高中数学选修2-2课时作业15：§1.4 生活中的优化问题举例

§1.4 生活中的优化问题举例
一、选择题
1若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则当其表面积最小时底面边长为( ) A.3V B.3
2V C.34V D ．23V 考点 利用导数求几何模型的最值问题
题点 利用导数求面积的最值问题
[答案] C
[解析] 设底面边长为x ，
则表面积S ＝
32x 2＋43x V (x >0)， ∴S ′＝3
x 2(x 3－4V )．令S ′＝0，得x ＝34V ，可判断当x ＝34V 时，S 取得最小值．
2．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( )
A.⎝⎛⎭⎫l 63π
B.⎝⎛⎭⎫l 33π
C.⎝⎛⎭⎫l 43π
D.14⎝⎛⎭
⎫l 43π 考点 利用导数求几何模型的最值问题
题点 利用导数求几何体体积的最值问题
[答案] A
[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，
则4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r 2
. ∴V ＝πr 2h ＝l 2
πr 2－2πr 3⎝⎛⎭⎫0<r <l 4， 则V ′＝l πr －6πr 2.
令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l 6
，而r >0， ∴r ＝l 6
是其唯一的极值点． ∴当r ＝l 6
时，V 取得最大值，最大值为⎝⎛⎭⎫l 63π. 3．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，
若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，
则当总利润P (x )最大时，每年生产产品的单位数是( )
A ．150
B ．200
C ．250
D ．300 考点 利用导数求解生活中的最值问题
题点 利用导数求解最大利润问题
[答案] D
[解析] 由题意得，总利润
P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，70 090－100x ，x >390，
当0≤x ≤390时，令P ′(x )＝0，得x ＝300，
又当x >390时，P (x )＝70 090－100x 为减函数，
所以当每年生产300单位的产品时，总利润最大，故选D.
4．若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )
A ．4
B ．6
C ．4.5
D ．8 考点 利用导数求解生活中的最值问题
题点 用料、费用最少问题
[答案] A
[解析] 设底面边长为x ，高为h ，
则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2. ∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x
， ∴S ′(x )＝2x －4×256x 2
. 令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴当x ＝8时，S (x )取得最小值．
∴h ＝25682＝4. 5．某超市中秋前30天，月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30，t ∈Z )的关系大致满足f (t )＝t 2＋
10t ＋12，则该超市前t 天平均售出⎝
⎛⎭⎫如前10天平均售出为f (10)10的月饼最少为( ) A ．14个
B ．15个
C ．16个
D ．17个
考点 利用导数求解生活中的最值问题
题点 利用导数求解生活中的其他最值问题
[答案] D
[解析] 记g (t )＝f (t )t ＝t ＋12t
＋10， 令g ′(t )＝1－12t 2＝0，得t ＝23(负值舍去)， 则g (t )在区间(0,23)上单调递减，在区间(23，30]上单调递增，
由于t ∈Z ，且g (3)＝g (4)＝17，∴g (t )min ＝17.
6．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为( )
A ．0.016 2
B ．0.032 4
C ．0.024 3
D ．0.048 6
考点 利用导数求解生活中的最值问题
题点 利用导数求解最大利润问题
[答案] B
[解析] 依题意，得存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.048 6kx 2，其
中x ∈(0,0.048 6)．
所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x <0.048 6)，
则y ′＝0.097 2kx －3kx 2.
令y ′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)．
当0<x <0.032 4时，y ′>0；
当0.032 4<x <0.048 6时，y ′<0.
所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．
7．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，则它的高与底面半径的比为( )
A ．2∶1
B ．1∶2
C ．1∶4
D ．4∶1
考点 利用导数求解生活中的最值问题
题点 用料、费用最少问题
[答案] A
[解析] 设其体积为V ，高与底面半径分别为h ，r ，
则V ＝πr 2h ，即h ＝V πr 2. 由题意知，当表面积S 最小时所用材料最省．
S ＝2πr 2＋2πrh ＝2πr 2＋2πr V πr 2＝2πr 2＋2V r
. 令S ′＝4πr －2V r
2＝0，得r ＝3V 2π， 当r ＝3V 2π时，h ＝V π⎝ ⎛⎭⎪⎫3V 2π2＝34V π
. 则h ∶r ＝2∶1时，表面积S 最小．
二、填空题
8.如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运
动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
考点 利用导数求几何模型的最值问题
题点 利用导数求面积的最值问题
[答案] 439
[解析] 设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，0，点B 坐标为⎝⎛⎭⎫x 2
，1－x 24， ∴矩形ABCD 的面积
S ＝f (x )＝x ·⎝⎛⎭
⎫1－x 2
4 ＝－x 34
＋x ，x ∈(0,2)． 令f ′(x )＝－34
x 2＋1＝0， 得x 1＝－233(舍)，x 2＝233
， ∴当x ∈⎝
⎛⎭⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )是单调递增的， 当x ∈⎝⎛⎭⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )是单调递减的， ∴当x ＝233时，f (x )取最大值439
. 9．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数[解析]式可以表示为y ＝1128 000x 3－380
x ＋8，x ∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少．
考点 利用导数求解生活中的最值问题
题点 用料、费用最少问题
[答案] 80
[解析] 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x
小时，设耗油量为y 升，依题意得， y ＝⎝⎛⎭⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x
＝ 1 1 280x 2＋800x －154
(0<x ≤120)． 则y ′＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2
(0<x ≤120)． 令y ′＝0，得x ＝80，
当x ∈(0,80)时，y ′<0，该函数递减；当x ∈(80,120]时，y ′>0，该函数递增，所以当x ＝80时，y 取得最小值．
10．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．
考点 利用导数求解生活中的最值问题
题点 用料、费用最少问题
[答案] 20
[解析] 设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝400x ， ∴总运费与总存储费之和f (x )＝4n ＋4x ＝1 600x
＋4x ， 令f ′(x )＝4－1 600x
2＝0， 解得x ＝20，x ＝－20(舍去)，
x ＝20是函数f (x )的最小值点，故当x ＝20时，f (x )最小．
11．某厂生产某种产品x 件的总成本为C (x )＝1 200＋275
x 3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为____件时总利润最大． 考点 利用导数求解生活中的最值问题
题点 利用导数求解最大利润问题
[答案] 25
[解析] 由题意知502＝
k 100，解得k ＝25×104. ∴产品的单价P ＝25×104x ＝500x
. ∴总利润L (x )＝x 500x
－1 200－275x 3 ＝500x －1 200－275
x 3， L ′(x )＝250x －12－225
x 2， 令L ′(x )＝0，得x ＝25，
∴当x ＝25时，总利润最大．
12.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱
长为3 m 的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离
为________ m 时，帐篷的体积最大．
考点 利用导数求几何模型的最值问题
题点 利用导数求几何体体积的最值问题
[答案] 2
[解析] 设OO 1＝x ，则1<x <4.
由题设可得正六棱锥底面边长为
32－(x －1)2＝8＋2x －x 2.
于是底面正六边形的面积为 6·34·(8＋2x －x 2)2＝332
(8＋2x －x 2)． 帐篷的体积为
V (x )＝332
(8＋2x －x 2)⎣⎡⎦⎤13(x －1)＋1 ＝32
(16＋12x －x 3)． 则V ′(x )＝
32(12－3x 2)． 令V ′(x )＝0，解得x ＝－2(不合题意，舍去)或x ＝2.
当1<x <2时，V ′(x )>0，V (x )为增函数；
当2<x <4时，V ′(x )<0，V (x )为减函数．
综上，当x ＝2时，V (x )最大．
三、解答题
13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为64π3
立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y 千元．
(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；
(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．
考点 利用导数求解生活中的最值问题
题点 用料、费用最少问题
解 (1)因为容器的体积为64π3
立方米， 所以4πr 33＋πr 2l ＝643π，解得l ＝643r 2－43
r ， 所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝⎛⎭⎫643r 2－43r ＝128π3r －8πr 23， 两端两个半球的表面积之和为4πr 2，
所以y ＝⎝⎛⎭⎫128π3r －8πr 23×3＋4πr 2×4＝128πr
＋8πr 2. 又l ＝643r 2－43
r >0，即r <432， 所以定义域为(0, 432)．
(2)因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r 2
， 令y ′>0得2<r <243
；令y ′<0得0<r <2， 所以当r ＝2时，该容器的建造费用最小为96π千元，此时l ＝83
. 四、探究与拓展
14．某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金
成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润(万元)情况如下：
该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润(万元)是( ) A.92
B.6516
C.358
D.174 考点 利用导数求解生活中的最值问题
题点 利用导数求解最大利润问题
[答案] B
[解析] ∵甲产品的利润与投入资金成正比，
∴设y 1＝k 1x ，当投入4万时，利润为1万，
即4k 1＝1，得k 1＝14，即y 1＝x 4
. ∵乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，
∴设y 2＝k 2x ，当投入4万时，利润为2.5万，
即4k 2＝52，得2k 2＝52，即k 2＝54，即y 2＝5x 4
. 设乙产品投入资金为x ，
则甲产品投入资金为10－x,0≤x ≤10，
则销售甲、乙两种产品所得利润为 y ＝14(10－x )＋5x 4
， 则y ′＝－14＋58x ＝5－2x 8x
， 由y ′>0，得5－2x >0，即0≤x <254
， 由y ′<0，得5－2x <0，即254
<x ≤10， 即当x ＝254
时，函数取得极大值同时也是最大值，此时
y ＝14⎝⎛⎭⎫10－254＋54·254＝1516＋5016＝6516
. 15．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加，年销售量y 关于
x 的函数为y ＝3 240⎝
⎛⎭⎫－x 2＋2x ＋53，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)
考点 利用导数求解生活中的最值问题
题点 利用导数求解最大利润问题
解 由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x )，
每辆车的出厂价为13(1＋0.7x )，年利润为
f (x )＝[13(1＋0.7x )－10(1＋x )]·y
＝(3－0.9x )×3 240×⎝
⎛⎭⎫－x 2＋2x ＋53 ＝3 240(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)，
则f ′(x )＝3 240(2.7x 2－9.6x ＋4.5)
＝972(9x －5)(x －3)，
由f ′(x )＝0，解得x ＝59
或x ＝3(舍去)， 当x ∈⎝⎛⎭
⎫0，59时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫59，1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．
所以当x ＝59
时，f (x )取极大值，f ⎝⎛⎭⎫59＝20 000. 因为f (x )在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．
所以当x ＝59
时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．。