(全国通用版)2019高考数学二轮复习 12+4分项练2 不等式与推理证明 理

12＋4分项练2 不等式与推理证明
1．(2018·合肥模拟)已知非零实数a ，b 满足a |a |>b |b |，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 3
>b 3
B ．a 2>b 2
C.1a <1b
D ．12
log |a |<12
log |b |
答案 A
解析 利用排除法：
当a ＝－1，b ＝－2时，a 2
>b 2
与12log |a |<12
log |b |都不成立，可排除选项B ，D ；
当a ＝1，b ＝－2时，1a <1
b
不成立，可排除选项C.
2．如下图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )
答案 A
解析 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A ，故选A. 3．(2018·漳州质检)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋3y －5≥0，3x ＋2y －10≤0，
x －y ≤0，则x －2y 的最大值为( )
A ．6
B ．2
C ．－1
D ．－2 答案 C
解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋3y －5≥0，3x ＋2y －10≤0，
x －y ≤0
表示的平面区域，如图阴影部分所示(包含边界)，
平移直线z ＝x －2y ，由图可知，
目标函数z ＝x －2y 过点A 时取得最大值，
由⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋3y －5＝0，x －y ＝0，
解得A (1,1)，
此时z ＝x －2y 取得最大值1－2＝－1，故选C.
4．(2018·北京师范大学附中模拟)已知a >0，b >0，并且1a ，12，1
b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为( )
A ．16
B ．9
C ．5
D ．4 答案 A
解析 ∵1a ，12，1b 成等差数列，∴1a ＋1
b
＝1.
∴a ＋9b ＝(a ＋9b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b
＝10＋a b ＋9b a
≥10＋2
a b ·9b a ＝16，当且仅当a b ＝9b a 且1a ＋1b ＝1，即a ＝4，b ＝43
时等号成立． 5．(2018·华大新高考联盟模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2y ＋1≥0，y ≥x ，
x ≥0，
则x 2＋y 2
的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2
B ．[0,2] C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2 D.[]0，2
答案 B
解析 画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，
x 2＋y 2的几何意义是阴影内的点到原点的距离的平方，显然O 点为最小值点，而A (1,1)为最大值点，故x 2＋y 2的取
值范围是[0,2]．
6．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥1，y ≤2x －1，
x ＋y ≤m ，
如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )
A ．7
B ．5
C ．4
D ．1 答案 B
解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，
联立直线方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝2x －1，
y ＝－x ＋m ，可得交点坐标为
A ⎝
⎛⎭⎪⎫m ＋13
，2m －13， 由目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 所以
m ＋13－
2m －1
3
＝－1，解得m ＝5.
7．有三支股票A ，B ，C,28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍．在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票．则只持有B 股票的股民人数是( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4
答案 A
解析 设只持有A 股票的人数为X (如图所示)，则持有A 股票还持有其它股票的人数为X －1(图中d ＋e ＋f 的和)，因为只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票，则只持有了B 或C 股票的人数和为X (图中b ＋c 部分)．
假设只同时持有了B 和C 股票的人数为a (如图所示)，那么X ＋X －1＋X ＋a ＝28，即3X ＋a ＝29，则X 的取值可能是9,8,7,6,5,4,3,2,1.与之对应的a 值为2,5,8,11,14,17,20,23,26.
因为没持有A 股票的股民中，持有B 股票的人数为持有C 股票人数的2倍，得b ＋a ＝2(c ＋a )，即X －a ＝3c ，故当
X ＝8，a ＝5时满足题意，故c ＝1，b ＝7，故只持有B 股票的股民人数是7，故选A. 8．(2018·哈尔滨师范大学附属中学模拟)设点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，
3x ＋y －3≤0，
且x ∈Z ，y ∈Z ，则这样的
点共有( )
A ．12个
B ．11个
C ．10个
D ．9个 答案 A
解析 画出⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，
3x ＋y －3≤0
表示的可行域(含边界)，由图可知，
满足x ∈Z ，y ∈Z 的(x ，y )
有(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，
(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个．
9.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.
a ＋b
2
≥ab (a >0，b >0)
B ．a 2
＋b 2
≥2ab (a >0，b >0) C.2ab
a ＋b
≤ab (a >0，b >0) D.
a ＋b
2
≤
a 2＋
b 2
2
(a >0，b >0)
答案 D
解析 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b
2
，
又OC ＝OB －BC ＝
a ＋b
2
－b ＝
a －b
2
，
则FC 2
＝OC 2
＋OF 2
＝(a －b )2
4＋(a ＋b )2
4＝a 2
＋b
2
2，
再根据题图知FO ≤FC ，即
a ＋b
2
≤
a 2＋
b 2
2
，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.
10．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，x ＋2y ≤4，
x －2y ≤2，
如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为16
3
，则实数a 的值为( )
A ．3 B.143
C ．3或14
3
D ．3或－11
3
答案 D
解析 先画出线性约束条件所表示的可行域(含边界)，当a ＝0时不满足题意，故a ≠0. 目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，当a >0时，－1
a
<0，
(1)当－12≤－1a <0，即a ≥2时，最优解为A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，43， z ＝43＋43a ＝163
，a ＝3，满足a ≥2；
(2)当－1a <－12，即0<a <2时，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不满足0<a <2，舍去； 当a <0时，－1
a
>0，
(3)当0<－1a <12，即a <－2时，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－11
3，满足a <－2；
(4)当－1a ≥12，即－2≤a <0时，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不满足－2≤a <0，舍去． 综上，实数a 的值为3或－
11
3
，故选D. 11．(2018·湖南省长郡中学模拟)如图，在△OMN 中，A ，B 分别是OM ，ON 的中点，若OP →＝xOA →＋yOB →
(x ，y ∈R )，且点P 落在四边形ABNM 内(含边界)，则
y ＋1
x ＋y ＋2
的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，23 B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，34
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，34 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，23 答案 C
解析 由题意，当P 在线段AB 上时，x ＋y ＝1，当P 点在线段MN 上时，x ＋y ＝2，
∴当P 在四边形ABNM 内(含边界)时，⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≥1，x ＋y ≤2，
x ≥0，
y ≥0，
(*)
又
y ＋1x ＋y ＋2＝1
x ＋1
y ＋1
＋1，作出不等式组(*)表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．
y ＋1x ＋1表示可行域内点(x ，y )与Q (－1，－1)连线的斜率，由图形知k QF ＝0－(－1)2－(－1)＝13，k QC ＝2－(－1)
0－(－1)
＝3， 即13≤y ＋1x ＋1≤3，∴13≤x ＋1y ＋1≤3，14≤1x ＋1y ＋1＋1≤34
， 故选C.
12．(2018·天津市河东区模拟)已知正实数a ，b ，c 满足a 2
－ab ＋4b 2
－c ＝0，当c
ab
取最小值时，a ＋b －c 的最大值为( )
A ．2 B.34 C.38 D.1
4
答案 C
解析 正实数a ，b ，c 满足a 2
－ab ＋4b 2
－c ＝0，可得c ＝a 2
－ab ＋4b 2
，
c ab ＝a 2－ab ＋4b 2ab ＝a b ＋4b a
－1≥2a b ·4b
a
－1＝3. 当且仅当a ＝2b 时取得等号，
则当a ＝2b 时，c ab
取得最小值，且c ＝6b 2
， ∴a ＋b －c ＝2b ＋b －6b 2
＝－6b 2
＋3b
＝－6⎝ ⎛⎭⎪⎫b －142＋38
，
∴当b ＝14时，a ＋b －c 有最大值3
8
.
13．(2018·南平模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥y ，2x －y ≤2，
y ≥0，
且z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)的最大值为4，则1m ＋1
n
的最小值
为________． 答案 2
解析 作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．
由可行域知可行域内的点(x ，y )均满足x ≥0，y ≥0.
所以要使z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)最大，只需x 最大，y 最大即可，即在点A 处取得最大值．
联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x ，y ＝2x －2，解得A (2,2)．
所以有2m ＋2n ＝4，即m ＋n ＝2.
1m ＋1n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m n ＋n m ＋1≥1
2×(2＋2)＝2. 当且仅当m ＝n ＝1时，1m ＋1
n
取得最小值2.
14．(2018·湘潭模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，
x －a ≥0，若
x －y
x ＋y
的最大值为2，则z ＝x －y 的最小值为________． 答案 －15
8
解析 令X ＝x ＋y ，Y ＝x －y ，则x ＝X ＋Y
2
，y ＝
X －Y
2
，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，
x －a ≥0
等价于⎩⎪⎨⎪
⎧
3X ＋Y －6≤0，2Y －1≤0，
X ＋Y －2a ≥0，
作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，
则
x －y x ＋y ＝Y
X
表示可行域内一点(X ，Y )与原点的连线的斜率， 由图象可知，当X ＝2a －12，Y ＝12时，Y X 取得最大值，则12＝2⎝ ⎛
⎭⎪⎫2a －12，
解得a ＝3
8，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
3X ＋Y －6＝0，X ＋Y －3
4＝0，解得Y ＝－15
8
，
所以z 的最小值为－15
8
.
15．中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为a 2
＋b 2
＝c 2
(a ，b ，c ∈N *
)，我们把a ，b ，c 叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，以此类推，可猜测第五组勾股数的三个数依次是________． 答案 11,60,61
解析 由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11，第二，三个数为相邻的两个整数，可设为x ，x ＋1， 所以(x ＋1)2
＝112
＋x 2
，所以x ＝60， 所以第五组勾股数的三个数依次是11,60,61.
16．(2018·漳州质检)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得AC ＝DB ＝1
4
AB ，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 做相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第n 个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为S n ，现给出有关数列{S n }的四个命题： ①数列{S n }是等比数列； ②数列{S n }是递增数列；
③存在最小的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n >2 018； ④存在最大的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n <2 018. 其中真命题是________．(请写出所有真命题的序号) 答案 ②④
解析 由题意，得图1中的线段为a ，S 1＝a ，
图2中的正六边形的边长为a
2
，
S 2＝S 1＋a
2
×4＝S 1＋2a ，
图3中的最小正六边形的边长为a
4
，
S 3＝S 2＋a
4
×4＝S 2＋a ，
图4中的最小正六边形的边长为a
8
，
S 4＝S 3＋a 8
×4＝S 3＋a
2
，
由此类推，S n －S n －1＝
a
2
n －3
(n ≥2)，
即{S n }为递增数列，但不是等比数列， 即①错误，②正确；
因为S n ＝S 1＋(S 2－S 1)＋(S 3－S 2)＋…＋(S n －S n －1) ＝a ＋2a ＋a ＋a 2＋…＋a 2n －3＝a ＋2a ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1－12n －11－
1
2
＝a ＋4a ⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－
12
n －1
<5a ，n ≥2，
又S 1＝a <5a ，
所以存在最大的正数a ＝2 018
5，
使得对任意的正整数n ，都有S n <2 018， 即④正确，③错误．。