甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试题

甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学2020-2021学年高二上
学期期末考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知,αβR ∈，则“αβ=”是“tan tan αβ
=”的 （ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．命题“若21x ＜，则11x -＜＜”的逆否命题是（ ）
A ．若21x ≥，则1≥x ，或1x ≤-
B ．若11x -<<，则21x <
C ．若1x >，或1x <-，则21x >
D ．若1≥x 或1x ≤-，则21x ≥ 3．向量()1,0,1a =-，()1,2,3b =，若ka b -与b 垂直，则实数k =( ) A ．6 B ．－7 C ．7 D ．－6 4．如果命题“p ∨q ”与命题“┓p ”都是真命题，那么( )
A ．命题p 不一定是假命题
B ．命题q 一定为真命题
C ．命题q 不一定是真命题
D ．命题p 与命题q 的真假相同 5．空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )
A ．平行
B ．垂直
C ．相交但不垂直
D ．无法确定 6．若平面α，β的法向量分别为1,1,32a ⎛⎫=--
⎪⎝⎭，()1,2,6b =-，则( ) A ．//αβ
B ．α与β相交但不垂直
C ．αβ⊥
D ．//αβ或α与β重合
7．抛物线y 2＝－ax 的准线方程为x ＝－2，则a 的值为( )
A ．4
B ．－4
C ．8
D ．－8 8．三棱锥A BCD -中，2AB AC AD ===，90BAD ∠=︒，90BAC ∠=︒，则AB CD ⋅等于( )
A ．0
B ．2
C ．-
D ．9．若双曲线 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线
E 上，且13P
F =，则2PF 等于（ ）
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3
10．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2BC =，13DD =，则AC 与1BD 所成角的余弦值是( )
A ．0
B
C ．
D 11．已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ） A ．(1,0)- B ．(1,0) C ．(0,1)- D ．(0,1)
12．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0k y k x
=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k = A ．12 B ．1 C ．32 D ．2
二、填空题
13．已知命题1:(0),2p x R x x x ∀∈≠+
≥，则p ⌝：_____________. 14．过双曲线2
213
y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =________．
15．已知()2,1,0a =-，(),0,1b k =，若,120a b =︒，则k =________.
16．已知为()0,1A -，当B 在曲线221y x =+上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是___________________.
三、解答题
17．若命题p ：函数()()2
212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，写出p ⌝，若p ⌝是假命题，求a 的取值范围.
18．椭圆的两个焦点的坐标分别为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），且椭圆经过点（，﹣） （1）求椭圆标准方程．
（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率．
19．已知空间中三点(2,0,2)A -，(1,1,2)B -，(3,0,4)C -，设a AB =，b AC =. （1）求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；
（2）若ka b +与2ka b -互相垂直，求实数k 的值.
20．过双曲线22
136
x y -=的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．
(1)求|AB |；
(2)求△AOB 的面积．
21．已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121
,0,1,0F F -，短轴的两个端点分别为12,B B . （Ⅰ）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，且
11
F P FQ ⊥，求直线l 的方程. 22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =．
（1）证明：1AC BC ⊥；
（2）求二面角1C AB C --的余弦值大小．
参考答案
1．D
【详解】 若2π
αβ==则tan ,tan αβ不存在，
若tan tan αβ=，可得k απβ=+，故选D
2．D
【分析】
交换“21x ＜”与“11x -＜＜”，再逐一否定.
【详解】
命题“若21x ＜，则11x -＜＜”的逆否命题是“若1≥x 或1x ≤-，则21x ≥”.
故选：D.
【点睛】
此题为基础题，互为逆否的命题等价；“p 或q ”的否定是“非p 且非q ”
3．C
【分析】
首先表示出ka b -的坐标，再根据ka b -与b 垂直，则()0k b a b -=，即可得解；
【详解】
解：因为()1,0,1a =-，()1,2,3b =，
所以()1,2,3ka b k k -=----
因为ka b -与b 垂直，所以()
0k b a b -=，即()()()1122330k k --⨯+-⨯+-⨯=，解得7k =，
故选：C
【点睛】
本题考查空间向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示，属于基础题.
4．B
【解析】
因为是真命题，所以一定为假命题，所以只有为真命题时才为真，选B
5．A
【分析】
由已知得AB=（﹣2，﹣2，2），CD=（1，1，﹣1），AB=﹣2CD，从而得到直线AB 与CD平行．
【详解】
∵空间直角坐标系中，
A（1，2，3），B（﹣1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），
∴AB=（﹣2，﹣2，2），CD=（1，1，﹣1），
∴AB=﹣2CD，
∴直线AB与CD平行．
故选A．
【点睛】
本题考查空间两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题．
6．A
【分析】
可判断两个平面的法向量共线，根据法向量平行可知两平面平行．
【详解】
解：因为平面α，β的法向量分别为
1
,1,3
2
a
⎛⎫
=--
⎪
⎝⎭
，()
1,2,6
b=-
即2
a b
=-，所以//
a b
所以//
αβ
故选：A
【点睛】
本题考查了空间向量在立体几何中的应用问题，属于基础题．7．D
【解析】
【分析】
由抛物线22y px =的准线方程为2p x =-
，结合题意，即可求得a 的值. 【详解】
因为22y px =的准线方程为2
p x =-， 所以由2y ax =-的准线方程为2x =-，得
24
a =-， 所以8a =-，故选D.
【点睛】 本题考查的是抛物线的简单性质，掌握抛物线22y px =的准线方程为2
p x =-
，是解题的关键，属于基础题目.
8．A
【分析】 根据所给的条件把三棱锥底边上的向量写成两条侧棱的差，进行数量积的运算，这样应用的边长和角都是已知的，得到结果．
【详解】
解：因为90BAD ∠=︒，90BAC ∠=︒
即AB AD ⊥，AB AC ⊥
所以0AB AD AB AC ==
()
AB CD AB AD AC =-
AB AD AB AC =- 000=-=
故选：A ．
【点睛】
本题考查平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是把未知量转化为已知量，用侧棱做基底表示未知向量，属于基础题．
9．B
【解析】 由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ． 考点：双曲线的标准方程和定义．
10．A
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC 与1BD 所成角的余弦值．
【详解】
解：建立如图坐标系，
在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2BC =，13DD =，
()10,0,3D ∴， ()2,2,0B ，()2,0,0A ， ()0,2,0C ，
∴()12,2,3BD =--，()2,2,0AC =-．
所以()()()12222300BD AC =-⨯-+-⨯+⨯=，
(
1BD =
-(AC =-=111cos ,01722BD AC BD AC BD AC ∴<>===，．
AC ∴与1BD 所成角的余弦值为0．
故选：A ．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于基础题．
11．B
【解析】
由抛物线2
2(0)y px p =>得准线2
p x =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =， 所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B
考点：抛物线方程和性质.
12．D
【解析】 试题分析：由抛物线的性质可得(1,2)221
k P y k ⇒==⇒=，故选D. 考点：1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.
13．1(0),2x R x x x ∃∈≠+
< 【分析】
根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【详解】
解：命题p 为全称命题，则命题的否定为：1(0),2x R x x x ∃∈≠+
<， 故答案为：1(0),2x R x x x
∃∈≠+
<． 【点睛】
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
14．【解析】
双曲线22
13y x -=的右焦点()2,0，渐近线方程为y =，过双曲线2
213y x -=右焦
点且与x 轴垂直的直线，2x =，可得A B y y AB ==-∴=故答案为
15．【分析】
直接利用空间向量的数量积计算可得；
【详解】
解：因为()2,1,0a =-，(),0,1b k =
所以(22a =+=21b k =+()210012a b k k =+-⨯+⨯=， 又,120a b =︒
所以c 1,52os a b b a a b ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=
122k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得k =或k =因为,120a b =︒，所以20a b k =<，
所以k =，
故答案为： 【点睛】 本题考查空间向量的数量积的运算，属于基础题.
16．24y x =
【分析】
设出M 的坐标，求出P 的坐标，动点P 在抛物线221y x =+上运动，点P 满足抛物线方程，代入求解，即可得到M 的轨迹方程．
【详解】
解：设M 的坐标(,)x y ，由题意点B 与点(0,1)A -所连线段的中点M ，可知(2,21)B x y +，
动点B 在抛物线221y x =+上运动，所以2
212(2)1y x +=+，所以24y x =． 所以点B 与点(0,1)A -所连线段的中M 的轨迹方程是：2
4y x =． 故答案为：24y x =．
【点睛】
本题考查点的轨迹方程的求法，相关点法，是常见的求轨迹方程的方法，注意中点坐标的应用，属于中档题．
17．(],3-∞-
【分析】
由题意知函数2
()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数是真命题，从而得(1)4a --，从而解得．
【详解】
解：p ⌝：函数()()2
212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上不是减函数. 因为p ⌝为假命题，所以p 为真命题.
因此()14a --≥.
故3a ≤-，即所求a 的取值范围是(],3-∞-.
【点睛】
本题考查了复合命题的判断及二次函数的单调性的应用，属于基础题．
18．（1）椭圆的标准方程为：+=1，
（2）椭圆的长轴长：2，短轴长2，离心率e==．
【解析】
试题分析：（1）设椭圆的标准方程为
+=1（a ＞b ＞0），结合两点之间距离公式，求出
2a ，进而求出b ，可得椭圆标准方程．
（2）由（1）中椭圆标准方程，可得椭圆长轴长、短轴长、离心率．
解：（1）设椭圆的标准方程为+=1（a ＞b ＞0）， 则2a=
+=2， 即a=，
又∵c=2，
∴b 2=a 2﹣c 2=6，
故椭圆的标准方程为：
+=1，
（2）由（1）得：
椭圆的长轴长：2，
短轴长2，
离心率e==．
考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．
19．（1）10-
；（2）52k =-或2k =. 【分析】
（1）先写出a ，b ，再根据空间向量的夹角公式直接求解即可；
（2）根据空间向量垂直的坐标表示直接求解即可得答案.
【详解】
（1）∵()1,1,0a AB ==，()1,0,2b AC ==-，
设a 与b 的夹角为θ，∴cos 10|a b
a b θ⋅===∣； （2）∵()1,,2ka b k k +=-，()22,,4ka b k k -=+-且()()2ka b ka b +⊥-，
∴2(1)(2)80k k k -++-=，即：52
k =-或2k =. 【点睛】
本题考查空间向量的夹角的计算，空间向量的垂直求参数，考查运算能力，是基础题.
20．（1（2【分析】
(1)联立方程，利用韦达定理直接利用弦长公式得到答案.
(2)求原点到直线的距离，再利用面积公式得到答案.
【详解】
解：(1)由双曲线的方程得a b ==3c ==，F 1(－3，0)，F 2(3，0)．
直线AB 的方程为(3)3
y x =-．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)
，由223)313
6y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得5x 2＋6x －27＝0. ∴1265x x +=-，12275
x x ⋅=-. ∴
AB ===(2)
直线AB
30y --=.
∴原点O 到直线AB
的距离为32
d ==.
∴113||222AOB S AB d =⋅==【点睛】 本题考查了弦长和面积，是圆锥曲线里面的常规题型，意在考查学生的计算能力. 21．（Ⅰ）22
141
33
x y +
=；（Ⅱ）10x +
-=或10x -=． 【详解】
试题分析：（1）由112F B B ∆为等边三角形可得a=2b ，又c=1，集合222a b c =+可求22
,a b ，则椭圆C 的方程可求；（2）由给出的椭圆C 的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l 的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把 11F P FQ ⊥转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l 的方程可求 试题解析：（1）112F B
B ∆为等边三角形，则2222222433{{{1113
a a
b b
c a b c b =-==⇒⇒-=== 椭圆C 的方程为：2
23314
x y +=；
（2）容易求得椭圆C 的方程为2
212
x y +=， 当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，
由()
2
21{12y k x x y =-+=得()()
2222214210k x k x k +-+-=，设()()1122,,,P x y Q x y ， 则()
22121222214,2121k k x x x x k k -+==++， ()()1111221,,1,F P x y FQ x y =+=+∵11
F P FQ ⊥， ∴11
·0F P FQ =， 即()()()()()2121212121211111x x y y x x x x k x x +++=++++--
()()()2222
1212271111021k k x x k x x k k -+--+++==+＝ 解得217k =
，即k =， 故直线l
的方程为10x +-=
或10x -=.
考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系．
22．（1）见解析（2
）
34 【分析】
（1）根据AC ，BC ，1CC 两两垂直，建立如图以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C xyz -，写出点的坐标，根据两个向量的数量积等于0，证出两条直线互相垂直． （2）求出两个面的法向量，求两个法向量的夹角的余弦值，即可得到答案．
【详解】
直三棱柱111ABC A B C -，底面三边长3AC =，4BC =，5AB =，AC ∴，BC ，1CC 两两垂直．
如图以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C xyz -，则
11(0,0,0),(3,0,0),(0,0,4),(0,4,0),(0,4,4)C A C B B
（1）(3,0,0)AC =-，1(0,4,4)BC =-， ∴10AC BC =，故1AC BC ⊥。

（2）平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m =， 设平面1C AB 的一个法向量为(,,)n x y z =， 1(3,0,4)AC =-，(3,4,0)AB =-， 由1·0·0n AC n AB ⎧=⎨=⎩
得：340340x z x y -+=⎧⎨-+=⎩ 令4x =，则3z =，3y =则(4,3,3)n =．
故cos m <，34
n >==
【点睛】
本题考查线面垂直、二面角大小的向量求解，考查空间想象能力和运算求解能力．。