角形 （如右图蓝色部分），只 要确定Ｂ的度数是120就 好了，首先要先算出ＡＣ 的长度。 要怎么算呢？ 只要把它当成一长方体对角线 算就好了（见右图）
梯形： 等腰梯形：
这样來做个说明： 为什么ＡＢ会平行ＣＤ？ 因为： 正方体ＣＤ那一面和ＡＢ那一 面是相对的面，因为截面不会 弯曲，所以只要切到之两面是平 行的，此两边就会平行。
四边形截面：
菱形： 面积最大的四边形截面：
此四边形两点位于 正方体顶点，两点位于 正方体边长之中点，所 以此四边形四条边都是 5 n ，而四角不相等， 2 所以此四边形为菱形。
正六边形面积就比较麻烦了 先把它切成六个正三角形 如右图 则其一正三角形边长AB即为
1 2 1 2 1 2 ( n ) ( n ) n n 2 2 2 2
右图即为ＡＢＯ之放大图。 要求面积就得先知道此三角 形的高， 來求吧
2 斜变为 n 2
，底面一半
2 n 4
就當一股
運用商高定理
( 2 2 1 n 2 3 n 8 24 n 8 6 n n) (
但有人想如果我这样切（下面二图） 不就可切出直角跟钝角吗 ？
Ｏ
Ｏ
答案是：沒有这种切法。 因为你看看，此两图虽然两条边都在正方体 之一面上，但是有一条边是存在于正方体內 ，而这样就不是截面了。所以这是不可能出 現直角或钝角三角形。
面积最大的三角形截面：
四边形截面：
正方形： 长方形：
四边形截面：
2 4
2
n)
2
1 n 8
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←这就是ＡＢＯ的高啦！
3 3 再乘以6（六三角形）則正六边形面积即为 4
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面积就是底乘以高除以二 即是 2 n 6 n
2 4 3 2 n 8
比较两个面积大小 3 3 2 2 长方形面积是 2n ，而正六边形面积为 4 n
由於 3和 2
不能直接比较，所以取近似值 最后近似值长方形面积就是1.414n2， 正六边形面积近似值就是1.299n2 所以正方体最大截面是长方形， 面积是1.414n2！
什么是截面？
截面就跟他名字一样，就是像用刀子 出來的面。 虽然有很多种切法， 但在这里只讨论切平面而不讨论 曲面。
切
截面： 现在要讨论正方体的截面 先把正方体的截面形状分成几个部分讨论： 一、三角形：锐角三角形三角形、正三角形、 直角三角形、等腰三角形、钝角三角形… 二、四边形：正方形、长方形、平行四边形 、菱形、梯形、等腰梯形… 三、其他：正五边形、 正六边形、 正七边形…
接着把ＢＣ、ＡＣ的一半和 ＡＣ上的高比起來
2 2 8 4 4 2 :2 2 :2 6 2 2 : 2 : 6 2 :1 : 3 n: 8 n: 6 n
而这三边比就是直角三角形30度.60度.90度 的组合，所以角Ｂ的一半为60度。 所以角Ｂ就是120度啦！ 因此这六边形是正六边形 。
大于四边之其它形状截面： 六边形以上的多边形无法切出來， 为什么？ 因为正方体每个面只能有一个图 形的边，才是一个直的截面，才 能切成一直线，每个面只能有一 条边，而正方体只有六个面，所 以截面最多只能有六条边。
依长方体对角线公式：
2 2 2 （ＸＹＺ各代表长方体的长、宽、高。） X Y Z
所以：
BC 3 2 n 2 6 n 2 1 2 1 2 ( n) ( n) n 2 2 2
再算出 AB.BC 2 长为 2 n 三角形就完成边长了（右上图）
算ＡＣ到Ｂ之高
( 2 2 1 n 8 8 8 n n)2 ( 6 4 n)2
结论： １正方体的三角形的截面只有锐角三角形而 不会有钝角或直角三角形。 ２正方体面积最大的三角形截面是正三角形。 ３正方体面积最大的四边形截面是长方形。 ４正方体截面最少边是三角形，最大边是 六边形。 ５正方体截面最大为长方形。
结论与感想： 这次研究因为有模型的帮助而使研究更容易 进行，当然，老師对我的帮助也很大，再加 上同学们和父母帮我解決了很多问题，排除 万难完成了此报告，不然研究可能就作不成 了，谢谢各位帮助我的人！
我们先设一正方体边长为n，如下图：
开始讨论截面吧！
三角形截面：
正三角形： 等腰三角形：
其他直角三角形、钝角三角形…都无法截出 因为三角形至少其中一个顶点必须要在正方体 的顶点上，而一顶点在正方体顶点上之最大角 度即为最大之正三角形的６０度，否则如果 图形沒有任一点在正方体頂点上而在边上图 形变数最少即为四边形；所以不可能出现直 角或钝角三角形（角度小于９０度）。
最大面积的截面：
有两个图形（长方形跟正六边形）比较可能， 來比较看看吧。
可是用看的实在看不出哪个大 那就用来算算吧！
先算长方形面积 长方形比较好算，只要长乘以高 宽就是正方体边长n了 那长就依照华氏定理 两股为n，斜边长即对角线长
2 2 2 n n 2 n 2 n
再乘以n，面积就是 2n 2
大于四边其它的截面：
五边形： 正六边形：
可是这样又不能确定是正六边形 虽然我们知道它每一边都是 2n 但是它每个角得120度才行 來确认吧！ 首先取六边形中一三角形 （如右图蓝色部分），只 要确定Ｂ的度数是120就 好了，首先要先算出ＡＣ 的长度。 要怎么算呢？ 只要把它当成一长方体对角线 算就好了（见右图）
梯形： 等腰梯形：
这样來做个说明： 为什么ＡＢ会平行ＣＤ？ 因为： 正方体ＣＤ那一面和ＡＢ那一 面是相对的面，因为截面不会 弯曲，所以只要切到之两面是平 行的，此两边就会平行。
四边形截面：
菱形： 面积最大的四边形截面：
此四边形两点位于 正方体顶点，两点位于 正方体边长之中点，所 以此四边形四条边都是 5 n ，而四角不相等， 2 所以此四边形为菱形。
正六边形面积就比较麻烦了 先把它切成六个正三角形 如右图 则其一正三角形边长AB即为
1 2 1 2 1 2 ( n ) ( n ) n n 2 2 2 2
右图即为ＡＢＯ之放大图。 要求面积就得先知道此三角 形的高， 來求吧
2 斜变为 n 2
，底面一半
2 n 4
就當一股
運用商高定理
( 2 2 1 n 2 3 n 8 24 n 8 6 n n) (
但有人想如果我这样切（下面二图） 不就可切出直角跟钝角吗 ？
Ｏ
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答案是：沒有这种切法。 因为你看看，此两图虽然两条边都在正方体 之一面上，但是有一条边是存在于正方体內 ，而这样就不是截面了。所以这是不可能出 現直角或钝角三角形。
面积最大的三角形截面：
四边形截面：
正方形： 长方形：
四边形截面：