SXA192高考数学必修_解析函数考点把握复习重点

解析函数考点，把握复习重点
函数是贯穿整个高中数学始终的一条主线，既是高中数学最重要的组成部分，又是学生升入大学后必备的基础知识。

它的综合性极强，既涉及代数中的代数式、方程、不等式、数列等知识，又渗透到三角、立体几何和解析几何，更有题源丰富的函数实际应用性问题，具有跨学科综合应用的鲜明特征。

因此，历届高考试题都十分重视对本专题内容的考查，是高考命题的重点和历久不衰的热点。

一、考点展示
1、考试内容：映射，函数，函数的单调性；反函数，互为反函数的函数图像间的关系；指数概念的扩充，有理指数幂的运算性质，指数函数；对数，对数的运算性质，对数函数；函数的应用举例。

2、考试要求：
(1) 了解映射的概念，理解函数的概念。

(2) 了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法。

(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。

(4)理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质。

掌握指数函数的概念、图像和性质。

(5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质。

掌握对数函数的概念、图像和性质。

(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

二、考纲解读
纵观近几年的高考试题，在选择、填空、解答题三种题型中每年都有函数试题，约占总分的15%～20%，即20～30分。

函数部分所考查知识点的覆盖面大，在近几年的高考中，几乎所有的知识点都考过。

其中，函数的单调性、函数的图像、指数函数、对数函数是高考命题的热点。

小题中仍会出现考查函数的概念、基本性质及图像的题，也有可能出现较难的小综合题，特别注意函数性质与图像的综合运用及利用函数的基本性质解决不等式等其它有关问题，小题中还将出现利用函数解决实际问题的题目，这些题多属于中、低档题。

大题主要考查函数的应用以及函数与其它方面知识的交汇点，如与方程、不等式、三角、数烈、解析几何有关的综合题，属于高档题，且可能以单问（减少递进式的问法，只设一问）的形式
出现。

复习时，要系统深化函数的概念及性质，强化以函数为主干的知识网络的整体意识，注意结合图像有重点地理解和把握函数的主体知识，提高思维层次，掌握通性通法，加强与各部分知识之间的内在联系与沟通，培养用函数观点解决问题的能力。

要以函数知识为依托，强化思想方法的训练。

首先应掌握基本初等函数的图像和性质及其图像间的相互关系，在此基础上，理解掌握平移、对称变换方法，以基本函数为基础，强化由式到图到式的转化训练。

三、考题解析
考点1：函数的概念、图像与性质
例1、（2007. 福建）已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x ⎛⎫<
⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（ ）
A ．(11)-，
B ．(01)，
C ．(10)(01)-，，
D ．(1)(1)-∞-+∞，，
解析：∵()f x 在R 上单调递减，∴1||1x ，即2210(1,1)x x x 又0x ≠，∴(1,0)(0,1)x 。

点评：函数问题应首先考虑函数的定义域，即遵循定义域优先原则，本题若忽视了定义域则很有可能出错而误选A 。

例2、（2006. 安徽）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()
12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。

解析：由()()12f x f x +=得()()
14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+。

应填15
- 点评：本题考查函数的周期性。

解题的关键是求出函数的周期为4。

例3、（2006. 湖北）设()x x x f -+=22lg ，则⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ） A. ()()4,00,4 - B. ()()4,11,4 --
C. ()()2,11,2 --
D. ()()4,22,4 --
解析：由202x x +>-得，()f x 的定义域为22x -<<。

故22,222 2.x x
⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得()()4,11,4x ∈--。

故⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4 --。

应选B. 点评：本题考查函数的定义域及不等式的解法，也可以用排除法或者求出⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的解析式后，再求其定义域。

例4、（2006. 湖北）关于x 的方程()0112
22=+---k x x ，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是 （ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
解析：据题意可令21x t -=(0)t ≥①，则方程化为20t t k -+=②，作出函数
21y x =-的图象，结合函数的图象可知：
（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当0<t<1时方程①有4个根；（3）当t=1时，方程①有3个根。

故当t=0时，代入方程②，解得k=0此时方程②有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；当方程②有两个不等正根时，即104
k <<
此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程21x t -=的解有8个，即原方程的解有8个；当14
k =时，方程②有两个相等正根t ＝12，相应的原方程的解有4个；故选B 。

点评：本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力。

解题的关键是要明确()22
2211x x -=-。

例5、（2007. 安徽）图中的图像所表示的函数的解析式为（ ）
Ａ．312
y x =
- (02)x ≤≤
Ｂ．33122
y x =-- (02)x ≤≤ Ｃ．312y x =-- (02)x ≤≤ Ｄ．11y x =-- (02)x ≤≤ 解析：图像经过点（1,
32
），代入四个选项可否定A 、D ，又图像过点（2,0），可否定C ，故应选B 。

点评：本题考查函数的图像。

特殊值法是解函数图像题的重要方法。

例6、（2006. 辽宁）设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是
(A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数
(C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数
解析：A 中()()()F x f x f x =-则()()()()F x f x f x F x -=-=，即函数()()()F x f x f x =-为偶函数；B 中()()()F x f x f x =-，()()()F x f x f x -=-此时()F x 与()F x -的关系不能确定，即函数()()()F x f x f x =-的奇偶性不确定；C 中
()()()F x f x f x =--，()()()()F x f x f x F x -=--=-，
即函数()()()F x f x f x =--为奇函数；D 中()()()F x f x f x =+-，()()()()F x f x f x F x -=-+=，即函数()()()F x f x f x =+-为偶函数，故选择答案D 。

点评：本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算。

考点2：二次函数、指数函数、对数函数、反函数
例7、（2006. 安徽理）函数22,0,0
x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是（ ） A ．,020x x y x ⎧≥⎪=< B ．2,00x x y x ≥⎧⎪=< C ．,020x x y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩
D ．2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ 解析：由2(0)y x x =≥得反函数为(0)2
x y x =≥; 由2(0)y x x =<－得反函数为0)y x =<.
∴所求的反函数为,020x x y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩
，故应选C 。

点评：这是一道分段函数题，求反函数时应分别求之，然后再合起来。

例8、（2007. 湖北）已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ．
解析：求得函数2y x a =-的反函数为122a y
x ，又已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则11,36,222a b a b。

点评：这类题型由于原函数与其反函数是互为反函数的，所以，只要求出其中之一的反函数，然后用待定系数法求解。

例9、（2006. 陕西理）已知函数2
()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则 （ ）
（A ）12()()f x f x > （B ）12()()f x f x < （C ）12()()f x f x = （D ）1()f x 与2()f x 的大小不能确定
解析：∵1212,12x x x x a <+=->-
∴2x 离对称轴1x =-比1x 离对称轴1x =-远，又()f x 的图像开口向上。

∴12()()f x f x <。

故应选B.
点评：当二次函数的图像开口向上时，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大。

例10、（2006. 辽宁）设,0.(),0.
x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________ 解析： 1ln 2111(())(ln )222g g g e ===，应填12。

点评：本题考察了分段函数的表达式、指数对数的运算.分段函数是高考考查的重点，1()02
g <是解题的关键。

考点3：函数的综合应用
例11、（2007. 江苏）已知a b c d ，，，是不全为零的实数，函数2
()f x bx cx d =++，
32()g x ax bx cx d =+++．方程()0f x =有实数根，且()0f x =的实数根都是(())0g f x =的根；反之，(())0g f x =的实数根都是()0f x =的根．
（1）求d 的值；（3分）
（2）若0a =，求c 的取值范围；（6分）
（3）若1a =，(1)0f =，求c 的取值范围．
解析：（1）设r 为方程的一个根，即()0f r =，则由题设得(())0g f r =．于是， (0)(())0g g f r ==，即(0)0g d ==．
所以，0d =．
（2）由题意及（1）知2()f x bx cx =+，32
()g x ax bx cx =++．
由0a =得b c ，是不全为零的实数，且2()()g x bx cx x bx c =+=+，
则[]22(())()()()()g f x x bx c bx bx c c x bx c b x bcx c =+++=+++． 方程()0f x =就是()0x bx c +=．
① 方程(())0g f x =就是22()()0x bx c b x bcx c +++=．
② （ⅰ）当0c =时，0b ≠，方程①，②的根都为0x =，符合题意．
（ⅱ）当0c ≠，0b =时，方程①，②的根都为0x =，符合题意．
（ⅲ）当0c ≠，0b ≠时，方程①的根为10x =，2c x b =-
，它们也都是方程②的根，但它们不是方程22
0b x bcx c ++=的实数根．
由题意，方程220b x bcx c ++=无实数根，此方程根的判别式22()40bc b c ∆=-<， 得04c <<．
综上所述，所求c 的取值范围为[)04，．
（3）由1a =，(1)0f =得b c =-，2()(1)f x bx cx cx x =+=-+，
2(())()()()g f x f x f x cf x c ⎡⎤=-+⎣⎦． ③
由()0f x =可以推得(())0g f x =，知方程()0f x =的根一定是方程(())0g f x =的根． 当0c =时，符合题意．
当0c ≠时，0b ≠，方程()0f x =的根不是方程2
()()0f x cf x c -+= ④
的根，因此，根据题意，方程④应无实数根．
那么当2()40c c --<，即04c <<时，2()()0f x cf x c -+>，符合题意．
当2()40c c --≥，即0c <或4c ≥时，
由方程④得2
()2c f x cx cx ±=-+=，
即2
02c cx cx ±-+=， ⑤
则方程⑤应无实数根，所以有2()40c c --<且2()40c --<．
当0c <时，只需220c --<，解得1603
c <<
，矛盾，舍去．
当4c ≥时，只需220c -+<，解得1603
c <<． 因此，1643c <≤． 综上所述，所求c 的取值范围为1603⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，．
点评：本题考查函数、方程、不等式的基础知识，考查综合运用分类讨论、等价转化等思想方法，考查考生分析问题能力以及推理论证能力。

复习时要侧重函数的思想、方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想，掌握常用的证明方法，熟知作为推理、论证根据的各项基础知识，训练清晰、严谨、规范的书写表达能力。

例12、（2007年广东卷）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[11]-，上有零点，求a 的取值范围．
解析：若0a = ， ()23f x x =- ，显然在上没有零点， 所以 0a ≠
令 ()248382440a a a a ∆=++=++= 得 a =
当 a =时， ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上；
当 ()()()()11150f f a a -=--< 即 15a << 时， ()y f x =也恰有一
个零点在[]1,1-上；
当 ()y f x =在[]1,1-上有两个零点时， 则
()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩ 或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩
解得5a ≥或352
a --< 因此a 的取值范围是 1a > 或 352a --≤
； 点评：本题主要考查二次函数、一元二次方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力。

题目考查的函数方程思想和分类讨论的思想是这一类常考查的思想，应注意其应用，但核心问题还是转化的问题。

例13、（2006. 上海春）设函数
54)(2--=x x x f .
（1）在区间]6,2[-上画出函数)
(x f 的图像；
（2）设集合
{})
,6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证
明；
（3）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，
3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.
解析：（1）如右图。

（2）方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和
142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因此
(][)
∞++-∞-=,142]4,0[142, A . 由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142.
（3）[解法一] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .
)54()3()(2++--+=x x x k x g
)53()4(2-+-+=k x k x 436202422
+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k k k x ， ∴>,2k 12
4<-k . 又51≤≤-x ， ① 当1241<-≤-k ，即62≤<k 时，取2
4k x -=， min )(x g ()[]
6410414362022---=+--=k k k . 064)10(,64)10(1622<--∴<-≤k k ，
则0)(min >x g . ② 当12
4-<-k ，即6>k 时，取1-=x ， min )(x g ＝02>k . 由 ①、②可知，当2>k 时，0)(>x g ，]5,1[-∈x .
因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方.
[解法二] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .
由⎩⎨⎧++-=+=,
54),3(2x x y x k y 得0)53()4(2=-+-+k x k x ， 令 0)53(4)4(2=---=∆k k ，解得 2=k 或18=k ，
在区间]5,1[-上，当2=k 时，)3(2+=x y 的图像与函数)(x f 的图像只交于一点)8,1(； 当18=k 时，)3(18+=x y 的图像与函数)(x f 的图像没有交点.
如图可知，由于直线)3(+=x k y 过点)0,3(-，当2>k 时，直线)3(+=x k y 是由直线)3(2+=x y 绕点)0,3(-逆时针方向旋转得到. 因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的
图像位于函数)(x f 图像的上方.
点评：本题考查二次函数图像的画法、二次函数的单调性以及二次函数的最值，第（3）问的解法二则考查了直线与二次函数图像的位置关系。